線性代數(shù)第一章復(fù)習(xí)課件

§1.1二階、三階行列式

歷史點(diǎn)滴:行列式來(lái)源于線性方程組的求解1683年,日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和(SekiTakazu,1642-1768)

在其專著<解伏題之法>中提出了行列式的概念與算法1750年,瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(G.Cramer,1704-1752)

提出了線性方程組的行列式解法—“克拉默法則”1772年,法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先將行列式理論系統(tǒng)化,被譽(yù)為行列式理論的奠基人現(xiàn)行的行列式的記號(hào)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊(A.Cayley,1821-1895)于1841年引進(jìn)的.1§1.1二階、三階行列式.1二階行列式即實(shí)線連接的元之積減去虛線連接的元之積2二階行列式即實(shí)線連接的元之積減去2三階行列式列標(biāo)行標(biāo)3三階行列式列標(biāo)行標(biāo)3三階行列式的對(duì)角線法則注1.紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．2.對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列3.三階行列式含3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù)．.4三階行列式的對(duì)角線法則注1.紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)例題與講解例2：計(jì)算三階行列式：解：按對(duì)角線法則，.5例題與講解例2：計(jì)算三階行列式：解：按對(duì)角線法則，.5§1.2n階行列式排列：由自然數(shù)1，2，······，n

組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n

級(jí)(元)排列。自然排列：n級(jí)排列123…n稱為自然排列。2141314不是排列不是排列n級(jí)排列中每個(gè)數(shù)必須出現(xiàn)一次，n個(gè)數(shù)中不能有重復(fù)數(shù)，不能有大于n的數(shù)543215級(jí)排列31424級(jí)排列6§1.2n階行列式排列：由自然數(shù)1，2，······，n逆序與逆序數(shù)：在一個(gè)n級(jí)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序；一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，通常記為N(i1i2…in)。排列的逆序數(shù)為偶數(shù)的稱偶排列，排列的逆序數(shù)為奇數(shù)的稱奇排列。.逆序數(shù)計(jì)算：從最左面的數(shù)開(kāi)始算，計(jì)算每個(gè)數(shù)的左邊比它大的數(shù)的個(gè)數(shù)，全部加起來(lái)。如排列32514的逆序數(shù)為N（32514）=2+1+2+0+0=57逆序與逆序數(shù)：在一個(gè)n級(jí)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的對(duì)換：在一個(gè)n級(jí)排列j1

j2…ji…jk…jn

中，若僅將其中兩個(gè)數(shù)ji、jk對(duì)調(diào),其余不動(dòng)，可得一個(gè)新的排列j1j2…jk…ji…jn,這樣的變換稱為一次對(duì)換。定理：一次對(duì)換改變排列的奇偶性。即則奇偶性不同與若8對(duì)換：在一個(gè)n級(jí)排列j1j2…ji…jk…jn中對(duì)換性質(zhì)的證明思路:先證相鄰元素的對(duì)換,再證明一般情況。1.對(duì)換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)a<b時(shí),經(jīng)對(duì)換后b的逆序數(shù)增加1,a的逆序數(shù)不變;當(dāng)a>b時(shí),經(jīng)對(duì)換后b的逆序數(shù)不變,a的逆序數(shù)減少1;2.設(shè)排列為,現(xiàn)在對(duì)換a與b。次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換即總共經(jīng)過(guò)2m+1次相鄰對(duì)換,每次都要改變奇偶性。所以,對(duì)換改變奇偶性..9對(duì)換性質(zhì)的證明思路:先證相鄰元素的對(duì)換,再證明一般情況。1.奇、偶排列個(gè)數(shù)相等定理2：在所有的n級(jí)排列中（n>1）,共有n!個(gè)n級(jí)排列，奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等,各為n!/2。證明:設(shè)在n!個(gè)n級(jí)排列中（n>1）,奇排列共有p個(gè),偶排列共有q個(gè),則p+q=n!

現(xiàn)對(duì)每一個(gè)奇排列施行一次對(duì)換，即 偶排列奇排列由此得p個(gè)偶排列,而偶排列數(shù)共有q個(gè),故pq;同理,對(duì)q個(gè)偶排列各做一次對(duì)換,可得q個(gè)奇排列,故有qp;所以p=q。又因?yàn)閜+q=n!,故p=q=n!/2。.10奇、偶排列個(gè)數(shù)相等定理2：在所有的n級(jí)排列中（n>1）,共二階、三階行列式共性①有n!(n=2、3)項(xiàng)。②為所有不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。③每項(xiàng)符號(hào)取決于：當(dāng)這一項(xiàng)中元的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為奇排列時(shí)為負(fù),為偶排列時(shí)為正。n階行列式的定義11二階、三階行列式共性①有n!(n=2、3)項(xiàng)。②為所有不定義1.2n階行列式是所有取自不同行,不同列的n個(gè)數(shù)的乘積即n階行列式的一般項(xiàng)為其中構(gòu)成一個(gè)n級(jí)排列，當(dāng)?shù)拇鷶?shù)和.各項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)此項(xiàng)中元的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為奇排列時(shí)為負(fù),為偶排列時(shí)為正。取遍所有n級(jí)排列，則的行列式表示的代數(shù)和中所有的項(xiàng)。12定義1.2n階行列式是所有取自不同行,不同列的n個(gè)數(shù)的乘說(shuō)明1、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;2、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列個(gè)元素的乘積;4、一階行列式3、的符號(hào)為13說(shuō)明1、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;2、例1定理：n階行列式D=|aij|的一般項(xiàng)可記為：其中均為n級(jí)排列。14例1定理：n階行列式D=|aij|的一般項(xiàng)可記為：其中均為n行列式定義的等價(jià)表示形式行下標(biāo)順序排列列下標(biāo)順序排列據(jù)行列式定義可分析出：按定義只適合計(jì)算一些特殊的行列式(如有較多零元素的行列式),而直接計(jì)算一般的行列式時(shí),可能會(huì)較煩瑣。.15行列式定義的等價(jià)表示形式行下標(biāo)順序排列列下標(biāo)順序排列據(jù)行列特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式左三角行列式右三角行列式.16特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式左三角行列式右三練習(xí)用行列式的定義計(jì)算下面的行列式.17練習(xí)用行列式的定義計(jì)算下面的行列式.17§1.3行列式的性質(zhì)如何有效地計(jì)算一般行列式？?jī)蓷l基本思路：⒈經(jīng)恒等變形先將一般行列式化為(含大量零元素的)特殊行列式,再按定義計(jì)算。⒉經(jīng)恒等變形先將一般行列式化為二、三階行列式,再用對(duì)角線法則展開(kāi)計(jì)算。要達(dá)到上述目的,先對(duì)行列式基本性質(zhì)進(jìn)行研究。.18§1.3行列式的性質(zhì)如何有效地計(jì)算一般行列式？.18轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式定義：把D中的行變?yōu)榱?，列變?yōu)樾校傻靡粋€(gè)新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式對(duì)行列式.19轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式定義：把D中的行變?yōu)榱?，列變?yōu)樾?，稱為D行列式性質(zhì)1性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D'相等,即D=D'。證明：則設(shè)此時(shí)(根據(jù)行列式等價(jià)定義)=D行列的地位是相同的.20行列式性質(zhì)1性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D'相等,即D=D行列式性質(zhì)2性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)。即第t行第k行DD1.21行列式性質(zhì)2性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)行列式性質(zhì)2的證明證：第k行第t行D1=第k行第t行D1的一般項(xiàng)為因此.22行列式性質(zhì)2的證明證：第k行第t行D1=第k行第t行D1的一性質(zhì)2的推論推論：行列式中有兩行(列)完全相同,則其值為零。即第k行第t行D==0因?yàn)閷⒌趉行與第t行互換可得即.23性質(zhì)2的推論推論：行列式中有兩行(列)完全相同,則其值為零。性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)的前面。即證：左邊==右邊.24性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)的前面。性質(zhì)3的推論推論1：若行列式的某一行(列)中所有元素全為零,則此行列式的值為零。推論2：若行列式的某兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式的值為零。即第k行第t行=0.25性質(zhì)3的推論推論1：若行列式的某一行(列)中所有元素全為零,性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。即=+左邊=右邊.26性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則例1計(jì)算行列式解：=+.27例1計(jì)算行列式解：=+.27性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。即×k+=由性質(zhì)3、4可證，此性質(zhì)是行列式中化零元素主要工具。.28性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)性質(zhì)回顧性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D‘相等,即D=D’。性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)。性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)外。性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。29性質(zhì)回顧性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D‘相等,即D=D’。例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．30例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化解31解313232333334343535例2

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得36例2計(jì)算階行列式解將第3737例3各列減去第一列解得:.38例3各列減去第一列解得:.38例4第一行乘(-1)加到其余各行上②＋①×(-1)③＋①×(-1)n＋①×(-1)………………①＋②×①＋③×………………①＋n×.39例4第一行乘(-1)加到其余各行上②＋①×(-1)③＋①×(小結(jié)一、為了幫助同學(xué)們記憶行列式的性質(zhì),歸納如下：1.兩個(gè)翻：全翻(轉(zhuǎn)置)值不變;部分翻(換交)值變號(hào)。2.三個(gè)零：某行(列)元素全為零;兩行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素相等;兩行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素成比例。3.三個(gè)可：可提性;可加性;可分性。二、兩種計(jì)算方法：1.定義法；（主要用于低階行列式、特殊行列式）。2.用行列式性質(zhì)將行列式化為上(下)三角形方法。.40小結(jié)一、為了幫助同學(xué)們記憶行列式的性質(zhì),歸納如下：.40在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如四、行列式按行（列）展開(kāi)定義41在階行列式中，把元素所在的第行和4242引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如先考慮第一行除外其余均為零情形，再考慮一般行第i行所有元素除外都為零情形。43引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外定理３n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即44定理３n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代例1計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得45例1計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得45推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證46推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代同理相同47同理相同47關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)48關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)48例249例2495050例3計(jì)算行列式解51例3計(jì)算行列式解5152521.行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.

2.如某一行（列）中非零元較少，則選取該行（列）來(lái)展開(kāi)。三、小結(jié)531.行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和54思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和54解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成55解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成55例4范得蒙(Vandermonde)行列式其中表示所有可能的即.乘積56例4范得蒙(Vandermonde)行列式其中表示所有可能五、克萊姆法則引入行列式概念時(shí),求解二、三元線性方程組,當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí),方程組有惟一解,n個(gè)方程的n元線性方程組一般形式為57五、克萊姆法則引入行列式概念時(shí),求解二、三元線性方程組,當(dāng)定理（Cramer法則）上面定義的線性方程組，當(dāng)?shù)南禂?shù)行列式（定義）不等于零，即則線性方程組(1)有唯一解,且其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即.58定理（Cramer法則）上面定義的線性方程組，當(dāng)?shù)南禂?shù)行列證：(存在性)將xj=Dj/D代入方程組驗(yàn)證。.59證：(存在性)將xj=Dj/D代入方程組驗(yàn)證。.59(唯一性)設(shè)方程組有解x1,x2,…,xn則必定為xj=Dj/D。 用D中第j列元素的代數(shù)余子式A1j,A2j,…,Anj依次乘方程組中的n個(gè)方程,得再把方程依次相加，得于是當(dāng)時(shí),方程組(2)有惟一的一個(gè)解.60(唯一性)設(shè)方程組有解x1,x2,…,xn則必定為xj=Dj例：用Cramer法則解線性方程組解.61例：用Cramer法則解線性方程組解.61.62.62定理：若齊次線性方程組(定義)的系數(shù)行列式D0,則它僅有零解。推論：若上述齊次線性方程組有非零解,則必有系數(shù)行列式D=0。以后可以證明對(duì)“方程數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等”的齊次線性方程組有非零解的充要條件是D=0。.63定理：若齊次線性方程組(定義)的系數(shù)行列式D0,則它僅有零例：討論k取何值時(shí),齊次方程組（1）僅有零解；（2）有非零解；解：系數(shù)行列式當(dāng)k≠0且k≠9時(shí)，D≠0，此時(shí)方程組僅有零解；當(dāng)k=0或k=9時(shí)，D=0，此時(shí)方程組有非零解。64例：討論k取何值時(shí),齊次方程組（1）僅有零解；（2）有非零§1.1二階、三階行列式

歷史點(diǎn)滴:行列式來(lái)源于線性方程組的求解1683年,日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和(SekiTakazu,1642-1768)

在其專著<解伏題之法>中提出了行列式的概念與算法1750年,瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(G.Cramer,1704-1752)

提出了線性方程組的行列式解法—“克拉默法則”1772年,法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先將行列式理論系統(tǒng)化,被譽(yù)為行列式理論的奠基人現(xiàn)行的行列式的記號(hào)是由英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊(A.Cayley,1821-1895)于1841年引進(jìn)的.65§1.1二階、三階行列式.1二階行列式即實(shí)線連接的元之積減去虛線連接的元之積66二階行列式即實(shí)線連接的元之積減去2三階行列式列標(biāo)行標(biāo)67三階行列式列標(biāo)行標(biāo)3三階行列式的對(duì)角線法則注1.紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．2.對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列3.三階行列式含3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù)．.68三階行列式的對(duì)角線法則注1.紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)例題與講解例2：計(jì)算三階行列式：解：按對(duì)角線法則，.69例題與講解例2：計(jì)算三階行列式：解：按對(duì)角線法則，.5§1.2n階行列式排列：由自然數(shù)1，2，······，n

組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n

級(jí)(元)排列。自然排列：n級(jí)排列123…n稱為自然排列。2141314不是排列不是排列n級(jí)排列中每個(gè)數(shù)必須出現(xiàn)一次，n個(gè)數(shù)中不能有重復(fù)數(shù)，不能有大于n的數(shù)543215級(jí)排列31424級(jí)排列70§1.2n階行列式排列：由自然數(shù)1，2，······，n逆序與逆序數(shù)：在一個(gè)n級(jí)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序；一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，通常記為N(i1i2…in)。排列的逆序數(shù)為偶數(shù)的稱偶排列，排列的逆序數(shù)為奇數(shù)的稱奇排列。.逆序數(shù)計(jì)算：從最左面的數(shù)開(kāi)始算，計(jì)算每個(gè)數(shù)的左邊比它大的數(shù)的個(gè)數(shù)，全部加起來(lái)。如排列32514的逆序數(shù)為N（32514）=2+1+2+0+0=571逆序與逆序數(shù)：在一個(gè)n級(jí)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的對(duì)換：在一個(gè)n級(jí)排列j1

j2…ji…jk…jn

中，若僅將其中兩個(gè)數(shù)ji、jk對(duì)調(diào),其余不動(dòng)，可得一個(gè)新的排列j1j2…jk…ji…jn,這樣的變換稱為一次對(duì)換。定理：一次對(duì)換改變排列的奇偶性。即則奇偶性不同與若72對(duì)換：在一個(gè)n級(jí)排列j1j2…ji…jk…jn中對(duì)換性質(zhì)的證明思路:先證相鄰元素的對(duì)換,再證明一般情況。1.對(duì)換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)a<b時(shí),經(jīng)對(duì)換后b的逆序數(shù)增加1,a的逆序數(shù)不變;當(dāng)a>b時(shí),經(jīng)對(duì)換后b的逆序數(shù)不變,a的逆序數(shù)減少1;2.設(shè)排列為,現(xiàn)在對(duì)換a與b。次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換即總共經(jīng)過(guò)2m+1次相鄰對(duì)換,每次都要改變奇偶性。所以,對(duì)換改變奇偶性..73對(duì)換性質(zhì)的證明思路:先證相鄰元素的對(duì)換,再證明一般情況。1.奇、偶排列個(gè)數(shù)相等定理2：在所有的n級(jí)排列中（n>1）,共有n!個(gè)n級(jí)排列，奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等,各為n!/2。證明:設(shè)在n!個(gè)n級(jí)排列中（n>1）,奇排列共有p個(gè),偶排列共有q個(gè),則p+q=n!

現(xiàn)對(duì)每一個(gè)奇排列施行一次對(duì)換，即 偶排列奇排列由此得p個(gè)偶排列,而偶排列數(shù)共有q個(gè),故pq;同理,對(duì)q個(gè)偶排列各做一次對(duì)換,可得q個(gè)奇排列,故有qp;所以p=q。又因?yàn)閜+q=n!,故p=q=n!/2。.74奇、偶排列個(gè)數(shù)相等定理2：在所有的n級(jí)排列中（n>1）,共二階、三階行列式共性①有n!(n=2、3)項(xiàng)。②為所有不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。③每項(xiàng)符號(hào)取決于：當(dāng)這一項(xiàng)中元的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為奇排列時(shí)為負(fù),為偶排列時(shí)為正。n階行列式的定義75二階、三階行列式共性①有n!(n=2、3)項(xiàng)。②為所有不定義1.2n階行列式是所有取自不同行,不同列的n個(gè)數(shù)的乘積即n階行列式的一般項(xiàng)為其中構(gòu)成一個(gè)n級(jí)排列，當(dāng)?shù)拇鷶?shù)和.各項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)此項(xiàng)中元的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列為奇排列時(shí)為負(fù),為偶排列時(shí)為正。取遍所有n級(jí)排列，則的行列式表示的代數(shù)和中所有的項(xiàng)。76定義1.2n階行列式是所有取自不同行,不同列的n個(gè)數(shù)的乘說(shuō)明1、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;2、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列個(gè)元素的乘積;4、一階行列式3、的符號(hào)為77說(shuō)明1、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;2、例1定理：n階行列式D=|aij|的一般項(xiàng)可記為：其中均為n級(jí)排列。78例1定理：n階行列式D=|aij|的一般項(xiàng)可記為：其中均為n行列式定義的等價(jià)表示形式行下標(biāo)順序排列列下標(biāo)順序排列據(jù)行列式定義可分析出：按定義只適合計(jì)算一些特殊的行列式(如有較多零元素的行列式),而直接計(jì)算一般的行列式時(shí),可能會(huì)較煩瑣。.79行列式定義的等價(jià)表示形式行下標(biāo)順序排列列下標(biāo)順序排列據(jù)行列特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式左三角行列式右三角行列式.80特殊行列式上三角行列式下三角行列式對(duì)角行列式左三角行列式右三練習(xí)用行列式的定義計(jì)算下面的行列式.81練習(xí)用行列式的定義計(jì)算下面的行列式.17§1.3行列式的性質(zhì)如何有效地計(jì)算一般行列式？?jī)蓷l基本思路：⒈經(jīng)恒等變形先將一般行列式化為(含大量零元素的)特殊行列式,再按定義計(jì)算。⒉經(jīng)恒等變形先將一般行列式化為二、三階行列式,再用對(duì)角線法則展開(kāi)計(jì)算。要達(dá)到上述目的,先對(duì)行列式基本性質(zhì)進(jìn)行研究。.82§1.3行列式的性質(zhì)如何有效地計(jì)算一般行列式？.18轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式定義：把D中的行變?yōu)榱?，列變?yōu)樾?，可得一個(gè)新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式對(duì)行列式.83轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式定義：把D中的行變?yōu)榱?，列變?yōu)樾?，稱為D行列式性質(zhì)1性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D'相等,即D=D'。證明：則設(shè)此時(shí)(根據(jù)行列式等價(jià)定義)=D行列的地位是相同的.84行列式性質(zhì)1性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D'相等,即D=D行列式性質(zhì)2性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)。即第t行第k行DD1.85行列式性質(zhì)2性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)行列式性質(zhì)2的證明證：第k行第t行D1=第k行第t行D1的一般項(xiàng)為因此.86行列式性質(zhì)2的證明證：第k行第t行D1=第k行第t行D1的一性質(zhì)2的推論推論：行列式中有兩行(列)完全相同,則其值為零。即第k行第t行D==0因?yàn)閷⒌趉行與第t行互換可得即.87性質(zhì)2的推論推論：行列式中有兩行(列)完全相同,則其值為零。性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)的前面。即證：左邊==右邊.88性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)的前面。性質(zhì)3的推論推論1：若行列式的某一行(列)中所有元素全為零,則此行列式的值為零。推論2：若行列式的某兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式的值為零。即第k行第t行=0.89性質(zhì)3的推論推論1：若行列式的某一行(列)中所有元素全為零,性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。即=+左邊=右邊.90性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則例1計(jì)算行列式解：=+.91例1計(jì)算行列式解：=+.27性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。即×k+=由性質(zhì)3、4可證，此性質(zhì)是行列式中化零元素主要工具。.92性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)性質(zhì)回顧性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D‘相等,即D=D’。性質(zhì)2：互換行列式的某兩行(列),行列式的值變號(hào)。性質(zhì)3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符號(hào)外。性質(zhì)4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。性質(zhì)5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。93性質(zhì)回顧性質(zhì)1：行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式D‘相等,即D=D’。例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．94例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化解95解319632973398349935例2

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得100例2計(jì)算階行列式解將第10137例3各列減去第一列解得:.102例3各列減去第一列解得:.38例4第一行乘(-1)加到其余各行上②＋①×(-1)③＋①×(-1)n＋①×(-1)………………①＋②×①＋③×………………①＋n×.103例4第一行乘(-1)加到其余各行上②＋①×(-1)③＋①×(小結(jié)一、為了幫助同學(xué)們記憶行列式的性質(zhì),歸納如下：1.兩個(gè)翻：全翻(轉(zhuǎn)置)值不變;部分翻(換交)值變號(hào)。2.三個(gè)零：某行(列)元素全為零;兩行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素相等;兩行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素成比例。3.三個(gè)可：可提性;可加性;可分性。二、兩種計(jì)算方法：1.定義法；（主要用于低階行列式、特殊行列式）。2.用行列式性質(zhì)將行列式化為上(下)三角形方法。.104小結(jié)一、為了幫助同學(xué)們記憶行列式的性質(zhì),歸納如下：.40在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如四、行列式按行（列）展開(kāi)定義105在階行列式中，把元素所在的第行和10642引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如先考慮第一行除外其余均為零情形，再考慮一般行第i行所有元素除外都為零情形。107引理一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除外定理３n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即108定理３n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代例1計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得109例1計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得45推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于