31線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件

一.線性方程組一.線性方程組1則上述方程組（3.1.1）可寫成向量方程（3.1.2）則上述方程組（3.1.1）可寫成向量方程（3.1.2）231線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件3能使每個方程變?yōu)楹愕仁降膎個數(shù)稱為方程組的解.具有惟一解的方程組稱為確定方程組.具有多于一個解的方程組稱為不定方程組.至少有一個解的方程組稱為相容的.如果方程組沒有解,就稱這個方程組不相容.能使每個方程變?yōu)楹愕仁降膎個數(shù)4解向量解向量51.下面討論齊次方程組,在什么條件下在非零解?所以齊次方程組總是相容的.顯然齊次方程組總有解二.齊次方程組1.下面討論齊次方程組,在什么條件下在非零解?所以齊次方程組6則齊次方程組有非零解的充要條件是:定理3.1.1設(shè)A是mn矩陣,則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<n.推論3.1.2齊次線性方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=n=A的列數(shù).特別地,當(dāng)A為方陣時,Ax=0只有零解(有非零解)|A|0(|A|=0)則齊次方程組有非零解的充要條件是:定理3.1.1設(shè)A是m7２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.證明２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為8（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解．證明

由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間S．證畢.（2）若為的解，為實數(shù)，則證9因此,若可求出S的一個基則方程組AX=0的通解可以表示為因此,若可求出S的一個基則方程組AX=0的通解可以表示為101.非齊次線性方程組有解的條件三．非齊次線性方程組的解1.非齊次線性方程組有解的條件三．非齊次線性方程組的解1131線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件122.非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明2.非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明13證明證畢．證明證畢．14其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.3.非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理:定理3.1.11若非齊次線性方程組Ax=b有解,則其通解為其中15設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨設(shè)的前個列向量線性無關(guān)．于是可化為四．齊次線性方程組解空間S的基的求法

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨于是1631線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件17現(xiàn)對取下列組數(shù)：現(xiàn)對取下列18依次得從而求得原方程組的個解：依次得從而求得原方程組的個解：19下面證明是齊次線性方程組解空間的一個基．由于個維向量線性無關(guān)，所以個維向量亦線性無關(guān).下面證明是20由于是的解故也是的解.由于是2131線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件2231線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件23

所以是齊次線性方程組解空間的一個基.說明１．解空間的基不是唯一的．２．解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系．３．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為

所以是齊次線性方程組解24定理1定理125例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃?，?.2線性方程組的求解例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩2631線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件2731線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件28例2解線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換例2解線性方程組解對系數(shù)矩陣施29即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量.即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量30所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為31例3證例3證32例4求解方程組解例4求解方程組解3331線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件3431線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件3531線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件36解例5求下述方程組的解解例5求下述方程組的解37所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組所以方程組有無窮多解.且原方程組等價于方程組38求基礎(chǔ)解系令依次得求基礎(chǔ)解系令依次得39求特解所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系求特解所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系40另一種解法另一種解法41則原方程組等價于方程組則原方程組等價于方程組42所以方程組的通解為所以方程組的通解為4331線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件44１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法四、小結(jié)（1）對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法四、小結(jié)（1）對系數(shù)矩陣45由于令（2）得出，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的解向量．由于令（2）得出，同時也可46故故47為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.()()nBRAR==()()nBRAR<=２．線性方程組解的情況為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.()()nBRAR==()(48思考題思考題49思考題解答思考題解答5031線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件5131線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件52一.線性方程組一.線性方程組53則上述方程組（3.1.1）可寫成向量方程（3.1.2）則上述方程組（3.1.1）可寫成向量方程（3.1.2）5431線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件55能使每個方程變?yōu)楹愕仁降膎個數(shù)稱為方程組的解.具有惟一解的方程組稱為確定方程組.具有多于一個解的方程組稱為不定方程組.至少有一個解的方程組稱為相容的.如果方程組沒有解,就稱這個方程組不相容.能使每個方程變?yōu)楹愕仁降膎個數(shù)56解向量解向量571.下面討論齊次方程組,在什么條件下在非零解?所以齊次方程組總是相容的.顯然齊次方程組總有解二.齊次方程組1.下面討論齊次方程組,在什么條件下在非零解?所以齊次方程組58則齊次方程組有非零解的充要條件是:定理3.1.1設(shè)A是mn矩陣,則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<n.推論3.1.2齊次線性方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=n=A的列數(shù).特別地,當(dāng)A為方陣時,Ax=0只有零解(有非零解)|A|0(|A|=0)則齊次方程組有非零解的充要條件是:定理3.1.1設(shè)A是m59２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.證明２．齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為60（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解．證明

由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間S．證畢.（2）若為的解，為實數(shù)，則證61因此,若可求出S的一個基則方程組AX=0的通解可以表示為因此,若可求出S的一個基則方程組AX=0的通解可以表示為621.非齊次線性方程組有解的條件三．非齊次線性方程組的解1.非齊次線性方程組有解的條件三．非齊次線性方程組的解6331線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件642.非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明2.非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明65證明證畢．證明證畢．66其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.3.非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理:定理3.1.11若非齊次線性方程組Ax=b有解,則其通解為其中67設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨設(shè)的前個列向量線性無關(guān)．于是可化為四．齊次線性方程組解空間S的基的求法

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，并不妨于是6831線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件69現(xiàn)對取下列組數(shù)：現(xiàn)對取下列70依次得從而求得原方程組的個解：依次得從而求得原方程組的個解：71下面證明是齊次線性方程組解空間的一個基．由于個維向量線性無關(guān)，所以個維向量亦線性無關(guān).下面證明是72由于是的解故也是的解.由于是7331線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件7431線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件75

所以是齊次線性方程組解空間的一個基.說明１．解空間的基不是唯一的．２．解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系．３．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為

所以是齊次線性方程組解76定理1定理177例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃?，?.2線性方程組的求解例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩7831線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件7931線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件80例2解線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換例2解線性方程組解對系數(shù)矩陣施81即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量.即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量82所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為83例3證例3證84例4求解方程組解例4求解方程組解8531線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件8631線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件8731線性方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解課件88解例5求下