工程力學(xué)-第9章-彎曲課件

第9章彎曲§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究§9-3求慣性矩的平行移軸公式§9-2彎曲正應(yīng)力§9-4彎曲切應(yīng)力§9-5梁的強度條件§9-6撓度和轉(zhuǎn)角§9-7彎曲應(yīng)變能§9-8超靜定梁第9章彎曲§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系;載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的規(guī)律應(yīng)用。微分關(guān)系的推導(dǎo);§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究載荷集度、剪力、彎矩之間

規(guī)定載荷集度q(x)向上為正。1.微分關(guān)系的推導(dǎo)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段載荷集度分布均勻。載荷集度q(x)是x的連續(xù)函數(shù)。規(guī)定載荷集度q(x)向上為正。1.微分關(guān)系的推導(dǎo)FS(ΣFy＝0FS(x)+q(x)

dx-[FS(x)+dFS

(x)]=0——(1)ΣMC=0M(x)+dM(x)-M(x)-FS

(x)

dx–[q(x)dx]

dx/2=0——(2)——(3)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CΣFy＝0——(1)ΣMC=0——(2)——2.載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的關(guān)系562.載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的關(guān)系56

歸納：(1)圖形規(guī)律FSq<0

為直線段FS=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM歸納：(1)圖形規(guī)律FSq<0為直線段(2)突變規(guī)律(a)在有集中力作用處,剪力圖突變,彎矩圖有折轉(zhuǎn)。(b)在有集中力偶作用處,剪力圖無變化,彎矩圖有突變。(3)絕對值最大的彎矩既可能發(fā)生在剪力為零的極值點處,也可能發(fā)生在集中力和集中力偶作用處。(2)突變規(guī)律(a)在有集中力作用處,剪力圖突變3.應(yīng)用分析已知:F=2kN，M=10kN·mq=1kN/m。求:梁ABCDE的剪力圖及彎矩圖。解：(1)求約束力(2)利用微分關(guān)系作圖4m4m4m3mABCDEqFFMFAFD（kN·m）M2020.51666x（kN）FS731325mx3.應(yīng)用分析已知:F=2kN，M=10kN·思考題9-1

下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-1下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-2下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-2下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正?！?-2彎曲正應(yīng)力橫力彎曲M

0FS

0彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力FSMzy(-)(+)y9.2.1橫力彎曲與純彎曲的概念§9-2彎曲正應(yīng)力橫力彎曲M0FS0彎曲正應(yīng)力彎先觀察下列各組圖(a)

圖中這種梁段的彎曲(橫截面上既有彎矩又有剪力）稱為橫力彎曲。先觀察下列各組圖(a)圖中這種梁段的彎曲(橫(b)

圖中這種梁的彎曲(橫截面上只有彎矩而無剪力）稱為純彎曲。

純彎曲純彎梁M=0,FS

=0(b)圖中這種梁的彎曲(橫截面上只有彎矩而9.2.2單一材料的彎曲正應(yīng)力(3)荷載作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。lxbhyz1.分析模型：(1)單一材料窄高矩形截面梁（h

b）；(2)細(xì)長梁（l／h

10）；9.2.2單一材料的彎曲正應(yīng)力靜力學(xué)方面:縱向?qū)ΨQ平面2.實驗研究yb/2hzb/2xyzOmnnmaabbMM靜力學(xué)方面:縱向?qū)ΨQ平面2.實驗研究yb/2hzb/2x彎曲變形演示彎曲變形演示

（1）各橫向周線仍各在一個平面內(nèi)，只是各自繞著與彎曲平面垂直的軸轉(zhuǎn)動了一個角度；(2)縱向線段變彎，但仍與橫向周線垂直；(3)部分縱向線段伸長，部分縱向線段縮短。（1）各橫向周線仍各在一個平面內(nèi)，只是各自繞著與彎

直梁純彎曲時，原為平面的橫截面仍保持為平面，且仍垂直于彎曲后梁的軸線，只是相鄰橫截面各自繞著與彎曲平面垂直的某一根橫向軸——中性軸作相對轉(zhuǎn)動。直梁純彎曲時的平面假設(shè)：直梁純彎曲時，原為平面的橫截面仍保持為平面，MM受壓區(qū)受拉區(qū)c

中性層MM受壓區(qū)受拉區(qū)c中性層純彎曲正應(yīng)力切應(yīng)力=0

沿截面寬度方向均勻分布正應(yīng)力沿高度方向如何分布純彎曲正應(yīng)力切應(yīng)力=0沿截面寬度方向均勻分布正應(yīng)3.彎曲正應(yīng)力的計算(1)幾何方面:(2)物理方面:3.彎曲正應(yīng)力的計算(1)幾何方面:(2)物理方面:

中性軸通過截面的形心yzyA(3)靜力學(xué)方面:中性軸通過截面的形心yzyA(3)靜力學(xué)方面:EIz為抗彎剛度yzyA(a)幾何方面：平面假設(shè)；(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工作，材料在拉伸和壓縮時的彈性模量相等。

公式的適用條件：Iz為對z軸的慣性矩EIz為抗彎剛度yzyA(a)幾何方面：平面假設(shè)；公式的等直梁純彎曲正應(yīng)力的計算小結(jié)：正應(yīng)力公式通過截面形心中性軸位置s=Ey/r單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律s=Ees變化規(guī)律e=y/r平面假設(shè)e變化規(guī)律結(jié)果依據(jù)項目等直梁純彎曲正應(yīng)力的計算小結(jié)：正應(yīng)力公式通過截面形心中性軸位截面zy線應(yīng)變+－max正應(yīng)力+－maxmax線彈性,小變形,外力作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi);線應(yīng)變和正應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律。截面zy線應(yīng)變+－max正應(yīng)力+－maxmax線彈性4.軸慣性矩zyydybh空心矩形的慣性矩？圓的慣性矩？4.軸慣性矩zyydybh空心矩形的慣性矩？圓的慣性矩？

如圖所示，當(dāng)梁在水平面內(nèi)彎曲時，中性軸是哪個軸？截面對此軸的慣性矩表達(dá)式是什么？思考題9-3zyydybh如圖所示，當(dāng)梁在水平面內(nèi)彎曲時，中性軸是哪個軸5.軸慣性矩及抗彎截面系數(shù)對中性軸z

的抗彎截面系數(shù):

（單位為:mm3或m3）zyydybh(1)實心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)5.軸慣性矩及抗彎截面系數(shù)對中性軸z的抗彎截面系數(shù):(2)空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)zybHhBC(2)空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)zybHhBC(3)實心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)dczyyzdA(3)實心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)dczyyzdA(4)空心圓截面的慣性矩Dczydc(4)空心圓截面的慣性矩Dczydc(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工作，材料在拉伸和壓縮時的彈性模量相等。6.純彎曲理論的簡單回顧

公式的適用條件：(a)幾何方面：平面假設(shè)；(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工7.純彎曲理論的推廣

橫力彎曲時，由于切應(yīng)力的存在,梁的橫截面將發(fā)生翹曲。此外在與中性層平行的縱截面上,還有由橫向力引起的擠壓應(yīng)力。但工程中的梁,當(dāng)跨高比較大時，按純彎曲理論計算誤差不大。7.純彎曲理論的推廣橫力彎曲時，由于切應(yīng)yz806520208035

單位:mm

對于圖示T形截面梁,已知:Iz=290.6×10-8m4求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。例題9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·myz806520208035單位:mm解：B截面：C

截面：例題9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·m解：B截面：C截面：例題9-13AB13kNyz806520208035

單位:mm36.1MPa67.1MPaB截面上：30.2MPa56.0MPaC截面上：例題9-1xM2.5kN·m3kN·myz806520208035單位:mm36

若例9-1中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對值最大的橫截面上？思考題9-43AB13kN8kNC2yzxM2.5kN·m3kN·m若例9-1中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應(yīng)力sa。例題9-2圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺1.

在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為例題9-2解:1.在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應(yīng)力為例題9-2由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的

該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：例題9-2該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)槔}9-2顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變§9-3求慣性矩的平行移軸公式同理可得：zyCabdAzyyczcyczcO*§9-3求慣性矩的平行移軸公式同理可得：zyCabdAzy(1)根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖形對于形心軸的慣性矩是圖形對于與該形心軸平行的軸之慣性矩中的最小者？(2)求圖示截面對于形心軸z的慣性矩。思考題9-5yz806520208035

單位:mm(1)根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖形對§9-4彎曲切應(yīng)力橫力彎曲M

0FS

0彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力FSMzy(-)(+)y§9-4彎曲切應(yīng)力橫力彎曲M0FS0彎曲正應(yīng)9.4.1單一材料矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力(3)荷載作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。lxbhyz1.分析模型(1)單一材料窄高矩形截面梁（hb）；(2)細(xì)長梁（l／h

10）；9.4.1單一材料矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力2.關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)FSyyzyFS

(1)切應(yīng)力與側(cè)邊方向平行；

(2)切應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布。

對h>b的截面而言，此假設(shè)為合理的。

2.關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)FSyyzyFS(1)切應(yīng)力為什么關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)是合理的？

答：根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知關(guān)于應(yīng)力方向的假設(shè)是合理的。又對于狹長矩形應(yīng)力沿寬度的變化不可能大，所以假設(shè)切應(yīng)力沿寬度不變是合理的。思考題9-6FSyyzyFS為什么關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)是合理的？答：根據(jù)3.分離體平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+dM(x)dxmmnnMeFq(x)lhbxyzmmnndxdx(x)+d(x)(x)3.分離體平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+(x)+d(x)dx(x)dx(x)yz(x)+d(x)xFSyyzyFS(x)+d(x)dx(x)dx(x)yz(x)+dxbxdx

(x)

(x)+d

(x)

得得到由平衡方程yzy*FSydAdxbxdx(x)(x)+d(x)切應(yīng)力計算公式:yzFSy其中：FS

所求切應(yīng)力截面上的剪力

Iz

整個截面對中性軸的慣性矩

b

所求切應(yīng)力點處橫截面的寬度

Sz*

過所求切應(yīng)力點作中性軸的平行線，將橫截面分為兩部分，其中任意一部分對中性軸的靜矩。注意：實際計算中直接由剪力FS的方向確定t

的方向。切應(yīng)力計算公式:yzFSy其中：FS所求切應(yīng)力截面上4.單一材料矩形截面梁的切應(yīng)力分布與計算發(fā)生在中性軸處發(fā)生在上下邊緣處bhyzyFS

max*計算式：4.單一材料矩形截面梁的切應(yīng)力分布與計算發(fā)生在中性軸處發(fā)

實心細(xì)長梁彎曲切應(yīng)力分布對彎曲正應(yīng)力有什么影響？FxmpnqF思考題9-7實心細(xì)長梁彎曲切應(yīng)力分布對彎曲正應(yīng)力有什么影響

5.切應(yīng)力分析方法小結(jié):橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)力分布假設(shè)分離體平衡縱截面上的剪力切應(yīng)力互等定理

縱截面上的切應(yīng)力5.切應(yīng)力分析方法小結(jié):橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)力分布假9.4.2Ｔ型截面梁yzbhtd對矩形截面梁所作的切應(yīng)力分布假設(shè)依然適用。9.4.2Ｔ型截面梁yzbhtd對矩形截面梁所作的切應(yīng)力yzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)1.腹板部分(x)+d(x)(x)dxyzdfmaxyzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)1.2.頂板部分(1)豎直切應(yīng)力分析(b)對頂板豎直切應(yīng)力大小的判斷(Ⅱ)根據(jù)腹板承受的剪力判斷

結(jié)論：頂板部分豎直切應(yīng)力分量很小。(a)切應(yīng)力分布假設(shè)對頂板豎直切應(yīng)力不再適用；(Ⅰ)根據(jù)切應(yīng)力互等定理ydz2.頂板部分(1)豎直切應(yīng)力(2)水平切應(yīng)力分析ydzydztdxFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)(2)水平切應(yīng)力分析ydzhtyimax3.Ｔ型截面梁的切應(yīng)力分布ydzyimaxfmaxydzhtyimax3.Ｔ型截面梁的切應(yīng)力分布ydz§9-5梁的強度條件smax≤[s]1.純彎曲的梁最大彎曲正應(yīng)力：Wz——抗彎截面系數(shù)(1)等截面直梁，中性軸為橫截面對稱軸故由smax≤[s]得§9-5梁的強度條件smax≤[s]1.純(2)中性軸不是橫截面對稱軸，且材料拉壓強度不相等則容許拉應(yīng)力容許壓應(yīng)力(2)中性軸不是橫截面對稱軸，且材料拉壓強度不相等則容許拉(3)利用正應(yīng)力的強度條件可以對梁進(jìn)行三種不同形式的強度計算：(a)校核強度(b)選擇截面尺寸或型鋼號(c)確定許可荷載(3)利用正應(yīng)力的強度條件可以對梁進(jìn)行三種不同形式的強度計算另還要滿足tmax≤[t]2.橫力彎曲的梁smax≤[s]b——中性軸處截面之寬度對于等截面直梁，則有：另還要滿足tmax≤[t]2.橫力彎曲的梁smax≤注意：(1)一般的梁，其強度主要受到按正應(yīng)力的強度條件控制，所以在選擇梁的截面尺寸或確定許可荷載時，都先按正應(yīng)力強度條件進(jìn)行計算，然后按切應(yīng)力強度條件校核。(2)在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)點處有最大正應(yīng)力；在剪力為最大的橫截面的中性軸上各點處有最大切應(yīng)力。注意：(1)一般的梁，其強度主要受到按正應(yīng)力的強度條件控制

如圖，已知q=3.6kN/m，梁的跨長l=3m，梁的橫截面為b×h=120mm×180mm的矩形，梁的材料為松木。由于該梁長期處于潮濕狀態(tài)，故容許應(yīng)力取得很低，容許彎曲應(yīng)力[s]=7MPa,容許切應(yīng)力[t]=0.9MPa。試校核此梁的強度ABq例題9-3如圖，已知q=3.6kN/m，梁的跨長l=3ABqFAFB+M（kN·m）x4.05例題9-3解：FS（kN）x+-5.45.4作剪力圖及彎矩圖ABqFAFB+M（kN·m）x4.05例題9-3解：F此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上抗彎截面系數(shù)為則

此梁的最大剪力出現(xiàn)在梁的支座處橫截面上,其值為例題9-3此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上抗彎截面系數(shù)為則以上兩方面強度條件均能滿足,故此木梁是安全的。又例題9-3ABq以上兩方面強度條件均能滿足,故此木梁是安全的。又例題9-

圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。例題9-4圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的畫M圖，并確定Mmax。彎矩圖如圖c所示例題9-4解:畫M圖，并確定Mmax。例題9-4解:強度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為2.求Wz，選擇工字鋼型號例題9-4強度條件要求：此值雖略小于要求

圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位置，如圖b所示。已知橫截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許用荷載[F]。例題9-5圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位鑄鐵的拉壓強度不等，其強度條件為st,max≤[st]

，sc,max≤[sc]。由M圖可知，B、C截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖d所示。B、C截面上的最大拉應(yīng)力分別為，?？梢娙旱淖畲罄瓚?yīng)力為。顯然。86134C截面D截面(d)例題9-5解:鑄鐵的拉壓強度不等，其強度條件為st,max≤[st]，1.由st,max≤[st]確定[F]。F1≤19200N=19.2kN例題9-586134C截面D截面(d)1.由st,max≤[st]確定[F]。F1≤1920F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤[sc]確定[F]。[F]=19.2kN，可見梁的強度由拉應(yīng)力確定。例題9-586134C截面D截面(d)F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤

該題的st,max和最大壓應(yīng)力均發(fā)生在B截面處，當(dāng)

st,max=[st]時，，而[sc]=3[st]，可見，當(dāng)st,max=[st]，sc,max<[sc]。所以該題由拉應(yīng)力強度控制，僅需由st,max≤[st]求[F]即可。例題9-5該題的st,max和最大壓應(yīng)力均發(fā)生在B截面處，

一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長

l=5m。吊車大梁由20a號工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力[s]=170MPa，許用切應(yīng)力[t]=100MPa。試校核梁的強度。例題9-6一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長1.校核正應(yīng)力強度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。

荷載移至跨中C截面處(圖b)時梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時的彎矩圖如圖c所示，例題9-6解:1.校核正應(yīng)力強度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。

由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應(yīng)力為例題9-6由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。2.校核切應(yīng)力強度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時梁的剪力為最大。此時的約束力FA≈F，相應(yīng)的剪力圖如圖e所示。FS,max=FA=30kN對于20a號鋼，由型鋼規(guī)格表查得：例題9-62.校核切應(yīng)力強度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時梁的剪于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件均能滿足，所以該梁是安全的。(e)例題9-6于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件均能滿足，所以該梁是安全§9-6撓度和轉(zhuǎn)角撓度：直梁發(fā)生彎曲變形時，其橫截面的形心在垂直于彎曲前的軸線方向所產(chǎn)生的線位移，如下圖所示。ABxy撓曲線w（+）θ（+）轉(zhuǎn)角撓度曲線在小變形情況下§9-6撓度和轉(zhuǎn)角撓度：直梁發(fā)生彎曲變形時，其橫截面1.研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的：(1)對梁作剛度校核，即檢查梁彎曲時的最大撓度是否超過按要求所規(guī)定的容許值；(2)解超靜定梁。如下圖所示梁。ABCF1F2FAFCFB1.研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的：(1)對梁作剛度校核，即2.求梁位移的基本方法

根據(jù)撓曲線的近似微分方程式通過積分求撓度方程：w=w(x)和轉(zhuǎn)角方程：具體分析，在純彎曲情況下：ABxyMeMe觀察下梁2.求梁位移的基本方法根據(jù)撓曲線的近似微分

純彎曲情況下，M與所對應(yīng)的撓曲線的曲率1/r的關(guān)系為：對于下圖橫力彎曲的梁ABxyF1F2(1)有純彎曲情況下，M與所對應(yīng)的撓曲線的曲率1/r

由解析幾何知識知：一根平緩的曲線w=w(x)，其曲率1/r

近似地等于w(x)對于x的二階導(dǎo)函數(shù)，即則(2)(3)將(3)代入(2)，考慮到曲率半徑總是正的，對圖示坐標(biāo)有ABxyF1F2由解析幾何知識知：一根平緩的曲線w=w(x)，

因此，對于某根具體的梁，只要列出它的彎矩方程M=M(x)，將其代入上式，對x連續(xù)積分后有：

利用梁的位移條件確定式中的積分常數(shù)，就得轉(zhuǎn)角方程q

=q

(x)=w'(x)和撓度方程w=w(x)，從而也就可以求某個具體橫截面處的轉(zhuǎn)角和撓度了。因此，對于某根具體的梁，只要列出它的彎矩方程

求圖示懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程q=q(x)和撓度方程w=w(x)，并求最大轉(zhuǎn)角qmax及最大撓度wmax。梁在豎直平面內(nèi)彎曲時的抗彎剛度EI為已知。例題9-7Fθmaxxylxwmax求圖示懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程q=q(x)和撓度方程解：(1)(2)(3)(4)例題9-7Fθmaxxylxwmax解：(1)(2)(3)(4)例題9-7Fθmaxx將x=0,w′=0代入(3)式有C1=0(3)固定端處轉(zhuǎn)角為零,即固定端處撓度為零,即x=0,w=0將之代入(4)式得C2=0則將C1=0，C2=0代入(3)、(4)式有例題9-7Fθmaxxxwmax將x=0,w′=0代入(3)式有C1=0(3)(4)例題9-7Fθmaxxylxwmax(4)例題9-7Fθmaxxylxwmax3.按疊加原理計算

為了方便，對于簡單的梁在簡單荷載作用下，其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角事先列出了他們的計算公式（教材和手冊中可查到）。

利用這些公式可按疊加原理較方便地計算某些受力較復(fù)雜情況下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。梁在線性彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小3.按疊加原理計算為了方便，對于簡單的梁求wC和qB。ABqθBqwCq例題9-8ABθBMewCMeMeABMel/2l/2Cq求wC和qB。ABqθBqwCq例題9-8ABθB由疊加原理得：查表可知：ABqθBqwCq例題9-8ABθBMewCMeMe由疊加原理得：查表可知：ABqθBqwCq例題9-8ABABFMe求下圖B處的撓度和轉(zhuǎn)角。思考題9-11ABFMe求下圖B處的撓度和轉(zhuǎn)角。思考題9-114.斜彎曲zyFFyFzxFFyFzxl-xl考慮荷載F不在梁的任一縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的情況4.斜彎曲zyFFyFzxFFyFzxl-xl考慮荷橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在角點

zywwywzF(1)當(dāng)IyIz時，

，即梁的彎曲方向不與荷載方向一致時發(fā)生的彎曲稱為斜彎曲;橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在角點zyww當(dāng)Iy=Iz（如圓形和正多邊形截面）時，

=，發(fā)生平面彎曲;zywwywzF得：zyfF中性軸過坐標(biāo)原點中性軸中性軸當(dāng)Iy=Iz（如圓形和正多邊形截面）時，=，發(fā)生平面

進(jìn)一步的分析表明，橫截面具有一個對稱軸的梁，當(dāng)橫向外力（與梁的軸線正交的外力）垂直于對稱軸作用時，也產(chǎn)生平面彎曲。至于橫截面沒有對稱軸的梁，當(dāng)橫向外力作用于兩個相互垂直特定方向之任何一個時也產(chǎn)生平面彎曲。進(jìn)一步的分析表明，橫截面具有一個對稱軸的梁，前面講述：彎曲應(yīng)變能拉壓應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能U=？§9-7彎曲應(yīng)變能前面講述：彎曲應(yīng)變能拉壓應(yīng)變能扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能U=？§9-7彎在線彈性范圍內(nèi)：Me

與q的線性關(guān)系。lABMeMeMeθOMe外力功：在線彈性范圍內(nèi)：Me與q的線性關(guān)系。lABMeMeMeθ

根據(jù)應(yīng)變能的大小等于外力偶所作的功，則有亦即：

對于橫力彎曲：由彎曲變形與剪切變形可以得到彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能。

工程中h/l比值小于1/10時，剪切應(yīng)變能較小，可忽略。橫力彎曲情況下：應(yīng)注意：根據(jù)應(yīng)變能的大小等于外力偶所作的功，則有亦即

求圖示等截面簡支梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能，并求跨中截面C的撓度wC。例題9-9l0.5lyxABFC求圖示等截面簡支梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能，并求跨中截面(1)由對稱性知解：于是整個梁之彎曲應(yīng)變能為：例題9-9l0.5lyxABFC(1)由對稱性知解：于是整個梁之彎曲應(yīng)變能為：例題9-(2)外荷載所作的功l0.5lyxABFC因為W=U，故得此結(jié)果與采用積分法求解所得的結(jié)果一致！例題9-9(2)外荷載所作的功l0.5lyxABFC因為W=§9-8超靜定梁

工程實際中，為減少梁內(nèi)的應(yīng)力和位移需要附加多余約束，這樣就會產(chǎn)生多余未知力，如下圖所示：

上圖為二次超靜定問題，亦即其不可單由平衡方程得出結(jié)果。ABCDFCFD§9-8超靜定梁工程實際中，為減少梁再如：BlA上圖為“一次超靜定問題”，其解同樣也不能單由平衡方程求解得到，也要位移協(xié)調(diào)條件，即：再如：BlA上圖為“一次超靜定問題”，其解同樣也不能單由平衡Bll/2AyCx

求下圖所示超靜定梁A、B處的約束力及qB、wC，并畫出該梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1)求A、B處的約束力,設(shè)B處為多余約束，列補充方程：(1)即例題9-11Bll/2AyCx求下圖所示超靜定梁A、B處的約查表可得：(2)(3)將(2)，(3)式代入方程(1)有：例題9-11查表可得：(2)(3)將(2)，(3)式代入方程(1)有：例由得由得()例題9-11由得由得()例題9-11(2)繪剪力圖和彎矩圖：

例題9-11FS5l/85ql/83ql/8x+xMql2/89ql2/128+(2)繪剪力圖和彎矩圖：例題9-11FS5l/85q(3)求:(疊加原理)

(a)()例題9-11(3)求:(疊加原理)利用右圖所示的相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2l/2CqMA=ql2

/8(b)則從而有：例題9-11利用右圖所示的相當(dāng)系統(tǒng)ABl/2l/2CqMA=ql2/如下圖所示梁，已知：E，I。求。ABFCl1l思考題9-12如下圖所示梁，已知：E，I。求。解：思考題9-12參考答案ABFCl1l解：思考題9-12參考答案ABFCl1l作剪力圖和彎矩圖。qa23aABaqFBFA思考題9-13作剪力圖和彎矩圖。qa23aABaqFBFA思考題9-1由得思考題9-13參考答案：qa23aABaqFBFA由得思考題9-13參考答案：qa23aABaqFBFA思考題9-13參考答案：y從B端量起qa23aABaqFBFAxFS思考題9-13參考答案：y從B端量起qa23aABaqFBA1B梁用A2C梁加固，兩梁的EI相同，試求兩接觸處的壓力。FBl1lA1A2CA1FFCxBC思考題9-14A2CFCxA1B梁用A2C梁加固，兩梁的EI相同，試求兩上梁C處：因為：即：求解得到：思考題9-14參考答案:FBl1lA1A2CA1FFCxBCA2CFCx上梁C處：因為：即：求解得到：思考題9-14參考答案:FB*沒有加固梁時設(shè)為加固梁后設(shè)為思考題9-14參考答案:FBl1lA1A2C*沒有加固梁時設(shè)為加固梁后設(shè)為思考題9-思考題9-14參考答案:FBl1lA1A2C思考題9-14參考答案:FBl1lA1A2C

荷載F作用在梁AB及CD的連接處。試求每個梁在連接處受多大的力。設(shè)已知它們的跨長比和剛度比分別為

。FABCDl1l2FCCD思考題9-15FFBAB荷載F作用在梁AB及CD的連接處。試求每個查表有：思考題9-15參考答案：FCCDFFBAB協(xié)調(diào)條件：則：求解：查表有：思考題9-15參考答案：FCCDFFBAB協(xié)調(diào)條件第9章結(jié)束第9章結(jié)束第9章彎曲§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究§9-3求慣性矩的平行移軸公式§9-2彎曲正應(yīng)力§9-4彎曲切應(yīng)力§9-5梁的強度條件§9-6撓度和轉(zhuǎn)角§9-7彎曲應(yīng)變能§9-8超靜定梁第9章彎曲§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系;載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的規(guī)律應(yīng)用。微分關(guān)系的推導(dǎo);§9-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究載荷集度、剪力、彎矩之間

規(guī)定載荷集度q(x)向上為正。1.微分關(guān)系的推導(dǎo)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CyAmnBxdxxq(x)dx段載荷集度分布均勻。載荷集度q(x)是x的連續(xù)函數(shù)。規(guī)定載荷集度q(x)向上為正。1.微分關(guān)系的推導(dǎo)FS(ΣFy＝0FS(x)+q(x)

dx-[FS(x)+dFS

(x)]=0——(1)ΣMC=0M(x)+dM(x)-M(x)-FS

(x)

dx–[q(x)dx]

dx/2=0——(2)——(3)FS(x)dxM(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)q(x)M(x)CΣFy＝0——(1)ΣMC=0——(2)——2.載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的關(guān)系562.載荷集度、剪力圖、彎矩圖之間的關(guān)系56

歸納：(1)圖形規(guī)律FSq<0

為直線段FS=0>0<0>0>0<0<0=0>0MM歸納：(1)圖形規(guī)律FSq<0為直線段(2)突變規(guī)律(a)在有集中力作用處,剪力圖突變,彎矩圖有折轉(zhuǎn)。(b)在有集中力偶作用處,剪力圖無變化,彎矩圖有突變。(3)絕對值最大的彎矩既可能發(fā)生在剪力為零的極值點處,也可能發(fā)生在集中力和集中力偶作用處。(2)突變規(guī)律(a)在有集中力作用處,剪力圖突變3.應(yīng)用分析已知:F=2kN，M=10kN·mq=1kN/m。求:梁ABCDE的剪力圖及彎矩圖。解：(1)求約束力(2)利用微分關(guān)系作圖4m4m4m3mABCDEqFFMFAFD（kN·m）M2020.51666x（kN）FS731325mx3.應(yīng)用分析已知:F=2kN，M=10kN·思考題9-1

下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-1下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-2下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正。思考題9-2下面的剪力圖和彎矩圖有無錯誤，請改正?！?-2彎曲正應(yīng)力橫力彎曲M

0FS

0彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力FSMzy(-)(+)y9.2.1橫力彎曲與純彎曲的概念§9-2彎曲正應(yīng)力橫力彎曲M0FS0彎曲正應(yīng)力彎先觀察下列各組圖(a)

圖中這種梁段的彎曲(橫截面上既有彎矩又有剪力）稱為橫力彎曲。先觀察下列各組圖(a)圖中這種梁段的彎曲(橫(b)

圖中這種梁的彎曲(橫截面上只有彎矩而無剪力）稱為純彎曲。

純彎曲純彎梁M=0,FS

=0(b)圖中這種梁的彎曲(橫截面上只有彎矩而9.2.2單一材料的彎曲正應(yīng)力(3)荷載作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。lxbhyz1.分析模型：(1)單一材料窄高矩形截面梁（h

b）；(2)細(xì)長梁（l／h

10）；9.2.2單一材料的彎曲正應(yīng)力靜力學(xué)方面:縱向?qū)ΨQ平面2.實驗研究yb/2hzb/2xyzOmnnmaabbMM靜力學(xué)方面:縱向?qū)ΨQ平面2.實驗研究yb/2hzb/2x彎曲變形演示彎曲變形演示

（1）各橫向周線仍各在一個平面內(nèi)，只是各自繞著與彎曲平面垂直的軸轉(zhuǎn)動了一個角度；(2)縱向線段變彎，但仍與橫向周線垂直；(3)部分縱向線段伸長，部分縱向線段縮短。（1）各橫向周線仍各在一個平面內(nèi)，只是各自繞著與彎

直梁純彎曲時，原為平面的橫截面仍保持為平面，且仍垂直于彎曲后梁的軸線，只是相鄰橫截面各自繞著與彎曲平面垂直的某一根橫向軸——中性軸作相對轉(zhuǎn)動。直梁純彎曲時的平面假設(shè)：直梁純彎曲時，原為平面的橫截面仍保持為平面，MM受壓區(qū)受拉區(qū)c

中性層MM受壓區(qū)受拉區(qū)c中性層純彎曲正應(yīng)力切應(yīng)力=0

沿截面寬度方向均勻分布正應(yīng)力沿高度方向如何分布純彎曲正應(yīng)力切應(yīng)力=0沿截面寬度方向均勻分布正應(yīng)3.彎曲正應(yīng)力的計算(1)幾何方面:(2)物理方面:3.彎曲正應(yīng)力的計算(1)幾何方面:(2)物理方面:

中性軸通過截面的形心yzyA(3)靜力學(xué)方面:中性軸通過截面的形心yzyA(3)靜力學(xué)方面:EIz為抗彎剛度yzyA(a)幾何方面：平面假設(shè)；(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工作，材料在拉伸和壓縮時的彈性模量相等。

公式的適用條件：Iz為對z軸的慣性矩EIz為抗彎剛度yzyA(a)幾何方面：平面假設(shè)；公式的等直梁純彎曲正應(yīng)力的計算小結(jié)：正應(yīng)力公式通過截面形心中性軸位置s=Ey/r單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律s=Ees變化規(guī)律e=y/r平面假設(shè)e變化規(guī)律結(jié)果依據(jù)項目等直梁純彎曲正應(yīng)力的計算小結(jié)：正應(yīng)力公式通過截面形心中性軸位截面zy線應(yīng)變+－max正應(yīng)力+－maxmax線彈性,小變形,外力作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi);線應(yīng)變和正應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律。截面zy線應(yīng)變+－max正應(yīng)力+－maxmax線彈性4.軸慣性矩zyydybh空心矩形的慣性矩？圓的慣性矩？4.軸慣性矩zyydybh空心矩形的慣性矩？圓的慣性矩？

如圖所示，當(dāng)梁在水平面內(nèi)彎曲時，中性軸是哪個軸？截面對此軸的慣性矩表達(dá)式是什么？思考題9-3zyydybh如圖所示，當(dāng)梁在水平面內(nèi)彎曲時，中性軸是哪個軸5.軸慣性矩及抗彎截面系數(shù)對中性軸z

的抗彎截面系數(shù):

（單位為:mm3或m3）zyydybh(1)實心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)5.軸慣性矩及抗彎截面系數(shù)對中性軸z的抗彎截面系數(shù):(2)空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)zybHhBC(2)空心矩形的慣性矩及抗彎截面系數(shù)zybHhBC(3)實心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)dczyyzdA(3)實心圓截面的慣性矩及抗彎截面系數(shù)dczyyzdA(4)空心圓截面的慣性矩Dczydc(4)空心圓截面的慣性矩Dczydc(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工作，材料在拉伸和壓縮時的彈性模量相等。6.純彎曲理論的簡單回顧

公式的適用條件：(a)幾何方面：平面假設(shè)；(b)物理方面：各縱向纖維間互不擠壓，材料在線彈性范圍內(nèi)工7.純彎曲理論的推廣

橫力彎曲時，由于切應(yīng)力的存在,梁的橫截面將發(fā)生翹曲。此外在與中性層平行的縱截面上,還有由橫向力引起的擠壓應(yīng)力。但工程中的梁,當(dāng)跨高比較大時，按純彎曲理論計算誤差不大。7.純彎曲理論的推廣橫力彎曲時，由于切應(yīng)yz806520208035

單位:mm

對于圖示T形截面梁,已知:Iz=290.6×10-8m4求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。例題9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·myz806520208035單位:mm解：B截面：C

截面：例題9-13AB13kN8kNC2xM2.5kN·m3kN·m解：B截面：C截面：例題9-13AB13kNyz806520208035

單位:mm36.1MPa67.1MPaB截面上：30.2MPa56.0MPaC截面上：例題9-1xM2.5kN·m3kN·myz806520208035單位:mm36

若例9-1中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力是否一定在彎矩絕對值最大的橫截面上？思考題9-43AB13kN8kNC2yzxM2.5kN·m3kN·m若例9-1中的梁截面為工字形，則橫截面的最大拉

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應(yīng)力sa。例題9-2圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺1.

在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為例題9-2解:1.在不考慮梁的自重(1.041kN/m)的情況下，該梁的由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應(yīng)力為例題9-2由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的

該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：例題9-2該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)槔}9-2顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變§9-3求慣性矩的平行移軸公式同理可得：zyCabdAzyyczcyczcO*§9-3求慣性矩的平行移軸公式同理可得：zyCabdAzy(1)根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖形對于形心軸的慣性矩是圖形對于與該形心軸平行的軸之慣性矩中的最小者？(2)求圖示截面對于形心軸z的慣性矩。思考題9-5yz806520208035

單位:mm(1)根據(jù)求慣性矩的平行移軸公式，是否可得如下結(jié)論：圖形對§9-4彎曲切應(yīng)力橫力彎曲M

0FS

0彎曲正應(yīng)力彎曲切應(yīng)力FSMzy(-)(+)y§9-4彎曲切應(yīng)力橫力彎曲M0FS0彎曲正應(yīng)9.4.1單一材料矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力(3)荷載作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。lxbhyz1.分析模型(1)單一材料窄高矩形截面梁（hb）；(2)細(xì)長梁（l／h

10）；9.4.1單一材料矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力2.關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)FSyyzyFS

(1)切應(yīng)力與側(cè)邊方向平行；

(2)切應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布。

對h>b的截面而言，此假設(shè)為合理的。

2.關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)FSyyzyFS(1)切應(yīng)力為什么關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)是合理的？

答：根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知關(guān)于應(yīng)力方向的假設(shè)是合理的。又對于狹長矩形應(yīng)力沿寬度的變化不可能大，所以假設(shè)切應(yīng)力沿寬度不變是合理的。思考題9-6FSyyzyFS為什么關(guān)于切應(yīng)力分布的假設(shè)是合理的？答：根據(jù)3.分離體平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+dM(x)dxmmnnMeFq(x)lhbxyzmmnndxdx(x)+d(x)(x)3.分離體平衡分析FS(x)M(x)FS(x)M(x)+(x)+d(x)dx(x)dx(x)yz(x)+d(x)xFSyyzyFS(x)+d(x)dx(x)dx(x)yz(x)+dxbxdx

(x)

(x)+d

(x)

得得到由平衡方程yzy*FSydAdxbxdx(x)(x)+d(x)切應(yīng)力計算公式:yzFSy其中：FS

所求切應(yīng)力截面上的剪力

Iz

整個截面對中性軸的慣性矩

b

所求切應(yīng)力點處橫截面的寬度

Sz*

過所求切應(yīng)力點作中性軸的平行線，將橫截面分為兩部分，其中任意一部分對中性軸的靜矩。注意：實際計算中直接由剪力FS的方向確定t

的方向。切應(yīng)力計算公式:yzFSy其中：FS所求切應(yīng)力截面上4.單一材料矩形截面梁的切應(yīng)力分布與計算發(fā)生在中性軸處發(fā)生在上下邊緣處bhyzyFS

max*計算式：4.單一材料矩形截面梁的切應(yīng)力分布與計算發(fā)生在中性軸處發(fā)

實心細(xì)長梁彎曲切應(yīng)力分布對彎曲正應(yīng)力有什么影響？FxmpnqF思考題9-7實心細(xì)長梁彎曲切應(yīng)力分布對彎曲正應(yīng)力有什么影響

5.切應(yīng)力分析方法小結(jié):橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)力分布假設(shè)分離體平衡縱截面上的剪力切應(yīng)力互等定理

縱截面上的切應(yīng)力5.切應(yīng)力分析方法小結(jié):橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)力分布假9.4.2Ｔ型截面梁yzbhtd對矩形截面梁所作的切應(yīng)力分布假設(shè)依然適用。9.4.2Ｔ型截面梁yzbhtd對矩形截面梁所作的切應(yīng)力yzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)1.腹板部分(x)+d(x)(x)dxyzdfmaxyzdxFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)1.2.頂板部分(1)豎直切應(yīng)力分析(b)對頂板豎直切應(yīng)力大小的判斷(Ⅱ)根據(jù)腹板承受的剪力判斷

結(jié)論：頂板部分豎直切應(yīng)力分量很小。(a)切應(yīng)力分布假設(shè)對頂板豎直切應(yīng)力不再適用；(Ⅰ)根據(jù)切應(yīng)力互等定理ydz2.頂板部分(1)豎直切應(yīng)力(2)水平切應(yīng)力分析ydzydztdxFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)(2)水平切應(yīng)力分析ydzhtyimax3.Ｔ型截面梁的切應(yīng)力分布ydzyimaxfmaxydzhtyimax3.Ｔ型截面梁的切應(yīng)力分布ydz§9-5梁的強度條件smax≤[s]1.純彎曲的梁最大彎曲正應(yīng)力：Wz——抗彎截面系數(shù)(1)等截面直梁，中性軸為橫截面對稱軸故由smax≤[s]得§9-5梁的強度條件smax≤[s]1.純(2)中性軸不是橫截面對稱軸，且材料拉壓強度不相等則容許拉應(yīng)力容許壓應(yīng)力(2)中性軸不是橫截面對稱軸，且材料拉壓強度不相等則容許拉(3)利用正應(yīng)力的強度條件可以對梁進(jìn)行三種不同形式的強度計算：(a)校核強度(b)選擇截面尺寸或型鋼號(c)確定許可荷載(3)利用正應(yīng)力的強度條件可以對梁進(jìn)行三種不同形式的強度計算另還要滿足tmax≤[t]2.橫力彎曲的梁smax≤[s]b——中性軸處截面之寬度對于等截面直梁，則有：另還要滿足tmax≤[t]2.橫力彎曲的梁smax≤注意：(1)一般的梁，其強度主要受到按正應(yīng)力的強度條件控制，所以在選擇梁的截面尺寸或確定許可荷載時，都先按正應(yīng)力強度條件進(jìn)行計算，然后按切應(yīng)力強度條件校核。(2)在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)點處有最大正應(yīng)力；在剪力為最大的橫截面的中性軸上各點處有最大切應(yīng)力。注意：(1)一般的梁，其強度主要受到按正應(yīng)力的強度條件控制

如圖，已知q=3.6kN/m，梁的跨長l=3m，梁的橫截面為b×h=120mm×180mm的矩形，梁的材料為松木。由于該梁長期處于潮濕狀態(tài)，故容許應(yīng)力取得很低，容許彎曲應(yīng)力[s]=7MPa,容許切應(yīng)力[t]=0.9MPa。試校核此梁的強度ABq例題9-3如圖，已知q=3.6kN/m，梁的跨長l=3ABqFAFB+M（kN·m）x4.05例題9-3解：FS（kN）x+-5.45.4作剪力圖及彎矩圖ABqFAFB+M（kN·m）x4.05例題9-3解：F此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上抗彎截面系數(shù)為則

此梁的最大剪力出現(xiàn)在梁的支座處橫截面上,其值為例題9-3此梁之最大彎矩發(fā)生在跨中的橫截面上抗彎截面系數(shù)為則以上兩方面強度條件均能滿足,故此木梁是安全的。又例題9-3ABq以上兩方面強度條件均能滿足,故此木梁是安全的。又例題9-

圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。例題9-4圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的畫M圖，并確定Mmax。彎矩圖如圖c所示例題9-4解:畫M圖，并確定Mmax。例題9-4解:強度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為2.求Wz，選擇工字鋼型號例題9-4強度條件要求：此值雖略小于要求

圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位置，如圖b所示。已知橫截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許用荷載[F]。例題9-5圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位鑄鐵的拉壓強度不等，其強度條件為st,max≤[st]

，sc,max≤[sc]。由M圖可知，B、C截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖d所示。B、C截面上的最大拉應(yīng)力分別為，?？梢娙旱淖畲罄瓚?yīng)力為。顯然。86134C截面D截面(d)例題9-5解:鑄鐵的拉壓強度不等，其強度條件為st,max≤[st]，1.由st,max≤[st]確定[F]。F1≤19200N=19.2kN例題9-586134C截面D截面(d)1.由st,max≤[st]確定[F]。F1≤1920F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤[sc]確定[F]。[F]=19.2kN，可見梁的強度由拉應(yīng)力確定。例題9-586134C截面D截面(d)F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤

該題的st,max和最大壓應(yīng)力均發(fā)生在B截面處，當(dāng)

st,max=[st]時，，而[sc]=3[st]，可見，當(dāng)st,max=[st]，sc,max<[sc]。所以該題由拉應(yīng)力強度控制，僅需由st,max≤[st]求[F]即可。例題9-5該題的st,max和最大壓應(yīng)力均發(fā)生在B截面處，

一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長

l=5m。吊車大梁由20a號工字鋼制成，許用彎曲正應(yīng)力[s]=170MPa，許用切應(yīng)力[t]=100MPa。試校核梁的強度。例題9-6一簡易吊車的示意圖如圖a所示，其中F=30kN，跨長1.校核正應(yīng)力強度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。

荷載移至跨中C截面處(圖b)時梁的橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置都要大。荷載在此最不利荷載位置時的彎矩圖如圖c所示，例題9-6解:1.校核正應(yīng)力強度。吊車梁可簡化為簡支梁(圖b)。

由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。梁的最大彎曲正應(yīng)力為例題9-6由型鋼規(guī)格表查得20a號工字鋼的Wz=237cm3。2.校核切應(yīng)力強度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時梁的剪力為最大。此時的約束力FA≈F，相應(yīng)的剪力圖如圖e所示。FS,max=FA=30kN對于20a號鋼，由型鋼規(guī)格表查得：例題9-62.校核切應(yīng)力強度。荷載移至緊靠支座A處(圖d)時梁的剪于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件均能滿足，所以該梁是安全的。(e)例題9-6于是有由于梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件均能滿足，所以該梁是安全§9-6撓度和轉(zhuǎn)角撓度：直梁發(fā)生彎曲變形時，其橫截面的形心在垂直于彎曲前的軸線方向所產(chǎn)生的線位移，如下圖所示。ABxy撓曲線w（+）θ（+）轉(zhuǎn)角撓度曲線在小變形情況下§9-6撓度和轉(zhuǎn)角撓度：直梁發(fā)生彎曲變形時，其橫截面1.研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的：(1)對梁作剛度校核，即檢查梁彎曲時的最大撓度是否超過按要求所規(guī)定的容許值；(2)解超靜定梁。如下圖所示梁。ABCF1F2FAFCFB1.研究梁的撓度和轉(zhuǎn)角的目的：(1)對梁作剛度校核，即2.求梁位移的基本方法

根據(jù)撓曲線的近似微分方程式通過積分求撓度方程：w=w(x)和轉(zhuǎn)角方程：具體分析，在純彎曲情況下：ABxyMeMe觀察下梁2.求梁位移的基本方法根據(jù)撓曲線的近似微分

純彎曲情況下，M與所對應(yīng)的撓曲線的曲率1/r的關(guān)系為：對于下圖橫力彎曲的梁ABxyF1F2(1)有純彎曲情況下，M與所對應(yīng)的撓曲線的曲率1/r

由解析幾何知識知：一根平緩的曲線w=w(x)，其曲率1/r

近似地等于w(x)對于x的二階導(dǎo)函數(shù)，即則(2)(3)將(3)代入(2)，考慮到曲率半徑總是正的，對圖示坐標(biāo)有ABxyF1F2由解析幾何知識知：一根平緩的曲線w=w(x)，

因此，對于某根具體的梁，只要列出它的彎矩方程M=M(x)，將其代入上式，對x連續(xù)積分后有：

利用梁的位移條件確定式中的積分常數(shù)，就得轉(zhuǎn)角方程q

=