導(dǎo)學(xué)案：對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算律

對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和運(yùn)算律第2課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1．能記住對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則；2．能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則解決對(duì)數(shù)式的計(jì)算及證明問(wèn)題；3．知道什么是常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù).重點(diǎn)：記住對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，能利用運(yùn)算法則解決計(jì)算問(wèn)題．難點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的靈活應(yīng)用.1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語(yǔ)言積的對(duì)數(shù)loga(MN)＝logaM＋logaN正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和商的對(duì)數(shù)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)冪的對(duì)數(shù)logaMn＝nlogaM(n∈R)正數(shù)冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)預(yù)習(xí)交流1積的對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則能否推廣到若干個(gè)數(shù)的乘積的情況？提示：這個(gè)性質(zhì)可推廣到若干個(gè)正因數(shù)的積：正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)對(duì)數(shù)的和．即：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2,3，…，k)．預(yù)習(xí)交流2在運(yùn)算法則loga(MN)＝logaM＋logaN及l(fā)ogaeq\f(M,N)＝logaM－logaN中，如果MN＞0，法則是否還是成立的？提示：不成立．因?yàn)楫?dāng)M＜0且N＜0時(shí)，MN＞0，但logaM，logaN均無(wú)意義，所以不成立．預(yù)習(xí)交流3請(qǐng)你探究：當(dāng)a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R時(shí)，下列各式是否成立？①loga(M±N)＝logaM±logaN；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)；④logaMn＝(logaM)n.提示：上述4個(gè)式子都不一定成立，要將它們與真正的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則區(qū)別開(kāi)來(lái)．2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，log10N記作lg_N.(2)以無(wú)理數(shù)e＝28…為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)．logeN通常記為lnN.一、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的理解已知a＞0且a≠1，x＞0，y＞0，n∈N＋，請(qǐng)你分析判斷下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②loga(x－y)＝logax－logay；③(logax)n＝logaxn；④logay＝－logaeq\f(1,y)；⑤logaeq\f(x,y)＝eq\f(logax,logay).其中成立的有__________．思路分析：按照對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行逐一分析，注意法則的逆用及變形．答案：④解析：①②③⑤均不成立，只有④成立，這是因?yàn)椋海璴ogaeq\f(1,y)＝－logay－1＝logay.下列各式中，一定成立的是()．A．log38＋log3eq\f(1,8)＝0B．log10(－2)＋log10(－5)＝1C．log332＝(log32)5D．eq\f(log49,log43)＝log43答案：A解析：對(duì)于A項(xiàng)，由于log38＋log3eq\f(1,8)＝log38＋log38－1＝log38－log38＝0，故A正確．二、對(duì)數(shù)式的計(jì)算與化簡(jiǎn)1、求下列各式的值：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－log5125；(3)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.思路分析：對(duì)于底數(shù)相同的對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算，一般都可通過(guò)逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，其中(4)要注意lg2＋lg5＝1的靈活運(yùn)用．解：(1)原式＝eq\f(\f(1,2)lg27＋lg23－\f(1,2)lg1000,lg12－lg10)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),2lg2＋lg3－1)＝eq\f(\f(3,2)(lg3＋2lg2－1),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2)；(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1；(3)原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝＝－eq\f(1,2)；(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.2、已知lga＝0，lgb＝0，則eq\f(b,a)等于()．A．eq\f(1,100)B．eq\f(1,10)C．10D．100答案：B解析：由于lgeq\f(b,a)＝lgb－lga＝0－0＝－1，∴eq\f(b,a)＝10－1＝eq\f(1,10)，故選B．3、計(jì)算下列各式的值：(1)4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；(2)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg＋\f(1,3)lg8)；(3)化簡(jiǎn)：eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).解：(1)原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.(2)原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg\r＋lg\r(3,8))＝eq\f(lg12,1＋lg＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.(3)方法一：原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,(4－3)lg3)＝eq\f(11,5).方法二(逆用公式)：＝.總結(jié)：1．進(jìn)行對(duì)數(shù)式的計(jì)算與化簡(jiǎn)，主要依據(jù)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，同時(shí)要注意結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．2．應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，除了正用這些法則外，還要注意它們的逆用．3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在計(jì)算和化簡(jiǎn)時(shí)經(jīng)常使用，注意記憶．4．在對(duì)數(shù)的運(yùn)算和化簡(jiǎn)中提取公因式，因式分解等仍適用．三、對(duì)數(shù)中的條件求值問(wèn)題1、求解下列各題：(1)已知lg2＝a，lg3＝b，求lgeq\r(45)的值；(2)已知lna＋lnb＝2ln(a－2b)，求的值．思路分析：對(duì)于(1)，可將eq\r(45)變形為，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；對(duì)于(2)，可先根據(jù)已知條件，逆用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，建立關(guān)于a和b的等式，求出eq\f(a,b)的值，然后再計(jì)算的值．解：(1)lgeq\r(45)＝＝eq\f(1,2)lg45＝eq\f(1,2)lg(32×5)＝eq\f(1,2)(lg32＋lg5)＝lg3＋eq\f(1,2)lg5＝lg3＋eq\f(1,2)(1－lg2)＝lg3－eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)＝b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2).(2)∵lna＋lnb＝2ln(a－2b)，∴ab＝(a－2b)2.∴a2－5ab＋4b2＝0.∴(a－b)(a－4b)＝0.∴a＝b或a＝4b.又∵a＞0，b＞0，a－2b＞0，∴a＞2b＞0.∴a＝4b.∴.2、已知lnx＝a，lny＝b，則lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(x)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,e)))2))＝__________(用a，b表示)．答案：eq\f(1,2)a＋2b－2解析：lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(x)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,e)))2))＝lneq\r(x)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,e)))2＝eq\f(1,2)lnx＋2lneq\f(y,e)＝eq\f(1,2)lnx＋2(lny－1)＝eq\f(1,2)a＋2b－2.3、已知2lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(m－n)))＝lgm＋lgn，求eq\f(m,n)的值．解：由2lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(m－n)))＝lgm＋lgn，得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－n,2)))2＝lgmn，∴有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－n,2)))2＝mn.∴m2－6mn＋n2＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))2－eq\f(6m,n)＋1＝0，解得eq\f(m,n)＝3±2eq\r(2)，由題意m＞n＞0，則eq\f(m,n)＞1，∴eq\f(m,n)＝3＋2eq\r(2).結(jié)論：1．熟悉對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及法則是進(jìn)行對(duì)數(shù)計(jì)算與化簡(jiǎn)的前提，要充分挖掘已知條件與欲求值式子之間的關(guān)系，從這些關(guān)系出發(fā)尋求解題突破口．2．求解對(duì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，要始終注意“真數(shù)大于零”這一條件，要注意用這一限制條件對(duì)得到的有關(guān)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)．練習(xí)：1．已知ab＞0，則下面4個(gè)式子中，正確的個(gè)數(shù)為()．①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))).A．0B．1C．2D．3答案：B解析：當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，雖有ab＞0，但①②不正確，因?yàn)閘ga，lgb均無(wú)意義．只有③正確．2．log34＋log3eq\f(1,108)的值是()．A．－3B．3C．－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)答案：A解析：原式＝log3eq\f(4,108)＝log3eq\f(1,27)＝log33－3＝－3.3．(2022重慶高考，文7)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()．A．a(chǎn)＝b＜cB．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜cD．a(chǎn)＞b＞c答案：B解析：a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，因