重積分華南理工大學(xué)高數(shù)模版(共35張PPT)

三重積分的概念三重積分的計算3三重積分的概念與計算是空間有界閉區(qū)域Ω上的如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個1.三重積分的定義將閉區(qū)域Ω恣意分成n個小閉區(qū)域其中并作和作乘積①②③④有界函數(shù).也表示它的體積.表示第i個小閉區(qū)域,上任取一點一、三重積分的概念記為函數(shù)趨于零時這和的極限總存在,那么稱此極限為在閉區(qū)域Ω上的三重積分.即體積元素二、三重積分的計算1.在直角坐標(biāo)系下計算三重積分直角坐標(biāo)系下的體積元素為在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為三重積分投影法如圖,閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D,過點作直線,解化三重積分為三次積分,例所圍成的閉區(qū)域.其中積分區(qū)域為由曲面得交線投影區(qū)域解例計算三重積分其中V是長方體例求解的原函數(shù)不是初等函數(shù),應(yīng)先x對積分一定要交換積分次序.三重積分截面法(紅色部分)截面法的普通步驟(1)投影,得投影區(qū)間(2)(3)計算二重積分(4)最后計算單積分截面法(先二后一法)解計算三重積分例原式=規(guī)定直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為就叫點M的柱面坐標(biāo).設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為那么這樣的三個數(shù)2、在柱面坐標(biāo)系下計算三重積分柱面坐標(biāo)系中,以z軸為中心軸的圓柱面；過z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標(biāo)面分別為柱面坐標(biāo)系中的體積元素為在柱面坐標(biāo)系中,如圖,得小柱體即(紅色部分).假設(shè)以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域注通常是先積再積后積解例所圍成.積分域用柱坐標(biāo)表示為原式其中Ω由柱面解例所圍成.積分域用柱坐標(biāo)表示為原式其中Ω由半圓柱面補充三重積分對稱性質(zhì)那么稱f關(guān)于變量z的奇函數(shù).(1)關(guān)于坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.(偶)三重積分(property)那么稱f關(guān)于變量z的奇函數(shù).趨于零時這和的極限總存在,球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為記投影向量與x軸正方向的直角坐標(biāo)系下的體積元素為是空間有界閉區(qū)域Ω上的面上的投影P的極坐標(biāo)為2、在柱面坐標(biāo)系下計算三重積分球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下計算三重積分假設(shè)以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域趨于零時這和的極限總存在,直角坐標(biāo)系下的體積元素為設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,或而得結(jié)果為零.例0那么三重積分C那么()成立.三重積分記投影向量與x軸正方向的規(guī)定正方向間的夾角為偏轉(zhuǎn)角為球面坐標(biāo).稱為點M的設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,向xOy平面投影,3、在球面坐標(biāo)系下計算三重積分球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為原點為心的球面；過z軸的半平面．球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；球面坐標(biāo)系中的體積元素為如積分域Ω為球域(如圖).那么解采用例由錐面和球面圍成,所圍成的立體體積.球面坐標(biāo)求曲面與設(shè)被積函數(shù)在區(qū)域D上延續(xù),假設(shè)變換滿足如下條件:例解所圍成的閉區(qū)域.其中Ω為橢圓面作廣義球坐標(biāo)變換解法一采用例所圍的立體.球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為求曲面與柱面坐標(biāo)系中的體積元素為如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；求曲面與趨于零時這和的極限總存在,設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為直角坐標(biāo)系下的體積元素為