角的初步認(rèn)識教學(xué)研究(共83張PPT)

“角的教學(xué)”研究第1頁，共83頁。目前小學(xué)階段，角的教學(xué)有哪些內(nèi)容？是如何編排的？角的初步認(rèn)識；角的認(rèn)識；角的度量；角的分類；（方向與位置中涉及到方位角；求扇形面積涉及到圓心角）第一學(xué)段第二學(xué)段第2頁，共83頁。角的教學(xué)教材比較23課堂教學(xué)角的初步認(rèn)識1上位知識第3頁，共83頁。上位數(shù)學(xué)知識角的概念1角的大小2角的類別3角的初步認(rèn)識第4頁，共83頁。教材比較國內(nèi)6個版本教材比較；其他國家與地區(qū)教材編寫特點角的初步認(rèn)識第5頁，共83頁。課堂教學(xué)課堂教學(xué)賞析及比較分析前測、后測及分析角的初步認(rèn)識第6頁，共83頁。上位數(shù)學(xué)知識角的初步認(rèn)識（一）概念：1、什么是角？定義一：由一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。這個定義是描述角的“靜態(tài)”形式?？梢苑Q為“靜態(tài)”定義（或稱平面角概念）。

第7頁，共83頁。同樣是描述靜態(tài)的角，還有這樣的表述：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角，這個共同端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的初步認(rèn)識第8頁，共83頁。這樣定義中的角，指的是哪里呢？第9頁，共83頁。定義2：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，起始位置與終止位置所形成的圖形叫做角。射線的端點叫做角的頂點，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。這是一個描述了角的形成過程的“動態(tài)”定義。（或稱任意角概念）

第10頁，共83頁。角的兩種定義哪一種更好呢？動態(tài)定義的長處:有超過180度、超過360度的角；有了方向，引入了正、負(fù)和零度的角。角的度數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系。有了方向，角的度數(shù)具體明確；第11頁，共83頁。動態(tài)定義有不足么？比靜態(tài)定義更抽象。第12頁，共83頁。靜態(tài)定義和動態(tài)定義之間有什么相同之處？——都是發(fā)生式定義方式。對概念下定義的方式通常有以下幾種：Ａ：種加類征的定義方式；Ｂ：發(fā)生式定義方式；C:提示外延的定義方式。角的初步認(rèn)識第13頁，共83頁。所謂發(fā)生式定義——再現(xiàn)概念的發(fā)生過程。這是種加類征的一種比較特別的形式。定義中，描述被定義概念的發(fā)生過程部分即為“類征”。定義一：由一個端點引出的兩條射線（類征）組成的圖形（種）叫角（被定義概念）。定義二：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)（類征）而形成的圖形（種），叫做角（被定義概念）。第14頁，共83頁?！际怯蒙渚€定義角的邊。2、為什么用射線定義角的邊，而不用線段呢？——三角形中一個內(nèi)角的邊是線段還是射線？查閱書籍：沒有答案。請教他人：角的初步認(rèn)識第15頁，共83頁。有人說：角主要研究角度，不研究邊長，所以用射線定義。有人說：這是一種規(guī)定，這樣的規(guī)定能體現(xiàn)數(shù)學(xué)定義的簡捷。有人說：這樣的規(guī)定可以提高概念的普適性?！堑某醪秸J(rèn)識第16頁，共83頁。追根溯源：無論是數(shù)學(xué)的概念還是數(shù)學(xué)的運算、規(guī)則等都是由于現(xiàn)實世界的實際需要而形成的。

——弗洛登塔爾“角”概念可能是用來解決什么問題的？角的初步認(rèn)識第17頁，共83頁?！稁缀卧尽分薪堑亩x：平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。原文是：PtolemyI,kingofEgypt,askedEuclid"iftherewasingeometryanyshorterwaythanthatoftheElements",andheansweredthattherewasnoroyalroadtogeometry.角的初步認(rèn)識第18頁，共83頁。3、如何表示角？角可以用符號“∠”來表示。表示一個特定的角通常有如下三種方法：用三個大寫字母表示，頂點字母寫在中間。用一個大寫字母表示。用數(shù)字或希臘字母表示。第19頁，共83頁。角的第二種表示方法唯有在頂點處只有一個角時才可以用。以O(shè)為頂點的角有3個，無論哪個角都不能記作∠O，應(yīng)分別記∠AOC,∠COB∠AOB用第三種表示方法表示角的時候一般應(yīng)該在靠近頂點處加上弧線。

第20頁，共83頁。（二）角大?。?、角有大小嗎？——一個角是有大有小的，角的大小指的是角兩條邊之間分開的程度。角的初步認(rèn)識第21頁，共83頁。2、如何比較角的大?。俊?個或2個以上的角相比較的時候，有大有小。直接比較：重疊法（1）。角的初步認(rèn)識第22頁，共83頁。重疊法（2）：間接比較：測量法（量角器）。也可以量弧度、弦長等。角的初步認(rèn)識第23頁，共83頁。引導(dǎo)學(xué)生比較角的大小大致可以經(jīng)歷４個過程：第一步是利用重疊法直接比較。讓學(xué)生直觀感受角是有大小的，以及什么樣的情況叫做一個角比另一個角大。第24頁，共83頁。第２步是創(chuàng)設(shè)無法直接比較的情境（如比較畫在黑板上的角）引導(dǎo)學(xué)生間接比較。這時學(xué)生可以借助“描”“尋找中間參照物”等方法進(jìn)行比較，這其實也是一種轉(zhuǎn)化。第25頁，共83頁。第３步是“個別單位比較”也就是學(xué)生利用自己愿意采用的各種規(guī)格不一的“小角”進(jìn)行度量，這是一種度量意識的培養(yǎng)與滲透。最后是“統(tǒng)一單位比較”。采用通用的，國際化的度量工具、統(tǒng)一的度量單位進(jìn)行比較。第26頁，共83頁。度量角有哪些單位？度數(shù)制：弧度制：1弧=180°/π≈57°17′45″百分制：直角的百分之一1米度（da）密位制：把一圓周分成6000等份，一等份就是1密位的弧。1密位的弧對應(yīng)的就是1密位的角。第27頁，共83頁。（三）角的類別：按大小分：零度的角、劣角（銳角、直角、鈍角）、平角、優(yōu)角、周角、大于360度的角。角的初步認(rèn)識第28頁，共83頁。按方向分：一條射線繞著端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)成的角叫做正角；一條射線繞著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)成的角叫做負(fù)角；沒有任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角。角的初步認(rèn)識第29頁，共83頁。還有其他分類方法嗎？幾何的角、運動的角、三角的角和解析的角象限角與軸線角把角置于直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與X軸重合，終邊落在第幾象限，就稱作第幾象限角，落在坐標(biāo)軸上則成為軸線角。角的初步認(rèn)識第30頁，共83頁。還有另一種象限角定義：某一目標(biāo)點的方向線與子午線在較為接近的一端（南端或北端）之間所夾的角，稱這一直線的象限角。象限角是從正北的方向線或正南的方向線起始，向兩側(cè)進(jìn)行計算的，正北和正南為0°，正東和正西為90°。一般用北偏東、北偏西，南偏東、南偏西多少度來表示。它的角值介于0°—90°之間。角的初步認(rèn)識第31頁，共83頁。回顧一下：還記得《幾何原本》中角的定義嗎？平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。有不是同一平面內(nèi)的角嗎？角的初步認(rèn)識第32頁，共83頁。什么是二面角？如何測量二面角的大小？——二面角還是劃歸為平面角?！惷婵梢源怪眴?？角的初步認(rèn)識第33頁，共83頁。與角相關(guān)的其他上位知識：斜率、球面角、補角、余角、對頂角……角的初步認(rèn)識第34頁，共83頁。討論：回顧、復(fù)習(xí)角的相關(guān)知識，對“角的教學(xué)”有幫助嗎？角的初步認(rèn)識第35頁，共83頁。二、教材比較（一）國內(nèi)六個版本教材比較。1、知識范圍2、編寫年段3、主題圖及素材呈現(xiàn)角的初步認(rèn)識第36頁，共83頁。4、角概念的揭示5、課堂活動6、角的大小比較7、練習(xí)題的設(shè)計角的初步認(rèn)識第37頁，共83頁。1、知識范圍：課標(biāo)要求：結(jié)合生活情境認(rèn)識角，會辨認(rèn)直角、銳角和鈍角；浙教版不呈現(xiàn)角的樣子，也沒有介紹角各部分名稱。

北師大版教材呈現(xiàn)了角的讀、記方法。第38頁，共83頁。人教版有“畫角”的要求：

角的初步認(rèn)識第39頁，共83頁。版本年級教學(xué)內(nèi)容人教版二上初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角。二下認(rèn)識銳角、鈍角。北師大版二下初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角、銳角、鈍角。浙教版三上初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角、銳角、鈍角。蘇教版二下初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角、銳角、鈍角。西南師大版二上初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角。二下認(rèn)識銳角、鈍角。青島版二上初步認(rèn)識角；認(rèn)識直角、銳角、鈍角。2、編寫年段角的初步認(rèn)識第40頁，共83頁。3、主題圖及素材呈現(xiàn)版本如何呈現(xiàn)呈現(xiàn)內(nèi)容人教版二上人教版二下單元主題圖校園的一角（內(nèi)容比較豐富）。課時主題圖夜幕下的斜拉大橋青島版二上單元主題圖教室的一角（內(nèi)容很豐富）。浙教版三上課時主題圖鄉(xiāng)村的生活場景（內(nèi)容比較豐富）。蘇教版二下課時主題圖做手工(呈現(xiàn)內(nèi)容比較簡單)。西南師大版二上無西南師大版二下無北師大版二下無第41頁，共83頁。素材的呈現(xiàn)場景：多數(shù)版本都比較重視聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實生活，選用學(xué)生熟悉的校園、教室、教室內(nèi)的活動為載體，呈現(xiàn)帶有角的素材原型。尤其值得關(guān)注的是浙教版和人教版（二下）所呈現(xiàn)的主題圖。浙教版人教版第42頁，共83頁。關(guān)注學(xué)生頭腦中對“角”的原始認(rèn)知；幫助學(xué)生將生活原型數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)研究什么，不研究什么。第43頁，共83頁。角在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用實例;單一的內(nèi)容呈現(xiàn)了各種類型的多個角；即與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合，又來自于真實的現(xiàn)實，這說明教材編寫者關(guān)注學(xué)生對“數(shù)學(xué)來源于生活”的真實體驗。第44頁，共83頁。主題圖中呈現(xiàn)的帶有角的素材數(shù)量：青島版最豐富，多達(dá)幾十個；蘇教版比較少。青島版蘇教版第45頁，共83頁。討論：有主題圖好還是沒有主題圖好？有主題圖，有什么好處？——感受生活中很多地方有角，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，為教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看周圍的世界提供了機會。第46頁，共83頁?！獙W(xué)生要在眾多復(fù)雜情境中尋找到角，要在情境中區(qū)分出角，這對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光有利。有主題圖，呈現(xiàn)豐富的素材，有不足嗎？——引導(dǎo)學(xué)生觀察主題圖，找主題圖中的角，會占用一定的教學(xué)時間。

第47頁，共83頁。剪刀吸管水管鐘面扇子三角板紅領(lǐng)巾其他人教版√√√（二下）斜拉大橋北師大版√√√蘇教版√√√青島版√√√西南師大版√√（４）√√（二下）卡尺、房子各個版本在引入角時采用的素材第48頁，共83頁。教學(xué)所用時間基本一致，但安排的年段略有不同。有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角，這個共同端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。即教材呈現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生做活動角的過程，這里不明確指出角的大小，但可能在這里蘊含角的大小比較。浙教版教材中，沒有呈現(xiàn)角的樣子，也沒有介紹角各部分名稱。關(guān)注學(xué)生頭腦中對“角”的原始認(rèn)知；北師大版教材二下67頁——都是用射線定義角的邊。表示一個特定的角通常有如下三種方法：一般用北偏東、北偏西，南偏東、南偏西多少度來表示。這是種加類征的一種比較特別的形式。有人說：這樣的規(guī)定可以提高概念的普適性。國內(nèi)6個版本教材比較；4、角概念的揭示（1）六個版本教材在介紹什么是角時略有差異?！鶄€版本教材中，有四個版本教材采用了舉例的方法，如：人教版“上面的圖形都是角”；青島版“這些都是角”；蘇教版“上面的圖形都是角”；西南師大版“右面的圖形是一個角”。

角的初步認(rèn)識第49頁，共83頁。人教版教材二上39頁蘇教版二下23頁角的初步認(rèn)識第50頁，共83頁。青島版二上23頁西南師大版二上43頁角的初步認(rèn)識第51頁，共83頁。比較不同的是北師大版和浙教版教材。北師大版教材直接呈現(xiàn)了一個角，并標(biāo)注出角的各部分名稱，沒有文字描述性說明。（如下圖）

北師大版教材二下67頁角的初步認(rèn)識第52頁，共83頁。浙教版教材中，沒有呈現(xiàn)角的樣子，也沒有介紹角各部分名稱。

教材這樣編寫給教師的教學(xué)留有更大的自由創(chuàng)編空間，同時也給缺少教學(xué)經(jīng)驗的年輕教師把握教學(xué)重點實施教學(xué)帶來更大的難度。角的初步認(rèn)識第53頁，共83頁。呈現(xiàn)角的樣子時，各個版本各不相同：討論：你認(rèn)為哪一種呈現(xiàn)方式更好呢？為什么？角的初步認(rèn)識第54頁，共83頁。5、課堂活動——做角方式一：用兩根硬紙條做一個活動角。方式二：用一張紙折一個角。方式三：用兩根小棒（兩支鉛筆）搭一個角。角的初步認(rèn)識第55頁，共83頁。方式四：在釘子板上拉出一個角。方式五：轉(zhuǎn)動鐘面上的時針和分針得到一個角。方式六：拉開紙扇（或合攏剪刀）得到一個角。方式七：活動木條玩具。角的初步認(rèn)識第56頁，共83頁。人教北師大浙教西南師大蘇教青島方式一OOOOO方式二OOOO方式三OO方式四O方式五O方式六O方式七O角的初步認(rèn)識第57頁，共83頁。采用哪種做角方式最多？硬紙條做活動角有什么好處？（1）比較方便準(zhǔn)備的教學(xué)用具，方便日常教學(xué)；（2）可以讓學(xué)生進(jìn)一步關(guān)注角的本質(zhì)——一個頂點，兩條邊；（3）活動角在張合的過程中容易讓學(xué)生體會到角的大小變化；（4）便于學(xué)生做出的角相互比較，進(jìn)一步明確什么是角的大小。

角的初步認(rèn)識第58頁，共83頁?！罢垡粋€角”也是被多個版本選用的。有什么好處？紙片更是方便準(zhǔn)備的教學(xué)具，也能夠起到讓學(xué)生關(guān)注角的頂點和邊的作用?！罢劢恰庇惺裁慈秉c嘛？紙片折出的角學(xué)生看到的不僅僅是一個角，還包含了紙片上的“面”，教師在使用中要想辦法避免“面”對學(xué)生認(rèn)識角的影響。

角的初步認(rèn)識第59頁，共83頁。人教北師大浙教西南師大蘇教青島方式一OOOOO方式二OOOO方式三OO方式四O方式五O方式六O方式七O角的初步認(rèn)識第60頁，共83頁。青島版做角的活動：圖七角的初步認(rèn)識你喜歡這樣的活動嗎？為什么？第61頁，共83頁。6、角的大小比較你還記得你教過的教材中呈現(xiàn)了什么樣的比較角大小的方法嗎？各版本在處理角的大小比較時，呈現(xiàn)方式有如下幾種：角的初步認(rèn)識第62頁，共83頁。方式一：活動角比較法。即教材呈現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生做活動角的過程，這里不明確指出角的大小，但可能在這里蘊含角的大小比較。（如圖一）圖一角的初步認(rèn)識第63頁，共83頁。方式二：文字介紹法。即用文字介紹什么是角的大小。（如圖二）圖二角的初步認(rèn)識第64頁，共83頁。方式三：直觀重疊法。即直觀呈現(xiàn)“重疊法”比較角的大小。（如圖三）

圖三角的初步認(rèn)識第65頁，共83頁。方式四：三角板重疊法。利用三角板比較角的大小。（如圖四）

圖四角的初步認(rèn)識第66頁，共83頁。方式五：鐘面比較法。利用鐘面比較角的大小。（如圖五）圖五角的初步認(rèn)識第67頁，共83頁。如何測量二面角的大??？有主題圖，有什么好處？——弗洛登塔爾（2）考察基本知識點的簡單應(yīng)用。定義2：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，起始位置與終止位置所形成的圖形叫做角。西南師大版“右面的圖形是一個角”。利用三角板比較角的大小。教室的一角（內(nèi)容很豐富）。“折角”有什么缺點嘛？以O(shè)為頂點的角有3個，無論哪個角都不能記作∠O，應(yīng)分別記∠AOC,∠COB∠AOB采用哪種做角方式最多？關(guān)注學(xué)生頭腦中對“角”的原始認(rèn)知；C:提示外延的定義方式。射線的端點叫做角的頂點，起始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊?！敖恰备拍羁赡苁怯脕斫鉀Q什么問題的？方式六：直接告知法。即直接呈現(xiàn)有的角比直角大，有的角比直角小的結(jié)論。（如圖六）

圖六角的初步認(rèn)識第68頁，共83頁。各版本教材“角的大小比較”呈現(xiàn)方式：人教北師大浙教西南師大蘇教青島方式一OOOOO方式二O方式三OO方式四OO方式五O方式六OOO角的初步認(rèn)識第69頁，共83頁。7、練習(xí)設(shè)計“角的初步認(rèn)識”的練習(xí)，按照考察知識點及其難度來劃分，大概有如下幾種：（1）考察基本知識的掌握。如：“判斷下列圖形是不是角?！薄爸赋鱿旅娼堑捻旤c和邊?！薄爱嫵鑫矬w形成的角?！薄霸谙聢D中找出直角、銳角、鈍角。”等。根據(jù)所考察知識點不同，可以分為：考察“角的認(rèn)識”類、“直角銳角鈍角的認(rèn)識”類、“角的大小比較”類、“畫角”類。第7