習(xí)題：空間向量與垂直關(guān)系

空間向量與垂直關(guān)系時間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共36分)1．若向量m同時垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，則()A．m∥nB．m⊥nC．m與n既不平行也不垂直D．以上三種情況均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.答案：B2．已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一個法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則()A．α∥βB．α⊥βC．α與β相交不垂直D．以上都不對解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).∴n也為α的一個法向量．又α與β不重合，∴α∥β.答案：A3．在菱形ABCD中，若eq\o(PA,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是()\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A和D顯然成立．故選C.答案：C4．已知向量a，b是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件解析：若c·a＝0且c·b＝0?/l⊥α，原因是a可能與b共線，而l⊥α則一定有c·a＝0且c·b＝0成立．故選B.答案：B5．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且eq\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up6(→))等于()A．(eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，4)B．(eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，－3)C．(eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，4)D．(eq\f(40,7)，eq\f(15,7)，－3)解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又eq\o(BP,\s\up6(→))⊥平面ABC，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＋5y＋6＝0,3x－3＋y－12＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(40,7),y＝－\f(15,7))).答案：B6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A圖1解析：建立如圖1坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)－(0,1,0)＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)．eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)·(－1，－1,0)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0.∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴CE⊥BD.答案：B二、填空題(每小題8分，共24分)7．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，則λ等于________．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－6，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,6，λ－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.答案：－148．已知A，B，C的坐標(biāo)為(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________．解析：利用向量垂直的條件．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，－\f(2,3)))9．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是________．解析：由eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB；由eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，由①②知eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，易知eq\o(AP,\s\up6(→))不平行eq\o(BD,\s\up6(→))，所以①②③正確．答案：①②③三、解答題(共40分)10．(10分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F⊥平面ADE.圖2證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為1個單位長度．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(1,1，eq\f(1,2))，F(xiàn)(0，eq\f(1,2)，0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))．所以eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.所以eq\o(D1F,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))且eq\o(D1F,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，即D1F⊥AD，D1F⊥AE.又AE∩AD＝A，所以D1F⊥平面ADE.圖311．(15分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM⊥平面BDF.圖4證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，B(0，eq\r(2)，0)，D(eq\r(2)，0,0)，F(xiàn)(eq\r(2)，eq\r(2)，1)，M(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，1)．所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2)，1)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，則n⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DF,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝\r(2)x－\r(2)y＝0,n·\o(DF,\s\up6(→))＝\r(2)y＋z＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)，,z＝－\r(2)y，))取y＝1，得x＝1，z＝－eq\r(2).則n＝(1,1，－eq\r(2))．因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，－eq\f(\r(2),2)，1)，所以n＝－eq\r(2)eq\o(AM,\s\up6(→))，得n與eq\o(AM,\s\up6(→))共線．所以AM⊥平面BDF.圖512．(15分)如圖5所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點(diǎn)．(1)證明平面AD1F⊥平面ADE.(2)在AE上求一點(diǎn)M，使得A1M⊥平面DAE.解：(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F(xiàn)(0，eq\f(1,2)，0)，E(1,1，eq\f(1,2))，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(1,2)，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))．設(shè)n1，n2分別為平面AD1F，平面ADE的法向量．令n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，圖6∴eq\o(AD1,\s\up6(→))·n1＝(－1,0,1)·(x1，y1，z1)＝－x1＋z1＝0，eq\o(AF,\s\up6(→))·n1＝(－1，eq\f(1,2)，0)·(x1，y1，z1)＝－x1＋eq\f(1,2)y1＝0，令x1＝1，∴n1＝(1,2,1)．又eq\o(AD,\s\up6(→))·n2＝(－1,0,0)·(x2，y2，z2)＝－x2＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·n2＝(0,1，eq\f(1,2))·(x2，y2，z2)＝y(tǒng)2＋eq\f(1,2)z2＝0，令y2＝1，∴n2＝(0,1，－2)．∵n1·n2＝(1,2,1)·(0,1，－2)＝1×0＋2×1＋1×(－2)＝0，∴平面AD1F⊥平面ADE.(2)由于點(diǎn)M在AE上，∴可設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＝λ(0,1，eq\f(1,2))＝(0，λ，eq\f(1,2)λ)可得M(1，λ，eq\f(