單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)畢業(yè)設(shè)計(jì)說明

..單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)摘要:介紹了單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法,從理論推導(dǎo)上將擺角擴(kuò)展到任意角；并提高了誤差的修正精度.；介紹了用計(jì)算機(jī)輔助測量單擺的振幅和周期的關(guān)系；介紹了用"漸進(jìn)法"加大了周期的測量精度；從實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行了改良；給出了擺角的測量方案；從測量方法上更好的比較了多種測量方法,得出了更好的測量方法。關(guān)鍵詞:單擺；漸進(jìn)法；計(jì)算機(jī)輔助測量；線性/非線性振動(dòng)。Improvementofthephys,simplependulumexperimentAbstract:Introducephys,simplependulumimprovementexperimentmethodofexperiment,derivefromtheorygeneralwavecornerexpandwantoncornerto;Andhasimprovedtheprecisionofrevisionoftheerror.Recommendandassistandmeasureamplitudeandrelationofcycleofphys,simplependulumwithcomputer.Recommendwith"advancegraduallylaw"andstrengthentheprecisionofmeasurementofcycle.Haveimprovedfromexperimentalprovision,hasgotoffthemeasurementschemewhichputstheangle;Frommeasurefinemanykindsofmeasurementmethodatthemethod,drawkindmeasurementmethod.Keyword:Phys,simplependulum,advancinggraduallylaw,thecomputerassistsmeasurement,Linear/non-linearvibration.1引言單擺實(shí)驗(yàn)是一個(gè)古老的實(shí)驗(yàn),伽利略用單擺測出了大約的重力加速度.在單擺實(shí)驗(yàn)測量重力加速度的過程中,存在著許多影響精度測量的因素,我們應(yīng)考慮這些不利因素,改進(jìn)實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)方法,推導(dǎo)更合理的理論計(jì)算公式,修正系統(tǒng)的誤差.2單擺實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)2.1單擺的理論公式,實(shí)驗(yàn)條件和實(shí)驗(yàn)安排單擺的理想模型一根細(xì)線上端固定,下端系一金屬小球。細(xì)線質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以略不記,球的直徑相比擺長的長度可以忽略不記而作為質(zhì)點(diǎn).設(shè)擺長L,重力加速度g,其運(yùn)動(dòng)方程：當(dāng)擺角很小時(shí).,sinθ≈0式中θ及α取決于初始條件。,為故單擺周期圓頻率故可見,理想單擺周期T只與單擺擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān),若測得擺長和周期,就可求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋簣D〔1單擺實(shí)驗(yàn)理論圖2.1.2現(xiàn)實(shí)的模型〔θ為任意角不對θ角進(jìn)行近似,及回復(fù)力：〔a由機(jī)械能守恒：〔b由〔a,〔b可得：〔1上式可以寫成：略去高次項(xiàng),保留二次小量。有：〔2θ很小時(shí),取零級近似有：〔3式〔3中要求擺角的說法欠準(zhǔn)確。在此提出質(zhì)疑：由〔2式算得：表一擺角變化對周期的影響θ1.0000761.000171.000481.00191.00751.0171.037式〔2與式〔3比較：當(dāng)時(shí),有約萬分之五〔0.00048的差別,因此我們不能把式〔3成立的條件寫作；因?yàn)槿绻挥?jì)擺角影響,我們要求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度高于萬分之五時(shí),就夠了。反之,如果我們?nèi)菰S實(shí)驗(yàn)的不高于千分之二時(shí),[式〔2與式〔3差0.0019]也是允許的2.1.6在物理實(shí)驗(yàn)中常常不去測量物理量本身,而去測量其改變量。如測量金屬絲在外力下的伸長量,材料受熱膨脹量等。在改變量相對于物理量本身是一個(gè)小量的情況下可以得到較好的結(jié)果。這里用測量擺長差來代替直接測量擺長本身〔擺球的重心難于準(zhǔn)確測定。如右圖所示：設(shè)l1為懸線的長度,r為擺球的半徑,周期為T1,則擺長〔4改變的長度為,相應(yīng)的周期為2則擺長為〔5以上兩式〔4-〔5得：即代入〔1式中：但是擺長差求g有局限性：如果能精確測量擺長,有用擺線差有設(shè)則可見越小,結(jié)果越不好；只有在擺球是不規(guī)則物體或直接測不準(zhǔn)時(shí),采用擺長差的方法。2.2實(shí)驗(yàn)裝置及測量儀器卡線機(jī)制單擺的基本結(jié)構(gòu)是用線吊起一個(gè)擺球。單擺的懸點(diǎn)要在一個(gè)點(diǎn)上,把擺線緊緊卡住。擺線通過一個(gè)小孔垂下〔圖5是不好的。這樣在擺動(dòng)時(shí)的擺長是一個(gè)不確定量?？ň€的辦法很多：用螺絲.夾板等都可以。用一個(gè)釘在墻上的斜刀也可以〔圖6?？ň€裝置擺球擺球常用鐵制。為了吊線,擺球上方會有一個(gè)"凸起"[圖7a]。加工擺球時(shí)可以挖出一個(gè)空隙與a補(bǔ)償,以免影響質(zhì)心的位置。設(shè)擺球的直徑為28cm,a的線度為4cm,則a與擺球的質(zhì)量的質(zhì)量比為〔4/2831/343。a的存在將會使球的質(zhì)心偏離球心〔28mm/2*〔1/3430.04mm,即使沒有補(bǔ)償,也不會影響擺長的測量結(jié)果。為了用光電計(jì)時(shí)器計(jì)時(shí),擺球的底面加一個(gè)擋光板[圖7〔a],也可獲得與"突起"a的補(bǔ)償效果擺球2.2.3擺線用很系的鋼絲為好,利用圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以計(jì)算出擺線在各時(shí)刻的受力.估計(jì)其最大受力及伸長.可以得到t的改變量及對g的影響的數(shù)量級.擺線的選擇應(yīng)該使其影響可略去.尼龍絲的楊氏摸量小,相對伸長大,是不好的.計(jì)時(shí)器.米尺和測擺角裝置計(jì)時(shí)器用合格的石英振蕩電子秒表,在常溫下,可以達(dá)到10的精度,所以不需校準(zhǔn);機(jī)械秒表就必須校準(zhǔn).隨便的秒表是不可以用的.用光電計(jì)時(shí)器可以把測得的精確度0提高一個(gè)數(shù)量級.測l要用帶卡口的長于1m的米尺,游標(biāo)尺是不必要的.用測高儀測量擺長可以提高精度.在擺線后面加一塊表面有一豎直的平面鏡<圖8>可以減少視覺差,利用弧度尺<圖9a>或直尺<圖9b>都可以判斷或估算擺角:擺角測量裝置2.3測量2.3.1用帶卡口的長米尺可以把擺長的估讀誤差降低到小于0.5mm,比較以下三種測量方案:圖10〔a是直接測量。如果擺球半徑,則利用代替的誤差為小于估讀誤差。這種方法的缺點(diǎn)是p點(diǎn)不易找準(zhǔn),帶來較大誤差。圖10〔b是測量及,,這種方法可能會把擺線伸長。圖10〔c是測量及,,這種方法較好,是三種方案中最好的。擺球直徑用游標(biāo)卡尺測量,一次測量以足夠,誤差可以不計(jì)。必須測量沿懸線方向的直徑如圖11〔a,不能去測量其他方向的。為此,可以把擺球做的略橢,且視看出來、從數(shù)據(jù)上可以看出來,要從不同起點(diǎn)多次測量,各次間相差應(yīng)不超過1cm,這樣如取=100cm,經(jīng)過多次測量的誤差為10-4。擺角測量裝置2.3.22.3.2.1用光電計(jì)時(shí)器測周期,用累積的方法,每次測n個(gè)周期得nT個(gè)周期的相對誤差可減為測一個(gè)周期的1/n,算回到一個(gè)周期比測一個(gè)周期其絕對誤差亦減少為1/n,如果=100cm.,則,各次間相差應(yīng)不超過0.2s,則多次平均誤差在10-4?？煽紤]nT中n=？共測多少次？如果5次與n=50,測3次,那種好？注意：要在擺球過最底點(diǎn)時(shí)計(jì)時(shí),這時(shí)擺球運(yùn)動(dòng)速度最快,理論上誤差最小。光電計(jì)時(shí)器的接收器進(jìn)光縫要窄,要放在最低位置以減少阻尼引起的誤差。.2上面一般常測量幾十個(gè)及至n個(gè)周期的時(shí)間間隔,再除以振動(dòng)次數(shù)n,即可以得到較精確的周期值。實(shí)驗(yàn)者在累計(jì)振動(dòng)次數(shù)時(shí)常因疲勞而數(shù)錯(cuò)振動(dòng)次數(shù),于是產(chǎn)生較大的誤差。這里采用"漸進(jìn)法"測量單擺的周期：可以數(shù)較少的振動(dòng)次數(shù)來獲得較高精度的周期值。先測定n1個(gè)周期的時(shí)間間隔t1,一般取n1的值較小〔如n1=30,由此得到的周期當(dāng)然不夠精確,但是可以作為一次近似值T01,T01=t1/n1,當(dāng)單擺繼續(xù)平穩(wěn)振動(dòng)通過平衡位置可重新計(jì)時(shí),此時(shí)實(shí)驗(yàn)者可不必去數(shù)振動(dòng)次數(shù),經(jīng)過一段較長時(shí)間后當(dāng)單擺再度與初始相同方向經(jīng)過平衡位置時(shí),記錄該段的時(shí)間間隔t2,其間的振動(dòng)次數(shù)n2理應(yīng)為整數(shù)。但計(jì)算t2/T01值時(shí)常出現(xiàn)小數(shù)位值。于是將該小數(shù)位值按四舍五入原則處理,其整數(shù)值就選定為n2,這樣就可以的到比T01更精確的周期T02.T02=t2/n2.一般取n2值較大〔如n2為100左右。在采用"漸進(jìn)法"進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐時(shí),常發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出來的t2/T01其小數(shù)位出現(xiàn)了3,4,5,6和7等數(shù),并常伴最后得出的重力加速度值有較大的誤差,究其原因：主要是由于時(shí)間間隔的測量誤差〔Δt1和Δt2較大引起的。如果一擺長的單擺振動(dòng)周期的正確值T0正好為2s,分別測定這個(gè)擺30個(gè),100個(gè)周期的時(shí)間間隔t1。t2,在其測量誤差分別為..秒時(shí),可以算出相應(yīng)的t2/T01〔設(shè)該值為。其結(jié)果如下表所示：表二漸進(jìn)法測周期表t2t1n/2200.0200.1199.9200.2199.8200.3199.760.0100.0100.1100.0100.199.9100.299.960.199.999.999.8100.099.8100.099.759.9100.2100.2100.1100.3100.1100.3100.060.299.799.799.699.899.699.899.559.8100.4100.4100.3100.4100.3100.5*100.260.399.599.699.599.699.4Δ99.799.4Δ59.7100.5*1006*100.5*100.6*100.4100.7*100.4從表中可知,只有在.均在0.1s以下,n2的小數(shù)位上僅出現(xiàn)1,2,8,9；當(dāng).達(dá)0.2s時(shí),n2的小數(shù)位上就出現(xiàn)了1——9各數(shù)；此時(shí)由n2小數(shù)位值按四舍五入原則處理得到。如表中打*號的數(shù),雖然其小數(shù)位數(shù)大于5,但不能進(jìn)位取n2等于101。表中打Δ號的數(shù),其小數(shù)位數(shù)小于4,但不能舍去取n2等于99。如n2值計(jì)錯(cuò)一次,將導(dǎo)致g值的相對誤差達(dá)百分之二。由于：一般情況下滿足：..所以與的偏差為,,只有當(dāng)滿足時(shí)才由按四舍五入原則處理得到正確的值,由于/n1》1,所以的影響要比大。適當(dāng)增加t1測量次數(shù)并取其平均值,則可以減??；如/n1值選取過大,會使變大。可采用"二步漸進(jìn)法"來克服這個(gè)缺點(diǎn)。如第一次測30個(gè)周期〔n1=30的時(shí)間間隔t1,第二次根據(jù)T01值測大約65個(gè)周期的時(shí)間間隔t2〔n2=65,第三次再根據(jù)T02值測約140個(gè)周期的時(shí)間間隔t3〔n3=140。于是根據(jù)n3值計(jì)算出的T03值比T02更接近T0值,不難證明,即使t1.t2.t3的測量誤差絕對值君達(dá)0.3秒,相應(yīng)的和的絕對值也不會超過0.5,這種方法既有較高的測量精度,又允許時(shí)間測量可有稍大的誤差,是一種較佳的實(shí)驗(yàn)測量方案。單擺2.3.3.1前面已經(jīng)推導(dǎo)了擺角θ從理論上推導(dǎo)了周期與擺角<振幅>的關(guān)系.但是通常的實(shí)驗(yàn)方法測量單擺的振動(dòng)周期與振幅的關(guān)系很困難,在本實(shí)驗(yàn)中用計(jì)算輔助測量,使實(shí)驗(yàn)的精度和效益大為提高.2.3.3.2測量裝置簡圖如圖1所示:設(shè)發(fā)光二極管被擋住光的時(shí)刻為,被擋住光的時(shí)刻為;擺錘返回時(shí)經(jīng)時(shí)刻為,經(jīng)過為;擺錘又一次改變方向,經(jīng)過被擋光的時(shí)刻為,時(shí)刻為.則單擺的振動(dòng)周期為:擺錘通過第一光門的速度:;通過第二光電門的速度:.由于空氣的粘度為量級.實(shí)驗(yàn)中所用的擺錘是500g不銹鋼球,因此空氣阻力的量級為N,故空氣阻力可以忽略.根據(jù)機(jī)械能守恒定律,在測量某一擺角周期的時(shí)間范圍內(nèi)其振幅的計(jì)算公式為:式中l(wèi)為擺長,g為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?本實(shí)驗(yàn)中擺長為50cm,時(shí)間分辨率為16bit.由于篇幅的限制,這里只給出測量的部分?jǐn)?shù)據(jù):表三振幅與周期的關(guān)系表/deg52.6254.0358.5660.9065.8270.1075.5677.1279.0881.31T/s1.5001.5041.5201.5261.5491.5681.5921.6001.6081.616由數(shù)據(jù)可知:單擺的周期隨幅度的增加而增加.單擺的振動(dòng)理論方程為:<6>用龍格---庫塔法解該方程.初始條件為:,將<3>式二階方程轉(zhuǎn)化為一階方程組的初值問題:初始條件:步長h=0.1m,這時(shí).其四階龍格---庫塔公式有以下形式:<7>其中由〔6式求出單擺的振動(dòng)周期和幅度的理論關(guān)系,如下圖中實(shí)線所示〔圖中表示測量值,從圖中可以看出實(shí)驗(yàn)與理論符合的很好。單擺在擺角小于5度近似線形振動(dòng),大于5度明顯非線形振動(dòng)。2.4系統(tǒng)誤差的歸結(jié)和修正2.4.1實(shí)際上,任何單擺都不是理想的。例如,擺球并非質(zhì)點(diǎn),繞懸點(diǎn)有轉(zhuǎn)慣量外,還應(yīng)考慮其擺動(dòng)過程中繞其自身轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；擺線也有一定質(zhì)量,重力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩,繞懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:。若不計(jì)空氣阻力和浮力,則由轉(zhuǎn)動(dòng)定理可得：〔4.1當(dāng)擺角時(shí),上式變?yōu)楣蕪?fù)擺的周期:考慮到.利用二項(xiàng)式展開,再略去高次項(xiàng)有:浮力的校正設(shè)空氣的密度為,擺球的密度為.由于空氣的浮力的影響。根據(jù)〔4.1式有：〔4.2考慮到,.利用二項(xiàng)式展開,再略去高次項(xiàng)擺角的修正在〔4.2式中,如果擺角不太小時(shí),根據(jù)振動(dòng)理論其振動(dòng)周期：略去高次項(xiàng),作二次近似有：〔4.3阻尼的修正實(shí)際上,由于擺球振動(dòng)時(shí)還受到空氣的阻力作用。振幅要逐漸減小,最終要停下來。它不是作簡諧振動(dòng),而是作阻尼振動(dòng)。在擺球運(yùn)動(dòng)速度不太大時(shí),阻力與速度成正比,方向總是和速度方向相反,這時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)方程為：〔4.41式中：和為最大振幅初相位。由初始條件決定。為阻尼因子,為阻尼振動(dòng)時(shí)的圓頻率。阻尼振動(dòng)的周期：〔4.42式中的無阻尼時(shí),擺球振動(dòng)的固有頻率設(shè)]〔4.43由<4.3>式〔4.44將<4.44>式代入〔4.42中,有：因而重力加速度：將〔4.43代入上式,并略去高次項(xiàng)：由<4.41>式可見：單擺運(yùn)動(dòng)的振幅隨時(shí)間衰減,,振幅越小,說明阻尼越小,振幅隨時(shí)間衰減越慢；越大,說明阻尼越大,振幅隨時(shí)間衰減越快。設(shè)t時(shí)刻和〔t+nt時(shí)刻的振幅分別為：式中n為正整數(shù)。則有：對上式兩邊取對數(shù)得：ln=令t=0,所以根據(jù)上式,利用振幅的衰減,就可以測量空氣對單擺運(yùn)動(dòng)阻尼因數(shù)2.5數(shù)據(jù)處理作圖可作l--〔50T2,〔50T2—l,l—T2,T2—l或者l—T的對數(shù)圖等,得直線這時(shí)式得到驗(yàn)證,圖不必包括原點(diǎn),從斜率或截距可以求g；如果要求用作圖法驗(yàn)證單擺公式,則必須滿足：〔1圖為一直線；〔2過原點(diǎn)；〔3從圖中的斜率或截距可以求得g與已知實(shí)際g值相等。2.5.2可以用回歸法,平均法,差值法求g。對于4位以上的精度要求不能用作圖法如果使擺長改變?yōu)榈乳g距的,可用逐差法或回歸的簡便方法。2.5.3再每一個(gè)擺長下測得T都可以得到,要用加權(quán)平均法求：〔5.31〔5.32式中=1/〔5.33如有：則一看便知四位數(shù)結(jié)果。3結(jié)束語3.1由上述可知：一個(gè)看似簡單的單擺實(shí)驗(yàn),具有很豐富的內(nèi)容有待研究,實(shí)驗(yàn),分析。許多內(nèi)容還可以發(fā)展；還可以從不同角度,以不同方法提出；如規(guī)定測g的精度要高去安排實(shí)驗(yàn)；把測量變?yōu)闄z驗(yàn),變?yōu)樵O(shè)