線性1對(duì)偶問題變換性質(zhì)

2.4.12.4.22.4.3 2.4.5對(duì)偶問

maxz=3x1+單耗（工時(shí)/件單耗（工時(shí)/件 （工時(shí)/天 8單位利（百元/件 ω

≤2x2≤3x1+4x2≤x1，x2≥由于原擬用于生產(chǎn)每件甲產(chǎn)品的1個(gè)A工時(shí)和3個(gè)c工時(shí)能創(chuàng)造3百利潤，所以出租上述數(shù)量的各資源 起碼應(yīng)不低于3百元w1y1+0y2+3y3≥ 0y1+2y2+4y3≥ y1，y2，y3≥ minw=8y1+12y2+ +3y3≥

2y2+4y3≥y1, y3≥Y*Y*=maxz=3x1+w*=z*=≤ ≤3x1+4x2≤，x2≥X*=min ≥≥≥≥ minw=8y1+12y2+36y31y1+0y2+3y3≥3

0y1+2y2+4y3≥ y1，y2，y3≥ 原問題 z c1X1+c2X2+┈+cn a11X1+a12X2+┈+a1nXna21X1+a22X2+┈+a2nXn· ·····am1X1+am2X2+┈+amnXnxj對(duì)偶問題 w=b1y1+b2y2+┈+bm++┈+++┈+·++┈+0，(i=1,2·、兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及、B兩種原材料的消耗，如表-所示。每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利元，問應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠獲利最多?資源產(chǎn)ⅠⅡ擁有22128原材4/原材/42.資源最低售價(jià)模設(shè)企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為X1件乙產(chǎn)品為X2件，1

設(shè)第i種資源價(jià)格為yii=12則2 4x2

xy1 (原問題 (對(duì)偶問題 --第2章對(duì)偶問題原問

（1）maxz=C AXbX0

w=Y YAY（2） z=C變 AXX

maxz=C -AX-X

w=Y YA w=Y YAYMinw=Y′(- Y′(-A)Y′

YY（3）maxz=C AXbX0

設(shè)X變

max=-CX -AX′X′ w=Y YA w=Y YAY Y（1）maxz=Cw=Ys.tAXYAXY（2）maxz=Cw=Ys.tAXXYAY（3）maxz=Cw=Ys.tAXXY 對(duì)偶關(guān)關(guān)系1：規(guī)范對(duì)偶關(guān) maxz=

minw=

AT我們稱LP問題(P1)與(D1)為規(guī)范原始、對(duì)偶問題，并稱二者之的對(duì)應(yīng)關(guān)系為規(guī)范對(duì)偶關(guān)系關(guān)系2：標(biāo)準(zhǔn)形LP問題的對(duì)偶關(guān)

max

minAT 例 maxz=3x1-1x2-23x1+2x2-3x31x1-2x2+1x3=

x1,x2,x3≥minw=6y13y1+1y2≥2y1-2y2≥-

-3y1+1y2≥-y1 對(duì)偶問目標(biāo)對(duì)偶問目標(biāo)要約束≤≥系數(shù)k個(gè)約k個(gè)變約束個(gè)變量個(gè)k個(gè)右端常第k個(gè)(非)規(guī)范不等式約非負(fù)(正)變等式約變 約束條件系數(shù)列向量xjxjxjxji=yiyi=yiyi例2-102

max

5y1

y1

2y2y

0,例minω=3x1+2x2-12x1+1x2+3x3≥

3x1-5 ≤1x1+1x2+1x3= x3(1(2)弱對(duì)偶性若X是原問題的可行解，Y是對(duì)偶問題 性若原問題(對(duì)偶問題)為 (4(5)對(duì)偶定理若原問題有最優(yōu)解，那么對(duì)偶問題也(6)兼容性 --第2章對(duì)偶問題1.maxz=CX;AX≤b；minω=Yb;YA≥C；若將上式兩邊取負(fù)號(hào)，又因minω=max(-ω)max(-ω)=-Yb;-YA≤-C；min(-ω′)=-CX；-AX≥-b;

maxω′=maxz=CX；AX≤b;2.X是原問題的可行YCX

zCX;

b;XAXYAX

Yb原問題的對(duì)偶問題是min

Yb;YA

C;Y

Yb

由弱對(duì)偶性可知Yb

4??當(dāng)?

,

所有可行解Y

5.6兼容該性質(zhì)設(shè)原問題是它的對(duì)偶問題原問題與對(duì)偶問題標(biāo)準(zhǔn)化后，具有相同的分量個(gè)數(shù)。這原問題的松弛變量對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問題的決策變量，對(duì)偶問題的剩余變量對(duì)應(yīng)相反數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)偶問題的一個(gè)基解，且二者目標(biāo)函數(shù)值論原問題檢驗(yàn)數(shù)與對(duì)偶問題解的關(guān)系。Cj→

cj- 223jj21cj-

- - - - -

2300230001-24B- --------7minω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5

*=4/5，y m