工程測量員培訓(xùn)883T附自測試題7

491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生測量誤差的三個(gè)因素：

儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經(jīng)驗(yàn)缺乏等；外界影響—?dú)庀笠蛩厝鐪囟茸兓?風(fēng)力,大氣折光等

。結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進(jìn)行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(hào)(正負(fù)號(hào))和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測值的影響有一定(數(shù)學(xué)或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進(jìn)行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按測量誤差產(chǎn)生原因和對(duì)觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差

i

中間法水準(zhǔn),前后視等距

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對(duì)系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。（三）粗差

由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯(cuò)誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。

偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細(xì)心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性

偶然誤差的定義設(shè)某一量的真值為X，對(duì)該量進(jìn)行n

次觀測，得n個(gè)觀測值，產(chǎn)生n個(gè)真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計(jì)算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據(jù)幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個(gè)內(nèi)角之和為180°(真值),而三個(gè)內(nèi)角的觀測值之和也可以作為一個(gè)獨(dú)立的觀測值，據(jù)此求得三內(nèi)角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角,三角形內(nèi)角之和的真值為180°，觀測值為三個(gè)內(nèi)角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(i

+

i+i)觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表5-1,據(jù)此分析三角形內(nèi)角和的真誤差i的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)4910誤差區(qū)間dΔ"負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的的特性有限性：在有限次觀觀測中，偶偶然誤差不不超過一定定數(shù)值；漸降性：誤差絕對(duì)值值小的出現(xiàn)現(xiàn)的頻率大大，誤差絕絕對(duì)值大的的出現(xiàn)的頻頻率?。粚?duì)稱性：絕對(duì)值相等等的正負(fù)誤誤差頻率大大致相等；；抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)數(shù)無限增大大時(shí)，由于于正負(fù)相消消，偶然誤誤差的平均均值趨近于于零。用公公式表示為為：4911三角形閉合合差的頻率率直方圖正態(tài)分布曲曲線以及標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差和方方差4912在統(tǒng)計(jì)理論論上如果觀觀測次數(shù)無無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)區(qū)間dΔ又無限縮小小，則頻率率直方圖成成為一條光光滑的曲線線，在統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)中稱為為偶然誤差差的“正態(tài)態(tài)分布曲線線”,其數(shù)學(xué)方程程式為：式中參數(shù)σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方σ2稱為“方差”,方差為偶然然誤差(真誤差)平方的理論論平均值：：標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的計(jì)計(jì)算算式式：：§5-2評(píng)定定測測量量精精度度的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)一、、中誤誤差差4913用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差衡衡量量測測量量觀觀測測成成果果的的精精度度，，在在理理論論上上是是嚴(yán)嚴(yán)格格和和合合理理的的。。但但在在實(shí)實(shí)際際測測量量工工作作中中，，不不可可能能對(duì)對(duì)某某一一量量進(jìn)進(jìn)行行無無窮多多次次觀觀測測。。因因此此，，定定義義：：根根據(jù)據(jù)有有限限次次觀觀測測的的偶偶然然誤誤差差，，用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差計(jì)計(jì)算算式式求求得得的的稱稱為為““中中誤誤差差””，，其其計(jì)計(jì)算算式式為為：：選擇兩組三角角形內(nèi)角之和和的觀測值，，求得三角形形角度閉合差差，分別按上上式在表5-2中計(jì)算中誤差差，得到：第1組:m1=±2.7″第2組:m2=±3.6″可見第1組的觀測精度度高于第2組。按觀測值的改改正值計(jì)算中中誤差4914表5-2m1較小,誤差分布比較較集中，觀測測值精度較高高；m2較大，誤差分分布比較離散散，觀測值精精度較低。兩組觀測值誤誤差的正態(tài)分分布曲線的比比較：m1=2.7m2=3.64915不同中誤差的的正態(tài)分布曲曲線4916二、相對(duì)中誤誤差三、極限誤差差某些觀測值的的精度如果僅僅用中誤差衡衡量，還不能能正確反映其其質(zhì)量，例如如，距離測量量誤差應(yīng)與長長度成正比。。觀測值的中中誤差除以觀觀測量，稱為為“相對(duì)中誤誤差”(簡稱相對(duì)誤差差)，例如200m距離的測距中中誤差為2cm,測距的相對(duì)誤誤差為1∶10000;500m距離測距中誤誤差也為2cm，則測距相對(duì)對(duì)誤差為1∶25000；后者精度高高于前者。根據(jù)正態(tài)分布布方程式，可可以表示誤差差出現(xiàn)在微小小區(qū)間dΔ的概率率：將上式式積分分，得得到偶偶然誤誤差在在任意意大小小區(qū)間間中出出現(xiàn)的的概率率。設(shè)設(shè)以k倍中誤誤差作作為區(qū)區(qū)間,則在此此區(qū)間間中誤誤差出出現(xiàn)的的概率率：4917分別以以k=1,k=2,k=3代入上上式，，可得得到偶偶然誤誤差的的絕對(duì)對(duì)值不不大于于中誤誤差、、2倍中誤誤差、、3倍中誤誤差的的概率率：由此可可見，，大于于2倍中誤誤差出出現(xiàn)的的概率率小于于5％，大于3倍中誤誤差出出現(xiàn)的的概率率小于于0.3％。因因此，，測量量工作作中以2倍中誤誤差作作為允允許的的誤差差極限限，稱稱為““允許誤誤差”或“限差”。4918§5-3觀測值值的算算術(shù)平平均值值及改改正值值一、算算術(shù)平平均值值在相同同的觀觀測條條件下下，對(duì)對(duì)某一一量進(jìn)進(jìn)行n次觀測測，觀觀測值值為li(i=1～n),取其算術(shù)平平均值值作為該該量的的最可可靠的的數(shù)值值（故故也稱稱“最或然然值”）：：算術(shù)平平均值值為何何是該該量最最可靠靠的數(shù)數(shù)值？？可以以用偶偶然誤誤差的的特性性來證證明：：證明算算術(shù)平平均值值是最最或然然值4919按真值值計(jì)算算各個(gè)個(gè)觀測測值的的真誤誤差：：將上列列等式式相加加，并除以以n,得到：：故算術(shù)術(shù)平均均值比比較接近于于真值值，而而成為最可靠的的數(shù)值：二、觀測值值的改正值值最或然值與與觀測值之之差稱為““觀測值的的改正值””(簡稱改正值)v:4920對(duì)［vv]求極小值：：算術(shù)平均值值符合最小小二乘法原原理取改正值總總和：說明：一組觀測測值取算術(shù)術(shù)平均值后后，各個(gè)觀觀測值的改正值之和恒等等于零，此可以作作為計(jì)算的的檢核?！?-4觀測值的精精度評(píng)定在同樣觀測測條件下對(duì)對(duì)某一量進(jìn)進(jìn)行n次觀測，求求得算術(shù)平平均值及觀測值值的各個(gè)改改正值v，據(jù)此計(jì)算觀觀測值的中中誤差：4921對(duì)比按真誤誤差Δ計(jì)算中誤差差的公式：：兩者差別別僅在于以以（n－1）代替n，以代代替真值X：兩式取總和和并顧及偶然然誤差的相相消性，可可以證明：：因此可以按觀測值的的改正值計(jì)計(jì)算中誤差差算術(shù)平均值值計(jì)算的實(shí)實(shí)用公式由于各個(gè)觀觀測值相差差很小，為為計(jì)算方便便令其數(shù)值值的相同部部分為l0,差異部份為為Δl，即li=l0+Δli,算術(shù)平均值值的實(shí)用公公式：4922按各個(gè)觀測測值的改正正值計(jì)算觀觀測值中誤誤差的公式式：按觀測值的的改正值計(jì)計(jì)算中誤差差的算例（一段水平平距離的多多次觀測））4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術(shù)平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計(jì)算算術(shù)平平均值及其其中誤差的的小結(jié)：一、已知知真值X,進(jìn)行n次觀測，則則計(jì)算觀測測值的真誤誤差與中誤誤差。二、真值不不知,則進(jìn)行n次觀測，計(jì)計(jì)算算術(shù)平平均值、改改正值及其其中誤差。。4924中誤差：真誤差：中誤差：改正值：算術(shù)平均值值：§5-5誤差傳播定定律4925一、觀測值值的函數(shù)測量所采集集的數(shù)據(jù)(量)并非都是直直接觀測值值，而是觀觀測值的函函數(shù)。觀測測值的誤差差使其函數(shù)數(shù)也具有一一定的誤差差。例如：：和差函數(shù)—例如算術(shù)平平均值例如斜距改改平例如分段量量距相加例如圖上量量長度,化為實(shí)地長長度倍函數(shù)—線性函數(shù)—一般函數(shù)—二、一般函函數(shù)的中誤誤差4926舉例說明：：矩形地塊塊，量長度度a、寬度b，求其面積P。面積是觀測測值長度a和寬度b的函數(shù)，函函數(shù)式為：：對(duì)函數(shù)式中中的自變量量a、b求偏微分:將微分元素素以偶然誤誤差Δi代替面積誤差(圖中陰影面面積)具有直觀的幾何何意義4927對(duì)于上述地地塊的長度度和寬度進(jìn)進(jìn)行n次觀測：上列n個(gè)等式平平方后取取其總和和，并除除以n,得到：根據(jù)偶然然誤差的的抵償性性，得到到：按照中誤誤差的定定義，上上式可改改寫為求面積中中誤差公式：4928誤差傳播播定律—一般函數(shù)數(shù)的中誤誤差計(jì)算算式中xi為自變量(獨(dú)立觀測值值)，設(shè)mi為觀測值的的中誤差，，Z為獨(dú)立變量量的函數(shù)。。則Z的中誤差為為：式中為為各各個(gè)變量的的偏導(dǎo)數(shù)。4929三、線性函函數(shù)和倍函函數(shù)的中誤誤差線性函數(shù)：：自變量的偏偏導(dǎo)數(shù)：按照誤差傳傳播定律，，得到線性性函數(shù)的中中誤差：算術(shù)平均值值也也屬于觀測測值的線性性函數(shù)，根根據(jù)誤差傳播定律：4930由于是等精度度觀測,因此m1=m2=…=mn=m由此可見，算算術(shù)平均值的的中誤差比觀觀測值的中誤誤差小倍倍。如果線性函數(shù)數(shù)只有一個(gè)自自變量：,則成為倍函數(shù)，其中誤差為為：上式中的系數(shù)數(shù)k，即為誤差擴(kuò)大大的倍數(shù)。4931函數(shù)式為：D=500d實(shí)地距離和量量距中誤差為為：該距離及其中中誤差可以寫寫成：例：量得比例尺為為1∶500的地形圖上兩兩點(diǎn)間長度d=134.7mm,圖上量距中誤誤差為0.2mm,換算為實(shí)地距距離D和量距中誤差差mD。4932其中誤差均為為：和差函數(shù)的中中誤差計(jì)算方方式也可用于于多種獨(dú)立誤誤差來源的觀測值中誤誤差的計(jì)算。。例如用測角角儀器觀測水水平方向時(shí)，同時(shí)受到到對(duì)中、瞄準(zhǔn)準(zhǔn)、讀數(shù)、儀儀器誤差、大大氣折光等誤差影響，，觀測水平方方向的偶然誤誤差是這些誤誤差的代數(shù)和和：故觀測水平方方向的中誤差差為：誤差傳播定律律小結(jié)第一步：寫出出包含各個(gè)自自變量(獨(dú)立觀測值)的函數(shù)式第二步：寫出出全微分式(計(jì)算對(duì)各個(gè)自自變量的偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù))第三步：按誤誤差傳播定律律寫出中誤差差關(guān)系式注意：誤差傳播定律律只適用于將將各個(gè)獨(dú)立觀觀測值作為自變量。如如果觀測值之之間是相關(guān)的的，則得到的結(jié)果將是不不嚴(yán)格的。4933函數(shù)式：函數(shù)中誤差：：§5-6誤差傳播定律律的應(yīng)用4934一、距離測量量的精度光電測距的誤誤差來源有：：儀器誤差、、氣溫氣壓測測定誤差、儀儀器對(duì)中誤差差、傾斜改正正垂直角測定定誤差等。這這里僅討論前前二者，即儀儀器頻率調(diào)制制誤差df、測定定相位位的誤誤差dΔφ以及氣氣象測測定誤誤差影影響折折射率率dn。斜距測測定的函數(shù)數(shù)式對(duì)各個(gè)個(gè)自變變量求偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得得到真誤差差關(guān)系系式用誤差差傳播播定律律得到到光電電測距距中誤誤差的的估算算式：：4935上式根號(hào)號(hào)內(nèi)第一一項(xiàng)為測測定相位位誤差的的影響，，它與距距離長短短無關(guān)，，稱為““常誤差a”；第二、、第三相相為氣象象測定誤誤差與頻頻率誤差差的影響響，它們們均與距距離長度度成正比比，稱為為“比例誤差差b”。因此此,光電測距距的誤差差估算式式：上式常作作為測距距儀本身身的精度度指標(biāo)，，a的單位為為mm，b為百萬分分率，即即每公里里的毫米米數(shù)(mm/km)。二、角度度測量的的精度DJ6級(jí)經(jīng)緯儀儀和6秒級(jí)全站站儀一測測回方向向觀測值值中誤差m=±6″″，水平角角為兩個(gè)個(gè)方向觀觀測值之之差，故故一測回水平角角觀測的的中誤差差為：4936一測回水水平角取取盤左盤盤右角度度的平均均值，故故半測回回水平角角值的中中誤差為為：盤左、盤盤右水平平角值之之差的中中誤差為為：以2倍中誤差差作為極極限誤差差為±34″″(一般規(guī)定定40″)多邊形水水平角觀觀測角度度閉合差差的規(guī)定定多邊形內(nèi)角(水平角β)之和在理論上上應(yīng)為(n-2)180°,由于水平角觀測中的的偶然誤差，，產(chǎn)生角度閉閉合差：4937每個(gè)角度的測測角中誤差為為mβ,則n個(gè)角度之和的的中誤差:以2倍中誤差作為為極限誤差,則n邊形的角度的的允許閉合差差例：設(shè)水平角角觀測的中誤誤差mβ=±18″,則三角形的允允許角度閉合差差：三、、水水準(zhǔn)準(zhǔn)測測量量的的精精度度水準(zhǔn)準(zhǔn)測測量量高高差差測測定定的的計(jì)計(jì)算算式式h=a-b,設(shè)用用S3水準(zhǔn)準(zhǔn)儀儀在在水水準(zhǔn)準(zhǔn)尺尺讀讀數(shù)數(shù)的的中中誤誤差差m=±1mm，則一次次測測定定高高差差的的中中誤誤差差：：4938兩次次測測定定高高差差之之差差Δh=h1-h2,則高高差差之之差差的的中誤誤差差：：以2倍中中誤誤差差作作為為極極限限誤誤差差,則允允許許的的高高差差之之差為為±4mm水準(zhǔn)準(zhǔn)路路線線高高差差測測定定的的精精度度4939在一一條條附附合合水水準(zhǔn)準(zhǔn)路路線線進(jìn)進(jìn)行行水水準(zhǔn)準(zhǔn)測測量量,共設(shè)設(shè)n個(gè)測測站站,其高高差差的總總和和：：設(shè)水水準(zhǔn)準(zhǔn)尺尺讀讀數(shù)數(shù)誤誤差差為為m,每次次高高差差測測定定中中誤誤差差為為mh,則線線路路的的高高差差總總和和的的中中誤誤差差：：設(shè)水水準(zhǔn)準(zhǔn)線線路路長長度度為為L,各測測站站前前、、后后視視平平均均長長度度為為d,單位位長度度的的高高差差測測量量中中誤誤差差為為m0,則：：，，L以公公里里為為單單位位m0為每每公公里里高高差測測量量中中誤誤差差4940上式式說說明明：：水水準(zhǔn)準(zhǔn)測測量量的的精精度度與與水水準(zhǔn)準(zhǔn)路路線線的的長長度度的的平平方方根根成正正比比。。水準(zhǔn)準(zhǔn)測測量量的的等等級(jí)級(jí)以以每每公公里里高高差差測測量量的的中中誤誤差差mo作為精精度指指標(biāo)：：水準(zhǔn)測量等級(jí)一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm據(jù)此,可以按按水準(zhǔn)準(zhǔn)測量量等級(jí)級(jí)和設(shè)設(shè)計(jì)水水準(zhǔn)路路線長長度,估算水準(zhǔn)測測量全全程的的高差差中誤誤差。。例如如,路線長長5km的四等等水準(zhǔn)測測量的的精度度：四、坐坐標(biāo)計(jì)計(jì)算的的精度度4941兩點(diǎn)之之間,如果已已測定定其水水平距距離D和方位位角α,則可按按下式式計(jì)算算其坐坐標(biāo)增增量：：對(duì)觀測測值(自變量量)D和α求偏導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)式式的全微分分：按誤差傳播播定律,將上式轉(zhuǎn)換換為坐標(biāo)增增量的中誤誤差表達(dá)式式4942坐標(biāo)增量的的中誤差:上式右邊根根號(hào)內(nèi)第一一項(xiàng)為縱向向誤差,是由距離誤誤差造成,第二項(xiàng)為橫橫向誤差,是由角度誤誤差造成。。由縱橫坐坐標(biāo)增量誤差或或縱橫向誤誤差，形成成兩點(diǎn)間的的相對(duì)點(diǎn)位位誤差：一、不等精精度觀測與與觀測值的的權(quán)4943§5-7加權(quán)平均值值及其中誤誤差同一量的一一系列等精精度觀測值值可以取其其算術(shù)平均均值，而同一量的的一系列不不等精度觀觀測值則應(yīng)應(yīng)取其加權(quán)平均值值?！皺?quán)”(P)意為衡量輕輕重,觀測值的中中誤差(m)小,則權(quán)大;反之則權(quán)小小。定義權(quán)與中中誤差的平平方成反比比：C為任意常數(shù)數(shù)。等于1的權(quán)稱為““單位權(quán)””,權(quán)等于1的中