習題《幾個常用的函數(shù)的導數(shù)》同步練習及答案

第1課時幾個常用的函數(shù)的導數(shù)同步練習一、選擇題1．下列結(jié)論不正確的是()A．若y＝0，則y′＝0B．若y＝5x，則y′＝5C．若y＝x－1，則y′＝－x－2[答案]D2．若函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′(1)等于()A．0 B．－eq\f(1,2)C．2 \f(1,2)[答案]D[解析]f′(x)＝(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x))，所以f′(1)＝eq\f(1,2×\r(1))＝eq\f(1,2)，故應選D.3．拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點(2,1)處的切線方程是()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵f(x)＝eq\f(1,4)x2，∴f′(2)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)Δx))＝1.∴切線方程為y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝()A．0 B．3x2C．8 D．12[答案]D[解析]f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f((2＋Δx)3－23,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(6Δx2＋12Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(6Δx＋12)＝12，故選D.5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于()A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]A[解析]若α＝2，則f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2適合條件．故應選A.6．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]∵y＝x3＋x2－x－1∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((1＋Δx)3＋(1＋Δx)2－(1＋Δx)－1,Δx)＝4＋4Δx＋(Δx)2，∴y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.故應選D.7．曲線y＝x2在點P處切線斜率為k，當k＝2時的P點坐標為()A．(－2，－8) B．(－1，－1)C．(1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))[答案]C[解析]設點P的坐標為(x0，y0)，∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，∴x0＝1，∴y0＝xeq\o\al(2,0)＝1，即P(1,1)，故應選C.8．已知f(x)＝f′(1)x2，則f′(0)等于()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝29．曲線y＝eq\r(3,x)上的點P(0,0)的切線方程為()A．y＝－x B．x＝0C．y＝0 D．不存在[答案]B[解析]∵y＝eq\r(3,x)∴Δy＝eq\r(3,x＋Δx)－eq\r(3,x)＝eq\f(x＋Δx－x,(\r(3,x＋Δx))2＋\r(3,x(x＋Δx))＋(\r(3,x))2)＝eq\f(Δx,(\r(3,x＋Δx))2＋\r(3,x(x＋Δx))＋(\r(3,x))2)∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,(\r(3,x＋Δx))2＋\r(3,x(x＋Δx))＋(\r(3,x))2)∴曲線在P(0,0)處切線的斜率不存在，∴切線方程為x＝0.10．質(zhì)點作直線運動的方程是s＝eq\r(4,t)，則質(zhì)點在t＝3時的速度是()\f(1,4\r(4,33)) \f(1,4\r(3,34))\f(1,2\r(3,34)) \f(1,3\r(4,43))[答案]A[解析]Δs＝eq\r(4,t＋Δt)－eq\r(4,t)＝eq\f(\r(t＋Δt)－\r(t),\r(4,t＋Δt)＋\r(4,t))＝eq\f(t＋Δt－t,(\r(4,t＋Δt)＋\r(4,t))(\r(t＋Δt)＋\r(t)))＝eq\f(Δt,(\r(4,t＋Δt)＋\r(4,t))(\r(t＋Δt)＋\r(t)))∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,2\r(4,t)·2\r(t))＝eq\f(1,4\r(4,t3))，∴s′(3)＝eq\f(1,4\r(4,33)).故應選A.二、填空題11．若y＝x表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，則y′＝1可以解釋為________．[答案]某物體做瞬時速度為1的勻速運動[解析]由導數(shù)的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動．12．若曲線y＝x2的某一切線與直線y＝4x＋6平行，則切點坐標是________．[答案](2,4)[解析]設切點坐標為(x0，xeq\o\al(2,0))，因為y′＝2x，所以切線的斜率k＝2x0，又切線與y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切點為(2,4)．13．過拋物線y＝eq\f(1,5)x2上點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5)))的切線的斜率為______________．[答案]eq\f(4,5)[解析]∵y＝eq\f(1,5)x2，∴y′＝eq\f(2,5)x∴k＝eq\f(2,5)×2＝eq\f(4,5).14．(2022·江蘇，8)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖像在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴過點(ak，aeq\o\al(2,k))的切線方程為y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列，首項a1＝16，其公比q＝eq\f(1,2)，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答題15．過點P(－2,0)作曲線y＝eq\r(x)的切線，求切線方程．[解析]因為點P不在曲線y＝eq\r(x)上，故設切點為Q(x0，eq\r(x0))，∵y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴過點Q的切線斜率為：eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(x0),x0＋2)，∴x0＝2，∴切線方程為：y－eq\r(2)＝eq\f(1,2\r(2))(x－2)，即：x－2eq\r(2)y＋2＝0.16．質(zhì)點的運動方程為s＝eq\f(1,t2)，求質(zhì)點在第幾秒的速度為－eq\f(2,64).[解析]∵s＝eq\f(1,t2)，∴Δs＝eq\f(1,(t＋Δt)2)－eq\f(1,t2)＝eq\f(t2－(t＋Δt)2,t2(t＋Δt)2)＝eq\f(－2tΔt－(Δt)2,t2(t＋Δt)2)∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－2t,t2·t2)＝－eq\f(2,t3).∴－eq\f(2,t3)＝－eq\f(2,64)，∴t＝4.即質(zhì)點在第4秒的速度為－eq\f(2,64).17．已知曲線y＝eq\f(1,x).(1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程；(2)求曲線過點Q(1,0)處的切線方程；(3)求滿足斜率為－eq\f(1,3)的曲線的切線方程．[解析]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)顯然P(1,1)是曲線上的點．所以P為切點，所求切線斜率為函數(shù)y＝eq\f(1,x)在P(1,1)點導數(shù)．即k＝f′(1)＝－1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上．則可設過該點的切線的切點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝eq\f(－1,a2).則切線方程為y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)．①將Q(1,0)坐標代入方程：0－eq\f(1,a)＝eq\f(－1,a2)(1－a)．解得a＝eq\f(1,2)，代回方程①整理可得：切線方程為y＝－4x＋4.(3)設切點坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，則切線斜率為k＝－eq\f(1,a2)＝－eq\f(1,3)，解得a＝±eq\r(3)，那么Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),3)))，A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(\r(3),－3))).代入點斜式方程得y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x－eq\r(3))或y＋eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(1,3)(x＋eq\r(3))．整理得切線方程為y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2\r(3),3)或y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(2\r(3),3).18．求曲線y＝eq\f(1,x)與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．[解析]兩曲線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{