變式教學課件

變式教學在數學教學中的

應用莊浪縣大莊中學變式教學在數學教學中的

應用莊浪縣大莊中學1

在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創(chuàng)新。數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，適當地應用數學“變式教學”是一種十分有效的手段。在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進2

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某種范式（數學教材中具體的知識、問題、思維模式等）的變形形式，通過不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質特征的情況下，使事物的外在非本質的屬性不斷遷移，變化。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某3采用變式方式進行教學就是變式教學。變式教學是一種有效的數學教學途徑，可以提高學生的思維能力、應變能力；也可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。教師利用變式教學，能引導學生對數學問題多角度，多方位，多層次地思考和討論，使學生更深刻地理解數學知識；引導學生從“變”得現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，提高學生的思維能力和創(chuàng)新精神。采用變式方式進行教學就是變式教學。變式教學是一種4一、對變式教學的理解

數學變式教學，是指通過不同角度、不同的側面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數學對象或數學問題的呈現形式，使事物的非本質特征發(fā)生變化而本質特征保持不變的教學形式.1.1數學變式教學的本質含義一、對變式教學的理解數學變式教學，是指通過不同角度、5一、對變式教學的理解1.2初中數學變式教學的意義

★初中數學變式教學，對提高學生的思維能力、應變能力是大有益處．

★變式教學在教學過程中不僅是對基礎知識、基本技能和思維的訓練，而且也是有效實現新課程三維教學目標的重要途徑．一、對變式教學的理解1.2初中數學變式教學的意義6一、對變式教學的理解在復習“坐標系內的圖形對稱”時，曾經設計過如下的題目【案例1】點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標是()；關于y軸對稱的點的坐標是()；關于原點對稱的點的坐標是().變式1

直線y=2x-1關于x軸對稱的直線的解析式是

；關于y軸對稱的直線的解析式是

；關于原點對稱的直線的解析式是

.一、對變式教學的理解在復習“坐標系內的圖形對稱”時，曾經設7變式2

雙曲線y=1/x，關于x軸對稱的解析式是；關于y軸對稱的解析式是

關于原點對稱的解析式是

.變式3

拋物線y=3x2+2x-1，關于x軸對稱的是

關于y軸對稱的解析式是;關于原點對稱的解析式是

.變式2雙曲線y=1/x，關于x軸對稱的解析式是；8一、對變式教學的理解【案例2】又如，在勾股定理的應用中。題目：如圖1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正方形，這三個正方形的面積分別記為s1,s2，

s3，探索三者之間的關系。

圖1一、對變式教學的理解【案例2】又如，在勾股定理的應用中。圖19變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正三角形，這三個正三角形的面積分別記為，s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關系。圖2變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分10變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為直徑作半圓，這三個半圓的面積分別記為s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關系。變式3：你認為所作的圖形具備什么特征時，均有這樣的關系。圖3變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分11二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則12二、變式教學要遵循的原則2.1

針對性原則

變式教學要根據學習需要，遵循學生的認知規(guī)律設計，其目的是通過變式使學生在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力，形成解題技能，最終完成“知識-應用-理解-形成技能-培養(yǎng)能力”的認知過程。所以對于不同的課型，對變式教學的目的應不同。例如，新授課的變式教學應服務于本節(jié)課的教學目的；習題課的“變式教學”應以本章節(jié)內容為主，適當滲透一些數學思想和數學方法；復習課的變式教學不但要滲透數學思想和數學方法，還要進行縱向和橫向的聯系，同時變式習題要緊扣課標；在試卷講評課時，變式教學就要根據學生答題的情況進行有針對性地查漏補缺、鞏固、提高。二、變式教學要遵循的原則2.1針對性原則變式教學要根據13二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

1、變式設計要有差異性。設計數學問題變式，要強調一個“變”字，但不能“變”得過于簡單，不能讓學生認為是簡單的“重復勞動”，打消學生思考問題的積極性；難度較大的變式習題容易挫傷學生的學習積極性，使學生喪失自信心，難以獲得成功的喜悅，所以在選擇習題進行變式時要變得有“度”。從心理學角度分析，新穎的題目對學生刺激強，學生做題的興奮度高，注意力容易集中，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓練效果。所以變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學生對每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，深深吸引學生的好奇心與求知欲。二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則1、變14二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

2、變式設計要有層次性。剛才講到變式教學要難易適中，同時，變式教學中問題的設計還要層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學生的好奇心和求知欲。要讓學生經過思考，能夠跨過一個個“門檻”，這樣既達到訓練的目的，又可以培養(yǎng)學生的思考問題的方式。

二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則2、變式15二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

3、變式設計要有內涵性。變式設計的問題要爭取具有典型性，要注意知識之間的橫、縱向聯系，具有延伸性，爭取內涵豐富，給學生留下充足的思維空間。要通過“變式訓練”讓學生體會到相應的數學思想方法，提高學生的思維品質，讓學生在美麗的變式中領略數學的魅力。

二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則16二、變式教學要遵循的原則2.3

參與性原則

在變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽地“變”，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。不要小看學生的能力，他們會創(chuàng)造出令老師驚訝的結果。二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則17三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學【案例4】“矩形”的概念教學【案例5】“絕對值”的概念教學三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”183.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學正方形41619三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概念教學三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概20三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學填空(在橫線內填>、<或=)若a=5,則|a|

0若a=-3,則|a|0若a=0,則|a|0若a＞0,則|a|

0若a＜0則|a|0若a=0,則|a|

0總結得出結論：無論a為何值|a|≥0三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的21三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式1：若|a|=0，則a=()若|a|+|b|=0,則a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,則a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,則a1=()a2=(),……an=()

三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的22三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式2：若|a-1|=0，則a=()若|a-1|+|b+2|=0,則a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,則a=(),b=(),c=()三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的23三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式3：若a2=0，則a=()若a2+b2=0,則a=(),b=()若|a|+b2=0,則a=(),b=()三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的24

概念在數學教學中的比例較大，能否正確理解概念是學生學好數學的關鍵，但是概念通常比較抽象，學生感覺枯燥，學習起來索然無味，并且難以理解，通過變式等手段，不僅能有效的解決這一難題，使學生渡過難關，而且還可加深學生對概念內涵和外延的更深層次的理解。概念在數學教學中的比例較大，能否正確理解概念是25三、變式教學應用舉例3.2

圖形變式【案例6】在直線上找一點到已知兩點的距離之和最小問題【案例7】等腰三角形底邊上一點到兩腰距離之和問題【案例8】弦切角的性質三、變式教學應用舉例3.2圖形變式【案例6】在直線上找一263.2圖形的變式案例6如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最短。LBAP3.2圖形的變式案例6LBAP27如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2圖形的變式如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA28變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線BD上求作一點P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2圖形的變式變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線29如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的動點，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2圖形的變式鏈接中考解：連接AE交BD于P，則P為所求且AE的長就是PE+PC的最小值。P如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的30拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿APC的周長最短？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由。解：存在。連接BC交直線X=1于點P,則P為所求的點。∵B(3，0)C(0，-3)∴直線BC的解析式為：y=X-3當X=1時y=-2∴點P的坐標是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1鏈接中考P拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿31案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明：連接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2圖形的變式案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中32已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是AD上一點，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP（2）3.2圖形的變式已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P33已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是DA延長線上一點，且PE⊥AB交BA的延長線于E，PF⊥AC交CA的延長線于F。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP3.2圖形的變式已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P34如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE+PF=定值。證明：連接AP則S△ABC=S△ABP+S△ACP∴?AC·BD=?AB·PE+?AC·PF∵AB=AC∴?AC·BD=?AC·PE+?AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值ABCFDEP3.2圖形的變式如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥A35問題：當動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其動點到兩腰的距離之間有何關系呢？此時，S△ABP－S△ACP=S△ABC即?AB·PE－?AP·PF=?AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2圖形的變式問題：當動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其36問題：當動點在三角形內部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一定的等量關系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF（在這里我們找不到有價值的東西，那如果△ABC是等邊三角形呢？）ABCFPEDG3.2圖形的變式問題：當動點在三角形內部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一37S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2圖形的變式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF38問題：當動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結論呢？由圖知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴?AB·PG－?BC·PE－?AC·PF=?AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2圖形的變式問題：當動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結論呢？ADB39案例8弦切角的性質

觀察：如圖1，如果將線段DE以點D為中心作逆時針旋轉，同時保證線段BC與DE仍然相交于圓周上，當DE變?yōu)閳A的切線時（如圖2），你能發(fā)現什么現象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2圖形的變式2案例8弦切角的性質觀察：如圖1，如40根據圓內接四邊形的性質可知，圖1中∠BCE=∠A，當圖形變化為圖2后，DE成為切線，那么∠BCE=∠A仍然成立嗎？猜想：△ABC是⊙O的內接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A。分析：我們先從特殊的情形入手證明該猜想。當△ABC為直角三角形時可能會使證明簡單化，如果這時猜想能夠成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再討論銳角三角形和鈍角三角形的情形。3.2圖形的變式根據圓內接四邊形的性質可知，圖1中∠BCE=∠A，當圖形變化41證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是直角三角形。∵CE為切線，所以∠BCE=90°。∵∠A是半圓上的圓周角∴∠A=90°。∴∠BCE=∠A。ABOEC圖33.2圖形的變式證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是42（2）如圖4，圓心O在△ABC的內部，即△ABC為銳角三角形。作⊙O的直徑CP，連結AP，則∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB圖43.2圖形的變式OAECPB圖43.2圖形的變式43（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，即△ABC為鈍角三角形。作⊙O的直徑CP，連結AP，則∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。綜上所述，猜想成立。圖5AOBPEC3.2圖形的變式（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，圖5AOBPEC3.244如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取名為弦切角。準確地說，頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。于是我們可以將上述經過證明后的猜想表述為：弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。3.2圖形的變式AD(C)BEO圖6如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取45

案例7中的圖形變式，能夠發(fā)現幾何中的一些有價值的結論。案例8中猜想的證明滲透了分類思想、特殊化思想和化歸思想。反思:數學之間的聯系往往不是十分明顯，經常隱藏于例題或習題之中。教學中如果重視對課本例題和習題進行拓展延伸，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識串成一條線，往往會起到意想不到的結果。3.2圖形的變式3.2圖形的變式46三、變式教學應用舉例3.3

結構變式【案例9】圓中的有關結論DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、變式教學應用舉例3.3結構變式【案例9】圓中的有關結47三、變式教學應用舉例圖1

【案例10】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.3.4

題目變式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、變式教學應用舉例圖1【案例10】已知：如圖1，在Rt48三、變式教學應用舉例圖2

變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD..3.4

題目變式弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結論由三角形全等弱化為三角形相似三、變式教學應用舉例圖2變式1如圖2，在Rt△CAB和49三、變式教學應用舉例圖3變式2

如圖3，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.

3.4

題目變式弱化條件“直角”，則“全等”結論仍然成立三、變式教學應用舉例圖3變式2如圖3，在△ABC和△C50三、變式教學應用舉例圖4

變式3

如圖4，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．3.4

題目變式同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結論由全等弱化為相似三、變式教學應用舉例圖4變式3如圖4，在△ABC和51

試題1

如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點P在BC上運動的過程中y的最大值；（2）當y=3/4cm時，求x的值．圖5鏈接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴當x=2時Y有最大值1（2）當y=3/4時，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴當x=1或x=3時y=3/4試題1如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P52

試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，D為AC邊上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖6鏈接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD設AB=x,則PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，53

試題3

如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達點B,C）,過點D作∠ADE=45°,DE交AC于點E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數關系式．

圖7鏈接中考（1）證明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化簡得y=1/2x2_x+2

試題3如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A54試題4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經過點C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖8(1)的位置時，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當直線MN繞點C旋轉到圖8(2)的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關系？試寫出這個等量關系，并加以證明．圖8試題4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN55

分析：第一問中兩三角形的全等的證明就是案例11的題目，我們已經證明過了。由全等可知AD=CE,CD=BE又DE=DC+CE∴DE=AD+BE.第二問中DE，AD，BE之間的關系可能是DE=AD-BE同理可證△ACD≌△CBE∴AD=CE,CD=BE又DE=CE-CD∴DE=AD-BE分析：第一問中兩三角形的全等的證明就是案例11的題目，563.5

方法變式

所謂“方法變式”就是把同一個問題的不同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法聯結起來（“一題多解”）.三、變式教學應用舉例3.5方法變式所謂“方法變式”就是把同一個57三、變式教學應用舉例【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖1

思路1：（延長法）如圖1，延長CE至點D′,使ED′=CE，連接AD′，BD′，則CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可.三、變式教學應用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中，58三、變式教學應用舉例

【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.

思路2：（截取法）如圖1，取CD的中點E′，連接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而，得證.圖1三、變式教學應用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中59三、變式教學應用舉例

【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖1

思路3：（相似法）如圖1，利用△AEC∽△ACD，相似比為1︰2，得，得證.

三、變式教學應用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中60案例11：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點D作DM∥CF交AB于M∵BD=DCDM∥CF∴BM=FM=1/2FB∵DM∥CF∴AE:ED=AF:FM∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例MACBDFE案例11：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分61例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點D作DN∥AB交CF于N∵BD=DCDN∥AB∴FN=CN∵BD=DC∴DN=1/2FB∵DN∥CF∴AE:ED=AF:DN∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例ACBDFEN例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于62例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點A作AP∥BC交CF的延長線于P∵AP∥CB∴AE:ED=AP:CD∴AF:FB=AP:BC∵BD=CD=1/2BC∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例PACBDEF例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于63例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點A作AQ∥FC交BC的延長線于Q∵AQ∥CF∴AE:ED=CQ:CD∴AF:FB=CQ:CB∵BD=CD∴BC=2CD∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例QABDFEC例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于64例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點B作BL∥FC交AD的延長線于L、則△BDL≌△CDE∴LD=DE=1/2EL∵BL∥CF∴AF:FB=AE:EL∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例ACBDFEL例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于65例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點B作BS∥AD交CF的延長線于S、∵BS∥ADBD=CD∴SE=CE∴BS=2ED∵BS∥AD∴AF:FB=AE:BS∴AF:FB=AE:2ED∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學應用舉例ACBDFES例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于66說明：上面六種方法，都是過某個點作平行線來解決問題的。其中第1、2種方法是過D點作的平行線（DM∥CF或DN∥AB）;第3、4種方法是過A點作的平行線（AP∥BC或AQ∥FC);第5、6種方法是過B點作的平行線點B作的平行線（BL∥FC交AD的延長線于L;過點B作BS∥AD交CF的延長線于S)。在這六種方法中用到的知識點有：中點的性質，全等三角形的判定、性質、三角形中位線的性質，相似三角形的判定、性質、平行線分線段成比例定理、等量代換等。三、變式教學應用舉例說明：上面六種方法，都是過某個點作平行線來三、變式67

一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和解體技巧。而采取一題多變的形式，可以訓練學生積極思維，觸類旁通，提高學生思維的敏捷性、靈活性、和深刻性。不管是一題多解還是一題多變都有利于將知識、能力和思想方法在更多的新情景。更高的層次中，不斷地反復滲透，從而達到了螺旋式的再認識，再深化，乃至升華的效果。通過“一題多變、一題多解”的訓練，能激發(fā)學生的興趣和求知欲。不過，所有的變式都要鼓勵學生從多角度去分析，選最優(yōu)的方法去解決。三、變式教學應用舉例一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問68三、變式教學應用舉例

案例12：求證：順次連結任意（凸）四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。.3.6

問題變式變式1：順次連結任意平行四邊形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式2：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式3：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式4：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形_______形,并證明。三、變式教學應用舉例案例12：求證：順次連結任意（凸）四69三、變式教學應用舉例

.3.6

問題變式變式5：順次連結等腰梯形各邊中點所得的四邊形_______形,并證明。變式6：順次連結滿足什么條件的四邊形各邊中點得到平行四邊形。變式7：順次連結滿足什么條件的四邊形各邊中點得到矩形變式8：順次連結滿足什么條件的四邊形各邊中點得到菱形。變式9：順次連結滿足什么條件的四邊形各邊中點得到正方形。三、變式教學應用舉例.3.6問題變式變式5：順次連結等70三、變式教學應用舉例

.3.6

問題變式通過這樣一系列變式，一方面使學生充分掌握了四邊形的中點四邊形與原四邊形的對角線有關。當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形；當原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形是矩形；當原四邊形的對角線互相垂直且相等時，中點四邊形是正方形；其余四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。另一方面使學生也掌握了這一章節(jié)所有基礎知識和基本概念，溝通了不同知識間的內在聯系，為進行數學問題演變奠定了堅實的知識基礎。三、變式教學應用舉例.3.6問題變式通過71三、變式教學應用舉例

.3.6

問題變式通過這樣一系列變式，一方面使學生充分掌握了四邊形的中點四邊形與原四邊形的對角線有關。當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形；當原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形釋具行；當原四邊形的對角線互相垂直且相等時，中點四邊形是正方形；其余四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。另一方面使學生也掌握了這一章節(jié)所有基礎知識和基本概念，溝通了不同知識間的內在聯系，為進行數學問題演變奠定了堅實的知識基礎。三、變式教學應用舉例.3.6問題變式通過72案例13如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD本題考查的知識點是相似三角形的性質，變換問題，則得到一組變式題?！馩ACBED案例13如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的73變式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圓的直徑。連接BE,則圖中共有多少個三角形相似于△ABC。E●OACBD有3個，分別是△BAE,△DBA,△DAC變式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圓的74變式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圓的直徑，AB=4，AC=3，AD=2。求△ABC外接圓的面積?！馩ACBED連接AE，證△ABE相似于△DAC即可變式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圓的直徑，75案例13：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n解：mn=m+n變形為（n-1)m=n當n=1時，0·m=1不成立∴n≠1m=

==1+三、變式教學應用舉例∵m、n都是整數∴n-1是1的約數即n-1=±1∴n=2或n=0當n=2時m=2當n=0時m=0∴m=n=2或m=n=0案例13：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n三76變式1：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+1解：mn=m+n+1變形為（n-1)m=n+1當n=1時，0·m=2不成立∴n≠1m=

=

=1+三、變式教學應用舉例∵m、n都是整數∴n-1是2的約數即n-1=±1n-1=±2∴n1=2n2=0n3=3n4=-1對應的m1=3m2=-1m3=2m4=0變式1：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+177變式2：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+2解：mn=m+n+2變形為（n-1)m=n+2當n=1時，0·m=3不成立∴n≠1

m=

=

=1+三、變式教學應用舉例∵m、n都是整數∴n-1是3的約數即n-1=±1n-1=±3∴n1=2n2=0n3=4n4=-2m1=4m2=-2m3=2m4=0變式2：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+278變式3：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+3分析：mn=m+n+2變形為（n-1)m=n+3當n=1時，0·m=4不成立

∴n≠1

m=

==1+三、變式教學應用舉例變式3：已知m、n是整數，解關于m、n的方程mn=m+n+379四、變式教學要把握好三個“度”4.1

變式的數量要“適度”4.2

問題設計要有“梯度”

4.3

要提高學生的“參與度”四、變式教學要把握好三個“度”4.1變式的數量要“適度80經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫81謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演講人：XXXXXX時間：XX年XX月XX日

謝謝大家演講人：XXXXXX82變式教學在數學教學中的

應用莊浪縣大莊中學變式教學在數學教學中的

應用莊浪縣大莊中學83

在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創(chuàng)新。數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，適當地應用數學“變式教學”是一種十分有效的手段。在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進84

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某種范式（數學教材中具體的知識、問題、思維模式等）的變形形式，通過不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質特征的情況下，使事物的外在非本質的屬性不斷遷移，變化。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某85采用變式方式進行教學就是變式教學。變式教學是一種有效的數學教學途徑，可以提高學生的思維能力、應變能力；也可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。教師利用變式教學，能引導學生對數學問題多角度，多方位，多層次地思考和討論，使學生更深刻地理解數學知識；引導學生從“變”得現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律，提高學生的思維能力和創(chuàng)新精神。采用變式方式進行教學就是變式教學。變式教學是一種86一、對變式教學的理解

數學變式教學，是指通過不同角度、不同的側面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數學對象或數學問題的呈現形式，使事物的非本質特征發(fā)生變化而本質特征保持不變的教學形式.1.1數學變式教學的本質含義一、對變式教學的理解數學變式教學，是指通過不同角度、87一、對變式教學的理解1.2初中數學變式教學的意義

★初中數學變式教學，對提高學生的思維能力、應變能力是大有益處．

★變式教學在教學過程中不僅是對基礎知識、基本技能和思維的訓練，而且也是有效實現新課程三維教學目標的重要途徑．一、對變式教學的理解1.2初中數學變式教學的意義88一、對變式教學的理解在復習“坐標系內的圖形對稱”時，曾經設計過如下的題目【案例1】點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標是()；關于y軸對稱的點的坐標是()；關于原點對稱的點的坐標是().變式1

直線y=2x-1關于x軸對稱的直線的解析式是

；關于y軸對稱的直線的解析式是

；關于原點對稱的直線的解析式是

.一、對變式教學的理解在復習“坐標系內的圖形對稱”時，曾經設89變式2

雙曲線y=1/x，關于x軸對稱的解析式是；關于y軸對稱的解析式是

關于原點對稱的解析式是

.變式3

拋物線y=3x2+2x-1，關于x軸對稱的是

關于y軸對稱的解析式是;關于原點對稱的解析式是

.變式2雙曲線y=1/x，關于x軸對稱的解析式是；90一、對變式教學的理解【案例2】又如，在勾股定理的應用中。題目：如圖1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正方形，這三個正方形的面積分別記為s1,s2，

s3，探索三者之間的關系。

圖1一、對變式教學的理解【案例2】又如，在勾股定理的應用中。圖191變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正三角形，這三個正三角形的面積分別記為，s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關系。圖2變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分92變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為直徑作半圓，這三個半圓的面積分別記為s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關系。變式3：你認為所作的圖形具備什么特征時，均有這樣的關系。圖3變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分93二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則94二、變式教學要遵循的原則2.1

針對性原則

變式教學要根據學習需要，遵循學生的認知規(guī)律設計，其目的是通過變式使學生在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力，形成解題技能，最終完成“知識-應用-理解-形成技能-培養(yǎng)能力”的認知過程。所以對于不同的課型，對變式教學的目的應不同。例如，新授課的變式教學應服務于本節(jié)課的教學目的；習題課的“變式教學”應以本章節(jié)內容為主，適當滲透一些數學思想和數學方法；復習課的變式教學不但要滲透數學思想和數學方法，還要進行縱向和橫向的聯系，同時變式習題要緊扣課標；在試卷講評課時，變式教學就要根據學生答題的情況進行有針對性地查漏補缺、鞏固、提高。二、變式教學要遵循的原則2.1針對性原則變式教學要根據95二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

1、變式設計要有差異性。設計數學問題變式，要強調一個“變”字，但不能“變”得過于簡單，不能讓學生認為是簡單的“重復勞動”，打消學生思考問題的積極性；難度較大的變式習題容易挫傷學生的學習積極性，使學生喪失自信心，難以獲得成功的喜悅，所以在選擇習題進行變式時要變得有“度”。從心理學角度分析，新穎的題目對學生刺激強，學生做題的興奮度高，注意力容易集中，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓練效果。所以變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學生對每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，深深吸引學生的好奇心與求知欲。二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則1、變96二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

2、變式設計要有層次性。剛才講到變式教學要難易適中，同時，變式教學中問題的設計還要層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學生的好奇心和求知欲。要讓學生經過思考，能夠跨過一個個“門檻”，這樣既達到訓練的目的，又可以培養(yǎng)學生的思考問題的方式。

二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則2、變式97二、變式教學要遵循的原則2.2

可行性原則

3、變式設計要有內涵性。變式設計的問題要爭取具有典型性，要注意知識之間的橫、縱向聯系，具有延伸性，爭取內涵豐富，給學生留下充足的思維空間。要通過“變式訓練”讓學生體會到相應的數學思想方法，提高學生的思維品質，讓學生在美麗的變式中領略數學的魅力。

二、變式教學要遵循的原則2.2可行性原則98二、變式教學要遵循的原則2.3

參與性原則

在變式教學中，教師要讓學生主動參與，不要總是教師“變”，學生“練”。要鼓勵學生大膽地“變”，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。不要小看學生的能力，他們會創(chuàng)造出令老師驚訝的結果。二、變式教學要遵循的原則2.3參與性原則99三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學【案例4】“矩形”的概念教學【案例5】“絕對值”的概念教學三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”1003.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學正方形416101三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概念教學三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概102三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學填空(在橫線內填>、<或=)若a=5,則|a|

0若a=-3,則|a|0若a=0,則|a|0若a＞0,則|a|

0若a＜0則|a|0若a=0,則|a|

0總結得出結論：無論a為何值|a|≥0三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的103三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式1：若|a|=0，則a=()若|a|+|b|=0,則a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,則a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,則a1=()a2=(),……an=()

三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的104三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式2：若|a-1|=0，則a=()若|a-1|+|b+2|=0,則a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,則a=(),b=(),c=()三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的105三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學變式3：若a2=0，則a=()若a2+b2=0,則a=(),b=()若|a|+b2=0,則a=(),b=()三、變式教學應用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的106

概念在數學教學中的比例較大，能否正確理解概念是學生學好數學的關鍵，但是概念通常比較抽象，學生感覺枯燥，學習起來索然無味，并且難以理解，通過變式等手段，不僅能有效的解決這一難題，使學生渡過難關，而且還可加深學生對概念內涵和外延的更深層次的理解。概念在數學教學中的比例較大，能否正確理解概念是107三、變式教學應用舉例3.2

圖形變式【案例6】在直線上找一點到已知兩點的距離之和最小問題【案例7】等腰三角形底邊上一點到兩腰距離之和問題【案例8】弦切角的性質三、變式教學應用舉例3.2圖形變式【案例6】在直線上找一1083.2圖形的變式案例6如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最短。LBAP3.2圖形的變式案例6LBAP109如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2圖形的變式如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA110變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線BD上求作一點P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2圖形的變式變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線111如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的動點，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2圖形的變式鏈接中考解：連接AE交BD于P，則P為所求且AE的長就是PE+PC的最小值。P如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的112拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿APC的周長最短？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由。解：存在。連接BC交直線X=1于點P,則P為所求的點?！連(3，0)C(0，-3)∴直線BC的解析式為：y=X-3當X=1時y=-2∴點P的坐標是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1鏈接中考P拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿113案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明：連接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2圖形的變式案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中114已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是AD上一點，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP（2）3.2圖形的變式已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P115已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是DA延長線上一點，且PE⊥AB交BA的延長線于E，PF⊥AC交CA的延長線于F。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP3.2圖形的變式已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P116如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE+PF=定值。證明：連接AP則S△ABC=S△ABP+S△ACP∴?AC·BD=?AB·PE+?AC·PF∵AB=AC∴?AC·BD=?AC·PE+?AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值ABCFDEP3.2圖形的變式如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥A117問題：當動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其動點到兩腰的距離之間有何關系呢？此時，S△ABP－S△ACP=S△ABC即?AB·PE－?AP·PF=?AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2圖形的變式問題：當動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其118問題：當動點在三角形內部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一定的等量關系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF（在這里我們找不到有價值的東西，那如果△ABC是等邊三角形呢？）ABCFPEDG3.2圖形的變式問題：當動點在三角形內部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一119S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2圖形的變式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF120問題：當動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結論呢？由圖知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴?AB·PG－?BC·PE－?AC·PF=?AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2圖形的變式問題：當動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結論呢？ADB121案例8弦切角的性質

觀察：如圖1，如果將線段DE以點D為中心作逆時針旋轉，同時保證線段BC與DE仍然相交于圓周上，當DE變?yōu)閳A的切線時（如圖2），你能發(fā)現什么現象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2圖形的變式2案例8弦切角的性質觀察：如圖1，如122根據圓內接四邊形的性質可知，圖1中∠BCE=∠A，當圖形變化為圖2后，DE成為切線，那么∠BCE=∠A仍然成立嗎？猜想：△ABC是⊙O的內接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A。分析：我們先從特殊的情形入手證明該猜想。當△ABC為直角三角形時可能會使證明簡單化，如果這時猜想能夠成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再討論銳角三角形和鈍角三角形的情形。3.2圖形的變式根據圓內接四邊形的性質可知，圖1中∠BCE=∠A，當圖形變化123證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是直角三角形。∵CE為切線，所以∠BCE=90°?！摺螦是半圓上的圓周角∴∠A=90°?！唷螧CE=∠A。ABOEC圖33.2圖形的變式證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是124（2）如圖4，圓心O在△ABC的內部，即△ABC為銳角三角形。作⊙O的直徑CP，連結AP，則∠PCE=∠CAP=90°?！摺螧CE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB圖43.2圖形的變式OAECPB圖43.2圖形的變式125（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，即△ABC為鈍角三角形。作⊙O的直徑CP，連結AP，則∠PCE=∠CAP=90°?！摺螧CE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。綜上所述，猜想成立。圖5AOBPEC3.2圖形的變式（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，圖5AOBPEC3.2126如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取名為弦切角。準確地說，頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。于是我們可以將上述經過證明后的猜想表述為：弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。3.2圖形的變式AD(C)BEO圖6如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取127

案例7中的圖形變式，能夠發(fā)現幾何中的一些有價值的結論。案例8中猜想的證明滲透了分類思想、特殊化思想和化歸思想。反思:數學之間的聯系往往不是十分明顯，經常隱藏于例題或習題之中。教學中如果重視對課本例題和習題進行拓展延伸，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識串成一條線，往往會起到意想不到的結果。3.2圖形的變式3.2圖形的變式128三、變式教學應用舉例3.3

結構變式【案例9】圓中的有關結論DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、變式教學應用舉例3.3結構變式【案例9】圓中的有關結129三、變式教學應用舉例圖1

【案例10】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.3.4

題目變式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、變式教學應用舉例圖1【案例10】已知：如圖1，在Rt130三、變式教學應用舉例圖2

變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD..3.4

題目變式弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結論由三角形全等弱化為三角形相似三、變式教學應用舉例圖2變式1如圖2，在Rt△CAB和131三、變式教學應用舉例圖3變式2

如圖3，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.

3.4

題目變式弱化條件“直角”，則“全等”結論仍然成立三、變式教學應用舉例圖3變式2如圖3，在△ABC和△C132三、變式教學應用舉例圖4

變式3

如圖4，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．3.4

題目變式同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結論由全等弱化為相似三、變式教學應用舉例圖4變式3如圖4，在△ABC和133

試題1

如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點P在BC上運動的過程中y的最大值；（2）當y=3/4cm時，求x的值．圖5鏈接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴當x=2時Y有最大值1（2）當y=3/4時，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴當x=1或x=3時y=3/4試題1如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P134

試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，D為AC邊上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖6鏈接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD設AB=x,則PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，135

試題3

如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達點B,C）,過點D作∠ADE=45°,DE交AC于點E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數關系式．

圖7鏈接中考（1）證明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化簡得y=1/2x2_x+2

試題3如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A136試題4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經過點C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖8(1)的位置時，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當直線MN繞點C旋轉到圖8(2)的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關系？試寫出這個等量關系，并加以證明．圖8試題4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN137

分析：第一問中兩三角形的全等的證明