變式教學(xué)課件

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的

應(yīng)用莊浪縣大莊中學(xué)變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的

應(yīng)用莊浪縣大莊中學(xué)1

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”是一種十分有效的手段。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)2

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某種范式（數(shù)學(xué)教材中具體的知識、問題、思維模式等）的變形形式，通過不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質(zhì)特征的情況下，使事物的外在非本質(zhì)的屬性不斷遷移，變化。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某3采用變式方式進(jìn)行教學(xué)就是變式教學(xué)。變式教學(xué)是一種有效的數(shù)學(xué)教學(xué)途徑，可以提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力；也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。教師利用變式教學(xué)，能引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題多角度，多方位，多層次地思考和討論，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識；引導(dǎo)學(xué)生從“變”得現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神。采用變式方式進(jìn)行教學(xué)就是變式教學(xué)。變式教學(xué)是一種4一、對變式教學(xué)的理解

數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.1.1數(shù)學(xué)變式教學(xué)的本質(zhì)含義一、對變式教學(xué)的理解數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、5一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義

★初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力是大有益處．

★變式教學(xué)在教學(xué)過程中不僅是對基礎(chǔ)知識、基本技能和思維的訓(xùn)練，而且也是有效實現(xiàn)新課程三維教學(xué)目標(biāo)的重要途徑．一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義6一、對變式教學(xué)的理解在復(fù)習(xí)“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”時，曾經(jīng)設(shè)計過如下的題目【案例1】點P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是()；關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是()；關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是().變式1

直線y=2x-1關(guān)于x軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于y軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于原點對稱的直線的解析式是

.一、對變式教學(xué)的理解在復(fù)習(xí)“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”時，曾經(jīng)設(shè)7變式2

雙曲線y=1/x，關(guān)于x軸對稱的解析式是；關(guān)于y軸對稱的解析式是

關(guān)于原點對稱的解析式是

.變式3

拋物線y=3x2+2x-1，關(guān)于x軸對稱的是

關(guān)于y軸對稱的解析式是;關(guān)于原點對稱的解析式是

.變式2雙曲線y=1/x，關(guān)于x軸對稱的解析式是；8一、對變式教學(xué)的理解【案例2】又如，在勾股定理的應(yīng)用中。題目：如圖1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正方形，這三個正方形的面積分別記為s1,s2，

s3，探索三者之間的關(guān)系。

圖1一、對變式教學(xué)的理解【案例2】又如，在勾股定理的應(yīng)用中。圖19變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正三角形，這三個正三角形的面積分別記為，s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關(guān)系。圖2變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分10變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為直徑作半圓，這三個半圓的面積分別記為s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關(guān)系。變式3：你認(rèn)為所作的圖形具備什么特征時，均有這樣的關(guān)系。圖3變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分11二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則12二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1

針對性原則

變式教學(xué)要根據(jù)學(xué)習(xí)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計，其目的是通過變式使學(xué)生在理解知識的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為能力，形成解題技能，最終完成“知識-應(yīng)用-理解-形成技能-培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。所以對于不同的課型，對變式教學(xué)的目的應(yīng)不同。例如，新授課的變式教學(xué)應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的；習(xí)題課的“變式教學(xué)”應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；復(fù)習(xí)課的變式教學(xué)不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系，同時變式習(xí)題要緊扣課標(biāo)；在試卷講評課時，變式教學(xué)就要根據(jù)學(xué)生答題的情況進(jìn)行有針對性地查漏補缺、鞏固、提高。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1針對性原則變式教學(xué)要根據(jù)13二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

1、變式設(shè)計要有差異性。設(shè)計數(shù)學(xué)問題變式，要強調(diào)一個“變”字，但不能“變”得過于簡單，不能讓學(xué)生認(rèn)為是簡單的“重復(fù)勞動”，打消學(xué)生思考問題的積極性；難度較大的變式習(xí)題容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生喪失自信心，難以獲得成功的喜悅，所以在選擇習(xí)題進(jìn)行變式時要變得有“度”。從心理學(xué)角度分析，新穎的題目對學(xué)生刺激強，學(xué)生做題的興奮度高，注意力容易集中，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓(xùn)練效果。所以變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學(xué)生對每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，深深吸引學(xué)生的好奇心與求知欲。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則1、變14二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

2、變式設(shè)計要有層次性。剛才講到變式教學(xué)要難易適中，同時，變式教學(xué)中問題的設(shè)計還要層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。要讓學(xué)生經(jīng)過思考，能夠跨過一個個“門檻”，這樣既達(dá)到訓(xùn)練的目的，又可以培養(yǎng)學(xué)生的思考問題的方式。

二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則2、變式15二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

3、變式設(shè)計要有內(nèi)涵性。變式設(shè)計的問題要爭取具有典型性，要注意知識之間的橫、縱向聯(lián)系，具有延伸性，爭取內(nèi)涵豐富，給學(xué)生留下充足的思維空間。要通過“變式訓(xùn)練”讓學(xué)生體會到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生在美麗的變式中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則16二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3

參與性原則

在變式教學(xué)中，教師要讓學(xué)生主動參與，不要總是教師“變”，學(xué)生“練”。要鼓勵學(xué)生大膽地“變”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。不要小看學(xué)生的能力，他們會創(chuàng)造出令老師驚訝的結(jié)果。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則17三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)【案例4】“矩形”的概念教學(xué)【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”183.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)正方形41619三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概20三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)填空(在橫線內(nèi)填>、<或=)若a=5,則|a|

0若a=-3,則|a|0若a=0,則|a|0若a＞0,則|a|

0若a＜0則|a|0若a=0,則|a|

0總結(jié)得出結(jié)論：無論a為何值|a|≥0三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的21三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式1：若|a|=0，則a=()若|a|+|b|=0,則a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,則a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,則a1=()a2=(),……an=()

三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的22三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式2：若|a-1|=0，則a=()若|a-1|+|b+2|=0,則a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,則a=(),b=(),c=()三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的23三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式3：若a2=0，則a=()若a2+b2=0,則a=(),b=()若|a|+b2=0,則a=(),b=()三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的24

概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比例較大，能否正確理解概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，但是概念通常比較抽象，學(xué)生感覺枯燥，學(xué)習(xí)起來索然無味，并且難以理解，通過變式等手段，不僅能有效的解決這一難題，使學(xué)生渡過難關(guān)，而且還可加深學(xué)生對概念內(nèi)涵和外延的更深層次的理解。概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比例較大，能否正確理解概念是25三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.2

圖形變式【案例6】在直線上找一點到已知兩點的距離之和最小問題【案例7】等腰三角形底邊上一點到兩腰距離之和問題【案例8】弦切角的性質(zhì)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.2圖形變式【案例6】在直線上找一263.2圖形的變式案例6如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最短。LBAP3.2圖形的變式案例6LBAP27如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2圖形的變式如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA28變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線BD上求作一點P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2圖形的變式變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線29如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的動點，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2圖形的變式鏈接中考解：連接AE交BD于P，則P為所求且AE的長就是PE+PC的最小值。P如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的30拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿APC的周長最短？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。解：存在。連接BC交直線X=1于點P,則P為所求的點?！連(3，0)C(0，-3)∴直線BC的解析式為：y=X-3當(dāng)X=1時y=-2∴點P的坐標(biāo)是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1鏈接中考P拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿31案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明：連接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2圖形的變式案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中32已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是AD上一點，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP（2）3.2圖形的變式已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P33已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是DA延長線上一點，且PE⊥AB交BA的延長線于E，PF⊥AC交CA的延長線于F。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP3.2圖形的變式已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P34如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE+PF=定值。證明：連接AP則S△ABC=S△ABP+S△ACP∴?AC·BD=?AB·PE+?AC·PF∵AB=AC∴?AC·BD=?AC·PE+?AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值A(chǔ)BCFDEP3.2圖形的變式如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥A35問題：當(dāng)動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其動點到兩腰的距離之間有何關(guān)系呢？此時，S△ABP－S△ACP=S△ABC即?AB·PE－?AP·PF=?AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其36問題：當(dāng)動點在三角形內(nèi)部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一定的等量關(guān)系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF（在這里我們找不到有價值的東西，那如果△ABC是等邊三角形呢？）ABCFPEDG3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在三角形內(nèi)部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一37S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2圖形的變式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF38問題：當(dāng)動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結(jié)論呢？由圖知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴?AB·PG－?BC·PE－?AC·PF=?AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結(jié)論呢？ADB39案例8弦切角的性質(zhì)

觀察：如圖1，如果將線段DE以點D為中心作逆時針旋轉(zhuǎn)，同時保證線段BC與DE仍然相交于圓周上，當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時（如圖2），你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2圖形的變式2案例8弦切角的性質(zhì)觀察：如圖1，如40根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，圖1中∠BCE=∠A，當(dāng)圖形變化為圖2后，DE成為切線，那么∠BCE=∠A仍然成立嗎？猜想：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A。分析：我們先從特殊的情形入手證明該猜想。當(dāng)△ABC為直角三角形時可能會使證明簡單化，如果這時猜想能夠成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再討論銳角三角形和鈍角三角形的情形。3.2圖形的變式根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，圖1中∠BCE=∠A，當(dāng)圖形變化41證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是直角三角形?！逤E為切線，所以∠BCE=90°?！摺螦是半圓上的圓周角∴∠A=90°。∴∠BCE=∠A。ABOEC圖33.2圖形的變式證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是42（2）如圖4，圓心O在△ABC的內(nèi)部，即△ABC為銳角三角形。作⊙O的直徑CP，連結(jié)AP，則∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB圖43.2圖形的變式OAECPB圖43.2圖形的變式43（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，即△ABC為鈍角三角形。作⊙O的直徑CP，連結(jié)AP，則∠PCE=∠CAP=90°?！摺螧CE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。綜上所述，猜想成立。圖5AOBPEC3.2圖形的變式（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，圖5AOBPEC3.244如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取名為弦切角。準(zhǔn)確地說，頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。于是我們可以將上述經(jīng)過證明后的猜想表述為：弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。3.2圖形的變式AD(C)BEO圖6如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取45

案例7中的圖形變式，能夠發(fā)現(xiàn)幾何中的一些有價值的結(jié)論。案例8中猜想的證明滲透了分類思想、特殊化思想和化歸思想。反思:數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題或習(xí)題之中。教學(xué)中如果重視對課本例題和習(xí)題進(jìn)行拓展延伸，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識串成一條線，往往會起到意想不到的結(jié)果。3.2圖形的變式3.2圖形的變式46三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.3

結(jié)構(gòu)變式【案例9】圓中的有關(guān)結(jié)論DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.3結(jié)構(gòu)變式【案例9】圓中的有關(guān)結(jié)47三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖1

【案例10】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.3.4

題目變式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖1【案例10】已知：如圖1，在Rt48三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖2

變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD..3.4

題目變式弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖2變式1如圖2，在Rt△CAB和49三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖3變式2

如圖3，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.

3.4

題目變式弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖3變式2如圖3，在△ABC和△C50三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖4

變式3

如圖4，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．3.4

題目變式同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化為相似三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖4變式3如圖4，在△ABC和51

試題1

如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設(shè)BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點P在BC上運動的過程中y的最大值；（2）當(dāng)y=3/4cm時，求x的值．圖5鏈接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴當(dāng)x=2時Y有最大值1（2）當(dāng)y=3/4時，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴當(dāng)x=1或x=3時y=3/4試題1如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P52

試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，D為AC邊上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖6鏈接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD設(shè)AB=x,則PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，53

試題3

如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達(dá)點B,C）,過點D作∠ADE=45°,DE交AC于點E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

圖7鏈接中考（1）證明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化簡得y=1/2x2_x+2

試題3如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A54試題4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖8(1)的位置時，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖8(2)的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．圖8試題4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN55

分析：第一問中兩三角形的全等的證明就是案例11的題目，我們已經(jīng)證明過了。由全等可知AD=CE,CD=BE又DE=DC+CE∴DE=AD+BE.第二問中DE，AD，BE之間的關(guān)系可能是DE=AD-BE同理可證△ACD≌△CBE∴AD=CE,CD=BE又DE=CE-CD∴DE=AD-BE分析：第一問中兩三角形的全等的證明就是案例11的題目，563.5

方法變式

所謂“方法變式”就是把同一個問題的不同解決過程作為變式，將各種不同的解決方法聯(lián)結(jié)起來（“一題多解”）.三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.5方法變式所謂“方法變式”就是把同一個57三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖1

思路1：（延長法）如圖1，延長CE至點D′,使ED′=CE，連接AD′，BD′，則CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可.三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中，58三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.

思路2：（截取法）如圖1，取CD的中點E′，連接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而，得證.圖1三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中59三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

【案例12】

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，延長AB到點D，使BD=AB，E是AB的中點，求證：CD=2CE.圖1

思路3：（相似法）如圖1，利用△AEC∽△ACD，相似比為1︰2，得，得證.

三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例【案例12】如圖1，已知在△ABC中60案例11：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點D作DM∥CF交AB于M∵BD=DCDM∥CF∴BM=FM=1/2FB∵DM∥CF∴AE:ED=AF:FM∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例MACBDFE案例11：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分61例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點D作DN∥AB交CF于N∵BD=DCDN∥AB∴FN=CN∵BD=DC∴DN=1/2FB∵DN∥CF∴AE:ED=AF:DN∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例ACBDFEN例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于62例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點A作AP∥BC交CF的延長線于P∵AP∥CB∴AE:ED=AP:CD∴AF:FB=AP:BC∵BD=CD=1/2BC∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例PACBDEF例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于63例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點A作AQ∥FC交BC的延長線于Q∵AQ∥CF∴AE:ED=CQ:CD∴AF:FB=CQ:CB∵BD=CD∴BC=2CD∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例QABDFEC例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于64例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點B作BL∥FC交AD的延長線于L、則△BDL≌△CDE∴LD=DE=1/2EL∵BL∥CF∴AF:FB=AE:EL∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例ACBDFEL例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于65例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E求證：AE:ED=2AF:FB分析：過點B作BS∥AD交CF的延長線于S、∵BS∥ADBD=CD∴SE=CE∴BS=2ED∵BS∥AD∴AF:FB=AE:BS∴AF:FB=AE:2ED∴AE:ED=2AF:FB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例ACBDFES例：過△ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于66說明：上面六種方法，都是過某個點作平行線來解決問題的。其中第1、2種方法是過D點作的平行線（DM∥CF或DN∥AB）;第3、4種方法是過A點作的平行線（AP∥BC或AQ∥FC);第5、6種方法是過B點作的平行線點B作的平行線（BL∥FC交AD的延長線于L;過點B作BS∥AD交CF的延長線于S)。在這六種方法中用到的知識點有：中點的性質(zhì)，全等三角形的判定、性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定、性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等量代換等。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例說明：上面六種方法，都是過某個點作平行線來三、變式67

一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問題，分析問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和解體技巧。而采取一題多變的形式，可以訓(xùn)練學(xué)生積極思維，觸類旁通，提高學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、和深刻性。不管是一題多解還是一題多變都有利于將知識、能力和思想方法在更多的新情景。更高的層次中，不斷地反復(fù)滲透，從而達(dá)到了螺旋式的再認(rèn)識，再深化，乃至升華的效果。通過“一題多變、一題多解”的訓(xùn)練，能激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。不過，所有的變式都要鼓勵學(xué)生從多角度去分析，選最優(yōu)的方法去解決。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例一題多解有利于啟迪思維，開闊視野，全方位思考問68三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

案例12：求證：順次連結(jié)任意（凸）四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。.3.6

問題變式變式1：順次連結(jié)任意平行四邊形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式2：順次連結(jié)矩形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式3：順次連結(jié)菱形各邊中點所得的四邊形是_______形,并證明。變式4：順次連結(jié)正方形各邊中點所得的四邊形_______形,并證明。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例案例12：求證：順次連結(jié)任意（凸）四69三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

.3.6

問題變式變式5：順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所得的四邊形_______形,并證明。變式6：順次連結(jié)滿足什么條件的四邊形各邊中點得到平行四邊形。變式7：順次連結(jié)滿足什么條件的四邊形各邊中點得到矩形變式8：順次連結(jié)滿足什么條件的四邊形各邊中點得到菱形。變式9：順次連結(jié)滿足什么條件的四邊形各邊中點得到正方形。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例.3.6問題變式變式5：順次連結(jié)等70三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

.3.6

問題變式通過這樣一系列變式，一方面使學(xué)生充分掌握了四邊形的中點四邊形與原四邊形的對角線有關(guān)。當(dāng)原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形；當(dāng)原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形是矩形；當(dāng)原四邊形的對角線互相垂直且相等時，中點四邊形是正方形；其余四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。另一方面使學(xué)生也掌握了這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識和基本概念，溝通了不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，為進(jìn)行數(shù)學(xué)問題演變奠定了堅實的知識基礎(chǔ)。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例.3.6問題變式通過71三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例

.3.6

問題變式通過這樣一系列變式，一方面使學(xué)生充分掌握了四邊形的中點四邊形與原四邊形的對角線有關(guān)。當(dāng)原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形；當(dāng)原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形釋具行；當(dāng)原四邊形的對角線互相垂直且相等時，中點四邊形是正方形；其余四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。另一方面使學(xué)生也掌握了這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識和基本概念，溝通了不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，為進(jìn)行數(shù)學(xué)問題演變奠定了堅實的知識基礎(chǔ)。三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例.3.6問題變式通過72案例13如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD本題考查的知識點是相似三角形的性質(zhì)，變換問題，則得到一組變式題。●OACBED案例13如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的73變式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圓的直徑。連接BE,則圖中共有多少個三角形相似于△ABC。E●OACBD有3個，分別是△BAE,△DBA,△DAC變式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圓的74變式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圓的直徑，AB=4，AC=3，AD=2。求△ABC外接圓的面積?！馩ACBED連接AE，證△ABE相似于△DAC即可變式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圓的直徑，75案例13：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n解：mn=m+n變形為（n-1)m=n當(dāng)n=1時，0·m=1不成立∴n≠1m=

==1+三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例∵m、n都是整數(shù)∴n-1是1的約數(shù)即n-1=±1∴n=2或n=0當(dāng)n=2時m=2當(dāng)n=0時m=0∴m=n=2或m=n=0案例13：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n三76變式1：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+1解：mn=m+n+1變形為（n-1)m=n+1當(dāng)n=1時，0·m=2不成立∴n≠1m=

=

=1+三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例∵m、n都是整數(shù)∴n-1是2的約數(shù)即n-1=±1n-1=±2∴n1=2n2=0n3=3n4=-1對應(yīng)的m1=3m2=-1m3=2m4=0變式1：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+177變式2：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+2解：mn=m+n+2變形為（n-1)m=n+2當(dāng)n=1時，0·m=3不成立∴n≠1

m=

=

=1+三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例∵m、n都是整數(shù)∴n-1是3的約數(shù)即n-1=±1n-1=±3∴n1=2n2=0n3=4n4=-2m1=4m2=-2m3=2m4=0變式2：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+278變式3：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+3分析：mn=m+n+2變形為（n-1)m=n+3當(dāng)n=1時，0·m=4不成立

∴n≠1

m=

==1+三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例變式3：已知m、n是整數(shù)，解關(guān)于m、n的方程mn=m+n+379四、變式教學(xué)要把握好三個“度”4.1

變式的數(shù)量要“適度”4.2

問題設(shè)計要有“梯度”

4.3

要提高學(xué)生的“參與度”四、變式教學(xué)要把握好三個“度”4.1變式的數(shù)量要“適度80經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫81謝謝大家榮幸這一路，與你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演講人：XXXXXX時間：XX年XX月XX日

謝謝大家演講人：XXXXXX82變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的

應(yīng)用莊浪縣大莊中學(xué)變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的

應(yīng)用莊浪縣大莊中學(xué)83

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”是一種十分有效的手段。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)84

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某種范式（數(shù)學(xué)教材中具體的知識、問題、思維模式等）的變形形式，通過不斷變更問題的情境或改變思維的角度，在保持事物本質(zhì)特征的情況下，使事物的外在非本質(zhì)的屬性不斷遷移，變化。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對某85采用變式方式進(jìn)行教學(xué)就是變式教學(xué)。變式教學(xué)是一種有效的數(shù)學(xué)教學(xué)途徑，可以提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力；也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。教師利用變式教學(xué)，能引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題多角度，多方位，多層次地思考和討論，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識；引導(dǎo)學(xué)生從“變”得現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神。采用變式方式進(jìn)行教學(xué)就是變式教學(xué)。變式教學(xué)是一種86一、對變式教學(xué)的理解

數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、不同的側(cè)面、不同的背景，從多個方面變更所提供的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)特征發(fā)生變化而本質(zhì)特征保持不變的教學(xué)形式.1.1數(shù)學(xué)變式教學(xué)的本質(zhì)含義一、對變式教學(xué)的理解數(shù)學(xué)變式教學(xué)，是指通過不同角度、87一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義

★初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)，對提高學(xué)生的思維能力、應(yīng)變能力是大有益處．

★變式教學(xué)在教學(xué)過程中不僅是對基礎(chǔ)知識、基本技能和思維的訓(xùn)練，而且也是有效實現(xiàn)新課程三維教學(xué)目標(biāo)的重要途徑．一、對變式教學(xué)的理解1.2初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義88一、對變式教學(xué)的理解在復(fù)習(xí)“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”時，曾經(jīng)設(shè)計過如下的題目【案例1】點P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是()；關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是()；關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是().變式1

直線y=2x-1關(guān)于x軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于y軸對稱的直線的解析式是

；關(guān)于原點對稱的直線的解析式是

.一、對變式教學(xué)的理解在復(fù)習(xí)“坐標(biāo)系內(nèi)的圖形對稱”時，曾經(jīng)設(shè)89變式2

雙曲線y=1/x，關(guān)于x軸對稱的解析式是；關(guān)于y軸對稱的解析式是

關(guān)于原點對稱的解析式是

.變式3

拋物線y=3x2+2x-1，關(guān)于x軸對稱的是

關(guān)于y軸對稱的解析式是;關(guān)于原點對稱的解析式是

.變式2雙曲線y=1/x，關(guān)于x軸對稱的解析式是；90一、對變式教學(xué)的理解【案例2】又如，在勾股定理的應(yīng)用中。題目：如圖1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正方形，這三個正方形的面積分別記為s1,s2，

s3，探索三者之間的關(guān)系。

圖1一、對變式教學(xué)的理解【案例2】又如，在勾股定理的應(yīng)用中。圖191變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為邊作正三角形，這三個正三角形的面積分別記為，s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關(guān)系。圖2變式1：如圖2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分92變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分別以AB、BC、CA為直徑作半圓，這三個半圓的面積分別記為s1,s2,s3.請?zhí)剿魅咧g的關(guān)系。變式3：你認(rèn)為所作的圖形具備什么特征時，均有這樣的關(guān)系。圖3變式2：如圖3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分93二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則2.2可行性原則二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則2.1針對性原則94二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1

針對性原則

變式教學(xué)要根據(jù)學(xué)習(xí)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計，其目的是通過變式使學(xué)生在理解知識的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為能力，形成解題技能，最終完成“知識-應(yīng)用-理解-形成技能-培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。所以對于不同的課型，對變式教學(xué)的目的應(yīng)不同。例如，新授課的變式教學(xué)應(yīng)服務(wù)于本節(jié)課的教學(xué)目的；習(xí)題課的“變式教學(xué)”應(yīng)以本章節(jié)內(nèi)容為主，適當(dāng)滲透一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；復(fù)習(xí)課的變式教學(xué)不但要滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，還要進(jìn)行縱向和橫向的聯(lián)系，同時變式習(xí)題要緊扣課標(biāo)；在試卷講評課時，變式教學(xué)就要根據(jù)學(xué)生答題的情況進(jìn)行有針對性地查漏補缺、鞏固、提高。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.1針對性原則變式教學(xué)要根據(jù)95二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

1、變式設(shè)計要有差異性。設(shè)計數(shù)學(xué)問題變式，要強調(diào)一個“變”字，但不能“變”得過于簡單，不能讓學(xué)生認(rèn)為是簡單的“重復(fù)勞動”，打消學(xué)生思考問題的積極性；難度較大的變式習(xí)題容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生喪失自信心，難以獲得成功的喜悅，所以在選擇習(xí)題進(jìn)行變式時要變得有“度”。從心理學(xué)角度分析，新穎的題目對學(xué)生刺激強，學(xué)生做題的興奮度高，注意力容易集中，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓(xùn)練效果。所以變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學(xué)生對每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，深深吸引學(xué)生的好奇心與求知欲。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則1、變96二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

2、變式設(shè)計要有層次性。剛才講到變式教學(xué)要難易適中，同時，變式教學(xué)中問題的設(shè)計還要層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。要讓學(xué)生經(jīng)過思考，能夠跨過一個個“門檻”，這樣既達(dá)到訓(xùn)練的目的，又可以培養(yǎng)學(xué)生的思考問題的方式。

二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則2、變式97二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2

可行性原則

3、變式設(shè)計要有內(nèi)涵性。變式設(shè)計的問題要爭取具有典型性，要注意知識之間的橫、縱向聯(lián)系，具有延伸性，爭取內(nèi)涵豐富，給學(xué)生留下充足的思維空間。要通過“變式訓(xùn)練”讓學(xué)生體會到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，讓學(xué)生在美麗的變式中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。

二、變式教學(xué)要遵循的原則2.2可行性原則98二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3

參與性原則

在變式教學(xué)中，教師要讓學(xué)生主動參與，不要總是教師“變”，學(xué)生“練”。要鼓勵學(xué)生大膽地“變”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。不要小看學(xué)生的能力，他們會創(chuàng)造出令老師驚訝的結(jié)果。二、變式教學(xué)要遵循的原則2.3參與性原則99三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)【案例4】“矩形”的概念教學(xué)【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”1003.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)正方形面積416494/250.81邊長x2416494/250.81x三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例3】“平方根”概念的教學(xué)正方形416101三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概念教學(xué)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例4】“矩形”的概102三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)填空(在橫線內(nèi)填>、<或=)若a=5,則|a|

0若a=-3,則|a|0若a=0,則|a|0若a＞0,則|a|

0若a＜0則|a|0若a=0,則|a|

0總結(jié)得出結(jié)論：無論a為何值|a|≥0三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的103三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式1：若|a|=0，則a=()若|a|+|b|=0,則a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,則a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,則a1=()a2=(),……an=()

三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的104三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式2：若|a-1|=0，則a=()若|a-1|+|b+2|=0,則a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,則a=(),b=(),c=()三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的105三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的概念教學(xué)變式3：若a2=0，則a=()若a2+b2=0,則a=(),b=()若|a|+b2=0,則a=(),b=()三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.1概念變式【案例5】“絕對值”的106

概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比例較大，能否正確理解概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，但是概念通常比較抽象，學(xué)生感覺枯燥，學(xué)習(xí)起來索然無味，并且難以理解，通過變式等手段，不僅能有效的解決這一難題，使學(xué)生渡過難關(guān)，而且還可加深學(xué)生對概念內(nèi)涵和外延的更深層次的理解。概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比例較大，能否正確理解概念是107三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.2

圖形變式【案例6】在直線上找一點到已知兩點的距離之和最小問題【案例7】等腰三角形底邊上一點到兩腰距離之和問題【案例8】弦切角的性質(zhì)三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.2圖形變式【案例6】在直線上找一1083.2圖形的變式案例6如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最短。LBAP3.2圖形的變式案例6LBAP109如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2圖形的變式如圖、已知直線L和L外兩點A、B在直線L上求作一點P，使PA110變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線BD上求作一點P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2圖形的變式變式1如圖：四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點，在對角線111如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的動點，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2圖形的變式鏈接中考解：連接AE交BD于P，則P為所求且AE的長就是PE+PC的最小值。P如圖：正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，P是BD上的112拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿APC的周長最短？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。解：存在。連接BC交直線X=1于點P,則P為所求的點?！連(3，0)C(0，-3)∴直線BC的解析式為：y=X-3當(dāng)X=1時y=-2∴點P的坐標(biāo)是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1鏈接中考P拋物線y=x2-2x-3，在對稱軸上能否找到一點P,使得⊿113案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明：連接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2圖形的變式案例7已知：如圖（1）在?ABC中，AB=AC,P是BC的中114已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是AD上一點，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP（2）3.2圖形的變式已知：如圖（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P115已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P是DA延長線上一點，且PE⊥AB交BA的延長線于E，PF⊥AC交CA的延長線于F。求證：PE=PF證明同上。AFCDBEP3.2圖形的變式已知：如圖（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中點，P116如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足。求證：PE+PF=定值。證明：連接AP則S△ABC=S△ABP+S△ACP∴?AC·BD=?AB·PE+?AC·PF∵AB=AC∴?AC·BD=?AC·PE+?AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值A(chǔ)BCFDEP3.2圖形的變式如圖：在△ABC中AB=AC，P是BC邊上任意一點，PE⊥A117問題：當(dāng)動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其動點到兩腰的距離之間有何關(guān)系呢？此時，S△ABP－S△ACP=S△ABC即?AB·PE－?AP·PF=?AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在等腰三角形底邊所在直線（底邊之外）上運動時，其118問題：當(dāng)動點在三角形內(nèi)部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一定的等量關(guān)系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF（在這里我們找不到有價值的東西，那如果△ABC是等邊三角形呢？）ABCFPEDG3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在三角形內(nèi)部運動時，動點到三邊的距離之間是否有一119S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴?AB·CD=?AB·PE+?BC·PG+?AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2圖形的變式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF120問題：當(dāng)動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結(jié)論呢？由圖知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴?AB·PG－?BC·PE－?AC·PF=?AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2圖形的變式問題：當(dāng)動點在等邊三角形外運動時，又能得到什么結(jié)論呢？ADB121案例8弦切角的性質(zhì)

觀察：如圖1，如果將線段DE以點D為中心作逆時針旋轉(zhuǎn)，同時保證線段BC與DE仍然相交于圓周上，當(dāng)DE變?yōu)閳A的切線時（如圖2），你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2圖形的變式2案例8弦切角的性質(zhì)觀察：如圖1，如122根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，圖1中∠BCE=∠A，當(dāng)圖形變化為圖2后，DE成為切線，那么∠BCE=∠A仍然成立嗎？猜想：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，CE是⊙O的切線，則∠BCE=∠A。分析：我們先從特殊的情形入手證明該猜想。當(dāng)△ABC為直角三角形時可能會使證明簡單化，如果這時猜想能夠成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再討論銳角三角形和鈍角三角形的情形。3.2圖形的變式根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，圖1中∠BCE=∠A，當(dāng)圖形變化123證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是直角三角形?！逤E為切線，所以∠BCE=90°?！摺螦是半圓上的圓周角∴∠A=90°。∴∠BCE=∠A。ABOEC圖33.2圖形的變式證明：（1）如圖3，圓心O在△ABC的邊BC上，即△ABC是124（2）如圖4，圓心O在△ABC的內(nèi)部，即△ABC為銳角三角形。作⊙O的直徑CP，連結(jié)AP，則∠PCE=∠CAP=90°?！摺螧CE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB圖43.2圖形的變式OAECPB圖43.2圖形的變式125（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，即△ABC為鈍角三角形。作⊙O的直徑CP，連結(jié)AP，則∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。綜上所述，猜想成立。圖5AOBPEC3.2圖形的變式（3）如圖5，圓心O在△ABC的外部，圖5AOBPEC3.2126如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取名為弦切角。準(zhǔn)確地說，頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。于是我們可以將上述經(jīng)過證明后的猜想表述為：弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。3.2圖形的變式AD(C)BEO圖6如圖6，由于∠BDE是由一條弦和一條切線組成的角，因此給它取127

案例7中的圖形變式，能夠發(fā)現(xiàn)幾何中的一些有價值的結(jié)論。案例8中猜想的證明滲透了分類思想、特殊化思想和化歸思想。反思:數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系往往不是十分明顯，經(jīng)常隱藏于例題或習(xí)題之中。教學(xué)中如果重視對課本例題和習(xí)題進(jìn)行拓展延伸，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識串成一條線，往往會起到意想不到的結(jié)果。3.2圖形的變式3.2圖形的變式128三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.3

結(jié)構(gòu)變式【案例9】圓中的有關(guān)結(jié)論DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例3.3結(jié)構(gòu)變式【案例9】圓中的有關(guān)結(jié)129三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖1

【案例10】已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求證：△CAB≌△ECD.3.4

題目變式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖1【案例10】已知：如圖1，在Rt130三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖2

變式1

如圖2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求證：△CAB～△ECD..3.4

題目變式弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖2變式1如圖2，在Rt△CAB和131三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖3變式2

如圖3，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE.

3.4

題目變式弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖3變式2如圖3，在△ABC和△C132三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖4

變式3

如圖4，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．3.4

題目變式同時弱化條件“線段相等”和“直角”,則結(jié)論由全等弱化為相似三、變式教學(xué)應(yīng)用舉例圖4變式3如圖4，在△ABC和133

試題1

如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設(shè)BP的長為xcm,CQ的長為ycm．（1）求點P在BC上運動的過程中y的最大值；（2）當(dāng)y=3/4cm時，求x的值．圖5鏈接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴當(dāng)x=2時Y有最大值1（2）當(dāng)y=3/4時，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴當(dāng)x=1或x=3時y=3/4試題1如圖5，正方形ABCD的邊長為4cm，點P134

試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，D為AC邊上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,則△ABC的邊長為（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

圖6鏈接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD設(shè)AB=x,則PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A試題2如圖6，在等邊△ABC中，P為BC邊上一點，135

試題3

如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達(dá)點B,C）,過點D作∠ADE=45°,DE交AC于點E．

(1)求證：△ABD∽△DCE;(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

圖7鏈接中考（1）證明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化簡得y=1/2x2_x+2

試題3如圖7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A136試題4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN

，垂足為D，BE⊥MN

，垂足為E．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖8(1)的位置時，求證：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖8(2)的位置時，試問：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．圖8試題4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN137

分析：第一問中兩三角形的全等的證明