高中數(shù)學(xué)同步講義分冊(cè)-選修4-1第二講一五.探究并理解圓周角定理證明過程

—[學(xué)習(xí)目標(biāo)探究并理解圓周角定理的證明過程[知識(shí) AB∥DG，則∠BAC＝∠EDF，但︵提示不一定相等..弦所對(duì)的優(yōu)弧與所對(duì)劣弧所成的︵1︵推論1 推論 要點(diǎn) 圓周角定理及其推例 在半徑為5cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為53cm的弦AB，求此弦所對(duì)的圓周角 如圖所示，過O點(diǎn)作OD⊥AB于點(diǎn)OD⊥AB，OD經(jīng)過圓心，所以AD＝BD＝523(cm).在Rt△AOD中 22因?yàn)椤螦OB＝120°，所以︵ACB︵所以 60 演練 如圖，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，D，E在BC邊上，且證 延長(zhǎng)AD，AE，分別交⊙O于F，G，連接∵∠1＝∠2︵＝︵∴BF＝CG︵＝︵ 又∴∠F＝∠G︵＝︵要點(diǎn) 圓心角定例 如圖所示，AB，CD是⊙O的兩條直徑，CE∥AB，求證：︵＝ 連接OE，因?yàn)镺E＝OC，所以∠C＝∠E.因?yàn)镃E∥AB.所以∠C＝∠BOC，∠E＝∠AOE.所以︵︵ 演練 如圖所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC.求證2證 222又由已知 22要點(diǎn) 直徑上的圓周例3 如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4cm.試判斷ODAC的位置關(guān)系OD的長(zhǎng)2sinA－1＝0，求⊙O的直徑 ∵AB為⊙O 2∵2sinA－1＝0，∴sin2又∵sinA＝BC，∴AB＝2BC＝8cm，即⊙O的直徑為8cm.規(guī)律方 此題充分利用了“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征，并在此基上對(duì)前面所學(xué)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木C合演練 如圖，AB是半圓的直徑，AC為弦，且＝4∶3，AB＝10cm，OD⊥ACD.OBCD的面積 ∵AB是半圓的直徑∵AC∶BC＝4∶3又∴x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6又∴AD＝4cm，OD＝3∴S四邊形

“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中ABDBAC＝20°， AD＝CD，則∠DAC的度數(shù)是 解 BC40°，∴ACBC40°，∴AC∵ AD＝CD，∴CD答 如圖所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，則∠BOC等于 解 根據(jù)圓周角定理，得答

△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，則 解 ∵︵︵∴ AB90°，BC120°，CA答 如圖所示，在⊙OAB＝10cm，BC＝8cm，CD∠ACBACDB的長(zhǎng) ∵AB是⊙O的直徑，而直徑所對(duì)的圓周角是直角，∴△ABCAB2＝AC2＋BC2，即102＝AC2＋82，∴AC＝6(cm).∵CD平分AB2＝2BD2，102＝2DB2，∴DB＝5︵如圖，D是AC的中點(diǎn)，與∠ABD相等的角有 A.7 B.3C.2 D.1解 與∠ABD相等的角分別為答 解

︵答 ABOAD，BC

(D.以上答案都不

，那么解 連接BD，由BA是直徑，知△ADB是直角三角形.根 答 弦BC分⊙O為1∶3兩部分，⊙O的直徑等于4，則 解 由圓心角定理

22＋22＝2答 2︵ 解 ∵∠AOB＝100°，且D是︵的中點(diǎn)答 ︵(1)ACBD的長(zhǎng)(2)求四ADBC的面積 (1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AB＝10，BC＝8，∴在ABC中 AB2－BC2＝6(cm).∵點(diǎn)D是︵的中點(diǎn)，∴︵＝︵×∴△ABD為等腰直角三角形，∴BD＝AB·sin 2＝52(cm).×(2)由(1)S四邊形

(5

C.2 C.2A.A.解 由圓周角定理推論2知

ABRt△ABC的外接圓直徑，又∵AB＝23＝4

cos

答 在半徑為6cm的圓中，6cm長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓心角等 6cm長(zhǎng)的弦的端點(diǎn)與圓心構(gòu)成等邊三角形，故此弦所對(duì)的圓心角為60°或答 60°或︵如圖所示，AB是⊙O的直徑，D是AE的中點(diǎn)，∠ABD＝20 如圖所示，連接AD，DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是︵的中點(diǎn)，∴∠DAC＝∠DEA＝20°，∵AB是⊙O的直徑答 BCAD⊥BC，︵︵AF＝AB，BFADE證 ∵BC是⊙O的直徑∴∠BAC為直角.∵︵︵∴△ABEAD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑.證 連接BE，因?yàn)锳E為直徑所以∠ABE＝90°.AD是△ABC的高，︵ADE證 法 為直角，又由∠C＝∠F，可得∠BAO與∠CAD相等 若要直接證∠OAE＝∠EAD，就需要把它們?cè)O(shè)置成圓周角，因此把AO，AD均延長(zhǎng)，分別交⊙O于F點(diǎn)和G點(diǎn)，連接FG，如圖②，可證得FG∥BC，由平行直線所夾的弧相等則有︵＝︵，又︵＝︵，∴︵＝︵∴∠FAE＝∠GAE. 如圖③，尋找第三個(gè)角，利用等量代換來證∠OAE＝∠EAD，故連接OE，利用垂徑定理得OE⊥BC，進(jìn)而易知OE∥AD，可得∠E＝∠DAE；同時(shí)，在等腰三角形OAE中∠OAE＝∠E，∴∠OAE＝∠DAE.二[學(xué)習(xí)目標(biāo)理解圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決相關(guān)的幾何問題判斷下列各命題是否正確提示(1)錯(cuò)誤，任意三角形有唯一的外接圓；(2)正確，因?yàn)榫匦螌?duì)角線的交點(diǎn)到[預(yù)習(xí)導(dǎo)引ABCDOABCD內(nèi)接于⊙O，EABABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)A，B，C，DABCDABE，若∠CBE＝∠ADC要點(diǎn) 圓內(nèi)接四邊形的性例 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取 證 連接∵PC PCFD內(nèi)接于 些等量關(guān)系演練1 如圖所示，⊙O1和⊙O2交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過A點(diǎn)的直線分別交兩圓于經(jīng)過B點(diǎn)的直線分別交兩圓于E，證 連接AB，∵四邊形ABEC內(nèi)接于∴∠ABF＝∠CABFD內(nèi)接于∴∠C＋∠D＝180°.要點(diǎn) 圓內(nèi)接四邊形的判例2 且AP⊥BC于P.求證：E，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓 連接∵AP⊥BC，F(xiàn)AC

∵E，F(xiàn)，DAB，AC，BCEDCF∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓 1.本題證明的關(guān)鍵是如何使用點(diǎn)E、D、F是中點(diǎn)這一條件.關(guān)系進(jìn)行證明演練 上，且 上，且

，AD，BEPP，D，C，E證 在正△ABC中，由

知P，D，C，E共圓

要點(diǎn) 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)例 如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圓劣︵AC上的點(diǎn)(A，C重合)BD求證：AD的延長(zhǎng)線DF若∠BAC＝30°，△ABCBC邊上的高為2＋3.求外接圓的面積證明如圖，∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓又故ADDF平分 設(shè)O為外接圓圓心，連接AO并延長(zhǎng)交BC于H，則AH⊥BC，連接OC，2rr＋3＝2＋3r＝22 演練3 如圖所示，已知四邊形ABCD為平行四邊形，過點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.求證：E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓.證 由題意知四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形∴∠A＋∠BFE＝180°.又在?ABCD∴E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓1.2.如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離相等，那么這四個(gè)點(diǎn)共圓如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)下列說法正確的個(gè)數(shù)有 ⑤正方形內(nèi)接于圓 B.2C.3 D.4解 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理知，④⑤正確答 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A＝25°，則∠C等于 解 ∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠A＋∠C＝180°.又答 如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上，直線AB，DC相交于 解 答 如圖所示，以銳角△ABC⊙O2，⊙O3交于一點(diǎn) 設(shè)⊙O1，⊙O3交于點(diǎn)F，連接AF，BF，CF，∵A，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共圓，∵△ABD∴∠BFC＝120°.∵∠BFC＋∠E＝180°，∴B，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，即⊙O1，⊙O2，⊙O3交于一點(diǎn).如圖，ABCD是⊙OBCE∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( 解 答 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( D.以上都不解 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B適合答 如圖所示，已知在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BA的延長(zhǎng)線和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC和BD相交于點(diǎn)E，則圖有相似三角形()A.5 B.4C.3 D.2解 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可以判定答 ∠BCD的度數(shù) 解

答 A，BAC，DBE，F(xiàn)CE，DF，若∠C 解 如圖，連接答 如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接BCE，AB＝2AC.求證AC＝1，EC＝2時(shí)，求AD的長(zhǎng)證明連接∵ACED又即有BE＝DE CD是∠ACB∴AD＝DE 由條件得AB＝2AC＝2，設(shè)AD＝t，根據(jù)割線定理得BD·BA＝BE·BC，(AB－AD)·BA＝2AD·(2即2t2＋3t－2＝0，解得

＝2

交⊙O于D，若CD＝5cm，則CB等于( A.25 B.15C.5

D.2解 連接∵C，D，O，A∴CD＝CB，∵CD＝5∴CB＝5答 分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則 解

答 ABCDAC＝a，則四邊形ABCD的面積 解 如圖，連接BD，易知S四邊形 2absin(60°－θ)＋2absin 在△ABC sin∴bsin∠ABC＝asin

3四邊形ABCD＝2·a·a·sin60°＝4a答 324ABCDCDBABE點(diǎn).證 如圖，連接ABCD又BD∥EC，∴∠CEB＝∠ACD.∴△ADC∽△CBE.∴AD＝BC DE平分∠ADBABEA，D，EBDN.求證：證 連接AEND 又∵∠ADE＝∠NDE︵＝︵ ⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足.求證：E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓證 法 連接∴A，E，D，F(xiàn)∴E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓法 連接∴A，E，D，F(xiàn)∴E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓法 連接∴A，E，D，F(xiàn)∴E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓法 連接∴A，E，D，F(xiàn)∴E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓三[學(xué)習(xí)目標(biāo) 垂直于圓的半徑的直線是圓的切線與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線過直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是圓的切線 l與圓O相切于點(diǎn)直線l與圓O相切于點(diǎn)O作直線m⊥l直線l與圓O相切于點(diǎn)A作直線m⊥lOAOl⊥OAA∈llO要點(diǎn) 切線的性例1 點(diǎn)C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.求證AD＝2，AC＝5，求AB的長(zhǎng)證明如圖所示，連接∵CD為⊙O ∵AC平分∵AB為⊙O ∴AC＝AB，∴AC∵AD＝2，AC＝ 規(guī)律方法1.本例中第(2)AD、ACAB之間關(guān)系的直徑，⊙OABEBC＝5，AC＝12，求⊙O的半徑.解OE.∵AB與⊙OE，

，∴5＝ 3要點(diǎn) 圓的切線的判例2 交⊙O于點(diǎn)D.求證：DC是⊙O的切線證 又∵BC是⊙O∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90OD⊥CD.∴DC是⊙O的切線規(guī)律方 判斷一條直線是圓的切線時(shí)，常用輔助線的作法2如圖所示，在△ABCAB＝ACAB為直徑的⊙OBCD，DE⊥AC，垂足為E.求證：DE是⊙O的切證 連接OD和AD.∵AB是⊙O的直徑∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線要點(diǎn) 圓的切線的判定與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)例3 如圖所示正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形延長(zhǎng)BA到E，使AE＝AB，連接ED.(1)求證：直線ED是⊙O的切線(2)連接EOAD于點(diǎn)F，求證證 (1)如圖所示，連接ABCDED是⊙O的切線(2)如圖所示，作OM⊥AB于∵OABCD的中心，∴MAB的中點(diǎn)∴AE＝AB＝2AM∴EF＝AE 演練3 與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC＝BC，AC＝1求證：AB為⊙O的切線若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的長(zhǎng)證明如圖，連接

∴△ACO∴∠OAB＝90°，∴AB為⊙O的切線 ∵∠ACD＝45°，∴Rt△ACE中又∵△ACO為正三角形，∴AE＝EC＝ ＝22又∵CD＝1∠AOC＝30Rt△AED2DE＝3AE＝6，∴CD＝CE＋DE＝2＋(2)幾何法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線已知一條直線是圓的切線時(shí)，通常連接圓心和切點(diǎn)，這條半徑垂直于切線1.(2016·石家莊模擬)l與⊙OA，Bl上任一點(diǎn)(不重合)，則△OAB是 A.等邊三角 D.鈍角三角解 ∵l與⊙O相切，∴l(xiāng)⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形答 已知AB是⊙O的切線，下列給出的條件中，能判定AB⊥CD的是( A.AB與⊙O相切于直線CD上的點(diǎn)CB.CDC.CDD.AB與⊙OC，CD 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，所以選項(xiàng)D正確(如圖④).答 如圖②所示，連接OB，OC，則OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝180°，則四邊形OBDC內(nèi)接 答 下列說法中正確的個(gè)數(shù)是 AB的中點(diǎn) 答 如圖所示，⊙O是正△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn)，則∠EPF等于( 解 如圖所示，連接22答 如圖，在⊙O中，AB為直徑，ADB的延長(zhǎng)線交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO等于 105C.5解 連接BD，作OE⊥AC于∵BC切⊙O

24D.4∵AB∠A＝45°，設(shè)⊙O 4R2＋R2＝

2 OE＝2 ＝10答 設(shè)⊙O1和⊙O2的半徑均為r，則S△ABC＝1·AB·BC＝1·r·(AB＋BC＋AC).

（5－4）2＋（12－4）2＝答 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C為圓心，r為半徑作圓，若AB與圓相切，則r＝ 過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中， ∴CD＝AB＝2.4∵AB∴r＝CD＝2.4答 2.4CE＝BE，EBCPE是⊙O的切線. 連接OP，BP.∵AB為⊙O的直徑BC切⊙OB，知∴∠3＋∠4＝90∴PE為⊙O的切線如圖所示，EB為半圓O的直徑，點(diǎn)A在EB的延長(zhǎng)線上，AD則BC的長(zhǎng)為( 解 連接OD，∵AD切⊙O于∴△DOA∽△CBA，∴BC 4答 如圖所示，CD是⊙O的直徑，AE切⊙O于B，DC的延長(zhǎng)線交AB于A，∠A＝20°，則∠DBE＝ 解 連接OB，則 答 ACDAO若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝ 解 如圖所示，連接OD，則∵AC是⊙O

答

2AO. 如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，MOA上一點(diǎn)，MAB的垂線交AC于點(diǎn)NBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線CFENF，且∠ECF＝∠E.求證：CF是⊙O的切線證 連接OC，∵AB是⊙O的直徑在Rt△EMB中，又∴∠OCF＝90°，∴CF為⊙O的切線如圖，AB是⊙OPBACD⊥AB求證：PC是⊙O的切線若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半徑證明在△OCP與△CEP中又C點(diǎn)在圓上，∴PC是⊙O的切線. 設(shè) 即如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，ADBC的延EEC＝ED.(1)證明(2)延長(zhǎng)CDF，延長(zhǎng)DCG，使得EF＝EG.證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.證 (1)因?yàn)镋C＝ED，所以A，B，C，D所以(2)由(1)易知，AE＝BE.因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠AFG＋∠GBA＝180°.A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓四[學(xué)習(xí)目標(biāo)理解弦切角的定義及性質(zhì)，并能解決與弦切角有關(guān)的問題提 前面我們研究過圓心角和圓周角；頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角叫做心角，頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角 點(diǎn)ABAE.這時(shí)∠BAE還是圓周角嗎？為什么？ 頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫作弦切角(3)圓心在角的，如圖2.AB與⊙OA，AC與⊙OA，CD在⊙O在弦切角∠BAC要點(diǎn) 利用弦切角定理求例 如圖，一圓過直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C，且與斜 ABD點(diǎn)，AD＝DB，G為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為CE上任一點(diǎn).證 連接CD，∵AB切圓于D點(diǎn)∵G為∵DACB規(guī)律方法1.本題在證明過程中，多次使用了角的轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的依據(jù)是弦切角演練1 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O相切，切點(diǎn)為A，∠MAB＝35°，則∠D＝ 解析BD答 要點(diǎn) 利用弦切角定理證明線段成比例2 的切線分別交DA的延長(zhǎng)線和CA的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)點(diǎn).求證已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的長(zhǎng).證明(1)∵BE切⊙OB，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， AD∥BC︵＝︵ 4規(guī)律方法1.弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角演練 如圖，PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)C在︵上證 連接CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，Rt△CBF∽R(shí)t△CAD，∴CA＝CE，CB＝CF，∴CE＝CD，即 要點(diǎn) 弦切角定理綜合應(yīng)例3 如圖所示，以△ABD的邊AB為直徑作半圓O交AD于C點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E點(diǎn).求證：AB＝證法 如圖所示，連接∵CE是⊙O證法 由證法1知又 演練 T為切點(diǎn)，∠APTPDBT，ATC，D.△CTD為等腰三角形22 ∵∠TDC＝∠A＋1∠APT，PT是圓O的切線，∴∠PTB＝∠A.在△PTC中，∠TCD＝∠BTP＋1∠APT，22∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形圓心角、圓周角、弦切角的比較︵∠AOB的度數(shù)＝AB∠ACB的度數(shù)＝1∠ACB的度數(shù)＝1如圖所示，AB是⊙O的一條弦，EC與⊙OB，D⊙O上的任一點(diǎn)(不與A，B重合)，則下列為弦切角的是( 解 ∠ADB是圓周角，∠AOB是圓心角，∠ABC是弦切角，∠BAO不是弦切角答 ＝70°，則∠NMP等于 解 ∵∠NMP是弦切角答 已知AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，則夾劣 解 ∵優(yōu)弧與劣弧之比為3∶1，∴劣弧所對(duì)的圓心角為90°，所對(duì)的圓周角45°，故由弦切角定理可知，弦切角答 OPE∠APEAE，BE證 ∵PE切⊙O于點(diǎn)∵PC平分又APP，AE⊥BP交⊙OE，則圖中與∠CAP相等的角的個(gè)數(shù)是)解 如圖所示，連接則△AOE為等腰三角形∵OC⊥AE，∴OC∴△ACE答 如圖所示，已知⊙OABAC35C點(diǎn)的切線PC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則∠P等于 解 如圖，連接∵PC是⊙O又答 如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙OC，AD⊥EF＝2，AB＝6，則AC的長(zhǎng)為 C.2C.2 如圖，連接BC，由AB是直徑，得AC⊥BC， ∴AC＝2答 如圖所示，已知AB和AC分別是⊙O的弦和切線，A為切點(diǎn)，DBDAC＝6，AD＝5，則CD＝ 解 由AC為切線，得∠CAD＝∠B.由題意知＝4(負(fù)值舍去答 優(yōu)弧BC上的點(diǎn)，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝ 解 OBOC22答 如圖所示，已知圓上的弧AC＝BDCBA證 (1)因?yàn)棣啵溅啵訣C

︵上的一點(diǎn)，已知⊙Or，PO＝2r∠APB＝β.則α，β的大小關(guān)系是 D.不能確解 22答 OAB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3lAlADD的長(zhǎng) 解 cos∠CBA＝3＝1lO的切線，由弦切角定理得 2cos∠DCA＝cos∠CBA＝1.AD⊥CD2

1＝3 2332PAO(O為圓心)A，POOB，CAC＝3，∠PAB＝30°，則線段PB的長(zhǎng) 解 如圖，連接OA，又PA為⊙O切線AC＝3，BC為⊙O直徑，答 如圖，AD是△ABCA，D的⊙ODAB，AC證 如圖所示，連接∵DC是⊙O又∵AD平分又由圓周角定理得如圖，AB為⊙OCD與⊙OE，ADCDD，BC垂CDC，EFABFAE，BE. 證 (1)由直線CD與⊙O相切，得πAB為⊙OAE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝2EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2.(2)BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.AD＝AF.Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.P在⊙O外，PC是⊙OCPO與⊙O相A，B兩點(diǎn).探索∠BCP與∠P的關(guān)系若∠A＝30°，則PBPA有什么關(guān)系∠A可能等于45°嗎？為什么 (1)∵PC為⊙O的切線在△PCA中，∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°， 若則22

∠A不可能等于∴CP∥AB，與題干中PC與AB交于點(diǎn)P∴∠A五[學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握相交弦定理、割線定理、切割線定理以及切線長(zhǎng)定理如圖所示，CD是弦，ABCD⊥ABP 提 CDAB提 P從⊙O內(nèi)接移到⊙O上(如圖②所 ⊙OABCDP從⊙OPPABPCD從⊙OPPAPBC，A要點(diǎn)一1如圖所示，在⊙O中，PABP作半徑OA的垂線分別交⊙OC，DE.求證：PC·PD＝證 連接∵PABRt△APO中，AP2＝AE·AO規(guī)律方法(1)結(jié)合圖形，找準(zhǔn)分點(diǎn)及線段被分點(diǎn)所分成的線段1AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，解延長(zhǎng)DC交⊙C于M，延長(zhǎng)CD交⊙O于N.在⊙O，⊙C中，由相交弦定理可知，PE·EQ＝DE·EM＝CE·ENCE＝xDE＝6－x，則(6－x)(x＋6)＝x(6－x＋6)，解得x＝3.要點(diǎn) 切割線定理應(yīng)例2 如圖設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D.證 如題圖，∵AE是圓的切線∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC從而，故∵EA而規(guī)律方法利用切割線定理證明乘積式成立是一種重要的題型，是高考出題的熱演練2 如圖所示，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)M為︵的中點(diǎn)，割線PBC交AM與點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)B，C.求證PD2＝PB·PC. 連接AC.由題意知∴∠ADB的度數(shù)＝1︵的度數(shù) ∵M(jìn)為︵＝︵∴∠ADB的度數(shù)＝1︵的度數(shù))＝1的度數(shù).∵PA切⊙O 由題意知PA2＝PB·PC要點(diǎn) 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)3如圖所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于PA，PBD，E，△PDE8cm，且∠DOE＝70°.(1)PA的長(zhǎng)(2)∠P的度數(shù) 即2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE的周長(zhǎng)＝PD＋PE＋DE＝8cm，所以2PA＝8cm，(2)連接且由三角形內(nèi)角和得又O所以∠＝180°－(∠＋∠6＋∠7＋∠8).因?yàn)椤?7＝70°，規(guī)律方法解此題第(2)問時(shí)，注意四邊形內(nèi)角和這一隱含條件的使用，當(dāng)已知條演練3 的切線，分別交PA，PB于D，E兩點(diǎn)，則△PDE的周長(zhǎng)等于 解 ∵PA，PB，DE分別切⊙O于∴△PDE故△PDE答 如圖，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE等于( 解 答 如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)P的直線l交⊙O于點(diǎn)B，C，且PB＝4，PC＝9，則PA等于( 解 答 ABACBD.CBD與AB相交于點(diǎn)

CD 解 由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC.∴FC＝EF＝2.由△AFC∽△ABD，知 DB2＝DC·DADA＝4CD4DC2＝DB2＝64， 答 3交⊙OB，C兩點(diǎn).求證：∠DPB＝∠DCP.證 因?yàn)镻A與圓相切于點(diǎn)A，所以DA2＝DB·DC.因?yàn)镈DP