線性代數(shù)-(同濟(jì)六版珍藏版)課件

線性代數(shù)

同濟(jì)六版線性代數(shù)

同濟(jì)六版一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元線性方程組一元一次方程一元二次方程二元、三元線性行列式矩陣及其運(yùn)算矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性矩陣的特征值和特征向量行列式一元一次方程ax=b當(dāng)a≠0時(shí)，二元（三元）線性方程組例解二元線性方程組得于是類似地，可得于是第一章行列式§1二階與三階行列式一元一次方程ax=b線性方程組消去x2,的兩邊后,兩式相加得消元法線性方程組消去x2,的兩邊后,兩式相加得消元法記稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為定義為類似地，可得記稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為定義為類類似的，我們還可以定義三階行列式為類似的，我們還可以定義三階行列式為n

階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2全排列及其逆序數(shù)把1,2,……,n

排成一列，稱為一個(gè)

n

階全排列.奇排列

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.在一個(gè)排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有例1排列1

2……n

稱為自然排列，所以是偶排列.一個(gè)逆序.偶排列

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.

它的逆序數(shù)為0，三階排列共有3×2×1=3!個(gè).n階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2例2排列3251

4的逆序數(shù)為t(３２５１４)例3排列n(n?1)…321的逆序數(shù)為

t(n(n?1)…321)=0+1+2+…+(n?1)=排列32514為奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

例2排列32514的逆序數(shù)為三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是

3!=6

項(xiàng)的代數(shù)和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是3三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成

定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n

階行列式,項(xiàng)的代數(shù)和，

即

規(guī)定為所有形如記成定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n階行列例

1下三角行列式例1下三角行列式例2下三角行列式例3

三階行列式例2下三角行列式例3三階行列式

例5n

階行列式

例4四階行列式例5n階行列式例4四階行列式經(jīng)對換a與b,得排列

所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性.§4對換

對換

定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性.

證先證相鄰對換的情形.

那么設(shè)排列經(jīng)對換a與b排列，得排列

相鄰對換再證一般對換的情形.設(shè)排列經(jīng)對換a與b,得排列事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1

次相鄰對換變?yōu)榕帕校?）.

定理2

n

階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對換的情形及2m+1

是奇數(shù)，性相反.所以這兩個(gè)排列的奇偶事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1次相鄰對換變?yōu)榕帕校?

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求這兩個(gè)排列的逆序數(shù).經(jīng)對換1與4得排列例1排列53142解t(53142)1.選擇i與

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出應(yīng)冠以的符號

3.計(jì)算n

階行列式練習(xí)1.選擇i與k使（1）25i行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即排列25413

為偶排列；（2）i=3,k=4時(shí)，即排列25314

為奇排列.行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即

性質(zhì)1

性質(zhì)2

§5行列式的性質(zhì)

推論

兩行（列）相同的行列式值為零.數(shù)k,

推論行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號

性質(zhì)4

性質(zhì)3

式等于零.等于用數(shù)

k

乘此行列式.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列式變號.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

外面.性質(zhì)1性質(zhì)2若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，

例如則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)6把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對設(shè)行列式DT

稱為行列式

D

的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=設(shè)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=

設(shè)行列式D=det(aij)互換第i,j(i＜j)兩行,得行列式

性質(zhì)2的證明設(shè)行列式D=det(aij)互換第其中，當(dāng)k≠i,j

時(shí),bkp=akp;當(dāng)k=i,j

時(shí)，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=?D其中，當(dāng)k≠i,j時(shí),bkp=akp;當(dāng)例3例3

r2-r1例5==0例6例7r2-r1例5==0例6

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8計(jì)算行列式解r2-r1,r3-3r1,r4

r2÷2

r3+r2,r4-2r2r2÷2r3+r2,r4-2r2

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3r4÷(-3),r3←→r4r4+3r3

例9計(jì)算行列式

解從第4行開始，后行減前行得，例9計(jì)算行列式解從第4行開線性代數(shù)----(同濟(jì)六版珍藏版)課件

例10計(jì)算行列式

解各行都加到第一行，例10計(jì)算行列式解各行都加到第

各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)

§6行列式按行（列）展開

在

n

階行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(?1)i+jMij

記成Mij

,

稱為元素aij

的余子式.

稱它為元素aij

的代數(shù)余子式.

劃去,剩下的(n?1)2

個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成的n?1階行列式,

記

例1三階行列式中元素a23的余子式為§6行列式按行（列）展開元素a23的代數(shù)余子式為

例2四階行列式中元素x的代數(shù)余子式為=5元素a23的代數(shù)余子式為例2四階行列式

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)

或的代數(shù)余子式乘積之和，即素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即定理3推論行列式某一行（列）的元素

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都為0,即

D=aijAij那么證明先證aij位于第1行，第1

列的情形，即引理在行列式D中，如果它的第i行中由行列式的定義，得再證一般情形，設(shè)用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把a(bǔ)ij

調(diào)到左上角，得行列式由行列式的定義，得再證一般情形，設(shè)用互換相鄰兩行利用前面的結(jié)果，得于是所以引理成立.利用前面的結(jié)果，得于是所以引理成立.

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)

證因?yàn)?/p>

或的代數(shù)余子式乘積之和，即定理3行列式等于它的任意一行（列）的椐引理，就得到類似地可得椐引理，就得到類似地可得

例3計(jì)算四階行列式解按第

1列展開，有例3計(jì)算四階行列式解按第1列例4計(jì)算四階行列式解按第1

行展開，有例4計(jì)算四階行列式解按第1行展開，有對等式右端的兩個(gè)

3

階行列式都按第3

行展開，得解c3-c1c4-2c1例5計(jì)算四階行列式對等式右端的兩個(gè)3階行列式都按第3行展開，得第1行提取2，第2行提取?1按第2行展開得第1行提取2，第2行提取?1按第2行展開得按第

1

行展開

r2+r1=?24c2-c1

，c3-c1按第1行展開r2+r1=?24c2-c1

例6證明范德蒙（Vandermonde

）行列式證用數(shù)學(xué)歸納法.所以當(dāng)n=2時(shí)（*）式成立.

假設(shè)對于n–1

階范德蒙

ri–x1ri-1

,i=n,n–1,…2,有因?yàn)閷?/p>

n階范德蒙行列式做運(yùn)算行列式等式成立.例6證明范德蒙（Vandermonde按第1列展開后，各列提取公因子(xi-x1)

得按第1列展開后，各列提取公因子(xi-x1)得椐歸納法假設(shè)，可得歸納法完成.

推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元

或元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即椐歸納法假設(shè)，可得歸納法完成.推論行列式某例7計(jì)算行列式解例7計(jì)算行列式解先以3階行列式為例，例如為了證得因?yàn)樗杂窒纫?階行列式為例，例如為了證得因?yàn)樗杂衷O(shè)行列式D=det(aij

)，因?yàn)樾辛惺紻1中第

i行與第

j

行元素對應(yīng)相同，把行列式D1

按第

j

行展開，有類似地，也可以證明另一個(gè)式子.所以推論的證明取行列式設(shè)行列式D=det(aij)，因?yàn)樾辛惺?/p>

§7Cramer法則

設(shè)線性方程組

定理4

（Cramer法則

）若線性方程組（1）的系數(shù)行列式不即等于零，§7Cramer法則設(shè)線其中

則方程組有唯一解其中則方程組有唯一解

證先證（2）是（1）的解，即要證明

為此看n+1

階行列式第1行展開，注意到，其第一行中

aij的代數(shù)余子式為首先，因?yàn)榈?/p>

1

行與第i+1

行相同,所以它的值為零.再把它按證先證（2）是（1）的解，即要證明為此看n故有

因而

即是線性方程組（1）解.故有因而

3

個(gè)恒等式A12,A22,An2

分別乘以上的3個(gè)等式得相加,得

設(shè)x1=c1,x2=c2,x3=c3

是線性方程組（1）的解,于是有3個(gè)恒等式A12,A22,An2分別乘以上的類似的可得于是也就是由于類似的可得于是也就是由于

例1用Cramer法則解線性方程組

解因?yàn)槔?用Cramer法則解線性方程組解因所以所以

定理

5

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0

，那么它只有零解.下述齊次方程組有非零解？定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D

解根據(jù)定理

5

，若此齊次線性方程組有非零解，則其系所述方程組確有非零解.行列式必為

0.而解根據(jù)定理5，若此齊次線性方程組有第五章相似矩陣及二次型

§1預(yù)備知識向量的內(nèi)積

定義1

設(shè)有n

維向量令[x,y]=x1y1+x2y2+……+xnyn,稱[x,y]為向量x

與

y

的內(nèi)積.

內(nèi)積具有下列性質(zhì)：

1.[x,y]=[y,x];

3.[x+y,z]=[x,z]+[y,z];

4.[x,x]≥0,其中x，y，z

是為向量，易知,[x,y]=xTy.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=0時(shí)[x,x]=0.第五章相似矩陣及二次型§1

定義2

非負(fù)實(shí)數(shù)稱為n維向量x

的長.向量的長具有性質(zhì)：長為1的向量稱為單位向量.若向量x≠0,如果[x,y]=0，那么稱向量x

與y

正交.一組兩兩正交的非零向量.正交向量組:定義2非負(fù)實(shí)數(shù)稱為n維向量x那么它應(yīng)滿足～由得那么它應(yīng)滿足～由得

規(guī)范正交向量組:定理1

正交向量組必線性無關(guān).證設(shè)向量組a1,a2,……,ar

是正交向量組,類似的可證于是向量組a1,a2,……,ar線性無關(guān).但不為正交向量組.向量組e1,e2,……,er

為規(guī)范正交向量組，當(dāng)且僅當(dāng)若有一組數(shù)由單位向量構(gòu)成的正交向量組.規(guī)范正交向量組:定理1正交向量組必線性無關(guān).設(shè)向量組a1,a2,……,ar

線性無關(guān)，則必有規(guī)范正交向量組

正交化：單位化：于是，e1,e2,……,er是規(guī)范正交向量組，且與a1,a2,……,ar等價(jià).e1,e2,……,er

與a1,a2,……,ar等價(jià).設(shè)向量組a1,a2,……,ar線性e1,e2即為所求.e1,e2即為所求.取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系再把b2,b3正交化即為所求a2,a3.也就是取

定義3

設(shè)n

維向量e1,e2,……,er

是向量空間V

的一個(gè)基,如果向量組e1,e2,……,er為規(guī)范正交向量組，則稱e1,e2,…...,向量組a1,a2,a3

是所求正交向量組.er是V

的一個(gè)規(guī)范正交基.所以對齊次方程組取它的一個(gè)基礎(chǔ)解系再把b2,b3正交化即為所求a2,

定義4

如果

n

階矩陣A滿足那么稱A為正交矩陣.

n階矩陣A

為正交矩陣的充分必要條件是A

的列（行）向

設(shè)n階矩陣A=(a1,a2,……,an

),其中a1,a2,……,an是

或者說,n階矩陣A

為正交矩陣的充分必要條件是A

的列

A為正交矩陣，即是

ATA=E,都是正交矩陣.

例6（行）向量組構(gòu)成向量空間Rn

的一個(gè)規(guī)范正交基.A的列向量組.量組是規(guī)范正交向量組.定義4如果n階矩陣A滿足由此可見，A

為正交矩陣的充分必要條件是A

的列（行）向量組是規(guī)范正交向量組.由此可見，A為正交矩陣的充分必要條件是A的列（行）向

定義5

若

P為正交矩陣，則線性變換x=Py

稱為正交變換.線性變換的系數(shù)構(gòu)成矩陣于是線性變換（＊）就可以記為x=Py都為正交變換.

例7定義5若P為正交矩陣，則線性變換x若

線性變換x=Py

為正交變換，a,b為任意兩個(gè)向量.那么這是因?yàn)樘貏e的，若線性變換x=Py為正交變換，a,

§2方陣的特征值與特征向量

定義6

設(shè)A

是

n

階矩陣，和n

維非零列向量p非零向量p

稱為A

的對于特征值稱為方陣A

的特征多項(xiàng)式.稱為n階矩陣A的特征方程.

(1)式也可寫成使得行列式§2方陣的特征值與特征向量求

n階方陣A

的特征值與特征向量的方法：

1求出矩陣的A

特征多項(xiàng)式,特征值.它的非零解都是

例1

求矩陣的特征值和特征向量.解A

的特征多項(xiàng)式為于是，求n階方陣A的特征值與特征向量的方法：所以，A

的特征值為得基礎(chǔ)解系解方程組(A-E)x=0.由

其中k為任意非零數(shù).～所以，A的特征值為得基礎(chǔ)解系解方程組(A-E)x=得基礎(chǔ)解系

例2

求矩陣的特征值和特征向量.解A

的特征多項(xiàng)式為其中k是任意非零數(shù).～得基礎(chǔ)解系例2求矩陣的特征值和特征向量.所以，A

的特征值為解方程組(A-3E)x=0.由得基礎(chǔ)解系的全部特征向量為kp1

,解方程組(A-E)x=0.由其中k為任意非零數(shù).～所以，A的特征值為解方程組(A-3E)x=0.由得基礎(chǔ)解系的全部特征向量為kp2

+lp3,其中數(shù)證對特征值的個(gè)數(shù)m

用數(shù)學(xué)歸納法.由于特征向量是非零向量，所以，m=1時(shí)定理成立.量是線性無關(guān)的，

令

p1,p2,……,pm

依次為m個(gè)不等的特征值下面證明p1,p2,……,pmp1,p2,……,pm

～k,l不同時(shí)為零.依次是與之對應(yīng)的特征向量,

那么

p1,p2,……,pm線性無關(guān).假設(shè)m?1

個(gè)不同的特征值的特征向得基礎(chǔ)解系的全部特征向量為kp2+lp3,其中線性無關(guān).設(shè)有一組數(shù)x1,x2,……,xm

使得

x1p1+x2p2+……+xmpm=0

(1)成立.以矩陣

A左乘式(1)兩端,得（3）式減（2）式得根據(jù)歸納法假設(shè)，p1,……,pm-1線性無關(guān)，所以,x1=

0,…….,xm–1=0.

這時(shí)（1）式變成，xmpm=0.因?yàn)閜m≠0，所以只有xm=

0

.這就證明了p1,p2,……,pm線性無關(guān).歸納法完成，定理得證.于是線性無關(guān).設(shè)有一組數(shù)x1,x2,……,xm

p1,p2依次是與之對應(yīng)的那么向量組p1,p2線性無關(guān)．證設(shè)有一組數(shù)x1,x2

使得

x1p1+x2p2=0(1)成立.以矩陣

A左乘式(1)兩端,得（3）式減（2）式得所以x1=

0.這樣（1）式變成，x2p2=0.因?yàn)閜2≠0，所以只有x2=0

.這就證明了p1,p2線性無關(guān).特征向量，p1,p2依次是與之對應(yīng)的那么向量組p1所以有向量p≠0使，于是，求上三角矩陣練習(xí)的特征值與特征向量.的特征值．所以有向量p≠0使，于是，求上三角矩陣

§3相似矩陣

定義7

設(shè)A,B

都是

n

階矩陣，P-1AP=B,則稱矩陣A

與B

相似，可逆矩陣P

稱為把A

變成

B

的相似變換則A與B的特征多項(xiàng)式相同,從而A與B的特征值也相同.證因?yàn)锳與B相似，故

定理3

若

n

階矩陣A與B相似，所以有可逆矩陣P，使P-1AP=B,若有可逆矩陣P，使證畢.矩陣.§3相似矩陣相似，由定理3知，定理4

n

階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是:

定理4的證明如果可逆矩陣P,使若記矩陣也就是n

個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

推論若

n階矩陣

A

與對角矩陣

推論如果

n階矩陣A的特征值互不相等，則A與對角矩陣相似．A

有P=(p1，p2,……,pn),相似，由定理3知，定理4n階矩陣AA(p1,p2,……,pn)=(p1,p2,……,pn)即為

(A

p1,Ap2,…,Apn)=再由

P

是可逆矩陣便可知，反之，如果

n

階矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1,p2,…,于是，應(yīng)有數(shù)以向量組p1,p2,……,pn

構(gòu)成矩陣P=(p1，p2,……,pn),則P矩陣，即A與對角矩陣相似.p1,p2,……,pn

就是

A

的n個(gè)線性其中p1,p2,……,pn

是

P

的列向量組,就有為可逆矩陣，無關(guān)的特征向量.pn,A(p1,p2,……,pn)=(p1,

§2例1中的3階矩陣只有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，

§2例2中的矩陣是

A

的特征值3的線性無關(guān)的特征向量,所以它不可能與對角矩陣相似.§2例1中的3階矩陣只有2個(gè)線性無關(guān)的特是A的特征值1的線性無關(guān)的特征向量.

P=(p1,p2,p3

)=于是，3階矩陣A恰有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1,p2,p3

，則P

為可逆矩陣，且P-1AP=所以它能與對角矩陣相似.令是A的特征值1的線性無關(guān)的特征向量.例1判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，求出相似解A

的特征多項(xiàng)式為因此A的特征值為變換矩陣和對角矩陣．例1判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似，若是，～得基礎(chǔ)解系解方程組(A-E)x=0.由得基礎(chǔ)解系～～得基礎(chǔ)解系解方程組(A-E)x=0.由得基礎(chǔ)解系～令則可逆矩陣

P為所求相似變換矩陣,且于是，3階矩陣A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以它能與對角矩陣相似.令則可逆矩陣P為所求相似變換矩陣,且于是，3階矩陣?yán)?設(shè)2階矩陣A

的特征值為1,?5,與特征值對應(yīng)的特征求A.解因?yàn)?階矩陣A

有2個(gè)互異的特征值，取應(yīng)有所以據(jù)定理4的推論，A

能與對角矩陣相似.向量分別為例2設(shè)2階矩陣A的特征值為1,?例3社會調(diào)查表明，某地勞動力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是：在從農(nóng)解到2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞如果引入2階矩陣表示每年非農(nóng)從業(yè)人員中有1/20改為從農(nóng)工作.表示每年從農(nóng)人員中有3/4改為從事非農(nóng)工作.于是有業(yè)情況以及經(jīng)過多年之后該地勞動力從業(yè)情況的發(fā)展趨勢．員各占全部勞動力的1/5和4/5，試預(yù)測到2005年底該地勞動力從人員中每年有3/4改為從事非農(nóng)工作，在非農(nóng)從業(yè)人員中每年有1/20改為從農(nóng)工作.到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人動力的百分比分別為和例3社會調(diào)查表明，某地勞動力從業(yè)轉(zhuǎn)移情況是再引入2維列向量,其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng)表示到2000年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞如向量那么，2001年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作于是，到2005年底該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動力的百分比應(yīng)為

k

年后該地勞動力的從業(yè)情況可由矩陣A的特征多項(xiàng)式Ax工作人員各占全部勞動力的百分比．動力的1/5和4/5．人員各占全部勞動力的百分比就可由下述運(yùn)算得出再引入2維列向量,其分量依次為到某年底從農(nóng)工作和從事非農(nóng)對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的特征向量，則P

為可逆矩陣，所以矩陣相似.據(jù)定理4的推論，A

能與對角且使得對應(yīng)的特征向量，對應(yīng)的特征向量，則P為可逆矩陣，所以矩陣類似的，第k

年底該地勞動力的從業(yè)情況為按此規(guī)律發(fā)展，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員占全部勞動力的百分比趨于類似的，第k年底該地勞動力的從業(yè)情況為按此規(guī)律發(fā)展，多

例4

如果于是A

與

B的特征多項(xiàng)式相同，但A

與B不相似.特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似.即，多年之后該地從農(nóng)工作和從事非農(nóng)工作人員各占全部勞動力的6/100和94/100.那么例4如果于是A與B的特征多項(xiàng)

§4對稱矩陣的相似矩陣定理5

實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).p

為對應(yīng)的特征向量.于是有兩式相減，因?yàn)?/p>

p≠0,則p1與p2正交.p1,p2

依次是它們對應(yīng)的特征向量.即定理6

§4對稱矩陣的相似矩陣定理5定理7設(shè)A

為

n階對稱矩陣,

線性無關(guān)的特征向量.即p1與p2正交.恰有

r

個(gè)因?yàn)锳

是實(shí)對稱矩陣，所以于是證由已知有r

重根,左乘（2）式的兩端得定理7設(shè)A為n階對稱矩陣,重?cái)?shù)依次為r1,r2,……,rm,于是,r1+r2+……+rm=n.

恰有

ri個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向量,把它們正交單位化，即得ri

個(gè)單位正交的特征向量,i=1,2，

…,m.由r1+r2+……+rm=n.

知這樣的特征向量恰有

n

個(gè).又實(shí)對稱矩陣不等的特征值對應(yīng)的特征向量正交(根據(jù)定理6)，故這

n個(gè)特征向量構(gòu)成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣

P,它們的定理5及定理7知，根據(jù)則為

P正交矩陣，并有恰是A的n

個(gè)特征值.定理8

設(shè)A

為

n

階對稱矩陣，則必有正交矩陣

P,使是以A

的

n

個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣.重?cái)?shù)依次為r1,r2,……,rm,于是,為對角矩陣．為對角矩陣．線性代數(shù)----(同濟(jì)六版珍藏版)課件于是得正交矩陣P=(p1,p2,p3

)且使得于是得正交矩陣P=(p1,p2,p3)且使得將其規(guī)范正交化.解A

的特征多項(xiàng)式為為對角矩陣．將其規(guī)范正交化.解A的特征多項(xiàng)式為為對角矩陣再單位化得正交化：取再單位化得正交化：取于是得正交矩陣P=(p1

,p2,p3

)且使得于是得正交矩陣P=(p1,p2,p3)且使

§5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

定義8

n個(gè)變量x1,x2,……,xn

的二次齊次函數(shù)f(x1,x2,……,xn)=稱為二次型.于是（1）式可寫成f(x1,x2,……,xn)對二次型(1)，記則二次型(1)又表示為§5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形f(x1,x2,……,xn)=其中A

為對稱矩陣，叫做二次型f(x1,x2,……,xn)的矩陣，也把f(x1,x2,……,xn)叫做對稱矩陣A

的二次型.對稱矩陣A的秩，叫做二次型f(x1,x2,……,xn)=xTAx的秩.二次型f(x1,x2,……,xn)經(jīng)過可逆的線性變換即用(3)代入(1)，還是變成二次型.那么新二次型的矩陣與原二次型的矩陣A

的關(guān)系是什么？可逆線性變換(3),記作x=Cy,

f(x1,x2,……,xn)=其中A為

f(x1,x2,……,xn)

g(y1,y2,……,yn)

x=Cy可逆線性變換(AT=)AB(=BT)

CTAC=把可逆的線性變換

x=Cy代入二次型f=xTAx,

得二次型f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y

就是說，若原二次型的矩陣為A

，那么新二次型的矩陣為其中C是所用可逆線性變換的矩陣．

定理9

設(shè)有可逆矩陣C,使B=CTAC,如果A為對稱矩陣，則B也為對稱矩陣，且R(A)=R(B).CTAC,f(x1,x2,……,xn)g即B

為對稱矩陣.因?yàn)锽=CTAC

，所以R(B)≤R(AC)≤R(A).因?yàn)樗訰(A)≤R(BC-1)≤R(B),故得R(A)=R(B).A=(CT

)–1BC

–1，證因?yàn)锳

是對稱矩陣,即AT=A，所以BT=(CTAC)T

=CTAT(CT

)T

=CTATC

=B,主要問題：求可逆的線性變換將二次型(1)化為只含平方項(xiàng)，即用(3)代入(1)，能使f(x1,x2,……,xn)稱（4）為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.即B為對稱矩陣.因?yàn)锽=CTAC，所以R(總有正交變換

x=Py，使

f化為標(biāo)準(zhǔn)形定理8設(shè)A

為

n

階對稱矩陣，則必有正交矩陣

P,使是以A

的

n

個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣.定理10也就是說，已知對稱矩陣A，求一個(gè)可逆矩陣C使為對角矩陣.總有正交變換例1用矩陣記號表示二次型例2求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型解二次型的矩陣為那么化為標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型的矩陣為例1用矩陣記號表示二次型例2它的特征多項(xiàng)式為它的特征多項(xiàng)式為于是正交變換為于是正交變換為例3求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為例3求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型化為標(biāo)正交化：取再單位化得正交化：取再單位化得于是正交變換為于是正交變換為例4已知在直角坐標(biāo)系ox1x2中,二次曲線的方程為試確定其形狀．解先將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，也就是用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．二次型f

的矩陣為A的特征多項(xiàng)式為于是A的特征值為可求得對應(yīng)的特征向量為將它們單位化得例4已知在直角坐標(biāo)系ox1x2中,二次曲令就有故在新坐標(biāo)系oy1y2中該曲線的方程為這是一個(gè)橢圓．其短、長半軸長分別為

y1y2

x1x20令就有故在新坐標(biāo)系oy1y2中該曲線的方程為這是一個(gè)橢圓§6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形例1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.就把f化成標(biāo)準(zhǔn)形§6用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形例1化二次型例2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.解令代入，再配方可得所用線性變換矩陣為例2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的變換矩陣.解所用變換矩陣為所用變換矩陣為

§7正定二次型

定理11

設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r,若有實(shí)可逆變換

x=Cy

及x=Pz使

定義9

實(shí)二次型f=xTAx

稱為正定二次型，如果對任何

xTAx

＞0.正定二次型的矩陣稱為正定矩陣.

定理12

n

元實(shí)二次型f=xTAx

為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的

n

個(gè)系數(shù)全為正.則k1,k2,…,kr中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等．證設(shè)可逆變換x=Cy

使

x≠0,都有和§7正定二次型定理11因?yàn)?/p>

C

是可逆矩陣,故即二次型為正定的.再證必要性.用反證法.假設(shè)有ks≤0,則當(dāng)y=es時(shí)，其中es是第

s

個(gè)分量為1其余分量都為

0

的n

維向量.這與f為正定相矛盾．因而ki>0,i=1,2,…,n.

推論對稱矩陣

A

為正定的充分必要條件是:A的特征值全

定理13

對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是：階主子式都為正.即為正．A

的各先證充分性.設(shè)ki>0,i=1,2,…,n.任給x≠0,因?yàn)镃是可逆矩陣,故即二次型為正定的.再證必要性.用反證線性代數(shù)

同濟(jì)六版線性代數(shù)

同濟(jì)六版一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元線性方程組一元一次方程一元二次方程二元、三元線性行列式矩陣及其運(yùn)算矩陣的初等變換與線性方程組向量組的線性相關(guān)性矩陣的特征值和特征向量行列式一元一次方程ax=b當(dāng)a≠0時(shí)，二元（三元）線性方程組例解二元線性方程組得于是類似地，可得于是第一章行列式§1二階與三階行列式一元一次方程ax=b線性方程組消去x2,的兩邊后,兩式相加得消元法線性方程組消去x2,的兩邊后,兩式相加得消元法記稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為定義為類似地，可得記稱它為二階行列式，于是，線性方組（1）的解可以寫為定義為類類似的，我們還可以定義三階行列式為類似的，我們還可以定義三階行列式為n

階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2全排列及其逆序數(shù)把1,2,……,n

排成一列，稱為一個(gè)

n

階全排列.奇排列

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.在一個(gè)排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有例1排列1

2……n

稱為自然排列，所以是偶排列.一個(gè)逆序.偶排列

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.

它的逆序數(shù)為0，三階排列共有3×2×1=3!個(gè).n階排列共有n!個(gè).排列的逆序數(shù)§2例2排列3251

4的逆序數(shù)為t(３２５１４)例3排列n(n?1)…321的逆序數(shù)為

t(n(n?1)…321)=0+1+2+…+(n?1)=排列32514為奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

例2排列32514的逆序數(shù)為三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是

3!=6

項(xiàng)的代數(shù)和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三階行列式定義為§3n階行列式的定義三階行列式是3三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成

定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n

階行列式,項(xiàng)的代數(shù)和，

即

規(guī)定為所有形如記成定義由n2個(gè)數(shù)組成的數(shù)表，稱為n階行列例

1下三角行列式例1下三角行列式例2下三角行列式例3

三階行列式例2下三角行列式例3三階行列式

例5n

階行列式

例4四階行列式例5n階行列式例4四階行列式經(jīng)對換a與b,得排列

所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性.§4對換

對換

定理1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對換，排列改變奇偶性.

證先證相鄰對換的情形.

那么設(shè)排列經(jīng)對換a與b排列，得排列

相鄰對換再證一般對換的情形.設(shè)排列經(jīng)對換a與b,得排列事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1

次相鄰對換變?yōu)榕帕校?）.

定理2

n

階行列式也可以定義為根據(jù)相鄰對換的情形及2m+1

是奇數(shù)，性相反.所以這兩個(gè)排列的奇偶事實(shí)上，排列（1）經(jīng)過2m+1次相鄰對換變?yōu)榕帕校?

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求這兩個(gè)排列的逆序數(shù).經(jīng)對換1與4得排列例1排列53142解t(53142)1.選擇i與

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出應(yīng)冠以的符號

3.計(jì)算n

階行列式練習(xí)1.選擇i與k使（1）25i行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即排列25413

為偶排列；（2）i=3,k=4時(shí)，即排列25314

為奇排列.行列式中的項(xiàng).1.（1）i=4,k=3時(shí)，即

性質(zhì)1

性質(zhì)2

§5行列式的性質(zhì)

推論

兩行（列）相同的行列式值為零.數(shù)k,

推論行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號

性質(zhì)4

性質(zhì)3

式等于零.等于用數(shù)

k

乘此行列式.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.互換行列式的兩行（列），行列式變號.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

外面.性質(zhì)1性質(zhì)2若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，

例如則此行列式等于兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.性質(zhì)6把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對設(shè)行列式DT

稱為行列式

D

的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=設(shè)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記那么=

設(shè)行列式D=det(aij)互換第i,j(i＜j)兩行,得行列式

性質(zhì)2的證明設(shè)行列式D=det(aij)互換第其中，當(dāng)k≠i,j

時(shí),bkp=akp;當(dāng)k=i,j

時(shí)，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=?D其中，當(dāng)k≠i,j時(shí),bkp=akp;當(dāng)例3例3

r2-r1例5==0例6例7r2-r1例5==0例6

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8計(jì)算行列式解r2-r1,r3-3r1,r4

r2÷2

r3+r2,r4-2r2r2÷2r3+r2,r4-2r2

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3r4÷(-3),r3←→r4r4+3r3

例9計(jì)算行列式

解從第4行開始，后行減前行得，例9計(jì)算行列式解從第4行開線性代數(shù)----(同濟(jì)六版珍藏版)課件

例10計(jì)算行列式

解各行都加到第一行，例10計(jì)算行列式解各行都加到第

各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)各行都減第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)

§6行列式按行（列）展開

在

n

階行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(?1)i+jMij

記成Mij

,

稱為元素aij

的余子式.

稱它為元素aij

的代數(shù)余子式.

劃去,剩下的(n?1)2

個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成的n?1階行列式,

記

例1三階行列式中元素a23的余子式為§6行列式按行（列）展開元素a23的代數(shù)余子式為

例2四階行列式中元素x的代數(shù)余子式為=5元素a23的代數(shù)余子式為例2四階行列式

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)

或的代數(shù)余子式乘積之和，即素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即定理3推論行列式某一行（列）的元素

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都為0,即

D=aijAij那么證明先證aij位于第1行，第1

列的情形，即引理在行列式D中，如果它的第i行中由行列式的定義，得再證一般情形，設(shè)用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把a(bǔ)ij

調(diào)到左上角，得行列式由行列式的定義，得再證一般情形，設(shè)用互換相鄰兩行利用前面的結(jié)果，得于是所以引理成立.利用前面的結(jié)果，得于是所以引理成立.

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)

證因?yàn)?/p>

或的代數(shù)余子式乘積之和，即定理3行列式等于它的任意一行（列）的椐引理，就得到類似地可得椐引理，就得到類似地可得

例3計(jì)算四階行列式解按第

1列展開，有例3計(jì)算四階行列式解按第1列例4計(jì)算四階行列式解按第1

行展開，有例4計(jì)算四階行列式解按第1行展開，有對等式右端的兩個(gè)

3

階行列式都按第3

行展開，得解c3-c1c4-2c1例5計(jì)算四階行列式對等式右端的兩個(gè)3階行列式都按第3行展開，得第1行提取2，第2行提取?1按第2行展開得第1行提取2，第2行提取?1按第2行展開得按第

1

行展開

r2+r1=?24c2-c1

，c3-c1按第1行展開r2+r1=?24c2-c1

例6證明范德蒙（Vandermonde

）行列式證用數(shù)學(xué)歸納法.所以當(dāng)n=2時(shí)（*）式成立.

假設(shè)對于n–1

階范德蒙

r