隨機(jī)-窄帶過程

第五章窄帶隨機(jī)過程2

305.1、預(yù)備知識(shí)窄帶隨機(jī)過程Si

()So

()H()000Sx

,0

c

0

cotherSx

0,若C

0

，則稱Xt為高頻窄帶隨機(jī)過程，簡稱窄帶隨機(jī)過程5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.1復(fù)信號(hào)在研究隨機(jī)過程時(shí)，最直觀的表示方法是實(shí)隨機(jī)過程，物理上存在的隨機(jī)過程都是實(shí)隨機(jī)過程。但是在某些情況下，例如在分析窄帶隨機(jī)過程時(shí)，把它表示為復(fù)數(shù)形式更為方便（比如，利用復(fù)數(shù)形式比較容易去掉載頻，變換為基帶過程）。首先介紹確定性信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法，進(jìn)而推導(dǎo)出希變換表達(dá)式。5.1、預(yù)備知識(shí)一、正弦型信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法s(t)

acos0t

利用公式和ej0t

，得到信號(hào)頻譜0

0

012j

jX()

a

e

e

說明：正弦型實(shí)信號(hào)包含正負(fù)兩個(gè)單頻分量。它們包含了相同的信息。為了便于分析，引入其復(fù)指數(shù)函數(shù)形式s(t)

a

ejej0t

aej0t其中，a

aej

稱為復(fù)包絡(luò)。5.1、預(yù)備知識(shí)2X,X

0

00,由于復(fù)信號(hào)具有單邊帶頻譜的優(yōu)點(diǎn)，因此應(yīng)用復(fù)信號(hào)s

t來表示實(shí)信號(hào)st時(shí)，可以簡化信號(hào)和濾波器的分析?？梢钥闯?，實(shí)信號(hào)st是復(fù)信號(hào)st的實(shí)部：st

Re

st復(fù)信號(hào)st的頻譜為X

a

0

，表示其頻譜僅包含正頻率分量，并且幅度為實(shí)信號(hào)頻譜的兩倍：復(fù)數(shù)表示沒有損失信息5.1、預(yù)備知識(shí)二、任意實(shí)信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法設(shè)st是任意實(shí)信號(hào)，我們知道，任意實(shí)信號(hào)都具有雙邊帶對(duì)稱頻譜（按照級(jí)數(shù)展開，任意實(shí)信號(hào)可以展開為正弦型信號(hào)的組合）?，F(xiàn)在，我們要尋找一種復(fù)信號(hào)st，使其滿足如下兩個(gè)條件：s

t

Re

s

t2X,X

0

00,對(duì)于正弦型信號(hào)，復(fù)指數(shù)函數(shù)正好同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件。但是，對(duì)于任意的實(shí)信號(hào)st來說，同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件的復(fù)信號(hào)是否存在，如果存在，其具體形式？有何特點(diǎn)？5.1、預(yù)備知識(shí)應(yīng)用反變換，將實(shí)信號(hào)表示為

jt0jtjt0

jtjt00

1

2s

tX

e

d

1X

e d

X

e

d

1X

ed

X

e

d2

2

令A(yù)

jt0

1

2X

e

d，可得到st

A

A

2

ReA

Re2A

jt0

1s

t

Re2X

e

d

25.1、預(yù)備知識(shí)這樣，我們就找到了一種復(fù)信號(hào)

jt0

1

12X

U

e

djts

t

2X

e

d

2

2首先，其滿足第一個(gè)條件，st

Re

s

t

。其次，其對(duì)應(yīng)的頻譜為單邊帶頻譜X

2X

U，滿足第二個(gè)條件。下面將復(fù)信號(hào)st表示為解析表達(dá)式s

t

st

js?t

將其稱為解析信號(hào)。實(shí)部已知，關(guān)鍵是求虛部的表達(dá)式，或者，實(shí)部st和虛部s?t

之間存在什么關(guān)系？5.1、預(yù)備知識(shí)我們從第二個(gè)條件出發(fā)，X

2X

U，對(duì)等式兩

邊求

反變換。因?yàn)閁

1

t

1

，所以st

st

t

1

st

jst

1jt

t

t

t

s?t

st

1

1

s

d上式給出了解析信號(hào)的實(shí)部和虛部之間的關(guān)系，稱為(Hilbert)變換,

記為st

HT

s

t

。5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.2、變換:Hilbert

Transform1862-1943,德國數(shù)學(xué)家（1）變換h(t)

1tX(t)duu1

X(u)

1

X(t

u)X?

(t)

t

u

du

s?t

st

1t變換相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器，為什么10？/

？變量替換

u

t

u'?duu1

X(t

u)X(t)

5.1、預(yù)備知識(shí)1862-1943,德國數(shù)學(xué)家5.1.2、

變換:

Hilbert

Transform濾波器頻域特性的推導(dǎo)：s

t

st

js?

t

s?

t

j

s

t

st等式兩端做 變換X?

j2X

U

X

H

XH

jsgnH

1

,

0

22,

05.1、預(yù)備知識(shí)5.1.2、變換:Hilbert

Transform1862-1943,德國數(shù)學(xué)家|

H()

|arg[H()]122

變換對(duì)所有信號(hào)的幅度響應(yīng)為1（全通），對(duì)所有正頻率分量都移相-90度，對(duì)所有負(fù)頻率分量移相+90度，所以，

變換是一種正交變換，它相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器。全通13

/

305.1、預(yù)備知識(shí)5.1.2、變換:Hilbert

Transform（2）逆變換

jX?

()

j(

jX())

X(),

0x?(t)

?

X()X()

jX?

()

j[jX()]

X(),

0

?1??1x(t)

x?(t)

HT[x?(t)]x()d

t

1

x?(t

)

d

x

t

HT

[x(t)]t

1

145.1、預(yù)備知識(shí)5.1.2、變換:Hilbert

Transform（2）逆變換j-jphase

adjustmentg(t)

1

G

jsgntx?

x1g(t)

th(t)

1

H

jsgnt正交濾波器5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)定義：給定一個(gè)實(shí)隨機(jī)過程Xt，定義一個(gè)復(fù)隨機(jī)過程Xt

Xt

jX?

t，其中X?

t

HT

Xt

是Xt的Hilbert

變換，則稱Xt是實(shí)隨機(jī)過程Xt的復(fù)解析過程，簡稱解析過程。注：將解析信號(hào)的概念直接推廣應(yīng)用于隨機(jī)過程，但是需要研究解析過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)性質(zhì)1：若Xt為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則X?

t也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，并且聯(lián)合平穩(wěn)。證明：因?yàn)?變換是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)性質(zhì)

2：解析過程Xt的實(shí)部Xt和虛部X?

t的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同。證明：X?

t

Xt

htS

?

SX

H

S

2X

X做

逆變換

?XXR

R

5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)XX

?XXX?性質(zhì)

3：

R

?

R?

X

，

R

R證明：

X?

XXX

t

R

E

X?

t

Xt

E

1dX t

1

E

Xt

Xt

d

R?

同理?XXX?并且

?

?X

X X

XRR

R

R注：與隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析結(jié)果相同RYX

RX

h，

RXY

RX

h5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)性質(zhì)4：?XXR

?

R

證明：XXR

?

R?

X

RX

h

RX

h

R?

X

R

?

XX

?XX

XXXXR

?

0

R0

0

XX另，因?yàn)镽

?為奇函數(shù)，有?XX利用兩次性質(zhì)3正交。從這點(diǎn)上理解說明在同一時(shí)刻t，隨Hilbert是正交濾波器。R

0

0

EX?

t

Xt

0

量X?

t和Xt互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)性質(zhì)5：RX

2

RX

jR?

X

*

X???XXXXX?XX

X證明：R

E

X

t

X t

E

Xt

jX?

t

X

t

jX?

t

RX

jR

jR

R

2

R

jRXX

2

R

jR?S

?

jsgn

SX

XX性質(zhì)6：證明：

?XXXX?R

R

R

h

?XXXS

jsgn

SFT觀察實(shí)過程和解析過程的相關(guān)函數(shù)之間關(guān)系5.1、預(yù)備知識(shí)5.1.3、解析過程及其性質(zhì)性質(zhì)7：SX

4USX

證明：

由取

變換RX

2

RX

jR?

X

SX

2

SX

jSX

jsgn

2SX

1

sgn

4SX

U解析過程具有單邊帶功率譜密度，其強(qiáng)度為原實(shí)過程功率譜密度強(qiáng)度的4倍。與解析信號(hào)對(duì)比分析。5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法So

()H()000Sx

,0

c

0

cotherSx

0,C

0Si

()為高頻窄帶隨機(jī)過程，簡稱窄帶隨機(jī)過程定義：實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程X稱X235.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法XI

(t)XQ

(t)X(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0t

X(t)cos0t

X?(t)sin

0t

X(t)sin

t

X?

(t)cos

t0cos

tsin0tIX

(t)XQ(t)+

-

X(t)同相、正交分量方法：萊斯表達(dá)式同相(In-phase)分量0

0正交(Quadrature)分量包絡(luò)、相位表示方法：準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)式X(t)

A(t)cos[0t

(t)]A(t)(t)0

:中心頻率或載波頻率A(t)

X2

(t)

X2

(t)

:包絡(luò)(過程)I

Q

arctan[XQ

(t)/XI

(t)]:相位(過程)基帶過程：功率集中在零頻附近245.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法I

QX(t)

X(t)

jX?

(t)X(t)e

j0t

[X(t)

jX?

(t)]e

j0t

X(t)cos

0t

X?

(t)sin

0t

j

X(t)

sin

0t

X?

(t)cos

0tXI

(t

) XQ

(t

)

X(t)

X

(t)

jX

(t)

ej0t

B(t)ej0tX(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0t

j

XI

(t)sin

0t

XQ

(t)cos

0t

X(t)

XI

(t)cos0t

XQ

(t)sin

0tB(t):complex

envelope

復(fù)包絡(luò)：不一定具有對(duì)稱譜解析過程Rice

representation5.2.1、萊斯（Rice）表達(dá)式單邊譜+下變頻5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法I

QB(t):complex

envelopeX(t)

X

(t)

jX

(t)

ej0t

B(t)ej0t

5.2.2、準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)式X(t)

A(t)cos[0t

(t)]準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)式和萊斯表達(dá)式的推導(dǎo)關(guān)系：一般的數(shù)學(xué)表達(dá)都有直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)兩種形式，準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)式從解析過程出發(fā)，將基帶過直角坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式得到的265.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法隨機(jī)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)為：B(t)

XI將其表示為復(fù)指數(shù)形式：B(t)

A(t)ej(t)其中：XI

(t)A(tXQ

(t)A(t)

X2

(t)

X2

(t)I

Q(t)

arctan

XQ

(t)

/

XI

(t)所以：X(t)

X(t)

A(t)

A(t)cos(t)cos0t

相位包絡(luò)復(fù)包絡(luò)5.2.2、準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)式275.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法ej0tX(t)

X(t)

jX?

(t)

[X

(t)

jX

(t)]ej0tI

Q

B(t)ej0t

IB(t)

X

j0t j0

(t)RX

()

E[B

(t)e B(t

)e

]

ej0

E[B

(t)B(t

)]B

ej0R

()SX

()

SB

(

0

)SB()SX

()SX

()0

0

0For

amplitude-phase

examination!高頻窄帶信號(hào)的復(fù)包絡(luò)即為承載信息的復(fù)基帶信號(hào)??！5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法Ex. 5.1：已知某信號(hào)為X(t)

C(t)ej0t

，其中C(t)為某寬平穩(wěn)復(fù)C信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為R

()

sin(

2a)

eja

，其中a

0。問X(t)有所以當(dāng)0a時(shí)，X(t)有可能為某實(shí)信號(hào)的解析形式。aa

a0283a

可能是某實(shí)信號(hào)的解析信號(hào)嗎？如果可能，應(yīng)滿足什么條件？解：由于R

()

E[X

(t)X(t

)]

R

()ej0

，所以X

CSX

()

SC

(

0)而C(t)的功率譜密度如下圖所示：SC()

SX()295.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法Ex.5.2：已知某信號(hào)為X(t)

cos[0t

Y(t)]，并且Y(t)的帶寬遠(yuǎn)小于0

。求信號(hào)X(t)的復(fù)包絡(luò)和包絡(luò)。解：由題設(shè)，X?

(t)

sin[0t

Y(t)]根據(jù)定義有：XI

(t)

X(t)cos

0t

X?

(t)sin

0t

cos[Y(t)]XQ

(t)

X(t)sin

0t

X?

(t)cos

0t

sin[Y(t)]所以X(t)的復(fù)包絡(luò)為B(t)

X

(t)

jX

(t)

ejY(t)I

Q而包絡(luò)為：A(t)

|

B(t)

|

15.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法Ex.

5.3：已知某信號(hào)X(t)

A(t)cos0t

B(t)sin

0t，其中A(t)和B(t)是兩個(gè)功率譜相同（

）且相互正交的平穩(wěn)信號(hào)。求信號(hào)X(t)自相關(guān)函數(shù)RX

()的解析形式（預(yù)包絡(luò)）。解：由題設(shè)，RX

()

RA

()cos0

。根據(jù)知R?

X

()的傅氏變換應(yīng)為jsgn()

[SA

(

0

)

SA

(

0

)]/

2

j/

2

[SA

(

0

)

SA

(

0

)]所以R?

X

()

RA

()sin0由此有RX

()

RX

()

jR?

X

()

RA

()e

0j

變換的定義可SA()B

0315.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法1XI(t)和XQ(t)都是實(shí)隨機(jī)過程23QE[XI

(t)]XI(t)和XQ(t)各自廣義平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，并且RX

()

RX

()I

Q

RX

()cos0

RXX?

()sin

0?X

?X

XX

XX?(1)X(t)&

X(t)

:

WSS;(2)

R

()

R

();(3)

R()

R

?

()E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Qhints

for

proof：基帶過程XI(t)和XQ(t)的性質(zhì)設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，均值為05.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法

0

00

0?0

0XX0

0

?

0

0XX

X??性質(zhì)3的證明RX

E

XI

t

XI

t

I

E X

t

cos

t

X

t

sin

t X

t

cos

t

X

t

sin

t

RX

cos0tcos0

t

R

cos

t

sin

t

R

?

sin

tcos

t

R

sin

t

sin

t

?XXR

R

??XXXXR

R因?yàn)?/p>

I?0XXRX

RX

cos0

R

sin

又因?yàn)镋[XI

(t)]

0廣義平穩(wěn)

0E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Q均方值相同5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法456I

Q

I

QRX

XIRX

X()

R

X

()I()

RX

X

()RX

X

(0)

0,

RB

()

2[RX

()

jRX

X

()]I

Q

I

I

QRX

()

RX

()cos0

RX

X

()sin0I

Q

ISX

()

SX

()

LPSX(

0

)

SX

(

0

)I

QSX

X

()

jLPSX

(

0

)

SX

(

0

)I

Q基帶過程XI(t)和XQ(t)的性質(zhì)RX

X

()

E[XI

(t)XQ

(t

)]I

Q

RX

()sin

0

R?

X

()cos0SB

()

4

LPSX

(

0

)X(t)為零均值高頻窄帶實(shí)信號(hào)在同時(shí)時(shí)間t，正交5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法2

X2

j

XXI0

X0

X

0

0

X

0性質(zhì)6(1)的證明RX

()

RX

()cos0

R

?

()sin

0I

XX

RX

()cos0

R?

X

()sin

0

1

R

()

ej0

e

j0

1

R?

()

ej0

e

j0

S ()

1

S (

)

S (

)2

X

0

1

jsgn(

)S (

)

jsgn(

)S (

)2j

X

0

X

00

X

0

0

X0

X

1

S (

)

S (

)2

1

sgn(

)S (

)

sgn(

)S (

)2

0

34

LPS (

)

S (

)

X

0

低頻限帶過程For

amplitude-phase

examination!SX

()00SSXX

((

0

))[1

sgn(

0

)]/

2SX

((

0

))[1

sgn(

0)]/

2SX[1(

)sgnS(X

()0)]L/

2P[SX

(

0

)

SX

(

0

)]I

Q35：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱For

amplitude-phase

examination!5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法2

j

X2

XXIXQX

0

X

00

X

0

0

X

0XIXQ0

XjS性質(zhì)6(2)的證明RX

X

()

RX

()sin

0

R?

X

()cos0I

Q

1

R

()

ej0

e

j0

1

R?

()

ej0

e

j0

S ()

1

S (

)

S (

)2j

1

jsgn(

)S (

)

jsgn(

)S (

)2

()

1

S (

)

S (

)2

X

0

1

sgn(

)S (

)

sgn(

)S (

)2

0

X

0

0

X

0

LPSX

(

0

)

SX

(

0

)36

SX

X

()

jLPSX

(

0

)

SX

(

0

)I

QFor

amplitude-phase

examination!375.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法SX

()00SSXX((

0))[1

sgn(

0)]/

2SSXX((00))[1

sgn(

0

)]/

2I

Q[1

sgn(

0

)]/

2jSX

X

()

LP[SX

(

0

)

SX

(

0

)]For

amplitude-phase

examination!385.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法若SX

(|

0

|)

SX

(|

0

|):

，則SX

X

()

0

RX

X

()

0:

：正交I

Q

I

Q若隨機(jī)過程具有對(duì)稱于載波頻率的功率譜密度，隨機(jī)過程的同相分量和正交分量兩個(gè)隨機(jī)過程是正交的，此時(shí)：解析過程具有關(guān)于載波頻率對(duì)稱的單邊功率譜密度基帶過程具有關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱的功率譜密度

2RX

()ISB

()

2SX

()IRB

()

E{[XI

(t)

jXQ

(t)]

[XI

(t

)

jXQ

(t

)]}

RX

()

jRX

X

()

jR

X

()

RX

()I

I

I

Q：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱For

amplitude-phase

examination!395.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法原點(diǎn)非對(duì)稱載頻非對(duì)稱載頻非對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱SB

()SX

()IQXSX

()SX

()j(t)B(t)

XI

(t)

jXQ

(t)

A(t)eX(t)

B(t)ej0tXI

(t)

X(t)cos

0t

X?

(t)sin

0tXQ

(t)

X(t)sin

0t

X?

(t)cos

0tX(t)

A(t)cos[0t

(t)]405.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法原點(diǎn)對(duì)稱載頻對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱SB

()XQSX

()I原點(diǎn)對(duì)稱SX

()載頻對(duì)稱SX

()5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法∑∑x(t)x?(t)cos0tsin

0tXI(t)XQ(t)-I

0

0?X

(t)

X(t)cos

t

X(t)sin

tXQ

(t)

X(t)sin

0t

X?

(t)cos

0tHTI

0

Q

00Q

I

0

Q

02X(t)cos

0t

X

(t)

X

(t)cos

2

t

X

(t)sin

2

t

I

2X(t)sin

t

X

(t)

X

(t)sin

2

t

X

(t4)1cos

2

t

x(t)0cos

tsin

0tXI(t)XQ(t)-2LPFLPF2I、Q

正交接收同相分量正交分量中頻->基帶高頻部分補(bǔ)充：基帶信息的提?。ń庹{(diào)）解調(diào)（demodulation）5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法高頻窄帶系統(tǒng)線性包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器相位檢波器N(t)X(t)A(t)2cos0t低通網(wǎng)絡(luò)42cos[(t)]補(bǔ)充：基帶信息的提?。z波）檢波（包絡(luò)、相位）5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法數(shù)字檢波（幅度和相位）在實(shí)際的數(shù)字

中，信號(hào)首先經(jīng)過數(shù)字DDC下變頻到基帶，分為I、Q

，然后經(jīng)過CORDIC算法，得到幅度和相位。5.2、窄帶隨機(jī)過程的表示方法2()2LPFX(t)

A(t)cos[0t

(t)]02X2

(t)

A2

(t)1

cos[2

t

2(t)]

A2

(t)平方律包絡(luò)檢波

A2

(t)

A2

(t)cos[2

t

2(t)]0高頻成分44平方律包絡(luò)檢波：只能得到幅度，丟失相位信息，不如正交解調(diào)補(bǔ)充：基帶信息的提?。z波）45diffracted

wavereflected

wavePDFAt2AtRayleighExponentialGaussian

narrowband

signal5.3、窄帶

信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度Fast

(short)

fading

signals

without

direct

path:移動(dòng)無線信道：窄帶信道高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波器X(t)A(t)2cos0tcos[(t)]S(t)N(t)寬帶噪聲a2A22af (a)

exp

,

a

02瑞利分布

f

1

2

,

0

2分布5.3、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度很多電子接收系統(tǒng)都是這樣的，并且數(shù)字均勻分布也一樣的模型。因此，研究清楚窄帶

隨機(jī)過程很有實(shí)際意義掌握概率密度對(duì)于確定檢測門限很重要47回顧2.1.3、隨機(jī)過程的概率分布利用隨 量二維變換求取隨機(jī)信號(hào)二維概率密度函數(shù)設(shè)隨 量X1、X2

和

Y1、Y2

滿足單調(diào)可逆函數(shù)關(guān)系：Y1

g1(X1,X2),

Y2

g2(X1,X2)X1

h1(Y1,Y2),

X2

h2(Y1,Y2)在可取值范圍Y1、Y2

取值在Sy1y2

內(nèi)的概率應(yīng)與X1、X2

在Sx1x2

內(nèi)的概率相等，其中x1

h1(y1,y2)，x1

h1(y1,y2)，即

fY1Y2(y1,y2)Sy1y2

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)]Sx1x21

1

1

2x

h

(y

,y

)x2

h2(y1,y2)Sx1x2y1y2fX1X2(x1,x2)

fY1Y2(y1,y2)Sy1y2求二維隨量函數(shù)的概率密度48回顧2.1.3、隨機(jī)過程的概率分布這樣，我們最終得到（具體例子見Ch.5）：fY1Y2(y1,y2)

|

Jh(y1,y2)

|

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)]1

2h

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2利用隨 量二維變換求取隨機(jī)信號(hào)二維概率密度函數(shù)若

fY1Y2(y1,y2)

未知，則fY1Y2(y1,y2)

fX1X2[x1

h1(y1,y2),x2

h2(y1,y2)](Sx1x2Sy1y2)由二重積分有關(guān)知識(shí)可知Sx1x2Sy1y2

|

Jh(y1,y2)|，其中

h1

(y1

,

y2

)

h1

(y1

,

y2

)

y

yJ

(y

,

y )

det

h

(y

,

y

)h

(y

,

y )

y

y行列式進(jìn)一步地，分別記t時(shí)刻包絡(luò)、相位，同相、正交分量的可能取值為a、，xI、xQ，則包絡(luò)、相位和同相、正交分量滿足下面的關(guān)系：A(t)

X2

(t)

X2

(t)I

Q(t)

arctan

XQ

(t)

X

(t)

I

XI

(t)

A(t)cos[(t)]XQ

(t)

A(t)sin[(t)]I2

I

Qx2a

x2

g

(x

,

x

),

a

0Q

1

I

Q

arctan

xQ

g

(x

,

x

),

[0,

2]

x

I

xI

acos

h1

(a,

)xQ

a

sin

h2

(a,

)495.3、窄帶

信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度同相、正交分量和包絡(luò)、相位的關(guān)系505.3、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度同相、正交分量二維聯(lián)合概率密度所以fA

(a,

)

|

J

|

fX

X

[xI

h1

(a,

),

xQ

h2

(a,

)]I

Q其中

h1

(a,

)h1

(a,

)

aJ

det

h (a,

)

h (a,

)cos

sin

a

sin

acosa

2

2

a[cos2

sin2

]

a

0由于這表明XI(t)和XQ(t)是兩個(gè)均值為零，方差為2

且相互獨(dú)立的

隨

量，由此可得兩者聯(lián)合概率密度5：1信號(hào)同相、正交分量的性質(zhì)XI

(t)

X(t)cos

0t

X?

(t)sin

0tXQ

(t)

X(t)sin

0t

X?

(t)cos

0tQ所以

XI(t)

和

XQ(t)均是

隨 量。由前面的 又知E[XI

(t)]

E[XQ

(t)]

0E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]

2IRX

X

(0)

0I

Q5.3、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度52同相、正交分量，包絡(luò)和相位二維聯(lián)合概率密度x2x2XIXQ

I

QXI11ee1e

I

Q2222x2

x2

I

Q22f

(x

,

x )

f(xI

)fX

(xQ

)

Q2222aΑf (a,

)

a2e

22

,

a

022將上式代入fA

(a,

)

|

J

|

fX

X

[xI

h1

(a,

),

xQ

h2

(a,

)]I

Q5.3、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度，最終得到：IQx2并利用a

x253包絡(luò)和相位各自一維概率密度A0a

a2222f (a;t)

fA

(a,

)d

2

e

fA

(a),

a

00

0a2

e

a222

da2

1

f

(),

[0,

2]2f

(;t)

fA

(a,

)da

利用邊沿概率密度，進(jìn)一步求得瑞利分布均勻分布5.3、窄帶

信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密度注意：若信號(hào)X(t)

的功率為2，則包絡(luò)的均值和均方值

/2

分別為

和

22（求解見后面例題）：5.4、窄帶信號(hào)包絡(luò)平方的概率密度窄帶

噪聲包絡(luò)平方的一維概率密度QC(t)

A2

(t)

X2

(t)

X2

(t)caC1

c1e2

c

c

2222f (c;t)

e

c

222

fC

(c), c

0IC(t)

0,

A(t)

0c

a2a

c

h(c),

c

0,

a

0fC

(c;t)

|

dh(c)/

dc

|

fA

(a

c)所以54指數(shù)分布0根據(jù)變換法：555.4、窄帶

信號(hào)包絡(luò)平方的概率密度Ex.

5.4：對(duì)于零均值，方差為2

的窄帶

平穩(wěn)信號(hào)，證明其包絡(luò)的均值和方差分別為

/

2和(2

/

2)2

。A

a22解：由于f (a)

a

e

2

2

U(a)，所以a2

e2

2

da

a22A00E[A(t)]

af (a)da

令b

a2

0，則E[A(t)]

bb22b2b22

1

e 2

2

da

a2002

020bd(e

)2

be|e

d(

b)2

/

2

b

22e db

a2

e

2

2

da

/

20565.4、窄帶信號(hào)包絡(luò)平方的概率密度事實(shí)上，E[A2

(t)]

E[X2

(t)

X2

(t)]

E[X2

(t)]

E[X2

(t)]I

Q

I

Q

2E[X2

(t)]

22由此可得D[A(t)]

E[A2

(t)]

E2[A(t)]

(2

/

2)23

a2

a

2

20

e

d(a2

2b2E[A2

(ta2

a

a2e0202

2

|0

b2e db

(2

)e |

220575.4、窄帶Ex.

5.5：某信號(hào)包絡(luò)平方的概率密度系統(tǒng)

：Y平均功率為22

，而

2

(2

/

)m2Y

ZYm

/

2Z所以Z(t)的平均功率為

22

(4

/

)m2Y

ZZ2線性窄帶系統(tǒng)X(t)Y(t)

Z(t)線性包絡(luò)檢波器圖中X(t)為白噪聲，現(xiàn)測得Z(t)的均值為mZ

，求Z(t)的平均功率及其一維概率密度函數(shù)。若Y(t)的功率為1W，求Z(t)

21/2V

的概率解：由于Z(t)近似為窄帶

信號(hào)，所以其包絡(luò)為瑞利分布，其585.4、窄帶信號(hào)包絡(luò)平方的概率密度總結(jié)：信號(hào)：對(duì)于均值為0，方差為2

的高頻窄帶平穩(wěn)同相、正交分量均是實(shí)平穩(wěn)

過程復(fù)包絡(luò)為復(fù)平穩(wěn)

過程包絡(luò)（實(shí)）一維為瑞利分布，相位一維為均勻分布包絡(luò)平方一維為指數(shù)分布同相、正交分量均值均為

0，方差為2包絡(luò)均值為

/2

，復(fù)包絡(luò)均值為

0相位均值為1/2復(fù)包絡(luò)和包絡(luò)的方差均為

2259Gaussian

narrowband

signal

+

sinusoid?direct

wavereflected

wave5.5、正弦型信號(hào)與窄帶

噪聲包絡(luò)與相位的概率密度Fast

(short)

fading

signals

with

direct

path:高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波器理想帶通限幅器低通網(wǎng)絡(luò)相位檢波器X(t)A(t)2cos0tcos[(t)]S(t)N(t)寬帶噪聲a2A22af (a)exp

,

a

02瑞利分布

1f2

,

0

2均勻分布??5.5、正弦型信號(hào)與窄帶噪聲包絡(luò)與相位的概率密度61正弦信號(hào)加窄帶噪聲之包絡(luò)一維概率密度fA(a)a

0

1

2X(t)

bc包絡(luò)服從廣義瑞利（萊斯）分布：Aaa2

b222

ab

f (a)

e

I

,

a

020

2

Aaf (a)

a2e

22

,

a

02（3）信噪比很大時(shí)，近似為分布：A1(ab)2

ab(ab)22222f (a)

e

e ,

a

0a

12b

2零階修正函數(shù)隨機(jī)相位信號(hào)

方差為2的窄帶

信號(hào)t

)

N(t)信噪比

b/

0（正弦信號(hào)不存在）時(shí)為瑞利分布；與前面的結(jié)論一致信噪比很小時(shí)，仍趨近于瑞利分布：5.5、正弦型信號(hào)與窄帶噪聲包絡(luò)與相位的概率密度5.5、正弦型信號(hào)與窄帶噪聲包絡(luò)與相位的概率密度Xt

acos0

0,

2Nt

atcos0t

btsin0tXt

aco

a'tcos0t

b'tsin

0t萊斯表達(dá)式準(zhǔn)正弦震蕩表達(dá)式Xt

Atcos

0t

ta'tt

arctan

b'ttAt

a't2

b't2求條件二維概率密度函數(shù)fA,|

Atat

'

acos

atb

'

asin

b

t

t獨(dú)立的隨量5.5、正弦型信號(hào)與窄帶

噪聲包絡(luò)與相位的概率密度Eat

'

acosEbt

'

a

sin

均值Da

'

Db

'

2

t

t

方差

22a'b'|f

a',b'

|

tt11exp

a

'

acos

b

'

asin

2222

t

tA|

f

A

,

|

tt

tA

21exp

a2

2aA

cos

At2222

求fA|

At

t

2fAA|

AtIAt

a

aA

2

2texp

0

2

22

x2nn0

22n

n!I0

x

廣義瑞利分布（萊斯分布）函數(shù)2

：第一類零階修正

函數(shù)5.5、正弦型信號(hào)與窄帶噪聲包絡(luò)與相位的概率密度（1）信噪比

為瑞利分布fA(a)A

0

1

2

a

信噪比很小時(shí)，趨近于瑞利分布信噪比很大時(shí)，趨近于

分布x

10exI

x

12xtA

1A

a2

fA

At

exp

t

2a

22

當(dāng)At偏離a很小時(shí)，1At2a2fA

At

1

A

a2

exp

t

222

65f|(|)

2正弦信號(hào)加窄帶噪聲之相位一維概率密度

1

0,

022erfe2

b2

sin

()22|

bcos(

)f (

|

)

1

e

2bcos(

)222222

2sin

()

()f|

(

|

)

cos(

)e

e22當(dāng)信噪比為零時(shí)，

為均勻分布；與前面的結(jié)論一致當(dāng)信噪比很大時(shí)，近似為

分布：5.5、正弦型信號(hào)與窄帶噪聲包絡(luò)與相位的概率密度5.6、