倒易點(diǎn)陣介紹重點(diǎn)課件

1倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣幾何衍射條件愛瓦爾德圖解法粉末衍射法1倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣幾何2倒易點(diǎn)陣簡(jiǎn)介布拉格公式作為結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)工具,在大多數(shù)場(chǎng)合已經(jīng)足夠,但是,還有一些衍射效應(yīng)是布拉格公式無法解釋的,例如非布拉格散射就是如此.倒易點(diǎn)陣概念的引入,為一般衍射理論奠定了基礎(chǔ).2倒易點(diǎn)陣簡(jiǎn)介布拉格公式作為結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)工具,在大多數(shù)場(chǎng)合3倒易點(diǎn)陣幾何倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)晶帶定理3倒易點(diǎn)陣幾何倒易點(diǎn)陣的概念4倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣是一個(gè)假想的點(diǎn)陣.將空間點(diǎn)陣(真點(diǎn)陣或?qū)嶞c(diǎn)陣)經(jīng)過倒易變換,就得到倒易點(diǎn)陣,倒易點(diǎn)陣的外形也是點(diǎn)陣,但其結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)真點(diǎn)陣的晶面,倒易點(diǎn)陣的空間稱為倒易空間。4倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣是一個(gè)假想的點(diǎn)陣.5倒易點(diǎn)陣的定義

設(shè)正點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O，基矢為a、b、c，倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O*，基矢為a*、b*、c*，則有：

a*=b×c/V,

b*=c×a/V,

c*=a×b/V.式中，V為正點(diǎn)陣中單胞的體積：

V=a·(b×c)=b·(c×a)

=c·(a×b)

表明某一倒易基矢垂直于正點(diǎn)陣中和自己異名的二基矢所成平面5倒易點(diǎn)陣的定義設(shè)正點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O，基矢為a、b6倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)1.正倒點(diǎn)陣異名基矢點(diǎn)乘為0;a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0

同名基矢點(diǎn)乘為1。

a*·a=b*·b=c*·c=1.2.在倒易點(diǎn)陣中，由原點(diǎn)O*指向任意坐標(biāo)為hkl的陣點(diǎn)的矢量ghkl(倒易矢量)為：ghkl=ha*+kb*+lc*式中hkl為正點(diǎn)陣中的晶面指數(shù)3.倒易矢量的長(zhǎng)度等于正點(diǎn)陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即ghkl=1/dhkl4.對(duì)正交點(diǎn)陣，有a*∥a，b*∥b，c*∥c，

a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方點(diǎn)陣中，晶面法線和同指數(shù)的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是與相應(yīng)指數(shù)的晶向[hkl]

平行的。

6倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)1.正倒點(diǎn)陣異名基矢點(diǎn)乘為0;7ghkl=ha*+kb*+lc*

表明：1.倒易矢量ghkl垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的[hkl]晶面，或平行于它的法向Nhkl

2.倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面7ghkl=ha*+kb*+lc*表明：8晶帶定理在正點(diǎn)陣中，同時(shí)平行于某一晶向[uvw]的一組晶面構(gòu)成一個(gè)晶帶，而這一晶向稱為這一晶帶的晶帶軸。圖示為正空間中晶體的[uvw]晶帶圖中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.晶帶定理：因?yàn)楦鞯挂资噶慷己推渚лSr=[uvw]垂直，固有g(shù)hkl?r=0，即hu+kv+lw=0,這就是晶帶定理。8晶帶定理在正點(diǎn)陣中，同時(shí)平行于某一晶向[uvw]的一組晶面衍射條件

設(shè):入射線波長(zhǎng)為λ,入射線方向?yàn)閱挝皇噶縎0,衍射線方向?yàn)閱挝皇噶縎,那么在S方向有衍射線的條件是:在與S方向相垂直的波陣面上,晶體中各原子散射線的位向相同。先計(jì)算原點(diǎn)O和任一原子A的散射線在與S方向的位向差。SS0(S-S0)ghkl12θθθmnOA(HKL)衍射條件設(shè):入射線波長(zhǎng)為λ,入射線方向?yàn)閱挝皇噶縎0,衍相應(yīng)的位向差為其中p、q、r是整數(shù)因?yàn)镾0是入射線方向單位矢量,S是衍射線方向?yàn)閱挝皇噶?，因此S-S0是矢量，則：現(xiàn)在不明確h、k、l一定是整數(shù)。由：可見，只有當(dāng)φ=2πn時(shí)，才能發(fā)生衍射，此時(shí)n應(yīng)為整數(shù)。由于p、q、r是整數(shù)，因此滿足衍射條件時(shí)h、k、l一定是整數(shù)。于是得到結(jié)論：相應(yīng)的位向差為滿足衍射條件的矢量方程。X射線衍射理論中的勞埃方程和布拉格方程均可由該矢量方程導(dǎo)出。滿足衍射條件的矢量方程。12布拉格方程推導(dǎo)S-S0=Ssinθ+S0sinθ=2sinθ(S-S0)/λ=2sinθ)/λ=ghkl=1/d2dsinθ=λSS0(S-S0)ghkl12θθθmnOA(HKL)12布拉格方程推導(dǎo)S-S0=Ssinθ+S0sinθ=213Ewald作圖法Ewald圖解是衍射條件的幾何表達(dá)式。

sinθ=λ/2d令d=λ/ghkl

（此時(shí)比例系數(shù)用X射線的波長(zhǎng)）則sinθ=ghkl/2即某衍射面（hkl）所對(duì)應(yīng)的布拉格角的正弦等于其倒易矢量長(zhǎng)度的一半。13Ewald作圖法Ewald圖解是衍射條件的幾何表達(dá)式Ewald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hkl)θθθ2θEwald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hk151、設(shè)以單位矢量S0代表波長(zhǎng)為的X-RAY,照射在晶體上并對(duì)某個(gè)hkl面網(wǎng)產(chǎn)生衍射，衍射線方向?yàn)镾，二者夾角為2。2、定義S=S-S0為衍射矢量，其長(zhǎng)度為：S=S-S0=2sin/=1/dEwald作圖法2S/S0/OA1/P151、設(shè)以單位矢量S0代表波長(zhǎng)為的X-RAY,照射在晶體3、S長(zhǎng)度為1/d，方向垂直于hkl面網(wǎng)，所以

S=g*即：衍射矢量就是倒易矢量。4、可以A點(diǎn)為球心，以1/為半徑作一球面，稱為反射球（Ewald球）。衍射矢量的端點(diǎn)必定在反射球面上2S/S0/OA1/P3、S長(zhǎng)度為1/d，方向垂直于hkl面網(wǎng)，所以2S/5、以S0端點(diǎn)O點(diǎn)為原點(diǎn)，作倒易空間，某倒易點(diǎn)（代表某倒易矢量與hkl面網(wǎng)）的端點(diǎn)如果在反射球面上，說明該g*=S,滿足Bragg’sLaw。某倒易點(diǎn)的端點(diǎn)如果不在反射球面上，說明不滿足Bragg’sLaw，可以直觀地看出那些面網(wǎng)的衍射狀況。2S/S0/OA1/P5、以S0端點(diǎn)O點(diǎn)為原點(diǎn)，作倒易空間，某倒易點(diǎn)（代表某倒易

入射矢量S0、衍射矢量S

及倒易矢量g*的端點(diǎn)均落在球面上

S的方向與大小均由2所決定g2S02AOSSSg1g3P1P2P3入射矢量S0、g2S02AOSSSg1g3P1P219Ewald球與極限球19Ewald球與極限球AO1/hklS/S0/凡是處于Ewald球面上的倒易點(diǎn)均符合衍射條件若同時(shí)有m個(gè)倒易點(diǎn)落在球面上，將同時(shí)有m個(gè)衍射發(fā)生，衍射線方向即球心A與球面上倒易點(diǎn)連線所指方向。AO1/hklS/S0/凡是處于Ewald球面上的倒易即Ewald球不動(dòng)，圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)倒易晶格，接觸到球面的倒易點(diǎn)代表的晶面均產(chǎn)生衍射（周轉(zhuǎn)晶體法的基礎(chǔ)）。CO1/hklS/S0/增大晶體產(chǎn)生衍射幾率的方法(1)入射方向不變，轉(zhuǎn)動(dòng)晶體即Ewald球不動(dòng)，圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)倒易晶格，接觸到球面的倒易點(diǎn)增大晶體產(chǎn)生衍射幾率的方法(2)波長(zhǎng)連續(xù)，使Ewald球的數(shù)量增加，即球壁增厚（Laue法）AO1/hklS/S0/Δλ增大晶體產(chǎn)生衍射幾率的方法(2)波長(zhǎng)連續(xù)，使Ewald球（3）Ewald球不動(dòng)，增加隨機(jī)分布的晶體數(shù)量，相當(dāng)于圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)倒易晶格，使每個(gè)倒易點(diǎn)均形成一個(gè)球（倒易球）。（粉晶法的基礎(chǔ)）AO1/hklS/S0/增大晶體產(chǎn)生衍射幾率的方法倒易球（3）Ewald球不動(dòng)，增加隨機(jī)分布的晶體數(shù)量，相當(dāng)于圍繞O

DirectionofdirectbeamDirectionofdiffractedraySphereofreflectionhklS/S0/C1/2OLimitingsphereg極限球衍射的極限條件可見，能獲得衍射的最大倒易球半徑為g=1/d≤2/:即的晶面不可能發(fā)生衍射DirectionofdirectbeamDirecti25(1)晶體結(jié)構(gòu)是客觀存在，點(diǎn)陣是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象。晶體點(diǎn)陣是將晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)在三維空間周期平移這一客觀事實(shí)的抽象，有嚴(yán)格的物理意義。(2)倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣的倒易，不是客觀實(shí)在，沒有特定的物理意義，純粹為數(shù)學(xué)模型和工具。(3)Ewald球本身無實(shí)在物理意義，僅為數(shù)學(xué)工具。但由于倒易點(diǎn)陣和反射球的相互關(guān)系非常完善地描述了X射線和電子在晶體中的衍射，故成為研究晶體衍射有力手段。關(guān)于點(diǎn)陣、倒易點(diǎn)陣及Ewald球的思考25關(guān)于點(diǎn)陣、倒易點(diǎn)陣及Ewald球的思考26概念回顧以A為圓心，1/λ為半徑所做的球稱為反射球，這是因?yàn)橹挥性谶@個(gè)球面上的倒易點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的晶面才能產(chǎn)生衍射。有時(shí)也稱此球?yàn)楦缮媲?，Ewald球。圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)倒易晶格，使每個(gè)倒易點(diǎn)形成的球稱為倒易球以O(shè)為圓心，2/λ為半徑的球稱為極限球。26概念回顧27倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣幾何衍射條件愛瓦爾德圖解法粉末衍射法1倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣幾何28倒易點(diǎn)陣簡(jiǎn)介布拉格公式作為結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)工具,在大多數(shù)場(chǎng)合已經(jīng)足夠,但是,還有一些衍射效應(yīng)是布拉格公式無法解釋的,例如非布拉格散射就是如此.倒易點(diǎn)陣概念的引入,為一般衍射理論奠定了基礎(chǔ).2倒易點(diǎn)陣簡(jiǎn)介布拉格公式作為結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)工具,在大多數(shù)場(chǎng)合29倒易點(diǎn)陣幾何倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)晶帶定理3倒易點(diǎn)陣幾何倒易點(diǎn)陣的概念30倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣是一個(gè)假想的點(diǎn)陣.將空間點(diǎn)陣(真點(diǎn)陣或?qū)嶞c(diǎn)陣)經(jīng)過倒易變換,就得到倒易點(diǎn)陣,倒易點(diǎn)陣的外形也是點(diǎn)陣,但其結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)真點(diǎn)陣的晶面,倒易點(diǎn)陣的空間稱為倒易空間。4倒易點(diǎn)陣的概念倒易點(diǎn)陣是一個(gè)假想的點(diǎn)陣.31倒易點(diǎn)陣的定義

設(shè)正點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O，基矢為a、b、c，倒易點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O*，基矢為a*、b*、c*，則有：

a*=b×c/V,

b*=c×a/V,

c*=a×b/V.式中，V為正點(diǎn)陣中單胞的體積：

V=a·(b×c)=b·(c×a)

=c·(a×b)

表明某一倒易基矢垂直于正點(diǎn)陣中和自己異名的二基矢所成平面5倒易點(diǎn)陣的定義設(shè)正點(diǎn)陣的原點(diǎn)為O，基矢為a、b32倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)1.正倒點(diǎn)陣異名基矢點(diǎn)乘為0;a*·b=a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0

同名基矢點(diǎn)乘為1。

a*·a=b*·b=c*·c=1.2.在倒易點(diǎn)陣中，由原點(diǎn)O*指向任意坐標(biāo)為hkl的陣點(diǎn)的矢量ghkl(倒易矢量)為：ghkl=ha*+kb*+lc*式中hkl為正點(diǎn)陣中的晶面指數(shù)3.倒易矢量的長(zhǎng)度等于正點(diǎn)陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即ghkl=1/dhkl4.對(duì)正交點(diǎn)陣，有a*∥a，b*∥b，c*∥c，

a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方點(diǎn)陣中，晶面法線和同指數(shù)的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量ghkl是與相應(yīng)指數(shù)的晶向[hkl]

平行的。

6倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)1.正倒點(diǎn)陣異名基矢點(diǎn)乘為0;33ghkl=ha*+kb*+lc*

表明：1.倒易矢量ghkl垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的[hkl]晶面，或平行于它的法向Nhkl

2.倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面7ghkl=ha*+kb*+lc*表明：34晶帶定理在正點(diǎn)陣中，同時(shí)平行于某一晶向[uvw]的一組晶面構(gòu)成一個(gè)晶帶，而這一晶向稱為這一晶帶的晶帶軸。圖示為正空間中晶體的[uvw]晶帶圖中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.晶帶定理：因?yàn)楦鞯挂资噶慷己推渚лSr=[uvw]垂直，固有g(shù)hkl?r=0，即hu+kv+lw=0,這就是晶帶定理。8晶帶定理在正點(diǎn)陣中，同時(shí)平行于某一晶向[uvw]的一組晶面衍射條件

設(shè):入射線波長(zhǎng)為λ,入射線方向?yàn)閱挝皇噶縎0,衍射線方向?yàn)閱挝皇噶縎,那么在S方向有衍射線的條件是:在與S方向相垂直的波陣面上,晶體中各原子散射線的位向相同。先計(jì)算原點(diǎn)O和任一原子A的散射線在與S方向的位向差。SS0(S-S0)ghkl12θθθmnOA(HKL)衍射條件設(shè):入射線波長(zhǎng)為λ,入射線方向?yàn)閱挝皇噶縎0,衍相應(yīng)的位向差為其中p、q、r是整數(shù)因?yàn)镾0是入射線方向單位矢量,S是衍射線方向?yàn)閱挝皇噶?，因此S-S0是矢量，則：現(xiàn)在不明確h、k、l一定是整數(shù)。由：可見，只有當(dāng)φ=2πn時(shí)，才能發(fā)生衍射，此時(shí)n應(yīng)為整數(shù)。由于p、q、r是整數(shù)，因此滿足衍射條件時(shí)h、k、l一定是整數(shù)。于是得到結(jié)論：相應(yīng)的位向差為滿足衍射條件的矢量方程。X射線衍射理論中的勞埃方程和布拉格方程均可由該矢量方程導(dǎo)出。滿足衍射條件的矢量方程。38布拉格方程推導(dǎo)S-S0=Ssinθ+S0sinθ=2sinθ(S-S0)/λ=2sinθ)/λ=ghkl=1/d2dsinθ=λSS0(S-S0)ghkl12θθθmnOA(HKL)12布拉格方程推導(dǎo)S-S0=Ssinθ+S0sinθ=239Ewald作圖法Ewald圖解是衍射條件的幾何表達(dá)式。

sinθ=λ/2d令d=λ/ghkl

（此時(shí)比例系數(shù)用X射線的波長(zhǎng)）則sinθ=ghkl/2即某衍射面（hkl）所對(duì)應(yīng)的布拉格角的正弦等于其倒易矢量長(zhǎng)度的一半。13Ewald作圖法Ewald圖解是衍射條件的幾何表達(dá)式Ewald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hkl)θθθ2θEwald圖解入射線反射線反射球反射方向BAPO1g(hk411、設(shè)以單位矢量S0代表波長(zhǎng)為的X-RAY,照射在晶體上并對(duì)某個(gè)hkl面網(wǎng)產(chǎn)生衍射，衍射線方向?yàn)镾，二者夾角為2。2、定義S=S-S0為衍射矢量，其長(zhǎng)度為：S=S-S0=2sin/=1/dEwald作圖法2S/S0/OA1/P151、設(shè)以單位矢量S0代表波長(zhǎng)為的X-RAY,照射在晶體3、S長(zhǎng)度為1/d，方向垂直于hkl面網(wǎng)，所以

S=g*即：衍射矢量就是倒易矢量。4、可以A點(diǎn)為球心，以1/為半徑作一球面，稱為反射球（Ewald球）。衍射矢量的端點(diǎn)必定在反射球面上2S/S0/OA1/P3、S長(zhǎng)度為1/d，方向垂直于hkl面網(wǎng)，所以2S/5、以S0端點(diǎn)O點(diǎn)為原點(diǎn)，作倒易空間，某倒易點(diǎn)（代表某倒易矢量與hkl面網(wǎng)）的端點(diǎn)如果在反射球面上，說明該g*=S,滿足Bragg’sLaw。某倒易點(diǎn)的端點(diǎn)如果不在反射球面上，說明不滿足Bragg’sLaw，可以直觀地看出那些面網(wǎng)的衍射狀況。2S/S0/OA1/P5、以S0端點(diǎn)O點(diǎn)為原點(diǎn)，作倒易空間，某倒易點(diǎn)（代表某倒易

入射矢量S0、衍射矢量S

及倒易矢量g*的端點(diǎn)均落在球面上

S的方向與大小均由2所決定g2S02AOSSSg1g3P1P2P3入射矢量S0、g2S02AOSSSg1g3P1P245Ewald球與極限球19Ewald球與極限球AO1/hklS/S0/凡是處于Ewald球面上的倒易點(diǎn)均符合衍射條件若同時(shí)有m個(gè)倒易點(diǎn)落在球面上，將同時(shí)有m個(gè)衍射發(fā)生，衍射線方向即球心A與球面上倒易點(diǎn)連線所指方向。AO1/hklS/S0/凡是處于Ewald球面上的倒易即Ewald球不動(dòng)，圍繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)倒易晶格，接觸到球面的倒易點(diǎn)代表的晶面均產(chǎn)生衍射（周轉(zhuǎn)晶體法的基礎(chǔ)）。CO1/hklS/S0/增大晶體產(chǎn)生衍射幾率的方法(1)入射方向不變，轉(zhuǎn)動(dòng)晶體即Ewald球