消元法課件講義整理

第一節(jié)消元法主要內(nèi)容線性方程組的概念消元法消元法的總結(jié)線性方程組與矩陣消元法的幾何解釋第一節(jié)消元法主要內(nèi)容線性方程組的概念現(xiàn)在來討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為一、線性方程組的概念現(xiàn)在來討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為一、線的方程組，其中x1,x2,…,xn

代表n個未知量，s

是方程的個數(shù)，aij(i=1,2,…,s,j=1,2,…,n)稱為方程組的系數(shù)，Bi(i=1,2,…,s)稱為常數(shù)項.方程中未知量的個數(shù)n與方程的個數(shù)s不一定相等.系數(shù)aij的第一個指標(biāo)i

表示它在第i個方程，第二個指標(biāo)j表示它是xj系數(shù).的方程組，其中x1,x2,…,xn代表n個所謂方程組k1,k2,…,kn

組成的有序數(shù)組(k1,k2,…,kn)，當(dāng)x1,x2,…,xn分別用k1,k2,…,kn代入后，(1)中每個等式都變成恒等式.方程組(1)的解的全體稱為的一個解就是指由n個數(shù)它的解集合.解方程組實際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.所謂方程組k1,k2,…,kn組成的有序數(shù)組(顯然，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線性方程組就基本上確定了.確切地說，線性方程組來表示.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.可以用下面的矩陣顯然，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線二、消元法

1

引例

例１用消元法解線性方程組二、消元法1引例

解

用消元法求解，其步驟如下：STEP2方程(1)乘以-2加到方程(2);

STEP1交換方程(1)與(2),得方程(1)乘以1加到方程(3),得解用消元法求解，其步驟如下：STEP2

STEP3交換方程(4)與方程(5),得STEP3交換方程(4)與方程(5)

STEP4方程(5)乘以-4加到方程(4),得

STEP5方程(6)加到方程(5),得STEP4方程(5)乘以-4加到

STEP6方程(7)加到方程(1),方程(6)乘例1中所用的消元法的過程,實際上是對方以-1得程組施行如下的運算或變換：STEP6方程(7)加到方程

(1)

一個方程的兩端乘以一個不等于零的數(shù);

(2)

一個方程的兩端乘以同一個數(shù)后加到另一個方程上去.定義1

變換(1)，(2)，(3)稱為線性方程組的初等變換.(3)

交換兩個方程在方程組中的位置;(1)一個方程的兩端乘以一個不等于零的數(shù);2消元法的證明消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解方程組.證明只證變換(2)對于方程組2消元法的證明消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.進行第二種初等變換.為簡便起見，不妨把第二個方程的k倍加到第一個方程得到新方程組現(xiàn)在設(shè)(c1,c2,…,cn)是(1)的任一解.因(1)與(2)的后s-1個方程是一樣的，所以(c1,c2,…,cn)滿足(2)的后s-1個方程.又(c1,c2,…,cn)滿足進行第二種初等變換.為簡便起見，不妨把第二個方程的k倍加a11c1+a12c2+…+a1ncn=b1,a21c1+a22c2+…+a2ncn=b2.把第二式的兩邊乘以k，再與第一式相加，即為(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+…+(a1n+ka2n)cn=b1+kb2

故(c1,c2,…,cn)又滿足(2)的第一個方程，因而是(2)的解.類似地可證(2)的任一解也是(1)的解.這就證明了(1)與(2)是同解的.證畢(1)的前兩個方程a11c1+a12c2+…+a1ncn=b13用消元法解一般線性方程組對于方程組(1)，首先檢查x1的系數(shù).如果x1的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對x1沒有任何限制,x1就可以取任意值，而方程組(1)可以看作x2,…,xn的方程組來解.如果x1的系數(shù)不全為零，那么利用初等變換(3)，可以設(shè)a11

0.利用初等變換(2)，分別地把第一個方程的倍加到第i

個方程(i=2,…,s).于是方程組(1)就變成3用消元法解一般線性方程組對于方程組(1)，首先其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組的問題.顯然，(4)的一個解，代入(3)的第一個方程就定出x1的值，這就得出(3)的一個解；而(3)的解顯然都是(4)的解.這就是說，方程組(3)有解的充分必要條件為方程組(4)有解，而(3)與(1)是同解的，因而，方程組(1)有解的充分必要條件為方程組(4)有解.的問題.顯然，(4)的一個解，代入(3)的第一個方程就對(4)再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一個階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設(shè)所得的方程組為對(4)再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步步作下去，最其中cii

0,i=1,2,…,r.方程組“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn),這時去掉它們也不影響(5)的解.而且(1)與(5)是同解的.下面討論方程組(5)的解的情況.如果(5)中有方程0=dr+1，而dr+10.這時不管x1,…,xn取什么值都不能使它成為等式.故(5)無解，因而(1)無解.當(dāng)dr+1=0或(5)中根本沒有“0=0”的方程時，分兩種情況：中的其中cii0,i=1,2,…,r.方程情形一

r=n這時階梯形方程組為其中cii

0,i=1,2,…,n.由最后一個方程開始，xn,xn-1,…,x1的值就可以逐個地唯一地決定了.此時方程組有唯一的解.情形一r=n這時階梯形方程組為其中cii例2用消元法把線性方程組化成階梯形方程，并由此判斷方程組是否有解，若有解，求出其解.例2用消元法把線性方程組化成階梯形方程，并由解經(jīng)過一系列初等變換后，它變成了如下x3=-6代入第二個方程解得x2=-1;

x2=-1代入第一個方程解得x1=9.由于在階梯形方程組中,有效方程的個數(shù)r與方程的未知量的個數(shù)n相等，所以有唯一解.一解為(9,-1,-6).把再把x3=-6，故方程組的唯解經(jīng)過一系列初等變換后，它變成了如下x3=-6代入第二情形二

r<n這時階梯形方程組為其中cii

0,i=1,2,…,r.把它變形，得情形二r<n這時階梯形方程組為其中cii由此可見，任給xr+1,…,xn

一組值，就唯一地確定x1,x2,…,xr

的值，也就是得到方程組的一個解.一般地，由上式我們可以把x1,x2,…,xr通過xr+1,…,xn表示出來，這樣一組表達式稱為方程(1)的一般解，而xr+1,…,xn稱為一組自由未知量.由此可見，任給xr+1,…,xn一組值，就唯一地確三、消元法的總結(jié)用消元法解線性方程組的整個過程，總起來說就是：首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后一個等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r三、消元法的總結(jié)用消元法解線性方程組的整個過程，總起來說就是等于未知量的個數(shù)n，那么方程組有唯一的解;果階梯形方程組中方程的個數(shù)r小于未知量的個數(shù)n，那么方程組就有無窮多個解.如把以上結(jié)果應(yīng)用到齊次線性方程組，就有等于未知量的個數(shù)n，那么方程組有唯一的解;果階梯形方程組中定理1

在齊次線性方程組中，如果s<n，那么它必有非零解.定理1在齊次線性方程組中，如果s<n，那么它證明顯然，方程組在化成階梯形方程組之后，方程的個數(shù)不會超過原方程組中方程的個數(shù)，即r

s<n.由r<n得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解.證畢證明顯然，方程組在化成階梯形方程組之后，方程的個數(shù)不會超過原四、線性方程組與矩陣如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線性方程組就其本上確定了.確切地說，線性方程組可以用下面的矩陣四、線性方程組與矩陣如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)來表示,即對于給定的線性方程組可唯一地確定矩陣反之給定矩陣可唯一地確定線性方程組.這也就是說，線性方程組與矩陣一一對應(yīng).于是我們引進下述概念來表示,即對于給定的線性方程組可唯一地確定矩陣反之給定矩陣可定義2

設(shè)有線性方程組令定義2設(shè)有線性方程組令則稱A為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣.則稱A為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣.顯然，用初等變換化方程組成階梯形方程組就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作可以通過矩陣來進行，而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解還是無解，在有解的情形，再回到階梯形方程組去求解.顯然，用初等變換化方程組成階梯形方程組就相當(dāng)于用初等行變換化例3用矩陣的初等行變換法判斷方程組是否有解.單擊這里開始例3用矩陣的初等行變換法判斷方程組是否有解.單五、消元法的幾何解釋在本節(jié)的最后，我們來研究消元法的幾何意義.以3元線性方程組為例.設(shè)有3元線性方程組并設(shè)其有唯一解x=a,y=b,z=c.

五、消元法的幾何解釋在本節(jié)的最后，我們來研究消元法的幾何意義我們知道，3元線性方程在幾何上表示一個平面，因此，上述線性方程組的幾何意義是：這三個個平面交于一點P(a,b,c).從另外一個角度來說，也就是，過空間點P(a,b,c)可以作無窮多個平面，從這無窮多個平面中任選三個就可以確定空間點P.而在這些平面中以平面x=a,y=b,z=c的方程最簡單，它們的位置也最特殊，因為它們平行于三個坐標(biāo)面.我們知道，3元線性方程在幾何上表示一個平面，因此，上述線性由此可看出消元法的幾何意義是：從給定平面出發(fā)，逐步用過點P(a,b,c)的位置較特殊的平面的方程取代方程組中的方程，直到方程組中的方程是過點P(a,b,c)所作的所有平面中方程最簡單的三個為止.例如由此可看出消元法的幾何意義是：從給定平面出發(fā)，逐步用過點P顯然,該方程組有唯一解,且為x=y=z=1.P(1,1,1).方程組的幾何意義是這三個平面交于一點方程組中的每一個方程表示一個空間平面,故該上述設(shè)有三元線性方程組如圖3-1.顯然,該方程組有唯一解,且為x=y=z=1.x+2y-z=22x-y+z=2x+y+z=3P(1,1,1)圖3-1Lx+2y-z=22x-y+z=2x+y+z=3P(1,1,方程組的解所表示的點如圖3-2圖3-2P(1,1,1)所示.方程組的解所表示的點如圖3-2圖3-2P(1,1消元的過程即為也即導(dǎo)出消元的過程即為也即導(dǎo)出本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!本節(jié)內(nèi)第一節(jié)消元法主要內(nèi)容線性方程組的概念消元法消元法的總結(jié)線性方程組與矩陣消元法的幾何解釋第一節(jié)消元法主要內(nèi)容線性方程組的概念現(xiàn)在來討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為一、線性方程組的概念現(xiàn)在來討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為一、線的方程組，其中x1,x2,…,xn

代表n個未知量，s

是方程的個數(shù)，aij(i=1,2,…,s,j=1,2,…,n)稱為方程組的系數(shù)，Bi(i=1,2,…,s)稱為常數(shù)項.方程中未知量的個數(shù)n與方程的個數(shù)s不一定相等.系數(shù)aij的第一個指標(biāo)i

表示它在第i個方程，第二個指標(biāo)j表示它是xj系數(shù).的方程組，其中x1,x2,…,xn代表n個所謂方程組k1,k2,…,kn

組成的有序數(shù)組(k1,k2,…,kn)，當(dāng)x1,x2,…,xn分別用k1,k2,…,kn代入后，(1)中每個等式都變成恒等式.方程組(1)的解的全體稱為的一個解就是指由n個數(shù)它的解集合.解方程組實際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.所謂方程組k1,k2,…,kn組成的有序數(shù)組(顯然，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線性方程組就基本上確定了.確切地說，線性方程組來表示.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.可以用下面的矩陣顯然，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線二、消元法

1

引例

例１用消元法解線性方程組二、消元法1引例

解

用消元法求解，其步驟如下：STEP2方程(1)乘以-2加到方程(2);

STEP1交換方程(1)與(2),得方程(1)乘以1加到方程(3),得解用消元法求解，其步驟如下：STEP2

STEP3交換方程(4)與方程(5),得STEP3交換方程(4)與方程(5)

STEP4方程(5)乘以-4加到方程(4),得

STEP5方程(6)加到方程(5),得STEP4方程(5)乘以-4加到

STEP6方程(7)加到方程(1),方程(6)乘例1中所用的消元法的過程,實際上是對方以-1得程組施行如下的運算或變換：STEP6方程(7)加到方程

(1)

一個方程的兩端乘以一個不等于零的數(shù);

(2)

一個方程的兩端乘以同一個數(shù)后加到另一個方程上去.定義1

變換(1)，(2)，(3)稱為線性方程組的初等變換.(3)

交換兩個方程在方程組中的位置;(1)一個方程的兩端乘以一個不等于零的數(shù);2消元法的證明消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解方程組.證明只證變換(2)對于方程組2消元法的證明消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.進行第二種初等變換.為簡便起見，不妨把第二個方程的k倍加到第一個方程得到新方程組現(xiàn)在設(shè)(c1,c2,…,cn)是(1)的任一解.因(1)與(2)的后s-1個方程是一樣的，所以(c1,c2,…,cn)滿足(2)的后s-1個方程.又(c1,c2,…,cn)滿足進行第二種初等變換.為簡便起見，不妨把第二個方程的k倍加a11c1+a12c2+…+a1ncn=b1,a21c1+a22c2+…+a2ncn=b2.把第二式的兩邊乘以k，再與第一式相加，即為(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+…+(a1n+ka2n)cn=b1+kb2

故(c1,c2,…,cn)又滿足(2)的第一個方程，因而是(2)的解.類似地可證(2)的任一解也是(1)的解.這就證明了(1)與(2)是同解的.證畢(1)的前兩個方程a11c1+a12c2+…+a1ncn=b13用消元法解一般線性方程組對于方程組(1)，首先檢查x1的系數(shù).如果x1的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對x1沒有任何限制,x1就可以取任意值，而方程組(1)可以看作x2,…,xn的方程組來解.如果x1的系數(shù)不全為零，那么利用初等變換(3)，可以設(shè)a11

0.利用初等變換(2)，分別地把第一個方程的倍加到第i

個方程(i=2,…,s).于是方程組(1)就變成3用消元法解一般線性方程組對于方程組(1)，首先其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組的問題.顯然，(4)的一個解，代入(3)的第一個方程就定出x1的值，這就得出(3)的一個解；而(3)的解顯然都是(4)的解.這就是說，方程組(3)有解的充分必要條件為方程組(4)有解，而(3)與(1)是同解的，因而，方程組(1)有解的充分必要條件為方程組(4)有解.的問題.顯然，(4)的一個解，代入(3)的第一個方程就對(4)再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一個階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設(shè)所得的方程組為對(4)再按上面的考慮進行變換，并且這樣一步步作下去，最其中cii

0,i=1,2,…,r.方程組“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn),這時去掉它們也不影響(5)的解.而且(1)與(5)是同解的.下面討論方程組(5)的解的情況.如果(5)中有方程0=dr+1，而dr+10.這時不管x1,…,xn取什么值都不能使它成為等式.故(5)無解，因而(1)無解.當(dāng)dr+1=0或(5)中根本沒有“0=0”的方程時，分兩種情況：中的其中cii0,i=1,2,…,r.方程情形一

r=n這時階梯形方程組為其中cii

0,i=1,2,…,n.由最后一個方程開始，xn,xn-1,…,x1的值就可以逐個地唯一地決定了.此時方程組有唯一的解.情形一r=n這時階梯形方程組為其中cii例2用消元法把線性方程組化成階梯形方程，并由此判斷方程組是否有解，若有解，求出其解.例2用消元法把線性方程組化成階梯形方程，并由解經(jīng)過一系列初等變換后，它變成了如下x3=-6代入第二個方程解得x2=-1;

x2=-1代入第一個方程解得x1=9.由于在階梯形方程組中,有效方程的個數(shù)r與方程的未知量的個數(shù)n相等，所以有唯一解.一解為(9,-1,-6).把再把x3=-6，故方程組的唯解經(jīng)過一系列初等變換后，它變成了如下x3=-6代入第二情形二

r<n這時階梯形方程組為其中cii

0,i=1,2,…,r.把它變形，得情形二r<n這時階梯形方程組為其中cii由此可見，任給xr+1,…,xn

一組值，就唯一地確定x1,x2,…,xr

的值，也就是得到方程組的一個解.一般地，由上式我們可以把x1,x2,…,xr通過xr+1,…,xn表示出來，這樣一組表達式稱為方程(1)的一般解，而xr+1,…,xn稱為一組自由未知量.由此可見，任給xr+1,…,xn一組值，就唯一地確三、消元法的總結(jié)用消元法解線性方程組的整個過程，總起來說就是：首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后一個等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r三、消元法的總結(jié)用消元法解線性方程組的整個過程，總起來說就是等于未知量的個數(shù)n，那么方程組有唯一的解;果階梯形方程組中方程的個數(shù)r小于未知量的個數(shù)n，那么方程組就有無窮多個解.如把以上結(jié)果應(yīng)用到齊次線性方程組，就有等于未知量的個數(shù)n，那么方程組有唯一的解;果階梯形方程組中定理1

在齊次線性方程組中，如果s<n，那么它必有非零解.定理1在齊次線性方程組中，如果s<n，那么它證明顯然，方程組在化成階梯形方程組之后，方程的個數(shù)不會超過原方程組中方程的個數(shù)，即r

s<n.由r<n得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解.證畢證明顯然，方程組在化成階梯形方程組之后，方程的個數(shù)不會超過原四、線性方程組與矩陣如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線性方程組就其本上確定了.確切地說，線性方程組可以用下面的矩陣四、線性方程組與矩陣如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)來表示,即對于給定的線性方程組可唯一地確定矩陣反之給定矩陣可唯一地確定線性方程組.這也就是說，線性方程組與矩陣一一對應(yīng).于是我們引進下述概念來表示,即對于給定的線性方程組可唯一地確定矩陣反之給定矩陣可定義2

設(shè)有線性方程組令定義2設(shè)有線性方程組令則稱A為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣.則稱A為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣.顯然，用初等變換化方程組成階梯形方程組就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作可以通過矩陣來進行，而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解還是無解，在有解的情形，再回到階梯形方程組去求解.顯然，用初等變換化方程組成階梯形方程組就相當(dāng)于用初等行變換化例3用矩陣的初等行變換法判斷方程組是否有解.單擊這里開始例3用矩陣的初等行變換法判斷方程組是否有解.單五、消元法的幾何解釋在本節(jié)的最后，我們來研究消元法的幾何意義.以3元線性方程組為例.設(shè)有3元線性方程組并設(shè)其有唯一解x=a,y=b,z=c.

五、消元法的幾何解釋在本節(jié)的最后，我們來研究消元法的幾何意義我們知道，3元線性方程在幾何上表示一個平面，因此，上述線性方程組的幾何意義是：這三個個平面交于一點P(a,b,c).從另外一個角度來說，也就是，過空間點P(a,b,c)可以作無窮多個平面，從這無窮多個平面中任選三個就可以確定空間點P.而在這些平面中以平面x