微積分1.定義極限為零變量稱為無窮小量,簡稱

注釋(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù);(2)

零是唯一可以看作無窮小的數(shù).第五節(jié)無窮小量與無窮大量—、無窮小1.定義極限為零的變量稱為無窮小量,簡稱無窮小.例如

x2

是當(dāng)

x

0

時的無窮小.1x

x02lim

f

(

x)

A,

令

(

x)

f

(

x)

A,證

()

設(shè)則有l(wèi)im

(

x)

0

f

(

x)

A

(

x).x

x0()

設(shè)f

(x)

A

(x),其中l(wèi)im

(x)

0.x

x0則lim

f

(

x)

lim

(

A

(

x))

A

lim

(

x)

A.x

x0

x

x0

x

x02.無窮小的性質(zhì)(1)

無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1

lim

f

(

x)

A

f

(

x)

A

(

x),x

x0其中

(

x)

是當(dāng)

x

x0

時的無窮小.(2)

無窮小的運算性質(zhì)定理

2

在同一變化過程中,有限個

無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注釋：無窮個

無窮小的和未必是無窮小.n反例：當(dāng)n

時,

1

是無窮小13之和為1,不是無窮小.n但

n

個x推論

1

在同一變化過程中,有極限的變量與4如

當(dāng)

x

0

時,

x

sin

1

是無窮小.定理

3

有界函數(shù)與無窮小的積仍是無窮小.無窮小的乘積是無窮小.推論

2

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論

3

有限個無窮小的乘積也是無窮小.注釋：無窮個無窮小的乘積未必是無窮小.x

x0(

x

)5二、無窮大定義

M

0,

若

0

(或X

0)，使得當(dāng)

0

x

x0

(或

x

X

)

時，恒有

f

(

x)

M

成立，則稱當(dāng)x

x0

(或x

)時f

(

x)為無窮大量簡稱無窮大.

記作

lim

f

(

x)

.x

x0(

x

)特殊情形：lim

f

(

x)

.;注釋(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)(2)

無窮大是一種特殊的

變量,但是變量未必是無窮大.反例數(shù)列

n

1()n

顯然0

()xfy的垂直漸近線.但它不是無窮大量.則稱直線

xx0

是函數(shù)定義

若

lim

xf

(,)xx6三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理

4

自變量在同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.注釋:關(guān)于無窮大的

都可歸結(jié)于無窮小的

.四、無窮小的比較定義設(shè)

,是同一變化過程的兩個無窮小,且

0.記作

o(

);(1)

若lim

0,則稱是比高階的無窮小,7無窮小.

記作

O(

)

or

O(

).8(2)

若lim

c(c

0),

則稱與是同階的記作

~

;若

lim

1,

則稱與是等價無窮小.(3)

若lim

c(c

0,

k

0),則稱是的

kk

階無窮小.x則稱

cx

k

為無窮小

的主部,

記作

cx

k

o(x

k

),

顯然

~

cx

k

.9若存在常數(shù)

c

0,

k

0

使得

lim

xk

c,x0

xk則稱

cxk

為無窮小

的主部,

記作

cxk

o(xk

),

顯然

~

cxk

.(4)

若存在常數(shù)

c

0,

k

0

使得

lim

c,注釋(1)兩個無窮小的比較反映了它們趨于零的快慢程度，但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.xx0如

lim

sin

x

1

sin

x

x

o(

x).若

lim

1

lim

0

o()

o().x(2)等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式.10如

當(dāng)

x

0

時,

x

sin

1

和

x.1

x1

x與

1

x

.(1)

當(dāng)

x

1

時，例1

比較下列每對無窮小1

x

lim

1

x

1,x1

xx1x1

1

解

因為

lim

1

x~

1

x

.111

x所以1

x(2)

當(dāng)

x

1

時，1

3

x

與

1

x.

,1

3

x

11

x

3x1解因為lim所以

1

3

x

O(1

x).(3)

當(dāng)

x

0

時，x

sin

x

x3

與

x.212解因為lim是

x

的2

階無窮小.x所以x

sin

x

x3

1，x

sin

x

x3x0x

x3

x2kx0

c

0，(k

0).解欲使lim33kkxxx2

x

lim

3x2

xx0x0由lim2312(1

x

)

lim

3

x3kx061316階無窮小.x2

x

是x

的知k

1

.即3x2

x

與x.(4)

當(dāng)

x

0

時，3214sin

x

~

x,tan

x

~

x,narcsin

x

~

x,arctan

x

~

x,e

x1

cos

x

~

1

x2

.

1

~

x,ln(1

x)

~

x,當(dāng)

x

0

時,

n

1

x

1

~

x

,五、等價無窮小的代換1.常用的等價無窮小代換15

則

lim

lim

.定理5

設(shè)

~

,

~

且

lim

存在.

證

lim

lim(

)

lim

lim

lim

lim

.2.

代換定理

lim

3x

3sin

x

x

1

.x0

3xx0

x3例lim注釋

(1)

和差代換規(guī)則(i)

若

o(),

則

~

.注意:

若

~

,

則結(jié)論未必成立.

1

x16x0exx0(ii)

若

~

,

~

且

與

不等價,則

~

,

且

lim

lim

.

例lim

tan

2x

sin

x

lim

2x

x

1.(2)

因式代替規(guī)則若

~

,且f

(x)極限存在或有界,則lim

f

(x)

lim

f

(x).x3x

sin

3

xx0(1)

l

lim

tan

x

sin

x

;

(2)

l

lim

tan

2

x

.例2

求下列極限x

x17x0x0如lim

arcsin

x

sin

1

lim

x

sin

1

0x

3x0解

(1)

l

lim

x

x

0.

(

)3(2)

l

lim

2x

2

.x

3x218

.

lim

3t

32t

sin

3ttan

2tt

0t

0x

tl

lim(

)2(1)

limtan2

2

x

sin

x21

cos

xx0例3.

求下列極限2

8.

lim1

x4(2x)2

x2x0(2)

limesinxln(1

3

x)

1x0

.19

lim3

x

3sin

x

1x0(3)

limln(1

x)1

x

x

2

1x0.1212

limx(

x

x

)2x0(4)

limsin

x21

2

x

1

xx0.2021

limx

2x0

x

2

( 1

2

x

1

x)n

1

x

1,

求當(dāng)

x

0

時,例4

設(shè)

m

1

x1的的主部及階數(shù).無窮小x

的主部及階數(shù).例5

設(shè)

2

x

/(

x2

1),

求當(dāng)x

時,

關(guān)于例6

確定常數(shù)

a,

b

使得lim(3

1

2x2

x3

ax

b)

0.x21(

x

0),m解：因為

m

1

x

1

~

xxm

m

m)

x

o(

x)所以

m

1

x

1

x

o(

1

n

x

o(

x)

1m1

x

o(

x)

于是

(

1

1

)

x

o(

x).m n故

的主部是

(

1

1

)

x,

階數(shù)是

1.m

n22x解欲使lim

xk

c

0，(k

0).123的主部

2

,

階數(shù)是

1.xx即

關(guān)于

k

1

c

2.

c

0

1由lim

xk

lim2

xk

1x

x2x1

23xb

1

a

)

0x

xx解由lim

x(31

23

lim(3)

0

a

1.xb

1

a

x

xxb

lim(3

1

2

x

2

x

3

x)x1

23

1

1)x

x

lim

x(3x.24321

1

23(

)]

3

x

x

lim

x[x.練習(xí)題填空題1若當(dāng)x

0

時，(1

ax2

)3

1

與cos

x

1x61

cos

x

2(2)當(dāng)x

0時,

2

253是等價無窮小，則常數(shù)a

是

x

的

4

階無窮小.2

226所以1

cos

x

2

是x的

4

階無窮小，x6從而

是x

的2

(6

4

2)階無窮小.1

cos

x

2(1

cos

x

2

)

~

1

1

(

x

2

)2

,1

cos

x

2解

因為

1

cos

x

212.

問

f

(

x)

x

cos

x

在(,

)上是否有界？是否為無窮大

(

x

)?.tan2

x(3

2sin

x)x

3xx03.求極限l

lim4.

若

l