數(shù)學-新醫(yī)科二、平面圖形面積

一、微元法二、平面圖形的面積三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、定積分在醫(yī)學上的應用第四節(jié)

定積分的應用Oxyy=f

(x)axi

xi

b回憶:曲邊梯形面積的求法分割近似求和求極限一、微元法f

(i

)xi

nS

limi

1

0baf

(

x)dx分析:若用A表示任一小區(qū)間[

x,

x

x]上的窄曲邊梯形的面積，則A

A，并取A

f

(

x)dx，于是A

f

(x)dxA

limf

(

x)dxf

(

x)dx.ba面積元素Oxyy=f

(x)abdAx

dxA一般的解決實際問題的一般步驟：(1)

確定所求量A和自變量,以及x

的變化范圍[a,b;](2)任取x

[a,b],給x

一個增量dx

,則區(qū)間[x,x

dx]可視為[a,b]上的任一小區(qū)間,且將該區(qū)間上A

的局部量記為

A

,并求出A

的近似值

A

f

(

x)dx

.其中f

(

x)為區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).稱f

(x)dx為所求量的微元,記為dA

f

(

x)dx(3)

將的微元從a

無限累加到b

,便得到所求的量

,即A

b

ba

adA

f

(

x)dx以上用定積分解決實際問題的方法稱為微元法.二、平面圖形的面積1.由曲線y

f(x)與直線x

a

、x

b(a

b)、x

軸所圍成的圖形的面積.由定積分的幾何意義可知,所求圖形的面積A

baf

(

x)

dx例3-55

求拋物線

y

3

2x

x2

與直線

x

1、x

4y

0

所圍成的平面圖形的面積.解：先畫出草圖，定出所求的平面圖形.在區(qū)間[1,3]上,

y

0

;

在區(qū)間[3,4]上,

y

0A

4123

2

x

x

dx所求面積為432(3

2

x

x

)dx312(3

2

x

x

)dx

(3x

x2

1

x3

)

3

(3x

x2

1

x3

)

43

1

3

3

16

(

7

)

7

23

3

3y

3

2x

x22.由曲線y

f(x)、y

g(x)(f

(x)

g(x))與直線x

a、x

b(a

b)所圍成的圖形的面積.[

f

(

x)

g(

x)]dxA

bayoaxby

f(x)y

g(

x)xx

dxA

10(

x

x2

)dx1332

3

032x3

x

1

.例3-56

求由拋物線

y

x

2和

x

y2所圍成的圖形的面積.解:解方程組得兩曲線的交點(0,0)、(1,1)所求面積為

y

x2x

y2(1,1)3.由曲線x

(y)與直線y

c

、y

d(c

d

)、y

軸所圍成的圖形的面積.A

ba

(

y)

dy4.由曲線x

(y)、x

(y)((y)

(y)與直線y

c

、y

d(c

d

)所圍成的圖形的面積.x

(

y)xocydx

(

y)yy

dy[

(

y)

(

y)]dyA

ba解:解方程組

y2

2

x得兩曲線的交點(2,4)、(18,12)y

x

4例3-57

求由曲線y2

8x和直線

x

y

6

0所圍成的圖形的面積.解法一:選x為積分變量A

S1

S21SS22[ 8

x

(08

xdx

[618220

2

(6x23

03

2

2 8

x

2

6

85

13

33

32

8解法二:選y

為積分變量12A

48y2(6

y

)dy

(6

y

1

y2

1

y3

)

42

24

123

851旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的

．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺三、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積為V

baba2

y

dx2

[

f

(

x)]

dx

下面用微元法來求由連續(xù)曲線

y

f

(

x)(a

x

b)、直線

x

a

、x

b

及

x

軸所圍成的曲邊梯形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體體積.任取x

[a,b],給x

一個增量x,得一微小小區(qū)間[x,x

dx],它所對應的小旋轉(zhuǎn)體體積V可近似看作是以f

(x)為底半徑、以dx為高的圓柱體體積.即dV

[f

(x)]2

dxV

[

f

(

x)]2

dxy

f

(

x)xyox

x

dx2[

(

y)]

dyV

dc同理,由連續(xù)曲線

x

(

y)(c

y

d

)與直線

y

c

、軸旋y

轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)y及

d軸所y

圍成的曲邊梯形，繞體體積.dc2x

dyxox

(

y)cyd例3-58

求由橢圓橢球體的體積.

1繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的x

2

y

2)2x22b

(1

2a由公式得出所求的體積為y

dxa2

b2解：將橢圓方程化為y

ba2a2

)dxx2aV

b2

(1

a0a(a2

x2

)dx2a2

2

ba2b2a

43

0

3x3

ab2(a2

x

)

2-ba-aOxybx2y

b

1

a2x2例3-59

求由曲線y

4

與直線

x

0

、y

1

圍成的x

dyV

1024

ydy

100

2y2

1

2解：由公式x

dy圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.ba2得出所求的體積為例3-60

求由曲線

y

e

x、y

sin

x與直線

x

0、x

1圍成的圖形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：所求的旋轉(zhuǎn)體體積等于曲邊梯形OACD、曲邊三角形OAB分別繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積之差.所求的體積V

x01

12(sin

x)

dx02(e

)

dx

(1

cos2x)dxe

dx

2

x

1010202

1

sin

2x

1)02

2

e2x

1

(x

(2e2

4

sin

2)4y

exy

sinx

A1四、定積分在醫(yī)學上的應用例3-61

血藥濃度時間

曲線下的面積假設口服一定劑量的某種藥物之后,血藥濃度與時間的關(guān)系為試求c

t

總面積AUC

.

e2.3t

)c

40(e0.2t解:AUC

0

c(t

)dt040(e0.2t

e

2.3t

)dt

40(

1

e0.2t

1

e2.3t

)

182.60.2

2.3

0例3-62藥物有效度測定藥物從

的尿液中排出,一種典型的排泄速率函數(shù)為r

tekt

(k

0),其中k為消除速率常數(shù).求排出藥物的總量.D

0T

Tte

dt

ktr(t

)dt

0e

dt)00Tktk

1

(tekt

T

0k

21

e

kt

Tk

T

ekT解:在時間間隔[0,T]內(nèi),排出藥物的總量r

r(t

)xo1k

2k

2k

ekT

(T

1

)所以,藥物排出的總量

T

Tr(t)dt0

limQ

0

r(t)dtk

2k

lim

[

1

ekT

(T

1

)]te

dtTktT

0

limT

k

21k

2例3-

63

血液中胰島素的平均濃度的測定由實驗測定患者的胰島素濃度，先讓

禁食，以降低體內(nèi)血糖水平，然后通過注射給

大量的糖。假定由實驗測得患者的血液中的胰島素的濃度C(t)(單位/ml)為

10t

t

2C t

)(

25et

5t

5k t

5()20位是分鐘.求1

小時內(nèi),該患者體內(nèi)胰島素的平均濃度C(t).其中

k

ln

2

,時間

t

的單tor

r(t

)525解：由積分中值定理可知:_c(t

)

600c(t)dt601c(t)dt

(

1

60605c(t)dt)50)dt

(10t

t(

16060525e

dt)502k

(t

5)5ek

(

t

5)

60

1

(5t

2

1

t

3

)

5

560

3

0

12k

11.63(單位/ml)例3-

64

單位時間內(nèi)血管穩(wěn)定流動時血流量設有一段長為L,截面半徑為R的血管,其左端動脈端的V

(r

)

p1

p2

(R2

r

2

)4L取血管的一個橫截面來

單位時間內(nèi)的血流量Q.血壓為

,右端相對靜脈的血壓為

p2

(

p1

p2

)

,血液黏滯系數(shù)為

.假設血管中的血液流動是穩(wěn)定的,由實驗可知,在血管的橫截面上離血管中心r

處的血液流速為Lp2rs

ds

2r

dr在該小圓環(huán)上血液流速可近似認為是相等的,所以單位時間內(nèi)通過該小圓環(huán)的血流量Q

v(r

)

S

2rv(r

)drr

r+dr解:

血流量等于血液流速截面積,由于血液流速隨流層而變化,故在橫截面上任取一個內(nèi)半徑為

,r外半徑為

r

的dr小圓環(huán).小圓環(huán)面積即dQ

2rv(r

)dr

2(R2

r

2

)rdrP1

P24L于是R

222(R

r

)rdrP1

P24L00P1

P22LR023(R r

r

)dr41

R4

0r

)2

2

(

R

r

P1

P2

12L

28L8LP1

P2

4因此,單位時間內(nèi)血管穩(wěn)定流動的血流量為

R

P1

P2

R4例3-

65

實驗研究發(fā)現(xiàn),某重金屬毒物(如鎘、

、鉛等)在

t

時刻在體內(nèi)的殘留量

ktN

N0e

(k

0)其中N

0為開始時體內(nèi)最初數(shù)量(濃度),即吸收量;k為該物質(zhì)由體內(nèi)排出體外的速率常數(shù)(排泄率).且已知T1/2為該毒物由體內(nèi)排出一半的時間,即生物半衰期.求體內(nèi)重金屬最大的蓄積量.解:先求出[0,T

]時間段內(nèi),體內(nèi)重金屬的蓄積量.eN

ktNddtT

TN[0.]T000

N0

ekt

T

N0

(1

ekT

)k

0

k體內(nèi)重金屬最大的蓄積量N

lim

N[0,T

]T

T

kk

lim

N0

(1

ekT

)

N0,

N

N0

,

代入上式,

k

ln

2

0.69312