新教材人教B版高中數學選擇性必修第三冊教案設計-等比數列的定義

等比數列等比數列第1課時 等比數列的定學習目標理解等比數列的定義．(重點)用．(重點、難點)熟練掌握等比數列的判定方法．(點)

核心素養(yǎng)象的素養(yǎng).學習，培養(yǎng)數學運算的素養(yǎng).有人說過：你如果能將一張紙對折42次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．(假設紙的厚度為0.1mm)這個實例所包含的數學問題，用數字反應如下：1,2,4,8,16,32,64,128，有人說過：你如果能將一張紙對折42次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．(假設紙的厚度為0.1mm)這個實例所包含的數學問題，用數字反應如下：1,2,4,8,16,32,64,128，…問題：該組數字的后一項與前一項存在怎樣的等量關系？是什么數列？1．等比數列的概念a數q an1a，即 ＝q恒成立，則稱數列{an}為等比數列，其中q稱為等比數列的公比．n思考1：在等比數列{an}中，某一項可以為0嗎[提示] 一定不能為0.拓展：對等比數列的定義的理解“2項起”有兩層含義，第一層是第一項沒有“前一項”，第二層是包含第一項后的所有項．“每一項與前一項的比”層指后項與前項的比．等比數列的通項公式及其推廣n 若等比數列{an}a1qan＝a1qn－1a＝aqn－mn，m∈N*.n 思考2：等比數列通項公式an＝a1qn－1是關于n的指數型函數嗎？[提示] 不一定．如當q＝1時，an是關于n的常數函數．等比數列的單調性等比數列{an}的首項為a1，公比為q.(1)q>1，a1>00<q<1，a1<0(2)q>1，a1<00<q<1，a1>0(3)q＝1時，數列為常數列；(4)當q<0時，數列為擺動數列．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)n1 n 若a ＝qa，n∈N*且q≠0，則{an1 n ＋n n 1等比數列{a}中，a＝aqn，n∈N*n n 1常數列一定是等比數列． ( )存在一個數列既是等差數列，又是等比數列． ( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√已知{an}是首項為2公比為3的等比數列則這個數列的通項公式為( )A．an＝2·3n＋1C．an＝2·3n－1

B．an＝3·2n＋1D．an＝3·2n－1C [由已知可得a1＝2，q＝3，則數列{an}的通項公式為an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]3．下列數列為等比數列的是( )A．2,22,3×22，…，，，…B.1 1 1，，，…a a2 a3C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…D．0,0,0，…B [結合等比數列的定義可知選項B正確．]4．已知{a}是等比數列，a＝2，a

q＝ .n 21 [法一：∵a＝aq＝2，

5＝4，則公比①2 2 11a5＝a1q4＝4， ②1 1∴②÷①得：q3＝8，∴q＝2.1 1法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝8 q＝2.]等比數列基本量的求解n【例1】 在等比數列{an}中．(1)a4＝2，a7＝8，求a；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求等比數列基本量的求解n(3)a＝2，a＋a 20 a.3 2 4＝3，求na4＝a1q3，[解] (1)法一：∵a7＝a1q6，1aq3＝2， ①1∴a1q6＝8， ②② 3由 得q3＝4，從而q＝ 4，而a1q3＝2，①2 1 2n－5于是＝，∴an＝a1qn－1＝2 .q3 2 34法二：∵a＝a4

a7 8 4，7 4∴q＝34.

＝a＝2＝n－4 2n－8 2n－5∴an＝a4qn－4＝2×43＝2×2 3 ＝2 3 .a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ③(2)法一：∵a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ④④ 1由 得q＝2，從而a1＝32，又an＝1，∴32∴32×＝1，即26－n＝20，∴n＝6.法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，1∴q＝2.a1q＋a1q4＝18a1＝32.an＝a1qn－1＝1(3)設等比數列{an}qq≠0.a3 2a2＝q＝，a4＝a3q＝2q，q2 20 1＋2q＝

，q2＝3.1當q1當q＝3時，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.2 2當q＝3時，a1＝9，∴an＝9×3n－1＝2×3n－3.1綜上，當q＝3時，an＝2×33－n；當q＝3時，an＝2×3n－3.a1和q是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，其他量便可迎刃而解.此類問題求解的通法是根據條件，建立關于a1和q的方程組，求出a1和q.[跟進訓練[跟進訓練]1．(1)若等比數列{a

9 1 2 . n的首項a1＝8，末項an＝3，公比q＝3，求項數n1 9[解](1)a＝an 1·qn1－，得＝3 8，即n＝4.(2)在等比數列{a1 9[解](1)a＝an 1·qn1－，得＝3 8，即n＝4.a5－a1＝a1q4－a1＝15， ①(2)因為a4－a2＝a1q3－a1q＝6， ②① 1由 得q＝2或q＝2.②1∴an＝－16·an＝2n－1.當q＝2時，a∴an＝－16·an＝2n－1.等比數列的判斷與證明[探究問題]等比數列的判斷與證明如何證明數列{an}是等比數列？[提示] 只需證明an＋1＝q，(q≠0)即可．an如何證明數列{an＋1}是等比數列？[提示] 只需證明an＋1＋1＝q，(q≠0)即可．an＋1＋ 【例2】 已知數列{an}滿足a1＝1，an1＝2a(1)證明：數列{an＋＋ (2)求數列{an}的通項公式．＋[解] (1)證明：∵an1＝2an＋1，＋＋∴an1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，又a1＝1，故an＋1≠0，＋an1＋1∴ ＋an＋1

＝2.∴數列{an＋1}是等比數列．(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項，2為公比的等比數列．∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.＋ 由遞推關系an1＝Aa＋BA，B為常數，且A≠0，A≠1求a＋ 法設a

＋λ＝Aa＋λ

B，這樣就構造了等比數列{a＋λ}.n＋1

A－1 n[跟進訓練[跟進訓練]2．在數列{a}中，a

5 1

，求數列的通項公式．n 1 n

＝－，b＝2 n1 a n＋ n a1 a n5 1 a－2 1 2a 4[解] a －2＝－－2＝n ， ＝ n＝ ＋2， n＋1 2 a

2a a －2 a－2 a－22bn＋1 2bn＋1 n＝4b＋2，b ＋3＝＋4n＋1.又a＝1，故b＝ 1 ＝－1，所以1是首項為－34的等比數列，所以1是首項為－34的等比數列，12 1所以b＋＝－×4n－1，n 3 34n－1 2b＝－ －.n 3 31【例3】 已知數列{a}的前n項和為S，S＝(a－1)(n∈N)．n1 求a，a1

n n 3n ＋(求證：數列{an}是等比數列．([解] (1)

1a－1)

1a－1)，S(a1 S(a1

1 31∴a＝－.1 21 1 1又S＝(a－1)，即a＋a＝(a－1)，得a＝.2 32 1 2 32 2 4(2)證明：當n≥2時，a＝S－S

1 1＝(a－1)

－1)，n n n－1 3a 1

－3(

n－1得an＝－2.n－11又a＝－，1 21 1所以數列{a}

的等比數列．n 2 2nnanSn的關系求解．判斷一個數列是否是等比數列的常用方法有：n＋n＋1n①定義法：a＝q(q為常數且不為零)?{an}為等比數列．nn②通項公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{a}為等比數列．n＋＋ ③構造法：在條件中出現an1＝kan＋b關系時，往往構造數列，方法是把an1＋x＝k(an＋x)與an1＝kan＋b對照，求出x＋＋ [跟進訓練[跟進訓練]已知數列{an}的前n項和Sn＝2an＋1{an}公式．[證明] ∵Sn＝2an＋1，＋ ∴Sn1＝2an1＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ∴an1＝Sn1－Sn＝(2an1＋1)－(2an＋1)＝2an1－2an，∴an1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1＋ ＋ ＋ ＋ ∴a1＝－1≠0.∴a＝2，＋又由an1＝2an知an≠0，a∴a＝2，＋n∴{an}是等比數列．∴a＝－1×2n－1＝－2n－1.n等比數列定義的理解q可能為零．an＋1an能顛倒．234一項之比是同一個常數，那么這個數列不是等比數列．等比數列的通項公式a1q，可以確定一個等比數列．an＝a1qn－1an，a1，q，n求得第四個量．an＝amqn－mq項的思想．1．在等比數列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3等于( )A．16C．32

B．16或－16D．32或－32C [a4＝a1q3q3＝8q＝2a3＝a1q2＝8×4＝32.]若等比數列的首項為末項為公比為則這個數列的項數為( A．4 B．6 C．5 D．32B [由等比數列的通項公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.]3．已知數列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數列，則實數a滿足( a≠1C．a≠0

a≠0a≠1D．a≠0D [aa(－aa(－a2…aa(1－a)2≠0a≠0a≠1.]4．在等比數列{an}中，若a2＝18，a4＝8，則公比q＝ .2 2 a4 8 4 2±3 [由題意可知q＝＝ ＝，即q＝±.]a2 18 9 35．數列{an}滿足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并證明數列{an－n}是等比