散熱設(shè)計-傳熱學-第三章

第三章

非穩(wěn)態(tài)導熱3-1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念1

非穩(wěn)態(tài)導熱的定義.t

f

(r,

)2

非穩(wěn)態(tài)導熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導熱(定義及特點)瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱(定義及特點)t1t0

1

0

3

243溫度分布4兩個不同的階段非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段)正規(guī)狀況階段(正常情況階段)溫度分布主要取決于邊界條件及物性溫度分布主要受初始溫度分布控制導熱過程的三個階段非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)5熱量變化Φ1－－板左側(cè)導入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導出的熱流量6研究非穩(wěn)態(tài)導熱的目的：溫度分布和熱流量分布隨時間和空間的變化規(guī)律t

f

(x,

y,

z,

)

;

Φ

f(

)非穩(wěn)態(tài)導熱的導熱微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法

x

x

y

y

z

zc

t

(

t

)

(

t

)

(

t

)

分析解法：

分離變量法、積分變換、拉

斯變換近似分析法：

集

數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學模擬7畢渥數(shù)本章以第三類邊界條件為重點。(1)問題的分析，存在兩個換熱環(huán)節(jié)：a流體與物體表面的對流換熱環(huán)節(jié)tfhtfhxt0tfhxt0rh

1

hb

物體

的導熱r

(2)畢渥數(shù)的定義：Bi

r

hrh

1

h

Bi

r

hrh

1

h

無量綱數(shù)當Bi

時，

r

rh

，因此，可以忽略對流換熱熱阻當Bi

0時，

r

rh

，因此，可以忽略導熱熱阻0

Bi

？？(3)Bi數(shù)對溫度分布的影響B(tài)i

準則對溫度分布的影響

t

Bi

Bi

0

0

Bi

1

2

23

2

1

1

0

0

0

0t

t0

1

0

2

t

t0t

t0Bi

準則對無限大平壁溫度分布的影響(4)無量綱數(shù)的簡要介紹基本思想：當所研究的問題非常復(fù)雜，涉及到的參數(shù)很多，為了減少問題所涉及的參數(shù)，于是人們將這樣一些參數(shù)組合起來，使之能表征一類物理現(xiàn)象，或物理過程的主要特征，并且沒有量綱。因此，這樣的無量綱數(shù)又被稱為特征數(shù)，或者準則數(shù)，比如，畢渥數(shù)又稱畢渥準則。以后會陸續(xù)遇到許多類似的準則數(shù)。特征數(shù)涉及到的幾何尺度稱為特征長度，一般用符號l表示。對于一個特征數(shù)，應(yīng)該掌握其定義式＋物理意義，以及定義式中各個參數(shù)的意義。3-2

集

數(shù)法的簡化分析定義：忽略物體

導熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，Bi

，溫度分布只與時間有關(guān)，即t

f

(

)，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。溫度分布，任意形狀的物體，參數(shù)均為已知。

0，t

t0將其突然置于溫度恒為t

的流體中。當物體被冷卻時（t>t）,由能量守恒可知dhA(t

t

)

-Vc

dtd

hA

d

Vc方程式改寫為：

t

t，則有dhA

-Vc

d

(

0)

t0

t

0初始條件控制方程

0dhAVc0

dhAVcln

0hAVcd

積分d

Vc

hA

e

t

t

t0

t0過余溫度比其中的指數(shù)：vv

Bi

Fo

(V

A)2

h(V A)

ahV

A2

hAcV

A

V

2

c(V

A)2

a

FoBivv

h(V

A)Fov是傅立葉數(shù)

eBiv

Fov

hA

Vc

e0物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：m2

m3

K

Ww

1J

shAVc

m2K

kg

Jkg

[m3

]

36.8%

e10hA1

Vc即與

的量綱相同，當

時，則Vc

hA

1此時，上式表明：當傳熱時間等于

時，物體的過余溫度已經(jīng)達到了初始過余溫度的36.8％。hAVchA稱

Vc為時間常數(shù)，用

表示。ce

1

36.8%00c

應(yīng)用集Biv

Fov數(shù)法時，物體過余溫度的變化曲線如果導熱體的熱容量（

Vc

）小、換熱條件好（h大），那么單位

時間所傳遞的熱量大、導熱體的溫度變化快，時間常數(shù)(Vc

/hA)小。對于測溫的熱電偶節(jié)點，時間常數(shù)越小、說明熱電偶對流體溫度變化的響應(yīng)越快。(如微細熱電偶、薄膜熱電阻）

1.83%0hA

當

4

Vc

時，工程上認為=4

Vc

/hA時導熱體已達到熱平衡狀態(tài)當物體被加熱時(t<t)，計算式相同W

hA0e3瞬態(tài)熱流量：Φ(

)

hA(t(

)

t

)

hAhA

Vc)

J00Vc導熱體在時間

0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：

hA

(1

e

)d

VcQ

Φ(4

Biv

Fov

物理意義

1

hBi

hl

l

物體

導熱熱阻物體表面對流換熱熱阻＝無量綱熱阻無量綱時間Fo越大，熱擾動就能越深入地

到物體

，因而，物體各點地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。l

2Fo

a

邊界熱擾動擴散到l

2面積上所需的時間換熱時間5集

數(shù)法的應(yīng)用條件采用此判據(jù)時，物體中各點過余溫度的差別小于5%ivB

h(V

A)

0.1M對厚為2δ的無限大平板M

1V

A

A

ABiv

Bi對半徑為R的M

12V

R2

RA

2R

2B

Bi

iv

2無限長圓柱對半徑為R的球M

134

R3V

3

RA

4R

2

3B

Biiv

3是與物體幾何形狀有關(guān)的無量綱常數(shù)3-3一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解1.無限大的平板的分析解λ=const

a=const因兩邊對稱，只研究半塊平壁h=const此半塊平板的數(shù)學描述：導熱微分方程初始條件邊界條件(

0

x

,

0

)

x2t

a

t2t

t0

0x

0t

0x)

x

x

t

h(

t

t(對稱性)引入變量－－過余溫度令(x,

)

t(x,

)

t上式化為：

h

x

00

x

,

0

0x

0

0xxx2a

2用分離變量法可得其分析解為：此處Bn為離散面(特征值)n

n若令?n

nn0

nsin(

)

cos(

)

e

2a

n1

(x,

)

2sin(

n

)

cos(n

x)en

nn0)n

2xn

2

sin

(

x,

)

2

an1

sin

cos

n

cos(μn為下面h?為畢渥準則數(shù)，用符號Bi

表示n方程n

的h根

ctg

en2sin(

n

)

cos(n

x)n

2a

sin(

)

cos(

)n1

n

n

(x,

)

0en

n

n2sin(

n

)

cos(

n

x)n

(x,

)20

2a(

)

sin(

)

cos(

)n1因此

(

x,

)0是F0,Bi

和x

函數(shù)，即0

i0

(

x,

)

f

(

F

,B

,

x

)區(qū)別n注意：特征值

特征數(shù)（準則數(shù)）2.非穩(wěn)態(tài)導熱的正規(guī)狀況對無限大平板當

F0

0.2

取級數(shù)的首項，板中心溫度，誤差小于1%20F

a

ex

(x,

)

2sin

121

0

F)0

1

sin

1

cos

11

cos(e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1Fo數(shù)對溫度分布的影響對于Fo>0.2，僅取無窮級數(shù)第一項即可.取對數(shù)上式右側(cè)末項為常數(shù)，與非穩(wěn)態(tài)導熱的時間進程無關(guān).于是x

1cos

4

sin

121

sin21

2a

ln

021ln

x,

m

=

12a

/2稱冷卻率或加熱率?m

值對平壁的任何地點都相同平壁過余溫度的對數(shù)是時間的線性函數(shù).ln

m

f

(

0

,

Bi

,

x

/

)ex

(x,

)

21

0

F)1

sin

1

cos

12sin

11

cos(0e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1

(

)1

(

x,

)

cos(

x

)m與時間無關(guān)Q0

cV

(t0

t

)Q0cV

(t0

t

)

0

--時刻z的平均過余溫度Q0

--非穩(wěn)態(tài)導熱所能傳遞的最大熱量若令Q為

[

0,

]

內(nèi)所傳遞熱量Q

cV

[t0

t(x,

)]dV

1

e121

0sin1(

F

)2

sin

11

sin

1

cos

10vdv

1v

熱量的傳遞對無限大平板

，長圓柱體及球：可用一通式表達0

1

0

i21

0

10

Aexp(

2

F

)B

Aexp(

F

)

f

(

y

)0

及此處無限大平板y

x

Bi

h

F0

az

2長圓柱體及球y

x

RBi

hR

F0

az

R21此處的A，B及函數(shù)

f(

y

)3

正規(guī)熱狀況的實用計算方法－擬合公式法擬合i21BB

a

cBi1

bBiJ0

(

x

)

a`b`

x

c`

x

d`x2

3A

a

b(

1

ecB

i

)對上(述a

公

式b

中)的1

A，B，μ1，J0

可用下式021

01

2sin

1f

(Fo,

Bi,

)x

xecos(

)

1

sin

1

cos

1

(x,

)

F3

正規(guī)熱狀況的實用計算方法－線算圖法諾謨圖以無限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時，取其級數(shù)首項即可三個變量，因此，需要分開來畫(1)先畫

f

(Fo,

Bi)m0(2)再根據(jù)公式繪制其線算圖1

xm

(x,

)

cos(

x

)

f

(Bi,

)

(

)

(3)于是，平板中任一點的溫度為

m0

m

0同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以繪制出。解的應(yīng)用范圍諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過程，并且F0>0.222123-4二維及三維問題的求解一無限長方柱體(其2截1

面2為2的長方形)t

f0t0

t

f

t(x,

y,

)

t

f

y2

)

2

2

a(

x2

0

1x(x,

y,

)h(1,

y,

)

x

1(x,

y,

)yh(x,2

,

)

y

2x0

0(,x,)y

xx

0y0

0(,x,)y

yy

0

02x0

2x2

0

x

(x,0)

1x

0

(x,

)xx

(x,

)

h(

,

)x

a

x利用以下兩組方程便可證明即證明了

是無限長方柱體導熱微分方程的解，這樣便可用一維無限大平壁公式、諾謨圖或擬合函數(shù)求解二維導熱問題(x,

)

(

y,

)其中

x

其中及t0

t

ft(x,

)

t

f(x,

y,

)

(x,

)

(

y,

)

2

y

a

y222yy

(

y,

)

h(

,

)y(

y,

)y0

0

0

y

(

y,0)

1y

0t0

t

ffyt(

y,

)

t

(

x,

)0

(

v,

)

0R2l2

22

12

3(x,

y,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2(x,

y,

z,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2

(z,

)P3(x,

y,

)

(x,

)P

(

y,

)c限制條件：一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類兩側(cè)均為一類初始溫度分布必須為常數(shù)3-5

周期性變化邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導熱建筑物的外墻（圍護結(jié)構(gòu)），土壤都處于環(huán)境空氣和 輻射的周期 變熱作用下；內(nèi)燃機氣缸中燃氣對缸壁的加熱；回熱式（蓄熱式）換熱器中冷、熱流體交替流過同一個換熱表面.?周期性溫度波動常?？梢杂煤喼C波描述半無限大物體內(nèi)的溫度響應(yīng)若均質(zhì)半無限大物體表面溫度呈周期性變化物體內(nèi)溫度場的基本方程不變.求解結(jié)果：

T

t

t

A

cos

2

ff,mf

(x

0,

)

t

(x

0,

)

tf,m

Aw

cos

周期性導熱問題的兩個重要特征1.物體內(nèi)溫度波的波幅沿x

方向呈遞減規(guī)律變化；（上式余弦函數(shù)前的部分）反映了材料在熱量傳導過程中對溫度波的衰減作用.以及材料的熱衰減的速率與波動頻率擴散率a

有直接關(guān)系.x

(

x,

)

Aw

exp

2a2ax

cos

達到一定深度以后溫度波動的振幅將幾乎衰減到零.「有限厚」與「半無限大」?物體內(nèi)x

處的溫度波比表面溫度波在時間上滯后?

x

2.

溫度波相位滯后T4a2a

(x,

)

Ax

cos

x

Ax

cos

T

(4a

)

x解釋：夏季晴熱天氣時室內(nèi)達到最高溫度的時間要比室外最高溫度 晚幾個小時；.假如恰好滯后一個周期，如何？相應(yīng)的

x

恰好就是一個波2

長aT

=當表面溫度波推進一個波長時，振幅就已經(jīng)衰減到表面溫度波振幅的exp(2)，即不到0.2％。給定第三類邊界條件，即物體表面外介質(zhì)的溫度呈周期性規(guī)律變化，物體內(nèi)的溫度響應(yīng)是：?是物體表面溫度波振幅與流體溫度波振幅之比，

則是物體表面溫度波相對于流體介質(zhì)溫度波滯后的相位角.

x

x

cos

2a2a

(

x,

)

Af

exp

周期性導熱的熱量傳遞根據(jù)傅里葉定律從溫度響應(yīng)求相應(yīng)熱流：熱流密度：

x

exp

q(

x,

)

Aw42x

cos

aTaTaT

w

wcos

2

半無限大aT物體

的表4

面q

(

)

A3-5半無限大的物體半無限大物體的概念解為t

twt

t0x2

ax

0

0t

2tx4a

)4

axdy

erf

(

202e

y引入過余溫度問題的誤差函數(shù)

無量綱變