散熱設(shè)計(jì)-傳熱學(xué)-第三章

第三章

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義.t

f

(r,

)2

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類(lèi)周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(定義及特點(diǎn))瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(定義及特點(diǎn))t1t0

1

0

3

243溫度分布4兩個(gè)不同的階段非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段)正規(guī)狀況階段(正常情況階段)溫度分布主要取決于邊界條件及物性溫度分布主要受初始溫度分布控制導(dǎo)熱過(guò)程的三個(gè)階段非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)5熱量變化Φ1－－板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量6研究非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律t

f

(x,

y,

z,

)

;

Φ

f(

)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法

x

x

y

y

z

zc

t

(

t

)

(

t

)

(

t

)

分析解法：

分離變量法、積分變換、拉

斯變換近似分析法：

集

數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬7畢渥數(shù)本章以第三類(lèi)邊界條件為重點(diǎn)。(1)問(wèn)題的分析，存在兩個(gè)換熱環(huán)節(jié)：a流體與物體表面的對(duì)流換熱環(huán)節(jié)tfhtfhxt0tfhxt0rh

1

hb

物體

的導(dǎo)熱r

(2)畢渥數(shù)的定義：Bi

r

hrh

1

h

Bi

r

hrh

1

h

無(wú)量綱數(shù)當(dāng)Bi

時(shí)，

r

rh

，因此，可以忽略對(duì)流換熱熱阻當(dāng)Bi

0時(shí)，

r

rh

，因此，可以忽略導(dǎo)熱熱阻0

Bi

？？(3)Bi數(shù)對(duì)溫度分布的影響B(tài)i

準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響

t

Bi

Bi

0

0

Bi

1

2

23

2

1

1

0

0

0

0t

t0

1

0

2

t

t0t

t0Bi

準(zhǔn)則對(duì)無(wú)限大平壁溫度分布的影響(4)無(wú)量綱數(shù)的簡(jiǎn)要介紹基本思想：當(dāng)所研究的問(wèn)題非常復(fù)雜，涉及到的參數(shù)很多，為了減少問(wèn)題所涉及的參數(shù)，于是人們將這樣一些參數(shù)組合起來(lái)，使之能表征一類(lèi)物理現(xiàn)象，或物理過(guò)程的主要特征，并且沒(méi)有量綱。因此，這樣的無(wú)量綱數(shù)又被稱(chēng)為特征數(shù)，或者準(zhǔn)則數(shù)，比如，畢渥數(shù)又稱(chēng)畢渥準(zhǔn)則。以后會(huì)陸續(xù)遇到許多類(lèi)似的準(zhǔn)則數(shù)。特征數(shù)涉及到的幾何尺度稱(chēng)為特征長(zhǎng)度，一般用符號(hào)l表示。對(duì)于一個(gè)特征數(shù)，應(yīng)該掌握其定義式＋物理意義，以及定義式中各個(gè)參數(shù)的意義。3-2

集

數(shù)法的簡(jiǎn)化分析定義：忽略物體

導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，Bi

，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即t

f

(

)，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱(chēng)為零維問(wèn)題。溫度分布，任意形狀的物體，參數(shù)均為已知。

0，t

t0將其突然置于溫度恒為t

的流體中。當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知dhA(t

t

)

-Vc

dtd

hA

d

Vc方程式改寫(xiě)為：

t

t，則有dhA

-Vc

d

(

0)

t0

t

0初始條件控制方程

0dhAVc0

dhAVcln

0hAVcd

積分d

Vc

hA

e

t

t

t0

t0過(guò)余溫度比其中的指數(shù)：vv

Bi

Fo

(V

A)2

h(V A)

ahV

A2

hAcV

A

V

2

c(V

A)2

a

FoBivv

h(V

A)Fov是傅立葉數(shù)

eBiv

Fov

hA

Vc

e0物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：m2

m3

K

Ww

1J

shAVc

m2K

kg

Jkg

[m3

]

36.8%

e10hA1

Vc即與

的量綱相同，當(dāng)

時(shí)，則Vc

hA

1此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于

時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。hAVchA稱(chēng)

Vc為時(shí)間常數(shù)，用

表示。ce

1

36.8%00c

應(yīng)用集Biv

Fov數(shù)法時(shí)，物體過(guò)余溫度的變化曲線(xiàn)如果導(dǎo)熱體的熱容量（

Vc

）小、換熱條件好（h大），那么單位

時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc

/hA)小。對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說(shuō)明熱電偶對(duì)流體溫度變化的響應(yīng)越快。(如微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻）

1.83%0hA

當(dāng)

4

Vc

時(shí)，工程上認(rèn)為=4

Vc

/hA時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同W

hA0e3瞬態(tài)熱流量：Φ(

)

hA(t(

)

t

)

hAhA

Vc)

J00Vc導(dǎo)熱體在時(shí)間

0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：

hA

(1

e

)d

VcQ

Φ(4

Biv

Fov

物理意義

1

hBi

hl

l

物體

導(dǎo)熱熱阻物體表面對(duì)流換熱熱阻＝無(wú)量綱熱阻無(wú)量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地

到物體

，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周?chē)橘|(zhì)的溫度。l

2Fo

a

邊界熱擾動(dòng)擴(kuò)散到l

2面積上所需的時(shí)間換熱時(shí)間5集

數(shù)法的應(yīng)用條件采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%ivB

h(V

A)

0.1M對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板M

1V

A

A

ABiv

Bi對(duì)半徑為R的M

12V

R2

RA

2R

2B

Bi

iv

2無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球M

134

R3V

3

RA

4R

2

3B

Biiv

3是與物體幾何形狀有關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)3-3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解1.無(wú)限大的平板的分析解λ=const

a=const因兩邊對(duì)稱(chēng)，只研究半塊平壁h=const此半塊平板的數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程初始條件邊界條件(

0

x

,

0

)

x2t

a

t2t

t0

0x

0t

0x)

x

x

t

h(

t

t(對(duì)稱(chēng)性)引入變量－－過(guò)余溫度令(x,

)

t(x,

)

t上式化為：

h

x

00

x

,

0

0x

0

0xxx2a

2用分離變量法可得其分析解為：此處Bn為離散面(特征值)n

n若令?n

nn0

nsin(

)

cos(

)

e

2a

n1

(x,

)

2sin(

n

)

cos(n

x)en

nn0)n

2xn

2

sin

(

x,

)

2

an1

sin

cos

n

cos(μn為下面h?為畢渥準(zhǔn)則數(shù)，用符號(hào)Bi

表示n方程n

的h根

ctg

en2sin(

n

)

cos(n

x)n

2a

sin(

)

cos(

)n1

n

n

(x,

)

0en

n

n2sin(

n

)

cos(

n

x)n

(x,

)20

2a(

)

sin(

)

cos(

)n1因此

(

x,

)0是F0,Bi

和x

函數(shù)，即0

i0

(

x,

)

f

(

F

,B

,

x

)區(qū)別n注意：特征值

特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）2.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況對(duì)無(wú)限大平板當(dāng)

F0

0.2

取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，板中心溫度，誤差小于1%20F

a

ex

(x,

)

2sin

121

0

F)0

1

sin

1

cos

11

cos(e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1Fo數(shù)對(duì)溫度分布的影響對(duì)于Fo>0.2，僅取無(wú)窮級(jí)數(shù)第一項(xiàng)即可.取對(duì)數(shù)上式右側(cè)末項(xiàng)為常數(shù)，與非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的時(shí)間進(jìn)程無(wú)關(guān).于是x

1cos

4

sin

121

sin21

2a

ln

021ln

x,

m

=

12a

/2稱(chēng)冷卻率或加熱率?m

值對(duì)平壁的任何地點(diǎn)都相同平壁過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)是時(shí)間的線(xiàn)性函數(shù).ln

m

f

(

0

,

Bi

,

x

/

)ex

(x,

)

21

0

F)1

sin

1

cos

12sin

11

cos(0e

(0,

)

m

(

)

0

021

0

F2sin

11

sin

1

cos

1

(

)1

(

x,

)

cos(

x

)m與時(shí)間無(wú)關(guān)Q0

cV

(t0

t

)Q0cV

(t0

t

)

0

--時(shí)刻z的平均過(guò)余溫度Q0

--非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所能傳遞的最大熱量若令Q為

[

0,

]

內(nèi)所傳遞熱量Q

cV

[t0

t(x,

)]dV

1

e121

0sin1(

F

)2

sin

11

sin

1

cos

10vdv

1v

熱量的傳遞對(duì)無(wú)限大平板

，長(zhǎng)圓柱體及球：可用一通式表達(dá)0

1

0

i21

0

10

Aexp(

2

F

)B

Aexp(

F

)

f

(

y

)0

及此處無(wú)限大平板y

x

Bi

h

F0

az

2長(zhǎng)圓柱體及球y

x

RBi

hR

F0

az

R21此處的A，B及函數(shù)

f(

y

)3

正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－擬合公式法擬合i21BB

a

cBi1

bBiJ0

(

x

)

a`b`

x

c`

x

d`x2

3A

a

b(

1

ecB

i

)對(duì)上(述a

公

式b

中)的1

A，B，μ1，J0

可用下式021

01

2sin

1f

(Fo,

Bi,

)x

xecos(

)

1

sin

1

cos

1

(x,

)

F3

正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－線(xiàn)算圖法諾謨圖以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可三個(gè)變量，因此，需要分開(kāi)來(lái)畫(huà)(1)先畫(huà)

f

(Fo,

Bi)m0(2)再根據(jù)公式繪制其線(xiàn)算圖1

xm

(x,

)

cos(

x

)

f

(Bi,

)

(

)

(3)于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為

m0

m

0同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過(guò)程所交換的熱量也可以繪制出。解的應(yīng)用范圍諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類(lèi)邊界條件或第一類(lèi)邊界條件的加熱及冷卻過(guò)程，并且F0>0.222123-4二維及三維問(wèn)題的求解一無(wú)限長(zhǎng)方柱體(其2截1

面2為2的長(zhǎng)方形)t

f0t0

t

f

t(x,

y,

)

t

f

y2

)

2

2

a(

x2

0

1x(x,

y,

)h(1,

y,

)

x

1(x,

y,

)yh(x,2

,

)

y

2x0

0(,x,)y

xx

0y0

0(,x,)y

yy

0

02x0

2x2

0

x

(x,0)

1x

0

(x,

)xx

(x,

)

h(

,

)x

a

x利用以下兩組方程便可證明即證明了

是無(wú)限長(zhǎng)方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，這樣便可用一維無(wú)限大平壁公式、諾謨圖或擬合函數(shù)求解二維導(dǎo)熱問(wèn)題(x,

)

(

y,

)其中

x

其中及t0

t

ft(x,

)

t

f(x,

y,

)

(x,

)

(

y,

)

2

y

a

y222yy

(

y,

)

h(

,

)y(

y,

)y0

0

0

y

(

y,0)

1y

0t0

t

ffyt(

y,

)

t

(

x,

)0

(

v,

)

0R2l2

22

12

3(x,

y,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2(x,

y,

z,

)

(x,

)P1(

y,

)P

2

(z,

)P3(x,

y,

)

(x,

)P

(

y,

)c限制條件：一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類(lèi)兩側(cè)均為一類(lèi)初始溫度分布必須為常數(shù)3-5

周期性變化邊界條件下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱建筑物的外墻（圍護(hù)結(jié)構(gòu)），土壤都處于環(huán)境空氣和 輻射的周期 變熱作用下；內(nèi)燃機(jī)氣缸中燃?xì)鈱?duì)缸壁的加熱；回?zé)崾剑ㄐ顭崾剑Q熱器中冷、熱流體交替流過(guò)同一個(gè)換熱表面.?周期性溫度波動(dòng)常?？梢杂煤?jiǎn)諧波描述半無(wú)限大物體內(nèi)的溫度響應(yīng)若均質(zhì)半無(wú)限大物體表面溫度呈周期性變化物體內(nèi)溫度場(chǎng)的基本方程不變.求解結(jié)果：

T

t

t

A

cos

2

ff,mf

(x

0,

)

t

(x

0,

)

tf,m

Aw

cos

周期性導(dǎo)熱問(wèn)題的兩個(gè)重要特征1.物體內(nèi)溫度波的波幅沿x

方向呈遞減規(guī)律變化；（上式余弦函數(shù)前的部分）反映了材料在熱量傳導(dǎo)過(guò)程中對(duì)溫度波的衰減作用.以及材料的熱衰減的速率與波動(dòng)頻率擴(kuò)散率a

有直接關(guān)系.x

(

x,

)

Aw

exp

2a2ax

cos

達(dá)到一定深度以后溫度波動(dòng)的振幅將幾乎衰減到零.「有限厚」與「半無(wú)限大」?物體內(nèi)x

處的溫度波比表面溫度波在時(shí)間上滯后?

x

2.

溫度波相位滯后T4a2a

(x,

)

Ax

cos

x

Ax

cos

T

(4a

)

x解釋?zhuān)合募厩鐭崽鞖鈺r(shí)室內(nèi)達(dá)到最高溫度的時(shí)間要比室外最高溫度 晚幾個(gè)小時(shí)；.假如恰好滯后一個(gè)周期，如何？相應(yīng)的

x

恰好就是一個(gè)波2

長(zhǎng)aT

=當(dāng)表面溫度波推進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)時(shí)，振幅就已經(jīng)衰減到表面溫度波振幅的exp(2)，即不到0.2％。給定第三類(lèi)邊界條件，即物體表面外介質(zhì)的溫度呈周期性規(guī)律變化，物體內(nèi)的溫度響應(yīng)是：?是物體表面溫度波振幅與流體溫度波振幅之比，

則是物體表面溫度波相對(duì)于流體介質(zhì)溫度波滯后的相位角.

x

x

cos

2a2a

(

x,

)

Af

exp

周期性導(dǎo)熱的熱量傳遞根據(jù)傅里葉定律從溫度響應(yīng)求相應(yīng)熱流：熱流密度：

x

exp

q(

x,

)

Aw42x

cos

aTaTaT

w

wcos

2

半無(wú)限大aT物體

的表4

面q

(

)

A3-5半無(wú)限大的物體半無(wú)限大物體的概念解為t

twt

t0x2

ax

0

0t

2tx4a

)4

axdy

erf

(

202e

y引入過(guò)余溫度問(wèn)題的誤差函數(shù)

無(wú)量綱變