自動(dòng)控制原理(胡壽松)-第五章課件

第五章

線性系統(tǒng)的頻率特性*1第五章

線性系統(tǒng)的頻率特性*1控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的性能，對(duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。*2控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。*3在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。②時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

頻率特性分析法的特點(diǎn)*4頻率特性分析法，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。*5③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。下面用用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明頻率響應(yīng)的概念：*65.1.1頻率響應(yīng)*6示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為

RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s。

*7示例：RCRC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即ui(t)=UisintUi與分別為輸入信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：

Uo(s)=對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：*8在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即U輸出與輸入相位差為：

=-arctanTω輸入信號(hào)為ui(t)=Uisint二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：*9輸出與輸入相位差為：輸入信號(hào)為二者均僅與輸5.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率特性的定義一個(gè)線性定常系統(tǒng)，在它的輸入加一個(gè)振幅為Ar，角頻率為ω和初相為φ1的正弦信號(hào)，那么經(jīng)過一段過渡過程而達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的輸出端也將輸出一同頻率的正弦信號(hào)，只是輸出信號(hào)的振幅Ac和初相φ2有所變化。

*105.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率特性的定義5.1頻率特性的基本概念G(jω)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它表示了系統(tǒng)在正弦作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅，相位隨頻率變化的關(guān)系。稱為系統(tǒng)的幅頻特性φ(ω)=∠G(jω)稱為系統(tǒng)的相頻特性表示輸出正弦量的相量表示輸入正弦量的相量頻率特性的復(fù)數(shù)形式：*115.1頻率特性的基本概念G(jω)稱為系統(tǒng)5.1頻率特性的基本概念5.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性和傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。

如果已知系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，只要用jω置換其中的s，就可以得到該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性；反過來看，如果能用實(shí)驗(yàn)方法獲得系統(tǒng)（或元部件）的頻率特性，則可由頻率特性確定出系統(tǒng)（或元部件）的傳遞函數(shù)。

*125.1頻率特性的基本概念5.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)5.1頻率特性的基本概念5.1.3頻率特性的圖示方法Nyquist圖也稱幅相頻率特性曲線，就是當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，向量G(jω)的矢端軌跡。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-260φ(ω)=-arctanωT(度)00.200.240.320.450.710.891∞0ωjNyquist圖注意:相角φ(ω)的大小與正負(fù)，要從正實(shí)軸開始按送逆時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)進(jìn)行計(jì)算。*135.1頻率特性的基本概念5.1.3頻率特性的圖示方法5.1頻率特性的基本概念Bode圖也稱對(duì)數(shù)頻率特性，就是將A(ω)和φ(ω)分別表示在兩個(gè)圖上，橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度。L(ω)Bode圖對(duì)數(shù)相頻特性：縱軸均勻刻度，標(biāo)以φ(ω)值(單位為度)；橫軸刻度及標(biāo)值方法與幅頻特性相同。對(duì)數(shù)頻率特性定義為：L(ω)=20lgA(ω)dB

L(ω)的圖形就是Bode圖*145.1頻率特性的基本概念Bode圖也稱對(duì)數(shù)頻率特性，就是5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=K頻率特性：G(jω)=K

幅頻特性：A(ω)=K相頻特性：φ(ω)=0對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=20lgK

φ(ω)=0*155.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=1/s頻率特性：G(jω)=幅頻特性：A(ω)=相頻特性：φ(ω)=-90°對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=-20lgω

φ(ω)=-90°*165.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.3慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*175.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.3慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.4微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*185.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.4微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.5振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*195.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.5振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.6延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=e-τs

頻率特性：G(jω)=1∠-ωτ

幅頻特性：A(ω)=1相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*205.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.6延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：1.低頻段在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為T0,從而有故在頻率很低時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。*211.低頻段故在頻率很低時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性可以近2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為L(zhǎng)()為因變量，lg為自變量，因此對(duì)數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T

=1/T，T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。*222.高頻段L()為因變量，lg為自變量，5．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.

低頻段

在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,為低頻漸近線。2.高頻段在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線,斜率為20dB/dec,當(dāng)頻率變化10倍頻時(shí),L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。*235．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.低頻段*23

可知,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號(hào)相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對(duì)應(yīng)的精確值是L（T）=0+3=3dB。*24可知,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

1.低頻段T<<1(或<<1/T)時(shí)，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。0≤≤1*256．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對(duì)數(shù)幅頻特性1.低頻段0≤≤12.高頻段T>>1(或>>1/T)時(shí),并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。*262.高頻段T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)*27*27（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；ω=1/T時(shí)，()=-90°；ω→∞時(shí)，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對(duì)稱。振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大。*28（2）相頻特性可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制步驟1、分別求出w=0、∞時(shí)的G(jw)2、畫出幅相曲線中間幾點(diǎn)3、確定w=0→

∞時(shí)G(jw)的變化范圍*29系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制步驟1、分別求出w=0、∞時(shí)的G(j*30*30*31*31*32*32*33*33*34*34*35*35*36*36*37*37*38*385.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)對(duì)應(yīng)的頻率特性為：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)概略繪制幅頻率特性曲線的方法是：（1）確定幅相頻率的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是：起始點(diǎn)：（2）確定曲線實(shí)軸的交點(diǎn)，即令I(lǐng)m[G(jω)]=0，得交點(diǎn)頻率ωx,再代入G(jω)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)Re[G(jωx)]。（3）確定曲線的變化趨勢(shì)，即φ(ω)的變化范圍。終止點(diǎn)：*395.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф（jω）與開環(huán)頻率特性Gk（jω），分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制*40系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性系統(tǒng)的頻率特性為：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)則系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性為：L(ω)=20lgA1(ω)+20lgA2(ω)+…+20lgAn(ω)φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+…+φn(ω)因此，畫出G(jω)所含典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線，對(duì)它們分別進(jìn)行代數(shù)相加，就可以得到開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。直接繪制開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的例子*415.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時(shí)，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點(diǎn)或疊加求取。*421.基本規(guī)律順序斜率疊加法*42（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定Gk（jω）的低頻段表達(dá)式為()=-v90°*43（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定Gk（jω）的低頻段表對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)。低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時(shí)，低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）上在=1時(shí),有L(1)=20lgK。*44對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v

及開環(huán)傳遞系K有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率＋20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－40dB/dec*45（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時(shí),由于n＞m，所以高頻段的近似表達(dá)式為()=-（n-m）·90°*46（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時(shí),由于對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。說明高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。()=-（n-m）·90°*47對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（2．繪制步驟利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。2．選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec的斜線。4.由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。*482．繪制步驟*485．如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。

系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時(shí)的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。*495．如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性6．在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時(shí)有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線。*506．在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特繪制Bode圖確定典型環(huán)節(jié)及其轉(zhuǎn)折頻率5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性直接繪制開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的例子已知開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性寫出系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)開環(huán)傳遞函數(shù)123比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)*51繪制Bode圖確定典型環(huán)節(jié)及其轉(zhuǎn)折頻率5.3系統(tǒng)的開5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.3最小相位和非最小相位系統(tǒng)在s右半平面上既無極點(diǎn)，又無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)，否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性就可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù)。因此，從系統(tǒng)建模與分析設(shè)計(jì)的角度看，只要繪出系統(tǒng)的幅頻特性，就可以確定出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（傳遞函數(shù)）。典型環(huán)節(jié)的確定(Ti=)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻曲線斜率變化了[-20]，則存在慣性環(huán)節(jié)ωi為轉(zhuǎn)折處的頻率(τi=)ωi為轉(zhuǎn)折處的頻率系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻曲線斜率變化了[20]，則存在微分環(huán)節(jié)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻曲線斜率變化了[-40]，則存在振蕩環(huán)節(jié)ωn為轉(zhuǎn)折處的頻率*525.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.3最小相位和非最小相5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性由對(duì)數(shù)頻率特性確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅頻曲線的低頻部分開環(huán)放大倍數(shù)K的確定0型系統(tǒng)，不含積分環(huán)節(jié)1型系統(tǒng)，含一個(gè)積分環(huán)節(jié)2型系統(tǒng)，含二個(gè)積分環(huán)節(jié)0型系統(tǒng)(0分貝線高度＝20lgK)1型系統(tǒng)(K＝ωK

)2型系統(tǒng)(K＝ωK

2)*535.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性由對(duì)數(shù)頻率特性確定最小相位系統(tǒng)的5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)*545.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)*54

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部，即位于s左半平面。在時(shí)域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（代數(shù)判據(jù)）。然而，這兩種方法都有不足之處，對(duì)于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時(shí),也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對(duì)穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對(duì)于一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時(shí)它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

*55系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

*56除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)5.4頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1奈奎斯特（Nyguist）穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)頻率ω從0→∞，系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線逆時(shí)針繞(-1，j0)點(diǎn)的角度為pπ。其中p為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)位于s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。也可以敘述為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)ω由0→∞時(shí)，開環(huán)幅相頻率特性在點(diǎn)(-1，j0)左側(cè)負(fù)實(shí)軸上正、負(fù)穿越的次數(shù)之差為p/2，p為開環(huán)傳遞函數(shù)正實(shí)部極點(diǎn)個(gè)數(shù)。值得說明的是，當(dāng)開環(huán)幅相頻率特性起始于負(fù)實(shí)軸上或終止于負(fù)定軸上時(shí)，穿越次數(shù)定義為1/2次。若開環(huán)幅相頻率特性在點(diǎn)（－1，j0）左側(cè)負(fù)實(shí)軸上負(fù)穿越的次數(shù)大于正穿越的次數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。*575.4頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1奈奎斯特（5.4頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性這些開環(huán)幅相特性曲線的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？*585.4頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性這些開環(huán)幅相特性曲線的閉5.4.3簡(jiǎn)化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1.繪制由0變到+時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)

由0變到+時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N，已知系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為Z

（不包括虛軸上的極點(diǎn)）：

Z=P-2N’

當(dāng)Nyquist曲線G(jω)通過(-l,j0)點(diǎn)時(shí),表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。*595.4.3簡(jiǎn)化奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1.繪制由0變到+開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿越（-∞，-1）區(qū)間時(shí)，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。反之，開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針穿越（-∞，-1）區(qū)間時(shí)，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負(fù)穿越N’-。頻率特性曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的情況，就可以利用頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸（-∞，-1）區(qū)間的正、負(fù)穿越來表達(dá)。2.采用穿越的概念簡(jiǎn)化復(fù)雜曲線包圍次數(shù)的計(jì)算由0變到+時(shí)開環(huán)頻率特性曲線要形成對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的一次包圍，勢(shì)必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。*60開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿越（-∞，-1）區(qū)間時(shí)，

由0變到+時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的總包圍次數(shù)為N=（N’+-

N’-）利用正、負(fù)穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)敘述為：Z=P-2（N’+-

N’-）注意奈氏曲線在(-1,j0)點(diǎn)以右負(fù)實(shí)軸上相位有變化不算穿越。*61由0變到+時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性G(j)對(duì)(3.半次穿越

奈氏曲線始于或至于(-1,j0)點(diǎn)以左負(fù)實(shí)軸，稱為一個(gè)半次穿越，如圖所示。[例5.9]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于曲線始于（-3，j0）點(diǎn)，故順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)為1/2，N’-=1/2。由于開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P=0，故Z=P-2（0-N’-）=P-2N’-=1閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。*623.半次穿越由于曲線始于（-3，j0）點(diǎn)，故順時(shí)針包圍（-15.4.2奈奎斯特對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

當(dāng)ω由0→∞變化時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻率特性曲線L(ω)≥0dB的頻段內(nèi)，相頻特性曲線φ(ω)對(duì)-180°線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為p/2（p為s平面右半部分開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性奈奎斯特對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)*635.4.2奈奎斯特對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)當(dāng)ω由5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性*645.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性*64當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但實(shí)際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，采用了線性化等近似處理方法；或系統(tǒng)參數(shù)測(cè)量不準(zhǔn)確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。因此要求系統(tǒng)保有一定的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度），這樣才可以保證不致于分析設(shè)計(jì)過程中的簡(jiǎn)化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導(dǎo)致系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

系統(tǒng)穩(wěn)定裕度用于表征系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定程度，經(jīng)常作為控制系統(tǒng)的頻率域性能指標(biāo)。*65當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，雖然從理論可知：K值較小時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取兩者間的某個(gè)值時(shí)，Nyquist曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Nyquist曲線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)離(-1,j0)點(diǎn)的距離，可作為表征系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的一個(gè)指標(biāo)。通常用相角裕量γ和幅值裕量hg表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕度。

*66可知：K值較小時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；K值較大時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定的；K取兩相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在=c處，系統(tǒng)的相角如果再減小角度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；減小的角度大于后，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。為了使最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的,必須為正值。穩(wěn)定系統(tǒng)γ

>0,γ越大,系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越高。

相位裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。*67相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小5.5.3幅值裕量

Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)稱為幅值裕量，記為hg。*685.5.3幅值裕量Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)在相角穿越頻率g處幅值增大hg倍（或?qū)?shù)幅值上升Lh分貝），則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定系統(tǒng)hg>1,Lh(dB)>0,hg越大，相對(duì)穩(wěn)定性越高。對(duì)非最小相位系統(tǒng)，只有γ>0且hg>1時(shí)，才能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)最小相位系統(tǒng)，有時(shí)僅需兩者之一即可，一般取γ。以分貝數(shù)表示時(shí)：

*69幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系Bode圖與Nyquist圖之間具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在Nyquist圖上的分析結(jié)論可以移植到Bode圖上加以應(yīng)用。

ωc為幅值穿越頻率(或幅值交接頻率),特性曲線與單位圓（0dB線）交接處的頻率；

ωg為相位穿越頻率(相位交接頻率),特性曲線與負(fù)實(shí)軸（-180o線）交接處的頻率。*70系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系由圖可見，對(duì)一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當(dāng)開環(huán)傳遞系數(shù)增加時(shí)，由于L(c)曲線上升，導(dǎo)致幅值穿越頻率c右移，從而使得相位裕度與幅值裕度都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。*71由圖可見，對(duì)一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)5.5.4系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量

僅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)γ、Lh均為正時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。為了確保系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)具有滿意的性能，γ、Lh都應(yīng)該有合適的取值。*725.5.4系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量*72從控制工程實(shí)踐得出，系統(tǒng)應(yīng)具有30~60的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即Kg>2）。對(duì)于最小相位系統(tǒng),開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性之間有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。要求相位裕量應(yīng)在30~60之間,意味著開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在穿越頻率c上的斜率必須小于-40dB/十倍頻,通常取-20dB/dec，且具有一定的寬度。適當(dāng)?shù)南辔辉Ａ亢头翟Ａ?可以防止系統(tǒng)中元件的參數(shù)和特性在工作過程中的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不良的影響，并可以提高系統(tǒng)抗高頻干擾的能力。*73從控制工程實(shí)踐得出，系統(tǒng)應(yīng)具有30~60根據(jù)穩(wěn)定裕量的概念，當(dāng)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定時(shí)，還可根據(jù)要求的穩(wěn)定裕量如γ的取值確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。

首先，根據(jù)開環(huán)傳遞系數(shù)的某個(gè)取值繪出開環(huán)伯德圖，（）曲線上相位大于-180o，并與-180o距離正好為γ所對(duì)應(yīng)的那一點(diǎn)的頻率就是所需的幅值穿越頻率c。

然后將L（）在坐標(biāo)系中上下平移，使之正好在此點(diǎn)穿越0分貝線，就確定了滿足要求的系統(tǒng)開環(huán)伯德圖，其相位裕量為要求的取值。最后，求出此刻L（）所對(duì)應(yīng)的開環(huán)傳遞系數(shù)。*74根據(jù)穩(wěn)定裕量的概念，當(dāng)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定時(shí)5.6閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性

*755.6閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性*75開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的方法。在進(jìn)一步的分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，也常要利用閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。由于閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)較難獲取，因此一般無法直接根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)繪制閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的求取有不同的方法，但一般是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性來求閉環(huán)頻率特性。

*76開環(huán)頻率特性來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)，是工程設(shè)計(jì)中常用的*77*77

幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量都是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)，頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的間接指標(biāo)。由于時(shí)域指標(biāo)（穩(wěn)態(tài)誤差ess、最大超調(diào)量σ%、調(diào)節(jié)時(shí)間ts等）反映系統(tǒng)性能更為直接、正確。因此需要探討開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系，以便于由開環(huán)頻域指標(biāo)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)來說，對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，能夠據(jù)此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。*78幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量本節(jié)介紹開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并研究頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系，以及根據(jù)頻域指標(biāo)估算系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)性能的方法。*79本節(jié)介紹開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()的形狀與系統(tǒng)性5.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能開環(huán)頻率特性頻段的劃分

低頻段開環(huán)頻率特性第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)前的部分中頻段開環(huán)頻率特性截止頻率ωc前后的區(qū)間高頻段開環(huán)頻率特性ω>10ωc后的區(qū)間點(diǎn)點(diǎn)看*805.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能開環(huán)頻率特性頻段的劃分5.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.5.1開環(huán)頻率特性低頻段與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系

開環(huán)放大倍數(shù)K的確定0型系統(tǒng)(0分貝線高度＝20lgK)n型系統(tǒng)(K＝ωKn

)[-20n]K和ess的關(guān)系*815.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.5.1開環(huán)頻率5.6.2開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L（)中頻段與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能關(guān)系

由開環(huán)頻率特性來研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能,一般是用對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個(gè)特征量，這兩個(gè)特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關(guān)。開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區(qū)段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過渡到約-15dB的范圍內(nèi)。下面以一例題來說明系統(tǒng)開環(huán)波德圖中頻段形狀與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系。*825.6.2開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L（)中頻段與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能關(guān)[例5.15]某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下（T1＞

T2），分析中頻段形狀與相位裕量間的關(guān)系。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)L()如圖所示，調(diào)節(jié)開環(huán)傳遞系數(shù)K的大小，使L()以不同的斜率穿越0分貝線。由圖可見，此系統(tǒng)不僅增加放大系數(shù)時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性,降低放大系數(shù)也將降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。*83[例5.15]某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下（T1＞T2當(dāng)1、2確定，c處于1、2之間的幾何中心點(diǎn)時(shí)，γ值有極大值。

L()在低頻段與高頻段的斜率為-40dB/dec，這兩段所對(duì)應(yīng)的()相位值較小，所以當(dāng)以斜率-20dB/dec穿越0分貝線時(shí)，所對(duì)應(yīng)的γ較大。同時(shí)希望γ受其他斜率段的影響較小，所以c應(yīng)該遠(yuǎn)離其他斜率段，即中頻段也應(yīng)該有一定的寬度，保證對(duì)應(yīng)的γ值(對(duì)其他系統(tǒng)同樣適用)。*84當(dāng)1、2確定，c處于1、25.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.5.2開環(huán)頻率特性中頻段與系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系

和σ%的關(guān)系越小，σ%越大；越大，σ%越小。為使二階系統(tǒng)不致于振蕩得太厲害以及調(diào)節(jié)時(shí)間過長(zhǎng)，一般希望30°≤≤70°

ωc

ts的關(guān)系如果兩個(gè)二階系統(tǒng)的相同，則它們的最大超調(diào)量也相同，ωc較大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts較短。

*855.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.5.2開環(huán)頻率對(duì)于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系。二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為1.

二階系統(tǒng)γ與系統(tǒng)平穩(wěn)性之間的關(guān)系根據(jù)給定的相角裕度γ可以查得反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的時(shí)域指標(biāo)最大超調(diào)量σ%

，反之亦然，二者之間為一一對(duì)應(yīng)的確定的關(guān)系。ζ增大，γ隨之增大，σ%減小。*86對(duì)于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)2.二階系統(tǒng)c、γ與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系當(dāng)要求系統(tǒng)具有相當(dāng)?shù)撵`敏度時(shí)，c應(yīng)該較大。從物理意義上解釋，c越大，說明系統(tǒng)能夠響應(yīng)的輸入信號(hào)的頻率越高，也就是跟蹤輸入信號(hào)的速度越快，系統(tǒng)的慣性較小，即快速性好。由以上分析可知，對(duì)二階系統(tǒng)，tsc與γ成反比；當(dāng)γ給定后，ts與c成反比；*872.二階系統(tǒng)c、γ與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系3高階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系

高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)（γ、c）與時(shí)域指標(biāo)（σ%，ts）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，通常采用經(jīng)驗(yàn)公式來近似。這樣在實(shí)際應(yīng)用中，仍然可以用開環(huán)頻域指標(biāo)去估算系統(tǒng)的時(shí)域性能。1)高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算：2)高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與相角裕度的關(guān)系通常用下述近似公式估算*883高階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系2)高階系統(tǒng)的調(diào)由以上對(duì)二階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)的分析可知，如果兩個(gè)同階的系統(tǒng)，其γ相同，那么它們的超調(diào)量大致是相同的，而幅值穿越頻率c越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts越短。繪制函數(shù)關(guān)系如圖所示，對(duì)于高階系統(tǒng)，一般γ上升，最大超調(diào)量σ%與調(diào)整時(shí)間ts都明顯下降，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能改善。*89由以上對(duì)二階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)的分析可知5.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.6.3開環(huán)頻率特性高頻段對(duì)系統(tǒng)性能的影響高頻段系統(tǒng)閉環(huán)幅頻近似等于開環(huán)幅頻。因此，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對(duì)輸入端高頻信號(hào)的抑制能力，高頻段分貝越低，系統(tǒng)抗干擾能力越強(qiáng)。（1）如果要求具有一階或二階無靜差特性，則開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段應(yīng)有[-20]或[-40]的斜率。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，低頻段應(yīng)有較高的增益。（2）開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性以[-20]斜率穿過0dB線，且具有一定的中頻寬度。這樣系統(tǒng)就有一定的穩(wěn)定裕度，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有一定的平穩(wěn)性。（3）具有盡可能大的0dB頻率ωc，以提高閉環(huán)系統(tǒng)的快速性。（4）為了提高系統(tǒng)抗高頻干撓的能力，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻率特性高頻段應(yīng)有較大的斜率。

在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：*905.5用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能5.6.3開環(huán)頻率5.6.3L()高頻段與系統(tǒng)抗干擾性能的關(guān)系從系統(tǒng)抗干擾能力角度來看，要求高頻段具有較大的斜率。以單位負(fù)反饋系統(tǒng)為例，有G（j）為開環(huán)頻率特性，Ф（j）為閉環(huán)頻率特性在高頻段一般有L()<<0，即|G（j）|<<1，故上式可近似為：*915.6.3L()高頻段與系統(tǒng)抗干擾性能的關(guān)系G（j說明在高頻段,閉環(huán)幅頻特性近似等于開環(huán)幅頻特性。L()高頻段斜率大，說明系統(tǒng)對(duì)高頻信號(hào)的衰減作用大，即系統(tǒng)抗高頻干擾的能力強(qiáng)。此結(jié)論對(duì)非單位負(fù)反饋系統(tǒng)同樣適用。

因此，一般希望系統(tǒng)L()在c稍高的角頻率上（在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下）迅速衰減，以提高系統(tǒng)的抗干擾能力。*92說明在高頻段,閉環(huán)幅頻特性近似等于開環(huán)幅頻特性小結(jié):一個(gè)設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng),要以動(dòng)態(tài)性能的要求來確定中頻段的形狀。為保證系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能，L()中頻段應(yīng)該滿足以下要求：1.系統(tǒng)開環(huán)波德圖的中頻段應(yīng)該以-20dB/dec穿越0分貝線，并有一定的寬度，以保證足夠的相位裕量，平穩(wěn)性好；2.中頻段的穿越頻率c的選擇,決定于系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)速度與抗干擾能力的要求，c較大可保證足夠的快速性。

*93小結(jié):*93結(jié)論(重要)一個(gè)合理的控制系統(tǒng)，其開環(huán)L()的形狀應(yīng)該滿足下列要求：1.L(ω)低頻漸近線反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，應(yīng)具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足穩(wěn)態(tài)性能的要求。2.L(ω)中頻段，反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，一般應(yīng)具有-20dB/dec的斜率，并有一定的中頻段寬度以保證足夠的穩(wěn)定裕量，系統(tǒng)具有較好的平穩(wěn)性；中頻段幅值穿越頻率ωc的大小反映系統(tǒng)的快速性，由系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的要求來確定。3.L(ω)高頻段反映系統(tǒng)的抗干擾性能，應(yīng)該有較大的斜率。從上述分析可知,一般實(shí)用的控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有低通濾波作用。低頻時(shí)有L()>>0dB；高頻時(shí)有L()<<0dB。*94結(jié)論(重要)*94小結(jié)

1頻率特性是線性定常系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對(duì)頻率的關(guān)系，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式。將系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)中的s換成純虛數(shù)，得系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性。2頻率特性分析法是一種圖解分析法，用這種方法研究分析控制系統(tǒng)時(shí)，可免除許多復(fù)雜而又困難的數(shù)學(xué)運(yùn)算。頻率特性法借助于頻率特性曲線就能獲得控制系統(tǒng)品質(zhì)指標(biāo)得有關(guān)信息。對(duì)于不易用解析方法求得頻率特性曲線的系統(tǒng)?？梢圆捎脤?shí)驗(yàn)方法測(cè)得其頻率特性，這是頻率法的突出優(yōu)點(diǎn)之一。*95小結(jié)1頻率特性是線性定常系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出3典型環(huán)節(jié)的頻率特性4Nyquist判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖解法.可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，也能計(jì)算系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定指標(biāo)和改善系統(tǒng)性能的方法。5開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖是控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的主要工具。開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線低頻段的斜率表征了系統(tǒng)的類型；低頻段的高度表征了開環(huán)放大系數(shù)的大小。因而，低頻段表征了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。中頻段的截止頻率ωc，中頻段的斜率則表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，高頻段表征系統(tǒng)抗干擾的能力的強(qiáng)弱。*963典型環(huán)節(jié)的頻率特性*96第五章

線性系統(tǒng)的頻率特性*97第五章

線性系統(tǒng)的頻率特性*1控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的性能，對(duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。*98控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細(xì)介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。*99在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。②時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。

頻率特性分析法的特點(diǎn)*100頻率特性分析法，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。*101③具有明確的物理意義，它可以通過實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。下面用用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明頻率響應(yīng)的概念：*1025.1.1頻率響應(yīng)*6示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為

RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s。

*103示例：RCRC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即ui(t)=UisintUi與分別為輸入信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：

Uo(s)=對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：*104在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即U輸出與輸入相位差為：

=-arctanTω輸入信號(hào)為ui(t)=Uisint二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：*105輸出與輸入相位差為：輸入信號(hào)為二者均僅與輸5.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率特性的定義一個(gè)線性定常系統(tǒng)，在它的輸入加一個(gè)振幅為Ar，角頻率為ω和初相為φ1的正弦信號(hào)，那么經(jīng)過一段過渡過程而達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的輸出端也將輸出一同頻率的正弦信號(hào)，只是輸出信號(hào)的振幅Ac和初相φ2有所變化。

*1065.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率特性的定義5.1頻率特性的基本概念G(jω)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它表示了系統(tǒng)在正弦作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅，相位隨頻率變化的關(guān)系。稱為系統(tǒng)的幅頻特性φ(ω)=∠G(jω)稱為系統(tǒng)的相頻特性表示輸出正弦量的相量表示輸入正弦量的相量頻率特性的復(fù)數(shù)形式：*1075.1頻率特性的基本概念G(jω)稱為系統(tǒng)5.1頻率特性的基本概念5.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性和傳遞函數(shù)之間的關(guān)系。

如果已知系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)，只要用jω置換其中的s，就可以得到該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性；反過來看，如果能用實(shí)驗(yàn)方法獲得系統(tǒng)（或元部件）的頻率特性，則可由頻率特性確定出系統(tǒng)（或元部件）的傳遞函數(shù)。

*1085.1頻率特性的基本概念5.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)5.1頻率特性的基本概念5.1.3頻率特性的圖示方法Nyquist圖也稱幅相頻率特性曲線，就是當(dāng)ω從0→∞變化時(shí)，向量G(jω)的矢端軌跡。-90-78.7-76-71.5-63.5-45-260φ(ω)=-arctanωT(度)00.200.240.320.450.710.891∞0ωjNyquist圖注意:相角φ(ω)的大小與正負(fù)，要從正實(shí)軸開始按送逆時(shí)針方向?yàn)檎槙r(shí)針方向?yàn)樨?fù)進(jìn)行計(jì)算。*1095.1頻率特性的基本概念5.1.3頻率特性的圖示方法5.1頻率特性的基本概念Bode圖也稱對(duì)數(shù)頻率特性，就是將A(ω)和φ(ω)分別表示在兩個(gè)圖上，橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度。L(ω)Bode圖對(duì)數(shù)相頻特性：縱軸均勻刻度，標(biāo)以φ(ω)值(單位為度)；橫軸刻度及標(biāo)值方法與幅頻特性相同。對(duì)數(shù)頻率特性定義為：L(ω)=20lgA(ω)dB

L(ω)的圖形就是Bode圖*1105.1頻率特性的基本概念Bode圖也稱對(duì)數(shù)頻率特性，就是5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=K頻率特性：G(jω)=K

幅頻特性：A(ω)=K相頻特性：φ(ω)=0對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=20lgK

φ(ω)=0*1115.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=1/s頻率特性：G(jω)=幅頻特性：A(ω)=相頻特性：φ(ω)=-90°對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

L(ω)=20lgA(ω)=-20lgω

φ(ω)=-90°*1125.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.2積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.3慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*1135.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.3慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.4微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*1145.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.4微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.5振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*1155.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.5振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.6延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：G(s)=e-τs

頻率特性：G(jω)=1∠-ωτ

幅頻特性：A(ω)=1相頻特性：對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性：

*1165.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.2.6延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：1.低頻段在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為T0,從而有故在頻率很低時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,這稱為低頻漸近線。*1171.低頻段故在頻率很低時(shí),對(duì)數(shù)幅頻特性可以近2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為L(zhǎng)()為因變量，lg為自變量，因此對(duì)數(shù)頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T

=1/T，T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。*1182.高頻段L()為因變量，lg為自變量，5．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.

低頻段

在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示,為低頻漸近線。2.高頻段在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線,斜率為20dB/dec,當(dāng)頻率變化10倍頻時(shí),L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。*1195．一階微分環(huán)節(jié)（Ts＋1）

1.低頻段*23

可知,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號(hào)相反。如轉(zhuǎn)折頻率處T對(duì)應(yīng)的精確值是L（T）=0+3=3dB。*120可知,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

1.低頻段T<<1(或<<1/T)時(shí)，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。0≤≤1*1216．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對(duì)數(shù)幅頻特性1.低頻段0≤≤12.高頻段T>>1(或>>1/T)時(shí),并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線,稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。*1222.高頻段T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)*123*27（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；ω=1/T時(shí)，()=-90°；ω→∞時(shí)，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對(duì)稱。振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大。*124（2）相頻特性可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制步驟1、分別求出w=0、∞時(shí)的G(jw)2、畫出幅相曲線中間幾點(diǎn)3、確定w=0→

∞時(shí)G(jw)的變化范圍*125系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制步驟1、分別求出w=0、∞時(shí)的G(j*126*30*127*31*128*32*129*33*130*34*131*35*132*36*133*37*134*385.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)對(duì)應(yīng)的頻率特性為：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)概略繪制幅頻率特性曲線的方法是：（1）確定幅相頻率的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)是：起始點(diǎn)：（2）確定曲線實(shí)軸的交點(diǎn)，即令I(lǐng)m[G(jω)]=0，得交點(diǎn)頻率ωx,再代入G(jω)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)Re[G(jωx)]。（3）確定曲線的變化趨勢(shì)，即φ(ω)的變化范圍。終止點(diǎn)：*1355.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф（jω）與開環(huán)頻率特性Gk（jω），分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф（s）與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk（s）。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制*136系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性系統(tǒng)的頻率特性為：G(jω)=G1(jω)G2(jω)……Gn(jω)=A1(ω)∠φ1(ω)A2(ω)∠φ2(ω)……An(ω)∠φn(ω)=A(ω)∠φ(ω)則系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性為：L(ω)=20lgA1(ω)+20lgA2(ω)+…+20lgAn(ω)φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+…+φn(ω)因此，畫出G(jω)所含典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線，對(duì)它們分別進(jìn)行代數(shù)相加，就可以得到開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。直接繪制開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的例子*1375.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.3.2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時(shí)，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點(diǎn)或疊加求取。*1381.基本規(guī)律順序斜率疊加法*42（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定Gk（jω）的低頻段表達(dá)式為()=-v90°*139（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定Gk（jω）的低頻段表對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)。低頻段為一條斜率為-20vdB/dec的斜線。同時(shí)，低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）上在=1時(shí),有L(1)=20lgK。*140對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v

及開環(huán)傳遞系K有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/處，斜率＋20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率－40dB/dec*141（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時(shí),由于n＞m，所以高頻段的近似表達(dá)式為()=-（n-m）·90°*142（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時(shí),由于對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。說明高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。()=-（n-m）·90°*143對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（2．繪制步驟利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。2．選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK的點(diǎn)，過該點(diǎn)作斜率為-20vdB/dec的斜線。4.由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率,斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。*1442．繪制步驟*485．如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。

系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()通過0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時(shí)的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。*1455．如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性6．在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時(shí)有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可