2022-2023學年北師大版必修第二冊 第1章 1　周期變化 課件（21張）

第一章三角函數(shù)§1周期變化自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、周期現(xiàn)象【問題思考】1.“鐘表上的時針每經過12小時運行一周,分針每經過1小時運行一周,秒針每經過1分鐘運行一周.”這樣的現(xiàn)象具有怎樣的特征?提示:周而復始,重復出現(xiàn).2.想一想:生活中存在的周期現(xiàn)象的例子有哪些?提示:如“24小時為1天”“7天為1星期”就是我們所熟悉的周期現(xiàn)象.自然界中有很多周期現(xiàn)象,如日出日落、月圓月缺、四季交替,等等.二、從數(shù)學的角度研究周期現(xiàn)象【問題思考】下面是小明畫出的四個函數(shù)的圖象,其中不具有周期性的是(

)解析:A,B,D都具有周期性,C不具有周期性,C中,x∈[-2,2]時的圖象在前后都沒有重復出現(xiàn).答案:C三、周期【問題思考】1.對于函數(shù)f(x),如果存在x0滿足f(x0+3)=f(x0),那么3是f(x)的周期嗎?提示:不一定.必須滿足當x取定義域內的每一個值時,都有x+3也在定義域內,且f(x+3)=f(x),才可以說3是f(x)的周期.2.所有的函數(shù)都具有周期性嗎?提示:不一定,只有同時符合周期函數(shù)定義中的兩個條件的函數(shù)才具有周期性.3.一般地,對于函數(shù)f(x),x∈D,如果存在一個

非零常數(shù)T,使得對任意的x∈D,都有

x+T∈D,且滿足

f(x+T)=f(x),那么函數(shù)y=f(x)稱作周期函數(shù),非零常數(shù)T稱作這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)y=f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就稱作函數(shù)y=f(x)的最小正周期.4.已知函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),10是它的一個周期,且f(2)=,則f(22)=

.

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究一

函數(shù)周期的判斷【例1】

已知函數(shù)y=f(x)滿足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函數(shù),判斷函數(shù)y=f(x)是不是周期函數(shù),若是周期函數(shù),則周期是多少?分析:根據(jù)偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義,得出函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),進而求周期.解:因為函數(shù)y=f(-x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x).由函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)知f(x+2)=f(-x+2)=f[-(x-2)]=f(x-2),令x-2=t,則f(t+4)=f(t),故f(x+4)=f(x),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),周期為4.反思感悟

判斷函數(shù)是不是周期函數(shù),常用周期的定義,此外記住以下兩個結論有助于周期性的判斷.已知f(x)的定義域為R.(1)若T(T≠0)是f(x)的周期,則-T也是f(x)的周期;(2)若T(T≠0)是f(x)的周期,則nT(n為任意非零整數(shù))也是f(x)的周期.探究二

周期的應用【例2】

已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)=f(x-3),當-2≤x<0時,f(x)=(x+1)2;當0≤x<1時,f(x)=-2x+1,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)+f(2022)=

.

解析:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)=f(x-3),所以函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù).又因為當-2≤x<0時,f(x)=(x+1)2,所以f(-2)=1,f(-1)=0.當0≤x<1時,f(x)=-2x+1,則f(0)=1.所以f(1)=f(-2)=1,f(2)=f(-1)=0,f(3)=f(0)=1,所以f(1)+f(2)+f(3)=1+0+1=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2

021)+f(2

022)=674×[f(1)+f(2)+f(3)]=674×2=1

348.答案:1348已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x)=f(3-x),則f(15)=

.

解析:∵f(x)=f(3-x),且f(x)為定義在R上的奇函數(shù),∴f(x)=-f(x-3),則f(x-6)=f[(x-3)-3]=-f(x-3)=f(x),即f(6+x)=f(x),∴f(x)是以6為周期的周期函數(shù).由題意,得f(3)=f(0)=0,∴f(15)=f(12+3)=f(3)=0.答案:0反思感悟

對于求值問題,當自變量絕對值較大時,一般要結合函數(shù)的周期性求解,解題的關鍵就是利用題中定義推導出函數(shù)的周期,根據(jù)已知和周期性求值.易

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辨

析對周期定義理解不透致誤【典例】

已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x+3)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的周期是

.

錯解:由題意,函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又由f(x+3)為偶函數(shù),得f(x+3)=f(-x+3),故函數(shù)f(x)的周期是6.答案:6以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:對周期的定義理解不透徹致誤.由f(x+3)=f(-x+3)不能判斷函數(shù)f(x)是周期函數(shù).正解:由題意,函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),且f(0)=0,又由f(x+3)為偶函數(shù),得f(x+3)=f(-x+3),用x