復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件

§2柯西積分定理1、柯西積分定理2、不定積分3、柯西積分定理的推廣4、柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形§2柯西積分定理1、柯西積分定理2、不定積分3、柯西積分定1.柯西積分定理觀察上節(jié)例4，同，或說(shuō)沿z平面上任何閉曲線的它沿連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的任何路徑C的積分值都相此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān)，觀察上節(jié)例2,積分為零.1.柯西積分定理觀察上節(jié)例4，同，或說(shuō)沿z平面上任何閉曲線(從而積分值不為零).觀察上節(jié)例5,滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,由于不因而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析,(從而積分值不為零).觀察上節(jié)例5,滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,

復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件可歸結(jié)為研究沿任一簡(jiǎn)單閉曲線積分為零的條件.1825年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西解決了這一問(wèn)題,人們稱(chēng)之為柯西積分定理，它是研究復(fù)變解析理論的基石.

由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件可歸結(jié)為研究沿任一簡(jiǎn)單定理3.3(柯西積分定理)

1851年，黎曼在給定理附加“在D內(nèi)連續(xù)”的條件下，得到如下的簡(jiǎn)單證明:黎曼證明：定理3.3(柯西積分定理)1851年，黎曼在給在公式在公式柯西積分定理也稱(chēng)柯西—古薩基本定理.(定理的古薩證明略).柯西積分定理也稱(chēng)柯西—古薩基本定理.(定理的古薩證明略).復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件2.不定積分2.不定積分定理3.6證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.定理3.6證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.由于積分與路線無(wú)關(guān),由于積分與路線無(wú)關(guān),復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件由積分的估值性質(zhì),由積分的估值性質(zhì),

此定理與數(shù)學(xué)分析中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似.[證畢]此定理與數(shù)學(xué)分析中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件定理3.8

由原函數(shù)的定義，可得到類(lèi)似于數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茲公式說(shuō)明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與數(shù)學(xué)分析中類(lèi)似的方法去計(jì)算.定理3.8由原函數(shù)的定義，可得到類(lèi)似于數(shù)學(xué)分析中的牛例1解(使用了分析學(xué)中的“湊微分”法)例1解(使用了分析學(xué)中的“湊微分”法)例2解此方法使用了微積分中“分部積分法”例2解此方法使用了微積分中“分部積分法”例3解例3解例4解例4解復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件3.柯西積分定理的推廣3.柯西積分定理的推廣復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件4.柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形

現(xiàn)將柯西積分定理推廣到多連域中.即將柯西積分定理從以單(一個(gè))周線為邊界的有界單連通區(qū)域，推廣到以多條周線組成的“復(fù)周線”為邊界的有界多連通區(qū)域.定義3.34.柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形現(xiàn)將柯西復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件定理3.10證明：定理3.10證明：復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件于是，由復(fù)積分的基本性質(zhì)(3)可得到——定理3.10也稱(chēng)復(fù)合閉路定理.

解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.注意:

在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).閉路變形原理這一重要事實(shí)，稱(chēng)作于是，由復(fù)積分的基本性質(zhì)(3)可得到——定理3.10也稱(chēng)復(fù)例5解根據(jù)柯西積分定理得例5解根據(jù)柯西積分定理得復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件例6解依題意知,例6解依題意知,根據(jù)復(fù)合閉路定理,

從上述兩例可知，借助于復(fù)合閉路定理，一些比較復(fù)雜函數(shù)的積分可以轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算.這是計(jì)算復(fù)積分常用的一種方法.根據(jù)復(fù)合閉路定理,從上述兩例可知，借助于復(fù)合作業(yè):作業(yè):§2柯西積分定理1、柯西積分定理2、不定積分3、柯西積分定理的推廣4、柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形§2柯西積分定理1、柯西積分定理2、不定積分3、柯西積分定1.柯西積分定理觀察上節(jié)例4，同，或說(shuō)沿z平面上任何閉曲線的它沿連接起點(diǎn)和終點(diǎn)的任何路徑C的積分值都相此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān)，觀察上節(jié)例2,積分為零.1.柯西積分定理觀察上節(jié)例4，同，或說(shuō)沿z平面上任何閉曲線(從而積分值不為零).觀察上節(jié)例5,滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,由于不因而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析,(從而積分值不為零).觀察上節(jié)例5,滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,

復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件可歸結(jié)為研究沿任一簡(jiǎn)單閉曲線積分為零的條件.1825年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西解決了這一問(wèn)題,人們稱(chēng)之為柯西積分定理，它是研究復(fù)變解析理論的基石.

由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān).復(fù)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件可歸結(jié)為研究沿任一簡(jiǎn)單定理3.3(柯西積分定理)

1851年，黎曼在給定理附加“在D內(nèi)連續(xù)”的條件下，得到如下的簡(jiǎn)單證明:黎曼證明：定理3.3(柯西積分定理)1851年，黎曼在給在公式在公式柯西積分定理也稱(chēng)柯西—古薩基本定理.(定理的古薩證明略).柯西積分定理也稱(chēng)柯西—古薩基本定理.(定理的古薩證明略).復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件2.不定積分2.不定積分定理3.6證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.定理3.6證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.由于積分與路線無(wú)關(guān),由于積分與路線無(wú)關(guān),復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件由積分的估值性質(zhì),由積分的估值性質(zhì),

此定理與數(shù)學(xué)分析中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似.[證畢]此定理與數(shù)學(xué)分析中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件定理3.8

由原函數(shù)的定義，可得到類(lèi)似于數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茲公式說(shuō)明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與數(shù)學(xué)分析中類(lèi)似的方法去計(jì)算.定理3.8由原函數(shù)的定義，可得到類(lèi)似于數(shù)學(xué)分析中的牛例1解(使用了分析學(xué)中的“湊微分”法)例1解(使用了分析學(xué)中的“湊微分”法)例2解此方法使用了微積分中“分部積分法”例2解此方法使用了微積分中“分部積分法”例3解例3解例4解例4解復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件3.柯西積分定理的推廣3.柯西積分定理的推廣復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件4.柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形

現(xiàn)將柯西積分定理推廣到多連域中.即將柯西積分定理從以單(一個(gè))周線為邊界的有界單連通區(qū)域，推廣到以多條周線組成的“復(fù)周線”為邊界的有界多連通區(qū)域.定義3.34.柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形現(xiàn)將柯西復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件定理3.10證明：定理3.10證明：復(fù)變函數(shù)論第3章第2節(jié)課件于是，由復(fù)積分的基本性質(zhì)(3)可得到——定理3.10也稱(chēng)復(fù)合閉路定理.

解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.注意:

在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).閉路變形原理這一重要事實(shí)，稱(chēng)作于是，由復(fù)積分的基本性質(zhì)(3)可得到——定理3.10也稱(chēng)復(fù)例5解根據(jù)柯西積分定