組合與組合數(shù)課件

4.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理4.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理1

問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

問(wèn)題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個(gè)問(wèn)題有什么聯(lián)系和區(qū)別？問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加2

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問(wèn)題二

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.問(wèn)題一排列組合有順序無(wú)順序從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問(wèn)題3組合定義:

一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？組合的特征：（1）每個(gè)組合中元素互不相同；（2）“只取不排”——無(wú)序性；（3）組合相同即元素相同；

（4）排列與組合問(wèn)題共同點(diǎn)是“從n個(gè)不同元素中任意取出m（m≤n）個(gè)元素”，不同點(diǎn)是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合組合定義:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m4組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)如何計(jì)算這個(gè)組合數(shù)呢？C是英文Combination的首字母組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素5組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=從a,b,c,d這四個(gè)字母中選三個(gè)的組合與排列的關(guān)系：組合abcabdacdbcd排列a6

求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),

第1步,從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素,共有種不同的取法;Cnm可看作以下2個(gè)步驟得到:

第2步,將取出的m個(gè)元素做全排列,共有種不同的排法.Anm求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),7n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=18例1．計(jì)算：（1）

例1．計(jì)算：（1）9組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和

組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和10

例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問(wèn):簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案?(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí),還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒(méi)有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學(xué)員中選出11人上場(chǎng)第2步,從上場(chǎng)的11人中選1名守門員例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,11

例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的組合數(shù).

10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的排列數(shù).(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)12

例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借，至少借一本，則有多少種不同的借法？

(2)有13本不同的書，其中小說(shuō)6本，散文4本，詩(shī)歌3本，某人借6本，其中有3本小說(shuō)，2本散文，1本詩(shī)歌，問(wèn)有幾種借法？(1)解：此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個(gè)步驟完成，共有（種）例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借13

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的組合數(shù)(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,214

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,215①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了組合數(shù)公式。n個(gè)不同元素m個(gè)元素m個(gè)元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結(jié)：①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了161某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問(wèn)題：例1

一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,含有1個(gè)黑球,有多少種取法?⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加17按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例2按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？例218（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在產(chǎn)品檢驗(yàn)中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查,根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無(wú)任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例319

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無(wú)三點(diǎn)共線，問(wèn)過(guò)兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？2某些特殊元素有特殊歸類問(wèn)題：解法一：（直接法）設(shè)五個(gè)點(diǎn)所在直線為l，分為兩類：(1)過(guò)l上的三個(gè)紅點(diǎn)：可與l外的三個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線,有條，又與l上的兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)只連一條直線，可連條(2)過(guò)l外的四個(gè)紅點(diǎn)：可與五個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線，有條共可連（條）例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)20

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無(wú)三點(diǎn)共線，問(wèn)過(guò)兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點(diǎn)共線，有其中共線的五個(gè)點(diǎn)可連條，條而這條只能是一條共可連（條）

說(shuō)明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問(wèn)題，即題中共線的五個(gè)點(diǎn)，只能作一條直線．例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與21例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有重復(fù)問(wèn)題：解：選兩個(gè)數(shù)相加有選三個(gè)數(shù)相加有選四個(gè)數(shù)相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（個(gè)）．例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有22例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４個(gè)側(cè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有解法二：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)有種，其中共面的有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有（種）例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一23．5“名額分配”問(wèn)題：

例1．有10個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額,要分給7所學(xué)校,每校至少一個(gè)名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個(gè)名額中的7個(gè)名額分給7個(gè)學(xué)校每校一個(gè)，則轉(zhuǎn)化為剩下的三個(gè)名額如何分配的問(wèn)題，可分三類方法.第一類:選三個(gè)學(xué)校,每個(gè)學(xué)校一個(gè)名額,分配方法數(shù)第二類:選兩個(gè)學(xué)校,決定哪個(gè)學(xué)校分別給一個(gè)或兩個(gè)名額，分配方法種數(shù)為第三類:選一個(gè)學(xué)校,三個(gè)名額都給該校,分配方法種數(shù)為所以不同的名額分配方法種數(shù)為．5“名額分配”問(wèn)題：例1．有10個(gè)24則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二：注意到10個(gè)名額之間是沒(méi)有差別的，設(shè)想將10個(gè)名額排成一排，每?jī)蓚€(gè)“相鄰”的名額間形成一個(gè)空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“○”表示相同的名額，“

設(shè)想在這幾個(gè)空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個(gè)名額分割成七個(gè)部分，

將第一、二、三、…、七個(gè)部分所包含的名額數(shù)分給第一、二、三、…、七所學(xué)校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數(shù)與名額的分配方法種數(shù)是相等的，為則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二25實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問(wèn)題的辦法本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且每個(gè)位置至少應(yīng)分配一個(gè)元素．與解法一相比，擋板法比較簡(jiǎn)捷，但不如解法一易于理解．實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問(wèn)題的辦法本題的解法二所用的26

解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種數(shù)就等于方程解的個(gè)數(shù)．故有

每一個(gè)均加1，然后再均減1．則可以將原來(lái)的問(wèn)題理解為：求例2．已知方程，求⑴有多少組正整數(shù)解？⑵有多少組非負(fù)整數(shù)解？．解：此問(wèn)題則可以解釋為：先將的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，同（1），則解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種27

例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種．1．注意區(qū)別“恰好”與“至少”

例從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種．2．特殊元素（或位置）優(yōu)先安排

例將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種．3．“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲285“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種29

例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？4．混合問(wèn)題，先“組”后“排”

（1）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?

（2）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?

（3）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?5．分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的30

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理

例2.要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數(shù)進(jìn)行分類，或用插板法求解．解法一：共分三類：第一類，一個(gè)班出4人，6個(gè)班各出1人，有C71種；第二類，有2個(gè)班分別出2人，3人，其余5個(gè)班各出1人有A72

種；第三類，有3個(gè)班各出2人，其余4個(gè)班各出1人，共有種．有C73

種，C71+A72+C73=84例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)31

注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果．

解法二：將10人看成10個(gè)元素，這樣元素之間共有9個(gè)空（兩端不計(jì)）；

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96

從這9個(gè)空位里任選6個(gè)（即這6個(gè)位置放入隔板，將其分為七部分），有種放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意義？

它表示表示第1個(gè)班1人，第2個(gè)班2人，第3個(gè)班1人，第4個(gè)班1人，第5個(gè)班3人，第6、7個(gè)班各1人．注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素32排列與組合的綜合問(wèn)題

解排列組合問(wèn)題，要正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問(wèn)題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:2科學(xué)分類法：3插空法：4捆綁法：5“分組”問(wèn)題：6隔板處理排列與組合的綜合問(wèn)題解排列組合問(wèn)題，要正確使33(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:

對(duì)于特殊元素或者特殊位置的排列組合問(wèn)題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法.

例1:有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．(2)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表．(1)有女生但人數(shù)必須少于男生．＝5400種=360種．(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代1特34前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，

例2對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?解：第5次必測(cè)出一次品，余下3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次測(cè)試中的順序有種，··＝576。前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，35

對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法？2科學(xué)分類法：解法一：?jiǎn)栴}分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（

-2＋）種共有252種．對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此36

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法？解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為減去甲跑第一棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)再減去乙跑第四棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時(shí)從剩余4人中選2人的排列組合數(shù)－＝252種

對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種。例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×10037

例2由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成無(wú)重復(fù)的5位數(shù)，從小到大排隊(duì)；1）43251是第幾個(gè)數(shù)；2）第96個(gè)數(shù)是多少？43512,43521,45123,45132,45213,45231,45312,45321例2由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成無(wú)重383插空法：

解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問(wèn)題得以解決

例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是：①前后各一個(gè)，有8×12×2＝192種方法解：②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32種方法兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：③兩人都在前排：此種情況共有4＋2＝6種方法兩邊都是4個(gè)位置,所以坐在第一排總共有6＋6＝12種方法④兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右∴有192＋32＋12＋110＝346種3插空法：解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些元39

例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是：解法二：考慮20個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號(hào)座位與5號(hào)座位不算相鄰，9號(hào)座位與10號(hào)座位不算相鄰，共有種例1有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排1240

例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果：(1)4只鞋子沒(méi)有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙。例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋414捆綁法：

相鄰元素的排列,可以采用“整體到局部”的排法,即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列,然后再局部排列.

例1在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長(zhǎng),要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有多少種?（3）若A、B之間隔8壟，有A22種方法.解:A,B兩種作物的間隔至少6壟,至多8壟,分3種情況：（1）若A、B之間隔6壟，這樣的選壟方法有3A22種.（2）若A、B之間隔7壟，這樣的選壟方法有2A22種.4捆綁法：相鄰元素的排列,可以采用“整體425“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種436隔板處理

例1（1）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？

（2）10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一、二、三3個(gè)班，若名額數(shù)不少于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方法？解:⑴按指標(biāo)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類,討論比較復(fù)雜,可構(gòu)造模型，即用5個(gè)隔板插入10個(gè)指標(biāo)中的9個(gè)空隙，即即為所求。⑵先拿3個(gè)指標(biāo)分別給二班1個(gè)，三班2個(gè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為7個(gè)優(yōu)秀名額分給三個(gè)班，每班至少一個(gè)同⑴得即為所求。6隔板處理例1（1）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配44例圍棋擂臺(tái)賽問(wèn)題7建立“模型”例圍棋擂臺(tái)賽問(wèn)題7建立“模型”45

例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果：(1)4只鞋子沒(méi)有成雙；(2)4只鞋子恰好成雙；(3)4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙。例210雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋464.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理4.2.2組合與組合數(shù)數(shù)學(xué)理47

問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

問(wèn)題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個(gè)問(wèn)題有什么聯(lián)系和區(qū)別？問(wèn)題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加48

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問(wèn)題二

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.問(wèn)題一排列組合有順序無(wú)順序從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,并成一組問(wèn)題49組合定義:

一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.排列與組合有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？組合的特征：（1）每個(gè)組合中元素互不相同；（2）“只取不排”——無(wú)序性；（3）組合相同即元素相同；

（4）排列與組合問(wèn)題共同點(diǎn)是“從n個(gè)不同元素中任意取出m（m≤n）個(gè)元素”，不同點(diǎn)是前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者是“不管順序并成一組”；若元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響,則是排列,否則,是組合.例如ab與ba是不同的排列，但是相同的組合組合定義:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m（m50組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)如何計(jì)算這個(gè)組合數(shù)呢？C是英文Combination的首字母組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素51組合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=從a,b,c,d這四個(gè)字母中選三個(gè)的組合與排列的關(guān)系：組合abcabdacdbcd排列a52

求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),

第1步,從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素,共有種不同的取法;Cnm可看作以下2個(gè)步驟得到:

第2步,將取出的m個(gè)元素做全排列,共有種不同的排法.Anm求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),53n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.組合數(shù)公式規(guī)定：Cn0=154例1．計(jì)算：（1）

例1．計(jì)算：（1）55組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和

組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：例3計(jì)算：（1）和（2）和56

例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽,按照足球比賽規(guī)則,比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人.問(wèn):簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案?(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí),還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?(1)沒(méi)有角色差異共有(2)分兩步完成這件事第1步,從17名學(xué)員中選出11人上場(chǎng)第2步,從上場(chǎng)的11人中選1名守門員例1一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員,57

例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的組合數(shù).

10個(gè)不同元素中取2個(gè)元素的排列數(shù).(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?例2(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn),以其中每2個(gè)58

例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借，至少借一本，則有多少種不同的借法？

(2)有13本不同的書，其中小說(shuō)6本，散文4本，詩(shī)歌3本，某人借6本，其中有3本小說(shuō)，2本散文，1本詩(shī)歌，問(wèn)有幾種借法？(1)解：此人所借的書可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三個(gè)步驟完成，共有（種）例3(1)有4本不同的書，一個(gè)人去借59

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)有多少種不同的抽法?100個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的組合數(shù)(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有從98件合格品中抽出2件的抽法有練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,260

練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件練習(xí)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,261①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了組合數(shù)公式。n個(gè)不同元素m個(gè)元素m個(gè)元素的全排列第一步組合第二步排列課堂小結(jié)：①主要學(xué)習(xí)了組合、組合數(shù)的概念。②利用組合和排列的關(guān)系得到了621某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加條件的組合問(wèn)題：例1

一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，⑴從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？⑵從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,含有1個(gè)黑球,有多少種取法?⑶從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的組合中：含有附加63按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例2按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？例264（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在產(chǎn)品檢驗(yàn)中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查,根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法？(2)全是正品；(1)無(wú)任何限制條件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例365

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無(wú)三點(diǎn)共線，問(wèn)過(guò)兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？2某些特殊元素有特殊歸類問(wèn)題：解法一：（直接法）設(shè)五個(gè)點(diǎn)所在直線為l，分為兩類：(1)過(guò)l上的三個(gè)紅點(diǎn)：可與l外的三個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線,有條，又與l上的兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)只連一條直線，可連條(2)過(guò)l外的四個(gè)紅點(diǎn)：可與五個(gè)藍(lán)點(diǎn)各連一條直線，有條共可連（條）例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)66

例4

平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)在同一條直線上，除此以外，再無(wú)三點(diǎn)共線，問(wèn)過(guò)兩個(gè)不同顏色的點(diǎn)，共可作多少條直線？解法二：（間接法）不考慮五點(diǎn)共線，有其中共線的五個(gè)點(diǎn)可連條，條而這條只能是一條共可連（條）

說(shuō)明：本例是某些特殊元素有特殊歸類的問(wèn)題，即題中共線的五個(gè)點(diǎn)，只能作一條直線．例4平面上有五個(gè)藍(lán)點(diǎn)和七個(gè)紅點(diǎn)，其中有三個(gè)紅點(diǎn)與67例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有重復(fù)問(wèn)題：解：選兩個(gè)數(shù)相加有選三個(gè)數(shù)相加有選四個(gè)數(shù)相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（個(gè)）．例3由數(shù)1、2、3、4可組成多少個(gè)不同的和？3組合中的有68例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４個(gè)側(cè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有解法二：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)有種，其中共面的有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面，∴共有（種）例4以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定多少個(gè)三棱錐？解法一69．5“名額分配”問(wèn)題：

例1．有10個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額,要分給7所學(xué)校,每校至少一個(gè)名額,有多少種不同的名額分配方法？解：先將10個(gè)名額中的7個(gè)名額分給7個(gè)學(xué)校每校一個(gè)，則轉(zhuǎn)化為剩下的三個(gè)名額如何分配的問(wèn)題，可分三類方法.第一類:選三個(gè)學(xué)校,每個(gè)學(xué)校一個(gè)名額,分配方法數(shù)第二類:選兩個(gè)學(xué)校,決定哪個(gè)學(xué)校分別給一個(gè)或兩個(gè)名額，分配方法種數(shù)為第三類:選一個(gè)學(xué)校,三個(gè)名額都給該校,分配方法種數(shù)為所以不同的名額分配方法種數(shù)為．5“名額分配”問(wèn)題：例1．有10個(gè)70則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二：注意到10個(gè)名額之間是沒(méi)有差別的，設(shè)想將10個(gè)名額排成一排，每?jī)蓚€(gè)“相鄰”的名額間形成一個(gè)空隙，如下圖示：”表示名額間形成的空隙，“○”表示相同的名額，“

設(shè)想在這幾個(gè)空隙中插入六塊“擋板”,則將這10個(gè)名額分割成七個(gè)部分，

將第一、二、三、…、七個(gè)部分所包含的名額數(shù)分給第一、二、三、…、七所學(xué)校，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即擋板的插法種數(shù)與名額的分配方法種數(shù)是相等的，為則“擋板”的一種插法恰好對(duì)應(yīng)10個(gè)名額的一種分配方法,解法二71實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問(wèn)題的辦法本題的解法二所用的方法一般稱為“擋板法”，用于建立相同元素與確定的不同位置間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且每個(gè)位置至少應(yīng)分配一個(gè)元素．與解法一相比，擋板法比較簡(jiǎn)捷，但不如解法一易于理解．實(shí)際上，解法一是更為基本的解決問(wèn)題的辦法本題的解法二所用的72

解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種數(shù)就等于方程解的個(gè)數(shù)．故有

每一個(gè)均加1，然后再均減1．則可以將原來(lái)的問(wèn)題理解為：求例2．已知方程，求⑴有多少組正整數(shù)解？⑵有多少組非負(fù)整數(shù)解？．解：此問(wèn)題則可以解釋為：先將的正整數(shù)解個(gè)數(shù)，同（1），則解：⑴在五個(gè)1之間添加兩個(gè)加號(hào)，添加的方法種73

例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種．1．注意區(qū)別“恰好”與“至少”

例從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種．2．特殊元素（或位置）優(yōu)先安排

例將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種．3．“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”方法回顧例七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲745“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？例1有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？5“分組”問(wèn)題：（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種75

例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？4．混合問(wèn)題，先“組”后“排”

（1）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?

（2）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?

（3）今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?5．分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的76

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?6、分類組合,隔板處理

例2.要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？可按班選出的人數(shù)進(jìn)行分類，或用插板法求解．解法一：共分三類：第一類，一個(gè)班出4人，6個(gè)班各出1人，有C71種；第二類，有2個(gè)班分別出2人，3人，其余5個(gè)班各出1人有A72

種；第三類，有3個(gè)班各出2人，其余4個(gè)班各出1人，共有種．有C73

種，C71+A72+C73=84例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)77

注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果．

解法二：將10人看成10個(gè)元素，這樣元素之間共有9個(gè)空（兩端不計(jì)）；

例1從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?C96

從這9個(gè)空位里任選6個(gè)（即這6個(gè)位置放入隔板，將其分為七部分），有種放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意義？

它表示表示第1個(gè)班1人，第2個(gè)班2人，第3個(gè)班1人，第4個(gè)班1人，第5個(gè)班3人，第6、7個(gè)班各1人．注意：本題易把10個(gè)名額看成10個(gè)不同的元素78排列與組合的綜合問(wèn)題

解排列組合問(wèn)題，要正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問(wèn)題，需掌握以下幾種常用的解題方法：解題思路：1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:2科學(xué)分類法：3插空法：4捆綁法：5“分組”問(wèn)題：6隔板處理排列與組合的綜合問(wèn)題解排列組合問(wèn)題，要正確使79(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．1特殊(元素,位置)優(yōu)先法:

對(duì)于特殊元素或者特殊位置的排列組合問(wèn)題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法.

例1:有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表．(2)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表．(1)有女生但人數(shù)必須少于男生．＝5400種=360種．(4)某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文科代表,某男生必須擔(dān)任科代1特80前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，

例2對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?解：第5次必測(cè)出一次品，余下3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次測(cè)試中的順序有種，··＝576。前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，81

對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法？2科學(xué)分類法：解法一：?jiǎn)栴}分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（

-2＋）種共有252種．對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此82

例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方法？解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為減去甲跑第一棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)再減去乙跑第四棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù)

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時(shí)從剩余4人中選2人的排列組合數(shù)－＝252種

對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種。例1從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×10083

例2由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成