高三數(shù)學二輪專題總結復習教案――平面向量

高中高三數(shù)學二輪專題總結復習優(yōu)選教課方案――平面向量高中高三數(shù)學二輪專題總結復習優(yōu)選教課方案――平面向量10/10高中高三數(shù)學二輪專題總結復習優(yōu)選教課方案――平面向量20XX屆高三數(shù)學二輪專題復習教課方案――平面向量一、本章知識結構：二、要點知識回顧1.向量的看法：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐標表示：分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得axiyj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a(x,y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。ax2y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則ABx2x1,y2y1，AB(x2x1)2(y2y1)23.零向量、單位向量：①長度為0的向量叫零向量，記為0；②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.（注：a就是單位向量）|a|4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任向來量平行.向量a、b、c平行，記作a∥b∥c.共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量.5.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量的加法、減法：①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)。②向量的減法向量

a加上的

b

相反向量，叫做

a與b

的差。即：

a

b

=

a+

(

b

)；差向量的意義：

OA=

a,

OB

=b

,

則BA=a

b③平面向量的坐標運算：若

a(x1,y1)，b

(x2,y2)

，則

a

b

(x1

x2,y1

y2)

，ab

(x1

x2,y1

y2)，

a

(

x,

y)。④向量加法的交換律

：a+b=b+a

；向量加法的結合律：

(

a+b

)+

c=a+(

b+c)7．實數(shù)與向量的積：實數(shù)

λ與向量

a的積是一個向量，記作：

λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λ

a=0；（3）運算定律

λ(μa)=(

λμ

)a，(λ+μ)

a=λa+μ

a

，λ(

a+b

)=λa+λb8．向量共線定理向量b與非零向量a共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=λa。9．平面向量基本定理：若是e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任向來量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。(1)不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不獨一，要點是不共線；(3)由定理可將任向來量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解；(4)基底給準時，分解形式獨一.λ1，λ2是被a，e1，e2獨一確定的數(shù)量。10.向量a和b的數(shù)量積：①a·b=|a|·|b|cos，其中∈[0，π]為a和b的夾角。②|b|cos稱為b在a的方向上的投影。③a·b的幾何意義是：b的長度|b|在a的方向上的投影的乘積，是一個實數(shù)（可正、可負、也可是零），而不是向量。④若a=（x1，y1）,b=（x2，y2）,則abx1x2y1y2⑤運算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥a和b的夾角公式：cos=ab＝x1x2y1y2abx12y12x22y22|a|2=x2+y2，或|a|=x2y22⑦aaa2a⑧|a·b|≤|a|·|b|。11．兩向量平行、垂直的充要條件設a=（x1，y1）,b=（x2，y2）①a⊥ba·b=0，abab=x1x2+y1y2=0；②a//b（a≠0）充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使bλa。=a//bx1y2x2y10向量的平行與垂直的坐標運算注意差異，在解題時簡單混淆。12.點P分有向線段P1P2所成的比的：P1PPP2，P內分線段P1P2時,0;P外分線段P1P2時,0.定比分點坐標公式、中點坐標公式、三角形重心公式：x1x2xx1x2x2x1x2x3y1y2y311、,)y1y2y1、(yy233y21三、考點剖析考點一：向量的看法、向量的基本定理【內容解讀】認識向量的實質背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等看法，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。注意對向量看法的理解，向量是可以自由搬動的，平移后所得向量與原向量相同；兩個向量無法比較大小，它們的模可比較大小。若是e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任向來量a有且只有一．．．對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.注意：若e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，．．．【命題規(guī)律】有關向量看法和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔種類。例1、（2007上海）直角坐標系

xOy中，i，j

分別是與

x，y軸正方向同向的單位向量．在直角三角形

ABC中，若

AB

2i

j,

AC

3i

kj，則

k的可能值個數(shù)是（

）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4解：如圖，將A放在坐標原點，則C點在直線x=3上，由圖知，只可能

B點坐標為(2,1)，C點坐標為(3,k)A、B為直角，C不可以能為直角．因此

，因此k的可能值個數(shù)是2，選B議論：本題主要察看向量的坐標表示，采用數(shù)形結合法，巧妙求解，表現(xiàn)平面向量中的數(shù)形結合思想。例2、（2007

陜西）如圖，平面內有三個向量

OA、OB

、OC,其中與

OA與OB的夾角為

120°，

OA與OC的夾角為

30°

,且|

OA|

＝|OB|＝1，|OC|

＝23，若

OC

＝λOA+μOB

（λ，μ∈R）,則λ+μ的值為

.解：過

C作OA與OC

的平行線與它們的延長線訂交，

可得平行四邊形，由角

BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四邊形的邊長為2和4，2+4=6議論：本題察看平面向量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來后，求相應的系數(shù)，也察看了平行四邊形法規(guī)?？键c二：向量的運算【內容解讀】向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法規(guī)、三角形法則進行向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關系；掌握向量的數(shù)量積的運算，領悟平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關系?！久}規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，察看要點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標運算，有時也會與其他內容相結合。例3、(2008湖北文、理)設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6)，(a+2b)·c(5,6)(3,2)3，選C議論：本題察看向量與實數(shù)的積，注意積的結果還是一個向量，向量的加法運算，結果也是一個向量，還察看了向量的數(shù)量積，結果是一個數(shù)字。例4、(2008廣東文)已知平面向量a(1,2),b(2,m)，且a∥b，則2a3b=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由a∥b，得m＝－4，因此，2a3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），應選（C）。議論：兩個向量平行，實質上是一個向量是另一個向量的倍，也是共線向量，注意運算的公式，簡單與向量垂直的坐標運算混淆。例5、(2008海南、寧夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab與a垂直，則是（）A.－1B.1C.－2D.2解：由于ab4,32,a1,3,aba∴43320，即101001，選Ａ議論：本題察看簡單的向量運算及向量垂直的坐標運算，注意不要出現(xiàn)運算出錯，由于這是一道基礎題，要爭取滿分。例6、(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若ACa,BDb,則AF（）A．1a1bB.2a1bC.1a1bD.1a2b42332433解:AO1a,ADAOOD1a1b,1211112121AE(AOAD)a22aba2b,2224由A、E、F三點共線,知AFAE,1而滿足此條件的選擇支只有B，應選B.議論：用三角形法規(guī)或平行四邊形法規(guī)進行向量的加減法運算是向量運算的一個難點，表現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想。例7、（2008江蘇）已知向量a和b的夾角為1200，|a|1,|b|3，則|5ab|．222213249，解：5ab5ab25a10abb=2512101325ab7議論：向量的模、向量的數(shù)量積的運算是經(jīng)常察看的內容，難度不大，只要認真，運算不要出現(xiàn)錯誤即可?？键c三：定比分點【內容解讀】掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并能熟練應用，求點分有向線段所成比時，可借助圖形來幫助理解?！久}規(guī)律】要點察看定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應用的廣泛性，經(jīng)常也會與三角函數(shù)，剖析幾何一并察看，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，有時也以難度略高的題目。例8、(2008湖南理)設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且DC2BD,CE2EA,AF2FB,則ADBECF與BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由定比分點的向量式得:ADAC2AB1AC2AB,同理，有：1233BE1BC2BA,CF1CA2CB,以上三式相加得3333ADBE1BC,因此選A.CF3議論：利用定比分點的向量式，及向量的運算，是解決本題的要點.考點四：向量與三角函數(shù)的綜合問題【內容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，察看了向量的知識，三角函數(shù)的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求?！久}規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標，以向量的坐標運算或向量與解三角形的內容相結合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結合的問題，屬中檔偏易題。例9、（2008深圳福田等）已知向量a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx,)函數(shù)f(x)2ab1(1)求f(x)的最小正周期;(2)當x[,]時,若f(x)1,求x的值．62解：(1)f(x)23sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x).6因此，T＝.(2)由f(x)1,得sin2x61，2∵x[,]，∴2x[,7]∴2x65∴x6262663議論：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當前的一個熱點，但平時難度不大，一般就是以向量的坐標形式給出與三角函數(shù)有關的條件，并結合簡單的向量運算，而察看的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識點.例10、（2007山東文）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC37．1）求cosC；（2）若CBCA5，且ab9，求c．27，sinC解：（1）tanC337cosC1又sin2Ccos2C1解得cosC．8tanC0，C是銳角．cosC1．855（2）由CBCA，abcosCab20．2，2又ab9a22abb281．a(chǎn)2b241．c2a2b22abcosC36．c6．議論：本題向量與解三角形的內容相結合，察看向量的數(shù)量積，余弦定理等內容。例11、（2007湖北）將y2cosxπ的圖象按向量aπ平移，則平移后所36，24得圖象的剖析式為（）Ａ．y2cosxπ2Ｂ．y2cosxπ34324Ｃ．y2cosxπ2Ｄ．y2cosxπ1223312解：由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應點P'x',y'，Px,y，則aπ2P'P',yy'x'x,y'y2，代入到已知剖析式中可，xx44得選Ａ議論：本題主要察看向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識，以平移公式切入，為中檔題。注意不要將向量與對應點的序次搞反，或照本宣科以為是先向右平移個單位，再向4下平移2個單位，誤選Ｃ考點五：平面向量與函數(shù)問題的交匯【內容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問題，主若是向量與二次函數(shù)結合的問題為主，要注意自變量的取值范圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例12、（2008廣東六校聯(lián)考）已知向量a＝(cos3x，sin3x)，＝(x，x)，2222且x∈[0，]．2（1）求ab（2）設函數(shù)f(x)ab+ab，求函數(shù)f(x)的最值及相應的x的值。解：（I）由已知條件：0x2，得：ab(cos3xcosx,sin3xsinx)(cos3xcosx)2(sin3xsinx)22222222222cos2x2sinx（2）f(x)2sinxcos3xx3xx2sinxcos2x2cossin2sin222sin2x2sinx12(sinx1)2322由于：0x，因此：0sinx1213x因此，只有當：時，fmax(x)22x0，或x1時，fmin(x)1議論：本題察看向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識，經(jīng)過配方后，變成張口向下的二次函數(shù)圖象，要注意sinx的取值范圍，否則簡單搞錯?？键c六：平面向量在平面幾何中的應用【內容解讀】向量的坐標表示實質上就是向量的代數(shù)表示．在引入向量的坐標表示后，使向量之間的運算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”親密地結合在一起．因此，好多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉變成大家熟悉的代數(shù)運算的論證．也就是把平面幾何圖形放到合適的坐標系中，賜予幾何圖形有關點與平面向量詳盡的坐標，這樣將有關平面幾何問題轉變成相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題獲取解決．【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例13、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段

yPQ以A為中點，問PQ與BC的夾角取何值時，BPCQ的值最大？并求出這個最大值。解：以直角極點A為坐