經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二版) 4-1定積分的概念與性質(zhì)

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應(yīng)用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無(wú)限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學(xué)的應(yīng)用1

一.定積分的定義

二.定積分的幾何意義§4.1定積分的概念與性質(zhì)

三.定積分的性質(zhì)2

一.定積分的定義

規(guī)則圖形的面積

矩形的面積=長(zhǎng)寬.

長(zhǎng)寬高下底上底直角梯形的面積=

中位線,長(zhǎng)為

直角梯形的面積可用矩形面積計(jì)算.3那么,不規(guī)則圖形的面積如何求呢?4用若干條平行于軸及

軸的直線

將圖形分割,所求面積應(yīng)為被分割的

所有小面積之和.

如左圖,將其放入平面直角坐標(biāo)系中.

我們分析

:由三條直線和一條曲

線圍成,其中兩條直線互相平行,第三條

直線與這兩條直線垂直,另一邊為曲線,稱這樣的圖形為曲邊梯形.

對(duì)四周的不規(guī)則圖形,面積怎么求?只要將其求出,則大的不規(guī)則圖形面

積也即求出.??????????

求不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題

其中,中間部分為矩形,易求面積.轉(zhuǎn)化為

求曲邊梯形的面積問(wèn)題5案例如何求曲邊梯形的面積?將曲邊梯形放在平面直角坐標(biāo)系中,則由連續(xù)曲線稱為曲邊梯形.

直線和(即軸)所圍成的平面圖形=面積6直曲對(duì)立統(tǒng)一按下述程序計(jì)算曲邊梯形的面積:

在區(qū)間上任意選取分點(diǎn)

…,

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為其中最長(zhǎng)的記作

==分成個(gè)小區(qū)間

我們從計(jì)算矩形面積出發(fā)計(jì)算曲邊梯形面積.(1)分割——分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形7==

過(guò)每個(gè)分點(diǎn)()

作軸的垂線,把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形.(1)分割——分曲邊梯形為個(gè)小曲邊梯形

用表示所求曲邊梯形的面積.

表示第個(gè)小曲邊梯形面積,則有:8==(2)近似代替——用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積

在每一個(gè)小區(qū)間上任選一點(diǎn)(),用與小曲邊梯形同底,以為高的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,即

9==(3)求和——求個(gè)小矩形面積之和

個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積是,這是原曲邊梯形面積的一個(gè)近似值.即10(4)取極限——由近似值過(guò)渡到精確值

分割區(qū)間的點(diǎn)數(shù)越多,即越大,且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度越短,即分割越細(xì),階梯形的面積,即和數(shù)與曲邊梯形面積的誤差越小.

現(xiàn)將區(qū)間無(wú)限地細(xì)分下去,并使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零,這時(shí),和數(shù)的極限就是原曲邊梯形面積的精確值.

動(dòng)態(tài)描述階梯形面積與曲邊梯形面積的無(wú)限接近過(guò)程11案例如何求曲邊梯形的面積?面積(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:12案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:13案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:A14案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:A15案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:A16案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:A17案例如何求曲邊梯形的面積?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)以下四步:18案例求得曲邊梯形的面積:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限.經(jīng)19定義4.1

定積分定義用分點(diǎn)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義,把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間

其長(zhǎng)度

并記

在每一個(gè)小區(qū)間()上任選一點(diǎn),作乘積的和式

當(dāng)時(shí),若上述和式的極限存在,且這極限與區(qū)間的分法無(wú)關(guān),與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān),則稱函數(shù)在上是可積的,并稱此極限值為函數(shù)在上的定積分,記作

即

20

積分上限積分下限

被積表達(dá)式

被積函數(shù)

積分變量

積分號(hào)稱為積分區(qū)間.

由定積分定義還可知,案例中:曲邊梯形面積是曲邊方程在區(qū)間上的定積分,即由定積分定義知：21由定積分定義知：

積分上限1.定積分是一個(gè)數(shù)值,該數(shù)值取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間,與積分變量無(wú)關(guān),即

積分下限注意2.交換定積分的上下限,定積分變號(hào),即特別地,有22

二.定積分的幾何意義特別地,在區(qū)間上,若則由定積分的定義知面積23在區(qū)間上,若24

則圖中陰影部分的面積為若有正有負(fù),在區(qū)間上,25練習(xí)1用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

(1)

(1)由定積分的幾何意義,該面積就是作為曲邊的函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即上半單位圓的面積為解

26練習(xí)1用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

(2)解

(2)由定積分的幾何意義,該面積就是作為直線的函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即該三角形的面積為27

三.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分符號(hào)前

性質(zhì)2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和

28練習(xí)2解

計(jì)算定積分由上述定積分的性質(zhì)及練習(xí)1,有

由性質(zhì)2

由性質(zhì)1

由練習(xí)1(1)(2)29性質(zhì)3(定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性)對(duì)任意三個(gè)數(shù)總有(1)當(dāng)時(shí),由定積分的幾何意義可知

曲邊梯形的面積=曲邊梯形的面積+曲邊梯形的面積.

即30性質(zhì)3(定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性)對(duì)任意三個(gè)數(shù)總有(2)當(dāng)時(shí),由前一種情形,應(yīng)有移項(xiàng),

有

交換上下限,有

其他情形可類似推出.

31練習(xí)3用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

解

(1)(1)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知

面積

由定積分的幾何意義

==故

奇函數(shù)

32練習(xí)3用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立:

解

(1)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知

面積

由定積分的幾何意義

==故

(2)

偶函數(shù)

33則結(jié)論則(1)若是奇函數(shù),即設(shè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù),

(2)若是偶函數(shù),即34性質(zhì)4(比較性質(zhì))若函數(shù)