概率統(tǒng)計(jì)模型課件

概論統(tǒng)計(jì)模型一.傳送系統(tǒng)的效率二.報童的訣竅三.牙膏的銷售量

四.軋鋼中的浪費(fèi)概論統(tǒng)計(jì)模型一.傳送系統(tǒng)的效率1概率模型

現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型。本章討論如何用隨機(jī)變量和概率分布描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型--概率模型。概率模型2統(tǒng)計(jì)模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機(jī)模型—統(tǒng)計(jì)回歸模型。統(tǒng)計(jì)模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限3一傳送系統(tǒng)的效率在機(jī)械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機(jī)的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系?！瓊魉蛶煦^工作臺一傳送系統(tǒng)的效率要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假41模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周期（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下，需要假設(shè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過，他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運(yùn)轉(zhuǎn)。

工人生產(chǎn)周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認(rèn)為是隨機(jī)的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。由上分析，傳送系統(tǒng)長期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。1模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳52模型假設(shè)3）在一周期內(nèi)有個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達(dá)第一個工作臺上方的鉤子都是空的。4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且只能觸到一只，在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠(yuǎn)退出這個傳送系統(tǒng)。1）有個工人，其生產(chǎn)是獨(dú)立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，個工作臺均勻排列。2）生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。2模型假設(shè)3）在一周期內(nèi)有個鉤子通過每一工作臺上方63模型建立

將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比，記作，設(shè)帶走的產(chǎn)品數(shù)為,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為，則。需求出。得到的步驟如下：（均對一周期而言）任一只鉤子被一名工人觸到的概率是；任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是；由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性，任一只鉤子不被所有個工人掛上產(chǎn)品的概率，即任一只鉤子為空鉤的概率是；任一只鉤子非空的概率是。

如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率，這與工人所在的位置有關(guān)（如第1個工人一定可掛上），這樣使問題復(fù)雜化。我們從鉤子角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序，處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的只鉤子求出每只鉤子非空的概率，則。3模型建立

將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)7傳送系統(tǒng)的效率指標(biāo)為為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù)相對于工人數(shù)較大，即較小的情況下，將多項(xiàng)式展開后只取前3項(xiàng)，則有如果將一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作再假定，則當(dāng)時，上式給出的結(jié)果為用的精確表達(dá)式計(jì)算得傳送系統(tǒng)的效率指標(biāo)為為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù)84模型評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生產(chǎn)周期不變，掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)等是不現(xiàn)實(shí)的，但模型的意義在于，一方面利用基本合理的假設(shè)將問題簡化到能夠建模的程度，并用簡單的方法得到結(jié)果；另一方面所得到的簡化結(jié)果具有非常簡單的意義：指標(biāo)與成正比，與成反比。通常工人數(shù)目是固定的，一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù)增加一倍，可使“效率”降低一倍。思考：如何改進(jìn)模型使“效率”降低？（可理解為相反意義的效率）4模型評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生9考慮通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來放置一只鉤子處放置的兩只鉤子成為一個鉤對。一周期內(nèi)通過個鉤對，任一鉤對被任意工人觸到的概率，不被觸到的概率，于是任一鉤對為空的概率是，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是，一周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是按照上一模型的定義，有考慮通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來放置一只鉤子處放10和的近似展開，可得展開取4項(xiàng)，展開取3項(xiàng)。而上一模型中的方法有有當(dāng)時，，所以該模型提供的方法比上一個模型好。注意：利用和的近似展開，可得展開取4項(xiàng)，展開取3項(xiàng)。而上一模型中的方法11二報童的訣竅問題：

報童每天清晨從報社購進(jìn)報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)報紙每份的購進(jìn)價為b，零售價為a，退回價為c，假設(shè)a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進(jìn)報紙?zhí)啵u不完會賠錢；購進(jìn)太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進(jìn)報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。二報童的訣竅問題：12模型分析：購進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報紙的需求量為份的概率是(r=0,1,2,…)有了和，就可以建立關(guān)于購進(jìn)量的優(yōu)化模型。模型分析：購進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報童已通過13模型建立：假設(shè)每天購進(jìn)量是n份，需求量r是隨機(jī)的，r可以小于，等于或大于n，所以報童每天的收入也是隨機(jī)的。那么，作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。記報童每天購進(jìn)份報紙的平均收入為，如果這天的需求量，則售出份，退回份；如果需求量則份將全部售出。需求量為的概率是，則問題歸結(jié)為在已知時，求使最大。模型建立：假設(shè)每天購進(jìn)量是n份，需求量r是隨機(jī)的，r可以小于14

模型求解：通常需求量r和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量便于分析和計(jì)算，這時概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)計(jì)算則

模型求解：通常需求量r和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量15令使報童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量，得到應(yīng)滿足上式。因?yàn)?，所以根?jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進(jìn)量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr令使報童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量，得到應(yīng)滿足上式。因?yàn)?，?6因?yàn)楫?dāng)購進(jìn)超過份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率；是需求量的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。因?yàn)楫?dāng)購進(jìn)超過份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率17結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。練習(xí)：利用上述模型計(jì)算，若每份報紙的購進(jìn)價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大18三牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型預(yù)測在不同價格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費(fèi)用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期三牙膏的銷售量問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的19基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x2~公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1,x2~解釋變量(回歸變量,自變量)y~被解釋變量（因變量）0,1

,2,3~回歸系數(shù)~隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x220MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估計(jì)值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

R2,F,p

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱模型求解[b,bint,r,rin21結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值p遠(yuǎn)小于=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近)x2對因變量y的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間22銷售量預(yù)測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計(jì)x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=650萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上控制x1通過x1,x2預(yù)測y(百萬支)銷售量預(yù)測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計(jì)23模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p=0.000030124x1和x2對y的影響有交互作用模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1724兩模型銷售量預(yù)測比較(百萬支)區(qū)間[7.8230，8.7636]區(qū)間[7.8953，8.7592](百萬支)控制價格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元預(yù)測區(qū)間長度更短略有增加兩模型銷售量預(yù)測比較(百萬支)區(qū)間[7.8230，8.7625x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2兩模型與x1,x2關(guān)系的比較x2=6.5x1=0.2x1x1x2x2兩模型與x126交互作用影響的討論價格差x1=0.1價格差x1=0.3加大廣告投入使銷售量增加（x2大于6百萬元）價格差較小時增加的速率更大x2價格優(yōu)勢會使銷售量增加價格差較小時更需要靠廣告來吸引顧客的眼球交互作用影響的討論價格差x1=0.1價格差x1=0.327完全二次多項(xiàng)式模型MATLAB中有命令rstool直接求解x1x2從輸出Export可得完全二次多項(xiàng)式模型MATLAB中有命令rstool直接求解28四軋鋼中的浪費(fèi)去掉多余四軋鋼中的浪費(fèi)去掉多余29模型分析顯然，如果粗軋時，均值調(diào)的比較長，那么整根報廢的幾率減小，但精軋時浪費(fèi)比較大；如果粗軋時均值調(diào)的比較短，那么精軋時浪費(fèi)比較小，但整根報廢的幾率會增加。模型分析顯然，如果粗軋時，均值調(diào)的比較長，那么整根報廢的幾率30模型分析應(yīng)該存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小。定性地分析：模型分析應(yīng)該存在最佳的m使總定性地分析：31建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)=+粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度粗軋N根成品材PN根成品材長度lPN總長度mN共浪費(fèi)長度mN-lPN正態(tài)分布建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)32選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度得到一根成品材平均浪費(fèi)長度更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最小（已知l,）建模粗軋N根得成品材PN根選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度得到一根成品材平均33求解求z使J(z)最?。ㄒ阎┣蠼馇髗使J(z)最?。ㄒ阎?4求解求解351.02.00-1.0-2.0105F(z)z例設(shè)l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費(fèi)最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z例設(shè)l=2(米36概論統(tǒng)計(jì)模型一.傳送系統(tǒng)的效率二.報童的訣竅三.牙膏的銷售量

四.軋鋼中的浪費(fèi)概論統(tǒng)計(jì)模型一.傳送系統(tǒng)的效率37概率模型

現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型。本章討論如何用隨機(jī)變量和概率分布描述隨機(jī)因素的影響，建立隨機(jī)模型--概率模型。概率模型38統(tǒng)計(jì)模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限制，無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的模型，那么通常要搜集大量的數(shù)據(jù)，基于對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析建立模型，這就是本章還要討論的用途非常廣泛的一類隨機(jī)模型—統(tǒng)計(jì)回歸模型。統(tǒng)計(jì)模型

如果由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜性及人們認(rèn)識程度的限39一傳送系統(tǒng)的效率在機(jī)械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺上放一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，帶上設(shè)置若干鉤子，工人將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，如圖。當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品所需時間是不變的，而他掛產(chǎn)品的時刻是隨機(jī)的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看他能否及時把工人的產(chǎn)品帶走。在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率越高。要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假設(shè)下建立模型描述這個指標(biāo)與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系?！瓊魉蛶煦^工作臺一傳送系統(tǒng)的效率要求構(gòu)造衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并在簡化假401模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人生產(chǎn)周期（即生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時間）相同的情況下，需要假設(shè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過工作臺，他可以將產(chǎn)品掛上帶走，要么沒有空鉤子經(jīng)過，他將產(chǎn)品放下并立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn)，以保證整個系統(tǒng)周期性的運(yùn)轉(zhuǎn)。

工人生產(chǎn)周期相同，但由于各種因素的影響，經(jīng)過相當(dāng)長的時間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻會不一致，認(rèn)為是隨機(jī)的，并在一個生產(chǎn)周期內(nèi)任一時刻的可能性一樣。由上分析，傳送系統(tǒng)長期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比來描述。1模型分析為了用傳送帶及時帶走的產(chǎn)品數(shù)量來表示傳412模型假設(shè)3）在一周期內(nèi)有個鉤子通過每一工作臺上方，鉤子均勻排列，到達(dá)第一個工作臺上方的鉤子都是空的。4）每個工人在任何時刻都能觸到一只鉤子，且只能觸到一只，在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能觸到的鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果非空，則他只能將產(chǎn)品放下。放下的產(chǎn)品就永遠(yuǎn)退出這個傳送系統(tǒng)。1）有個工人，其生產(chǎn)是獨(dú)立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，個工作臺均勻排列。2）生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，即每個工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能性的。2模型假設(shè)3）在一周期內(nèi)有個鉤子通過每一工作臺上方423模型建立

將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比，記作，設(shè)帶走的產(chǎn)品數(shù)為,生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)為，則。需求出。得到的步驟如下：（均對一周期而言）任一只鉤子被一名工人觸到的概率是；任一只鉤子不被一名工人觸到的概率是；由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性，任一只鉤子不被所有個工人掛上產(chǎn)品的概率，即任一只鉤子為空鉤的概率是；任一只鉤子非空的概率是。

如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上鉤子的概率，這與工人所在的位置有關(guān)（如第1個工人一定可掛上），這樣使問題復(fù)雜化。我們從鉤子角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下鉤子沒有次序，處于同等地位。若能對一周期內(nèi)的只鉤子求出每只鉤子非空的概率，則。3模型建立

將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的產(chǎn)43傳送系統(tǒng)的效率指標(biāo)為為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù)相對于工人數(shù)較大，即較小的情況下，將多項(xiàng)式展開后只取前3項(xiàng)，則有如果將一周期內(nèi)未帶走的產(chǎn)品數(shù)與全部產(chǎn)品數(shù)之比記作再假定，則當(dāng)時，上式給出的結(jié)果為用的精確表達(dá)式計(jì)算得傳送系統(tǒng)的效率指標(biāo)為為了得到比較簡單的結(jié)果，在鉤子數(shù)444模型評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生產(chǎn)周期不變，掛不上鉤子的產(chǎn)品退出系統(tǒng)等是不現(xiàn)實(shí)的，但模型的意義在于，一方面利用基本合理的假設(shè)將問題簡化到能夠建模的程度，并用簡單的方法得到結(jié)果；另一方面所得到的簡化結(jié)果具有非常簡單的意義：指標(biāo)與成正比，與成反比。通常工人數(shù)目是固定的，一周期內(nèi)通過的鉤子數(shù)增加一倍，可使“效率”降低一倍。思考：如何改進(jìn)模型使“效率”降低？（可理解為相反意義的效率）4模型評價這個模型是在理想情況下得到的，其中一些假設(shè)，如生45考慮通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來放置一只鉤子處放置的兩只鉤子成為一個鉤對。一周期內(nèi)通過個鉤對，任一鉤對被任意工人觸到的概率，不被觸到的概率，于是任一鉤對為空的概率是，鉤對上只掛一件產(chǎn)品的概率是，一周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是按照上一模型的定義，有考慮通過增加鉤子數(shù)來使效率降低的方法：在原來放置一只鉤子處放46和的近似展開，可得展開取4項(xiàng)，展開取3項(xiàng)。而上一模型中的方法有有當(dāng)時，，所以該模型提供的方法比上一個模型好。注意：利用和的近似展開，可得展開取4項(xiàng)，展開取3項(xiàng)。而上一模型中的方法47二報童的訣竅問題：

報童每天清晨從報社購進(jìn)報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設(shè)報紙每份的購進(jìn)價為b，零售價為a，退回價為c，假設(shè)a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進(jìn)報紙?zhí)啵u不完會賠錢；購進(jìn)太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進(jìn)報紙的數(shù)量，以獲得最大收入。二報童的訣竅問題：48模型分析：購進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報童已通過自己的經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報紙的需求量為份的概率是(r=0,1,2,…)有了和，就可以建立關(guān)于購進(jìn)量的優(yōu)化模型。模型分析：購進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報童已通過49模型建立：假設(shè)每天購進(jìn)量是n份，需求量r是隨機(jī)的，r可以小于，等于或大于n，所以報童每天的收入也是隨機(jī)的。那么，作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能取每天的收入，而取長期賣報（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報童每天收入的期望值，簡稱平均收入。記報童每天購進(jìn)份報紙的平均收入為，如果這天的需求量，則售出份，退回份；如果需求量則份將全部售出。需求量為的概率是，則問題歸結(jié)為在已知時，求使最大。模型建立：假設(shè)每天購進(jìn)量是n份，需求量r是隨機(jī)的，r可以小于50

模型求解：通常需求量r和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量便于分析和計(jì)算，這時概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)計(jì)算則

模型求解：通常需求量r和購進(jìn)量n都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量51令使報童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量，得到應(yīng)滿足上式。因?yàn)?，所以根?jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購進(jìn)量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr令使報童日平均收入達(dá)到最大的購進(jìn)量，得到應(yīng)滿足上式。因?yàn)?，?2因?yàn)楫?dāng)購進(jìn)超過份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率；是需求量的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。因?yàn)楫?dāng)購進(jìn)超過份報紙時，是需求量不超過的概率，即賣不完的概率53結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。練習(xí)：利用上述模型計(jì)算，若每份報紙的購進(jìn)價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？結(jié)論：當(dāng)報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大54三牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型預(yù)測在不同價格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費(fèi)用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期三牙膏的銷售量問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的55基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x2~公司廣告費(fèi)用x2yx1yx1,x2~解釋變量(回歸變量,自變量)y~被解釋變量（因變量）0,1

,2,3~回歸系數(shù)~隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）基本模型y~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x256MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~的估計(jì)值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

R2,F,p

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱模型求解[b,bint,r,rin57結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值p遠(yuǎn)小于=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近)x2對因變量y的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間58銷售量預(yù)測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計(jì)x3調(diào)整x4控制價格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=650萬元銷售量預(yù)測區(qū)間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標(biāo)值下限用來把握公司的現(xiàn)金流若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上控制x1通過x1,x2預(yù)測y(百萬支)銷售量預(yù)測價格差x1=其它廠家價格x3-本公司價格x4估計(jì)59模型改進(jìn)x1和x2對y的影響?yīng)毩?/p>

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.00000123參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771