量子力學(xué)復(fù)習(xí)資料

量子力學(xué)

[填空題]

1熱力學(xué)第一定律ΔU=Q+W?只適用于

參考答案：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。按這種解釋，描寫(xiě)粒子的波是幾率波。

[填空題]

2根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，說(shuō)明量子力學(xué)中的波函數(shù)與描述聲波、光波等其它波動(dòng)過(guò)程的波函數(shù)的區(qū)別。

參考答案：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因?yàn)榱Ｗ颖囟ㄒ诳臻g某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度的絕對(duì)大??；

因而將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動(dòng)過(guò)程所沒(méi)有的。

[填空題]

3什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？

參考答案：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。

在定態(tài)中，所有不顯含時(shí)間的力學(xué)量的幾率密度及向率流密度都不隨時(shí)間變化。

[填空題]

4為什么表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符？

參考答案：因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。

而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實(shí)數(shù)。

厄米算符的本征值必定是實(shí)數(shù)。

所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。

[填空題]

5請(qǐng)寫(xiě)出微擾理論適用條件的表達(dá)式。

參考答案：

[填空題]

6試簡(jiǎn)述微擾論的基本思想。

參考答案：

[填空題]

7簡(jiǎn)述兩個(gè)算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說(shuō)明（要求寫(xiě)出本征函數(shù)系）。在這些態(tài)中，測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量時(shí)，兩個(gè)測(cè)量值是否可以同時(shí)確定？

參考答案：

[填空題]

8請(qǐng)寫(xiě)出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。

參考答案：

[填空題]

9指出下列算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其理由。

參考答案：

[填空題]

10下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？

參考答案：

[填空題]

11問(wèn)下列算符是否是厄米算符：

參考答案：

[填空題]

12全同粒子體系的波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

參考答案：描寫(xiě)全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的，且它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。

[填空題]

13試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。

參考答案：證明：考慮一維情況

[填空題]

14已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符和共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為,取試證明:也是和共同本征函數(shù),對(duì)應(yīng)本征值分別為:。

參考答案：

[填空題]

15在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。

參考答案：

[填空題]

16如果算符滿足關(guān)系式，求證

參考答案：

[填空題]

17和組成的正交歸一系。

參考答案：

[填空題]

18對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子（如圖所示）證明并證明當(dāng)n→∞時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。

參考答案：

[填空題]

19設(shè)算符A，B與它們的對(duì)易式[A，B]都對(duì)易。證明

參考答案：

[填空題]

20定義（反對(duì)易式）證明：

參考答案：

[填空題]

21證明力學(xué)量A?（不顯含t）的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：

參考答案：

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[填空題]

22試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。

參考答案：

[填空題]

23由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：從所得結(jié)果說(shuō)明ψ1表示向外傳播的球面波，ψ2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。

參考答案：

[填空題]

24一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

參考答案：

[填空題]

25求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。

參考答案：

[填空題]

26氫原子處在基態(tài)（1）r的平均值；（2）勢(shì)能的平均值；（3）最可幾半徑；（4）動(dòng)能的平均值；（5）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。

參考答案：

[填空題]

27設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能.

參考答案：

[填空題]

28設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。

參考答案：

[填空題]

29證明：如果算符都是厄米的，那么也是厄米的

參考答案：

[填空題]

30求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元。

參考答案：

[填空題]

31求能量表象中，一維無(wú)限深勢(shì)阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元。

參考答案：

[填空題]

32求連續(xù)性方程的矩陣表示

參考答案：

[填空題]

33設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個(gè)能級(jí)：現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。

參考答案：

[填空題]

34計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率

參考答案：

[填空題]

35求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則

參考答案：

[填空題]

36求在自旋態(tài)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：

參考答案：

[填空題]

37求的本征值和所屬的本征函數(shù)。

參考答案：

[填空題]

38求自旋角動(dòng)量方向的投影本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測(cè)量有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？的平均值是多少？

參考答案：

[填空題]

39一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？

參考答案：

[填空題]

40設(shè)體系處于態(tài)，求?（1）的可能測(cè)值及其平均值。?（2）的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。（3）的可能測(cè)值。

參考答案：

[填空題]

41設(shè)粒子處在寬度為a的無(wú)限深勢(shì)阱中，求能量表象中粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的矩陣表示。

參考答案：

[填空題]

42求一維諧振子的坐標(biāo)及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。提示：可利用公式：

參考答案：

[填空題]

43質(zhì)量為μ的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。設(shè)狀態(tài)由波函數(shù)?描述。求（1）粒子能量的可能值及相應(yīng)的幾率；（2）粒子的平均能量E；（3）寫(xiě)出狀態(tài)在能量表象中的波函數(shù)。

參考答案：

[填空題]

44設(shè)在（無(wú)微擾時(shí)的哈密頓算符）表象中，的矩陣表示為其中試用微擾論求能級(jí)二級(jí)修正。

參考答案：

[填空題]

45已知厄密算符是二行二列矩陣且（1）求算的本征值（2）在A表象下求算符的矩陣表示

參考答案：

[填空題]

46（1）粒子在二維無(wú)限深方勢(shì)阱請(qǐng)寫(xiě)出能級(jí)和能量本征函數(shù)；請(qǐng)寫(xiě)出能級(jí)和能量本征函數(shù)；

參考答案：

[填空題]

47證明的一個(gè)本征函數(shù)并求出相應(yīng)的本征值；并求x在ψ（x）態(tài)中的平均值。

參考答案：

[填空題]

48在公式求C2的值

參考答案：

[填空題]

49求在球諧函數(shù)所描述的態(tài)中力學(xué)量的平均值。

參考答案：

[填空題]

50由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λm與溫度T成反比，即并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。

參考答案：

[填空題]

51在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。

參考答案：

[填空題]

52利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T，玻爾磁子，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔△E，并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。

參考答案：

[填空題]

53兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？

參考答案：

[填空題]

54證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。

參考答案：

[填空題]

55一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

參考答案：

[填空題]

56證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是

參考答案：