電磁場理論第1章：矢量與場論

第一章矢量分析1.1場的概念1.1.0對點、線、面、體積的再認(rèn)識（補充）1.1.1矢性函數(shù)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點P，它是一個既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，如電場強度E、磁場強度H、速度v等等。若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢量，如某物體所受到的重力。而在實際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢量，如沿著某一曲線物體運動的速度v等。設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢量，對于某一區(qū)間G［a,b］內(nèi)的每一個數(shù)值t,A都有一個確定的矢量A(t)與之對應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A

(t)也可用其坐標(biāo)表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。同一矢量在不同坐標(biāo)系下有不同的表達式?。ㄒ姾螅?.1.2標(biāo)量場和矢量場如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數(shù)學(xué)上只需用一個代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場稱為標(biāo)量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。

1.1.3矢量的加、減、點乘與叉乘（補充）

在標(biāo)量場φ(M)中的一點M處，其方向為函數(shù)φ(M)在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場φ(M)在M點處的梯度。在直角坐標(biāo)系中，梯度的表達式為:1.2標(biāo)量場的梯度

數(shù)學(xué)上從定義可推得在不同坐標(biāo)系下的表達式設(shè)c為一常數(shù)，u和v為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。

R為空間兩點(x,y,z)與(x’,y’,z’)的距離

例1

矢量r=xex+yey+zez，證明：

證：因為所以*例2.

已知位于原點處的點電荷q在點M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場強度與電位的關(guān)系是E=-▽φ，求電場強度E。解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·▽

u的運算法則，1.3矢量場的通量和散度1.3.1矢量場的通量將曲面的一個面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向，其大小為dS，即n是面元法線方向的單位矢量。n的指向數(shù)學(xué)約定有兩種情況：對非閉合曲面，則選定封閉曲線L繞行的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向；對閉合曲面，面元法線方向約定向外。如圖1-3所示；圖1-3法線方向的取法將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場A穿過整個曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：如果曲面是一個封閉曲面，則1.3.2矢量場的散度稱此極限為矢量場A在某點的散度，即散度的定義式為矢量場A的散度經(jīng)推導(dǎo)，可表示為：性質(zhì):

數(shù)學(xué)上從定義可推得在不同坐標(biāo)系下的表達式

散度定理記為定義：1.4矢量場的環(huán)量和旋度在力場中，某一質(zhì)點沿著指定的曲線c運動時，力場所做的功可表示為力場F沿曲線c的線積分，即圖1-5矢量場的環(huán)量1.4.2矢量場的旋度將上極限值定義為A的旋度(旋度值是矢量)在法線方向的投影,即:原始定義：

數(shù)學(xué)上從定義可推得在不同坐標(biāo)系下的表達式,在直角坐標(biāo)系下有:上式可用下行列式幫助記憶:可以證明，有下列恒等式：1.4.3斯托克斯定理此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dL的方向成右手螺旋關(guān)系。例1-12

求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1，0，1)處的旋度。解：矢量場A的旋度例1-13

在坐標(biāo)原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E。解：1.5圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.5.1圓柱坐標(biāo)系圖1-7圓柱坐標(biāo)系同一矢量在不同坐標(biāo)系下有各自的表達式1.5.2球面坐標(biāo)系圖