線性代數3學分-復習-第二章

pcij

ai1b1

j

ai2b2

j

ip

pjik

kj

a

b

a

b

.k

1注意：1.

在定義乘積AB時,

要求A的列數與B的行數相等.2.

AB的行數=A的行數,AB的列數=B的列數.3.乘法交換率一般不成立.即AB≠BA.A

0,

B

0

AB

0.A

0,

AB

AC

B

C.第二章矩陣及其運算一.矩陣的運算.（一）加法，減法，數量乘法.（二）矩陣乘法.設A(aij)是一個mp矩陣

B(Bij)是一個pn矩陣

定義AB=C(cij)m

n

其中性質1.

結合律(AB)CA(BC)2.左分配律A(BC)ABAC右分配率(BC)ABACA;

(AB)(A)BA(B)

(其中為數);4.AmnEn=

EmAmn

Amn（三）矩陣的轉置.性質:1.(AT)TA2.

(AB)TATBT3.(A)TAT4.(AB)TBTAT（四）矩陣的行列式.性質：1.

|AT||A||A|n|A|其中n為矩陣A的階數|AB||A||B|二.可逆矩陣：設A

是n階矩陣.若存在n階矩陣B

使得ABBAE則稱矩陣A是可逆的

并稱B為A的逆矩陣

簡稱為A的逆|

A

|定理.|

A

|

0

A

可逆,且A1

1

A*,其中A*

為A的伴隨矩陣.性質:1.

若A可逆

則A1也可逆

且(A1)1A若A可逆

數0

則A可逆

且(A)11A1若A可逆

則AT也可逆

且(AT

)1(A1)T

若A,B可逆

則AB可逆

且(AB)1B1A1推廣:若A

1

,,As

可逆,則A

A1

2

s

可逆,且(

A

AA

11

2

sA

)1

A

1s2A

A

11.

1|

A

|5若A可逆,則|

A1

|000k

10

k1m

0(1

)0.(

)

()

2.

若

,則k

，且m

設(x)a0a1x

amxm為x的m次多項式

A為n階矩陣

記(A)a0Ea1A

amAm.則(A)稱為矩陣A的多項式矩陣多項式性質：1.如果APBP1

則Ak

PBk

P1

,且(A)

P(B)P1.1100km

0

P1.

0

k

m

m

所以若A

P

P1,則Ak

P

11n1nqBs,

BBs

A111q

11t

Bsn

ms

A

A

m1

mpp1

pt

t1

tq

B

tA性質1.設A其中Aik

是mi行，sk

列的矩陣，Bkj是sk

行nj

列的矩陣.則11p11q

Cpq

C

C

AB

C

，其中C

A

Bij

ik

kj i1

1

j i2

2

j

A

B

A

B

Ait

Btj

.k注意:1.

在性質2中要求左邊矩陣A的列的分塊與右邊矩陣B的行的分塊一致,2.

注意乘積順序是AikBkj,而不是BkjAik。三.矩陣的分塊.s1

st1

1000AB

A

1

B10

AB.As

Bs

(1).

設A

,

B

,其中Ai

,Bi是方陣,(稱之為

0

s

s

分塊對角矩陣.),Ai的階數

Bi的階數.則AB

02.分塊對角陣的性質1100ki0

Ak

A

Ak0As

s

,(2).

設A

,其中A

是方陣,則A

且|

A

||

A1

||

Ak

|

.11001

A

A100AA

s

s

.若A

1可逆,則A

11

110

10

(i

0).s

s

0特別的,

01

0

B1=

.A1

0

B

0

A

0

3.設n

階矩陣A與m

階矩陣B可逆.則(*)21

1 22

22n

n

2

a11x1

a12

x2

a1nxn

b1

ax

a

x

a

x

bam1x1

am2

x2

amn

xn

bm線性方程組:其中x1,

x2

, ,xn是未知數.211na

a

x1

b1

x

b

a

x

b

m1

m22n

(

,,

),

X

2

,

2

.

a1n

aa

a11

a12

a22mn

記A

（*）可以用矩陣乘法來表示：

n

m

AX

.AX

(矩陣方程)

x11

xnn

(向量方程).A

稱為系數矩陣，(A,

)稱為增廣矩陣.伴隨矩陣的性質.1.

設A為n階方陣，A

A1n

A2nAnn

An2

12An1

A11

A21A

A221稱為矩陣A的伴隨矩陣，其中Aij是|A|的(i,j)元的代數

式.則AA*A*A|A|E1*2.

|

A

|

0

A可逆,且A

A

.|

A

|設A可逆.則A*可逆,且(A*

)1

(