數(shù)值分析試驗(yàn)冪法與反冪法matlab

一、問題的描述與算法設(shè)計(jì)問題的描述我所要做的課題是：對稱矩陣的條件數(shù)的求解設(shè)計(jì)1、求矩陣入的二條件數(shù)2-10問題A=-12-10-122、設(shè)計(jì)容：采用幕法求出A的.采用反幕法求出A的.計(jì)算A的條件數(shù)IIAiyIIA-iII2=cond2(A)=/.(精度要求為10-6)3、設(shè)計(jì)要求求出iiaii2。并進(jìn)行一定的理論分析。算法設(shè)計(jì)1、幕法算法取初始向量U(0)(例如取U(0)二(1,1,???1)t)，置精度要求￡，置k=1.計(jì)算v(k)=Au(k-1),m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|m廣mk1|<￡，則停止計(jì)算(山左作為絕對值最大特征值入1,u(k)作為相應(yīng)的特征向量)否則置k=k+1,轉(zhuǎn)(2)2、反幕法算法取初始向量U(0)(例如取u(0)二(1,1,???1)T)，置精度要求￡，置k=1.對A作LU分解，即A=LU解線性方程組Ly(k)=u(k-1),Uv(k)=y(k)計(jì)算m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|mk=mk1|<￡，則停止計(jì)算(1/m"作為絕對值最小特征值人，u(k)作為相應(yīng)的特征向量)；否則置k=k+1，轉(zhuǎn)(3).（一）冪法算法的流程圖三、算法的理論依據(jù)與其推導(dǎo)（一）冪法算法的理論依據(jù)與推導(dǎo)幕法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。幕法的一個很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應(yīng)的特征向量。實(shí)際上，幕法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、幕法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)n階矩陣A的特征值人1，人2，…，氣是按絕對值大小編號的，x（i=1,2,…,n）為對應(yīng)七的特征向量，且人1為單根，艮即’|人|>|人|M??N|人|則計(jì)算最大特征值與特征向量的迭代格式為v（k）=Au（k-i）,m=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（1）其中max（v（k））表示向量v（k）絕對值的最大分量。2、對于幕法的定理按式（1）計(jì)算出口比和u（k）滿足1巧mk土，巧u⑴=商51（二）反冪法算法的理論依據(jù)與推導(dǎo)反幕法是用來計(jì)算絕對值最小的特征值忽然相應(yīng)的特征向量的方法。是對幕法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反幕法的迭代格式與收斂性質(zhì)設(shè)A是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設(shè)特征值為|婦N|人|M??N|人|>|人|TOC\o"1-5"\h\z12n-1n則按A-1的特征值絕對值的大小排序，有|-|>|—|MP|1|nn-11對A-1實(shí)行幕法，就可得A-1的絕對值最大的特征值1/氣和相應(yīng)的特征向量，即A的絕對值最小的特征值和相應(yīng)的特征向量。"由于用A-1代替A作幕法計(jì)算，因此該方法稱為反幕法，反幕法的迭代格式為v（k）=A-1u（k-1）,mk=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（2）2、對于反幕法的定理按式（2）計(jì)算出的mk和u（k）滿足：limm=—,limu（k）=—L—k一＞8k人nk一＞8max（L）在式（2）中，需要用到A-1，這給計(jì)算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組Av（k）=u（k-1）（3）但由于在反幕法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復(fù)計(jì)算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣A作LU分解，即A=LU所以線性方程組（3）改為Ly（k）=u（k-i）,Uv（k）=y（k）四、相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（一）冪法程序的運(yùn)行結(jié)果m=3.4142u=-0.7071index=11.0000-0.7071（二）反幕法程序的運(yùn)行結(jié)果m0=0.5858u=0.7071index=11.00000.7071（三）矩陣A的二條件數(shù)的結(jié)果IIAII2*IIA-1II2=cond2（A）=m/m0=3.4142/0.5858=5.828269五、數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析求n階方陣A的特征值和特征向量，是實(shí)際計(jì)算中常常碰到的問題。對于n階矩陣A，若存在數(shù)人和n維向量x滿足Ax=人x（1）則稱人為矩陣A的特征值，乂為相應(yīng)的特征向量。由線性代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程|人I_A|=人n+a1人n-1+???+&人+a=0(2)的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程(2)的根，就能得到特征值人，再解齊次方程組(人I-A)x=0(3)的解，就可得到相應(yīng)的特征向量。上述方法對于n很小時是可以的。但當(dāng)n稍大時，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計(jì)算帶有誤差，方程(2)未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程(2)與(3)的困難了。本次實(shí)驗(yàn)所用的幕法和反幕法分別是求解最大特征值和最小特征值，并根據(jù)它們的結(jié)果求解二條件數(shù)。幕法和反幕法的Matlab程序很好的解決了手算時所會遇到的麻煩。通過實(shí)驗(yàn)我們可以看到，幕法程序可以用來計(jì)算矩陣絕對值最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。幕法的缺點(diǎn)是開始的時候并不知道矩陣是否有單一的主特征值。也不知道如何選擇x0以保證它關(guān)于矩陣特征向量的表達(dá)中包含一個與主特征值相關(guān)的非零特征向量。反幕法程序可以用來計(jì)算矩陣絕對值最小的特征值與相應(yīng)的特征向量，反幕法的收斂是線性的，它是對幕法的修改，可以給出更快的收斂性。六、附件(一)冪法程序/*幕法程序，函數(shù)名：pow.m*/function[m,u,index]=pow(A,ep,N)%A^矩陣；ep為精度要求；N為最大迭代次數(shù)；m為絕對值最大的特征值；u為對應(yīng)最大特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;whilek<=Nv=A*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;end輸入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow(A,1e-6)(二)反冪法程序/*反幕法程序，函數(shù)名：pow_inv.m*/function[m,u,index]=pow_inv(A,ep,N)%A為矩陣；ep為精度要求；N為最大迭代次數(shù)；m0為絕對值最小的特征值；u為對應(yīng)最小特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;invA=inv(A);whilek<=Nv=invA*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1m;k=k+1;endm=1/m;輸入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow_inv(A,1e-6)七、參考文獻(xiàn)：薛毅.數(shù)值分