數(shù)值分析試驗冪法與反冪法matlab

一、問題的描述與算法設計問題的描述我所要做的課題是：對稱矩陣的條件數(shù)的求解設計1、求矩陣入的二條件數(shù)2-10問題A=-12-10-122、設計容：采用幕法求出A的.采用反幕法求出A的.計算A的條件數(shù)IIAiyIIA-iII2=cond2(A)=/.(精度要求為10-6)3、設計要求求出iiaii2。并進行一定的理論分析。算法設計1、幕法算法取初始向量U(0)(例如取U(0)二(1,1,???1)t)，置精度要求￡，置k=1.計算v(k)=Au(k-1),m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|m廣mk1|<￡，則停止計算(山左作為絕對值最大特征值入1,u(k)作為相應的特征向量)否則置k=k+1,轉(zhuǎn)(2)2、反幕法算法取初始向量U(0)(例如取u(0)二(1,1,???1)T)，置精度要求￡，置k=1.對A作LU分解，即A=LU解線性方程組Ly(k)=u(k-1),Uv(k)=y(k)計算m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|mk=mk1|<￡，則停止計算(1/m"作為絕對值最小特征值人，u(k)作為相應的特征向量)；否則置k=k+1，轉(zhuǎn)(3).（一）冪法算法的流程圖三、算法的理論依據(jù)與其推導（一）冪法算法的理論依據(jù)與推導幕法是用來確定矩陣的主特征值的一種迭代方法，也即，絕對值最大的特征值。稍微修改該方法，也可以用來確定其他特征值。幕法的一個很有用的特性是它不僅可以生成特征值，而且可以生成相應的特征向量。實際上，幕法經(jīng)常用來求通過其他方法確定的特征值的特征向量。1、幕法的迭代格式與收斂性質(zhì)設n階矩陣A的特征值人1，人2，…，氣是按絕對值大小編號的，x（i=1,2,…,n）為對應七的特征向量，且人1為單根，艮即’|人|>|人|M??N|人|則計算最大特征值與特征向量的迭代格式為v（k）=Au（k-i）,m=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（1）其中max（v（k））表示向量v（k）絕對值的最大分量。2、對于幕法的定理按式（1）計算出口比和u（k）滿足1巧mk土，巧u⑴=商51（二）反冪法算法的理論依據(jù)與推導反幕法是用來計算絕對值最小的特征值忽然相應的特征向量的方法。是對幕法的修改，可以給出更快的收斂性。1、反幕法的迭代格式與收斂性質(zhì)設A是非奇異矩陣，則零不是特征值，并設特征值為|婦N|人|M??N|人|>|人|TOC\o"1-5"\h\z12n-1n則按A-1的特征值絕對值的大小排序，有|-|>|—|MP|1|nn-11對A-1實行幕法，就可得A-1的絕對值最大的特征值1/氣和相應的特征向量，即A的絕對值最小的特征值和相應的特征向量。"由于用A-1代替A作幕法計算，因此該方法稱為反幕法，反幕法的迭代格式為v（k）=A-1u（k-1）,mk=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（2）2、對于反幕法的定理按式（2）計算出的mk和u（k）滿足：limm=—,limu（k）=—L—k一＞8k人nk一＞8max（L）在式（2）中，需要用到A-1，這給計算帶來很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改為求解線性方程組Av（k）=u（k-1）（3）但由于在反幕法中，每一步迭代都需求解線性方程組（3）式，迭代做了大量的重復計算，為了節(jié)省工作量，可事先把矩陣A作LU分解，即A=LU所以線性方程組（3）改為Ly（k）=u（k-i）,Uv（k）=y（k）四、相關(guān)的數(shù)值結(jié)果（一）冪法程序的運行結(jié)果m=3.4142u=-0.7071index=11.0000-0.7071（二）反幕法程序的運行結(jié)果m0=0.5858u=0.7071index=11.00000.7071（三）矩陣A的二條件數(shù)的結(jié)果IIAII2*IIA-1II2=cond2（A）=m/m0=3.4142/0.5858=5.828269五、數(shù)值計算結(jié)果的分析求n階方陣A的特征值和特征向量，是實際計算中常常碰到的問題。對于n階矩陣A，若存在數(shù)人和n維向量x滿足Ax=人x（1）則稱人為矩陣A的特征值，乂為相應的特征向量。由線性代數(shù)知識可知，特征值是代數(shù)方程|人I_A|=人n+a1人n-1+???+&人+a=0(2)的根。從表面上看，矩陣特征值與特征向量的求解問題似乎很簡單，只需求解方程(2)的根，就能得到特征值人，再解齊次方程組(人I-A)x=0(3)的解，就可得到相應的特征向量。上述方法對于n很小時是可以的。但當n稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算帶有誤差，方程(2)未必是精確的特征方程，自然就不必說求解方程(2)與(3)的困難了。本次實驗所用的幕法和反幕法分別是求解最大特征值和最小特征值，并根據(jù)它們的結(jié)果求解二條件數(shù)。幕法和反幕法的Matlab程序很好的解決了手算時所會遇到的麻煩。通過實驗我們可以看到，幕法程序可以用來計算矩陣絕對值最大的特征值與相應的特征向量。幕法的缺點是開始的時候并不知道矩陣是否有單一的主特征值。也不知道如何選擇x0以保證它關(guān)于矩陣特征向量的表達中包含一個與主特征值相關(guān)的非零特征向量。反幕法程序可以用來計算矩陣絕對值最小的特征值與相應的特征向量，反幕法的收斂是線性的，它是對幕法的修改，可以給出更快的收斂性。六、附件(一)冪法程序/*幕法程序，函數(shù)名：pow.m*/function[m,u,index]=pow(A,ep,N)%A^矩陣；ep為精度要求；N為最大迭代次數(shù)；m為絕對值最大的特征值；u為對應最大特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;whilek<=Nv=A*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;end輸入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow(A,1e-6)(二)反冪法程序/*反幕法程序，函數(shù)名：pow_inv.m*/function[m,u,index]=pow_inv(A,ep,N)%A為矩陣；ep為精度要求；N為最大迭代次數(shù)；m0為絕對值最小的特征值；u為對應最小特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;invA=inv(A);whilek<=Nv=invA*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1m;k=k+1;endm=1/m;輸入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow_inv(A,1e-6)七、參考文獻：薛毅.數(shù)值分