33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件

§33隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì)

§33隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向今日要點(diǎn)1.二元離散型隨機(jī)變量的計(jì)算3.二元連續(xù)型隨機(jī)變量的計(jì)算4.二元最大最小值的計(jì)算2.二元離散型隨機(jī)變量的導(dǎo)出5.二元隨機(jī)變量的期望性質(zhì)與計(jì)算EXYE(X+Y)今日要點(diǎn)1.二元離散型隨機(jī)變量的計(jì)算3.二元連續(xù)型隨機(jī)變量的33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件本節(jié)內(nèi)容簡介：Z=g(X,Y)分布函數(shù)密度函數(shù)求解復(fù)習(xí)部分：1.連續(xù)二元分布的聯(lián)合邊緣條件概率獨(dú)立性等正態(tài)分布舉例2.離散型Z=g(X),Z=g(X,Y)的分布求解方法eg3.13Z=g(X)的分布求解方法？2.5節(jié)方法P(Y≤y)新授1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式體系；雅科比法;2.實(shí)踐應(yīng)用1)無界區(qū)間公式法2)有界區(qū)間傳統(tǒng)分布函數(shù)法3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及應(yīng)用3.期望的性質(zhì)及其應(yīng)用舉例，最優(yōu)進(jìn)貨量模型本節(jié)內(nèi)容簡介：Z=g(X,Y)分布函數(shù)密度函數(shù)求解復(fù)習(xí)部分：一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

設(shè)(X

Y)是二維離散型隨機(jī)向量

g(x

y)是一個(gè)二元函數(shù)則g(X

Y)作為(X

Y)的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量

如果(X

Y)的概率分布為

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

記zk(k12

)為Zg(X

Y)的所有可能取值則Z概率分布為P{Zzk}P{g(X

Y)zk}一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布設(shè)(XY)Page90例312(1)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

1

0

1

2

3

4

的概率分布為

解

P{1}P{XY1}P{X0

Y1}01

P{0}P{XY0}P{X0

Y0}P{X1

Y1}05

P{1}P{XY1}02

P{X1

Y0}P{X2

Y1}P{2}P{XY2}P{X0

Y2}P{X2

Y0}0

P{3}P{XY3}P{X1

Y2}01

P{4}P{XY4}P{X2

Y2}01

Page90例312(1)已知(XY)的概率分布

例312(2)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

2

1

0

4

的概率分布為

解

P{2}P{X2

Y1}015

P{1}P{X1

Y1}03

P{0}P{X0

Y1}P{X0

Y0}P{X0

Y2}P{X1

Y0}P{X2

Y0}035

P{2}P{X1

Y2}01

P{4}P{X2

Y2}01

例312(2)已知(XY)的概率分

P{k}P{XYk}

例313設(shè)X

Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量分別服從參數(shù)為1和2的泊松分布求XY的分布

解

可見XY服從參數(shù)為12的泊松分布進(jìn)貨/原料/產(chǎn)品……實(shí)際應(yīng)用1:蘇寧/國美電器大賣場，根據(jù)每天/周的銷售狀況估計(jì)一個(gè)月的銷售X1,X2…～P(λ1),P(λ2)…→∑Xi～P(∑λi)實(shí)際應(yīng)用2:某類型產(chǎn)品的分布，eg電視21寸，25，29，33…P{k}P{XYk}離散型分布的公式法求解步驟+離散卷積公式1小結(jié)：聯(lián)合分布P(X=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)→Z的分布:P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=zkP{X=xi,Y=yj}P(Z=zk)=∑g(xi,yj)=ZkPij例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中i,j=0,1,…,若X,Y相互獨(dú)立，則Z=X+Y的分布為:P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k-i)=∑i=0kP(X=i)P(Y=k-i)=a0bk+a1bk-1+…+akb0→P(Z=X+Y=k)=a0bk+a1bk-1+…+akb0例2:X～b(n,P),Y～b(m,P)→X+Y～b(n+m,P)理解:二項(xiàng)分布n次試驗(yàn)+m次試驗(yàn)=n+m次試驗(yàn)2小結(jié):二項(xiàng)分布+二項(xiàng)分布=二項(xiàng)分布泊松分布+泊松分布=泊松分布正態(tài)分布+正態(tài)分布=正態(tài)分布離散型分布的公式法求解步驟+離散卷積公式1小結(jié)：聯(lián)合分布P二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)fz(3)=P(X+Y=3)zZfz(1)=P(X+Y=1)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123fz(2)=P(X+Y=2)fz(z)=P(X+Y=z)fZ(z)=P(Z=z)

=P(X+Y=z)FZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZ二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123X+Y=z二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

０、Zg(X

Y)的分布:設(shè)(X

Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量

其概率密度函數(shù)為f(x

y)令g(x

y)為一個(gè)二元函數(shù)則Zg(X

Y)的分布函數(shù)為FZ(z)∫?∞zfZ(z)dz

P{Zz}P{g(X

Y)z}P{(X

Y)Dz}其中Dz{(x

y)|g(x

y)

z}

繼而其密度函數(shù)fZ(z)對幾乎所有的z有Z(z)

(337)

fZ(z)F

GZ(z)

二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布０、Zg(XY)１、X+Y分布：例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x

y)求XY的密度函數(shù)

對任意z令Dz{(x

y)|xyz}則

解1

FZ(z)P{Zz}P{XYz}解2

FZ(z)P{Zz}P{XYz}=∫?∞∞dy∫?∞z-yf(x,y)dx=G(z)

→fZ(z)=d[∫?∞∞∫?∞z-yf(x,y)dxdy]dz=∫?∞∞f(z-y,y)dy１、X+Y分布：例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x

y)求XY的密度函數(shù)

對任意z令Dz{(x

y)|xyz}則

解

FZ(z)P{Zz}P{XYz}于是有易見交換積分次序我們亦可得到特別地如果X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量則例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(XY)

證明:可以只證明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即可，其余同理可得證明:可以只證明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即可，其余同理可

證明證明獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的分布則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分布且其中a

b不全為0

這一結(jié)論還可以推廣到n個(gè)隨機(jī)變量的情形

不變:泊松分布,正態(tài)分布,x2(1)分布;?應(yīng)用到進(jìn)貨生產(chǎn)領(lǐng)域變:指數(shù)分布,均勻分布練習(xí)：設(shè)某商品每周需求量X～f(x)=xe-x,x>0,如果各周需求量相互獨(dú)立，求2周需求量的概率密度函數(shù)。設(shè)Z=X+Y分析：fX(x)=xe-x,x>0;fY(y)=ye-y,y>0

→z≤0,fZ(z)=0

0,x≤00,y≤0→z>0,fZ(z)=z3?e-z/6fZ(z)=∫?∞∞f(z-y,y)dy=∫?∞∞f(x,z-x)dx=∫?∞zf(x,z-x)dx=∫?∞zfX(x)fY(z-x)dx=∫?∞zxe-x

(z-x)e-(z-x)dx=z3?e-z/6獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的分布則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分

例316設(shè)二維隨機(jī)向量(X

Y)的密度函數(shù)為f(x

y)求ZX/Y的密度函數(shù)

解于是Z的密度函數(shù)為２、Ｚ=X/Y隨機(jī)變量的商的分布例316設(shè)二維隨機(jī)向量(XY)的密

３、Ｚ＝XY的分布：例318

設(shè)二維隨機(jī)向量(X

Y)在矩形G{(x

y)|0x20y1}上服從均勻分布試求邊長為X和Y的矩形面積S的密度函數(shù)f(s)

解

令F(s)為S的分布函數(shù)則當(dāng)s0時(shí)

F(s)P{Ss}0

于是當(dāng)0s2時(shí)有當(dāng)s2時(shí)

F(s)P{Ss}1

３、Ｚ＝XY的分布：解

例317(1)設(shè)X

Y的分布函數(shù)分別為F(x)

G(x)密度函數(shù)分別為f(x)

g(x)且X與Y相互獨(dú)立求Mmax{X

Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)

FM(z)P{Mz}

解P{Xz

Yz}P{Xz}P{Yz}F(z)G(z)(346)于是M的密度函數(shù)為f(z)G(z)F(z)g(z)(347)fM(z)F

M(z)F

(z)G(z)F(z)G(z)4、隨機(jī)變量最大值與最小值的分布:Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

M的分布函數(shù)為例317(1)設(shè)XY的分布函數(shù)分別

N的分布函數(shù)為FN(z)P{Nz}P({Xz}∪{Yz})1P{Xz

Yz}1P{Xz}P{Yz}1[1F(z)][1G(z)](348)于是N的密度函數(shù)為4、隨機(jī)變量最大值與最小值的分布Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

例317(2)設(shè)X

Y的分布函數(shù)分別為F(x)

G(x)密度函數(shù)分別為f(x)

g(x)且X與Y相互獨(dú)立求Nmin{X

Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)

解f(z)[1G(z)]g(z)[1F(z)](349)fN(z)F

N(z)N的分布函數(shù)為FN(z)P{Nz}P({Xz}實(shí)踐舉例109吳贛昌人大理工版案例：設(shè)某電子設(shè)備系統(tǒng)征集設(shè)計(jì)方案，系統(tǒng)L是由兩個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)L1,L2連接而成，連接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用(開關(guān)控制L1損壞則運(yùn)行L2)，a,b>0且a≠b,求壽命Z?X～fX(x)=ae-ax,x>0;X～fY(y)=be-by,y>0;0x≤0;0y≤0;分析:Z1=min(X,Y);Z2=max(X,Y);Z3=X+YFmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-(a+b)z,z>0→fmin(z)=(a+b)e-(a+b)z,z>0Fmax(z)=FX(z)FY(z)=[1-e-az][1-e-bz],z>0→fmax(z)=ae-az?be-bz-(a+b)e-(a+b)z,z>0fX+Y(z)=∫?∞∞fX(z-y)fY(y)

dy=∫0zae-a(z-y)?be-bydy=ab[e-az-e-bz]/(b-a),z>0實(shí)踐舉例109吳贛昌人大理工版案例：設(shè)某電子補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy||J||的求解方法1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=g(X,Y)→X=WorZ=g(X,Y)→Y=WW=X→Y=g-1(w,z)W=Y→X=g-1(w,z)②積分變換:∫∫f(x,y)dXdY=∫∫f(z,w)||J||dzdw||J||=|Xw’Xz’|=Yz’同理||J||=Xz’

|Yw’Yz’|補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定-舉例

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy應(yīng)用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②積分變換:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定-舉例

fZ(z)=∫-∞∞f(補(bǔ)充附錄2-什么時(shí)候用什么方法

當(dāng)被積區(qū)間有限-

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy應(yīng)用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②積分變換:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy補(bǔ)充附錄2-什么時(shí)候用什么方法

當(dāng)被積區(qū)間有限-fZ(z)一、離散型分布：1，聯(lián)合概率分布/邊緣分布表隨機(jī)向量(XY)概率分布P{XxiYyj}pijij12

可用表格形式表示(如下表)并稱之為聯(lián)合概率分布表一、離散型分布：1，聯(lián)合概率分布/邊緣分布表三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)隨機(jī)向量(X

Y)的函數(shù)Zg(X

Y)的數(shù)學(xué)期望存在

(1)設(shè)(X

Y)是二維離散型隨機(jī)向量其概率分布為

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

(2)設(shè)(X

Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量

其密度函數(shù)為f(x

y)

三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)向量(X

例320已知隨機(jī)向量(X

Y)的概率分布求EXY

EXY

解

0

22012002(1)0151201100051(1)0302000020(1)01例320已知隨機(jī)向量(XY)的概率

例319設(shè)(X

Y)的密度函數(shù)為求EXY

解例319設(shè)(XY)的密度函數(shù)為求

例321一商店經(jīng)銷某種商品每周進(jìn)貨量X與顧客對該商品的需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從區(qū)間[1020]上的均勻分布商店每售出一單位商品可得利潤1000元若需求量超過進(jìn)貨量商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)這時(shí)每單位商品獲利潤為500元試計(jì)算此商品經(jīng)銷商經(jīng)銷該種商品每周所獲平均利潤

設(shè)Z表示商店每周所獲利潤由題設(shè)有

解由于(X

Y)的密度函數(shù)為例321一商店經(jīng)銷某種商品每周進(jìn)貨設(shè)Z表示商店每周所獲利潤由題設(shè)有

解由于(X

Y)的密度函數(shù)為所以有1416667(元)

設(shè)Z表示商店每周所獲利潤由題設(shè)有解(×已經(jīng)講過)一元離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望應(yīng)用舉例

先求概率分布，再求期望（平均數(shù)）案例1：已知某電子集團(tuán)產(chǎn)品，X=維修次數(shù)X=0123P(X=k)0.90.070.020.01盈利10005000-5000問題1平均維修次數(shù)？2每臺(tái)產(chǎn)品平均利潤案例2：某部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。若一周五天上班期間無故障，可獲利10萬；發(fā)生一次故障獲利5萬，發(fā)生二次獲利為0，三次以上虧損2萬，求平均利潤？分析：先求故障概率分布！練習(xí)：保險(xiǎn)公司，10000人投保，每人50元，死亡率為P，每死亡一人賠付10萬元，求平均收益？(×已經(jīng)講過)一元離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望應(yīng)用舉例

-實(shí)際案例--電冰箱的利潤：小天鵝/海爾規(guī)定，出售的電冰箱若在一年內(nèi)損壞，則可以調(diào)換。若工廠出售的電冰箱每臺(tái)盈利300元，調(diào)換一臺(tái)則廠方需要花費(fèi)700元，問1:平均壽命?2:廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)盈利多少？該集團(tuán)生產(chǎn)的電冰箱的壽命X（年）服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：(×已經(jīng)講過)混合題型之3—期望的綜合應(yīng)用理論分析先計(jì)算一臺(tái)電冰箱在一年內(nèi)損壞/無損的概率為

故廠方出售的電冰箱平均每臺(tái)盈利(即盈利的數(shù)學(xué)期望)為：300×0.9048-400×0.0952=233.36元實(shí)際案例--電冰箱的利潤：小天鵝/海爾規(guī)定，出售的電冰箱若在一元連續(xù)型分布+期望的綜合應(yīng)用

均勻分布案例：約會(huì)問題/候車問題/進(jìn)貨量問題例:某集團(tuán)的某種商品/原材料月需求量X～U[10,30],即進(jìn)貨量為[10,30]的某一整數(shù)，商店每銷售一件商品可獲利500元。若供大于求則降價(jià)，每處理一件虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，每件獲利300元。問題1，為達(dá)到最大利潤，需要進(jìn)多少貨？2，為使得平均獲利≥9280，求最小進(jìn)貨量設(shè)a為進(jìn)貨量，則利潤為：一元連續(xù)型分布+期望的綜合應(yīng)用均勻分布案例：約會(huì)問題/候車連續(xù)型分布+期望的綜合應(yīng)用案例1：最佳進(jìn)貨量問題某大型商場統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)顧客對某種商品日需求量X～N(μ,σ2),且知道日平均需求量μ=40，根據(jù)銷售記錄，銷售30-50件之間的概率為0.5。如進(jìn)貨不足，每件損失利潤70元，如進(jìn)貨過量每件損失100元，求最優(yōu)進(jìn)貨量。(1)設(shè)進(jìn)貨量為Q,需求量為X,損失函數(shù)L(X,Q)L(X,Q)=70(X-Q),X≥Q；100(Q-X),X<QX～N(40,σ2),P(30<X<50)=0.5→P(-10/σ<X-40/σ<10/σ)=2ф(10/σ)-1=0.5→10/σ=0.68→σ=14.7→X～N(40,14.7)(2)L(Q)=EL(X,Q)=∫Q∞70(x-Q)φ(x)dx+∫-∞Q100(Q-x)φ(x)dxL’(Q)=100-170∫Q∞φ(x)dx=0→1-ф(Q)=10/17→Q=40-0.22σ≈37改均勻分布?案例2：98-4某種商品每周需求量X與X～U[10,30],而商店進(jìn)貨數(shù)量為[10，30]之間任意整數(shù)，商店每售出一件商品獲利500，如供給>需求,消價(jià)處理，每處理1單位損失100元，如需求>供給，商店從其他商店調(diào)貨供應(yīng)，這時(shí)每單位利潤300，求該商店每周利潤的期望值？為使得商店期望利潤>9280，確定最小進(jìn)貨量。同理可改天河電腦城/蘇寧/國美電器筆記本銷售商等向市民出售筆記本.98-3某商店經(jīng)營某種商品，每周進(jìn)貨量X與顧客對該商品需求量Y相互獨(dú)立，且X,Y～U[10,20],商店每售出一件商品獲利1000，如需求>供給，商店從其他商店調(diào)貨供應(yīng)，這時(shí)每單位利潤500，求該商店每周利潤的期望值？同理可改電信設(shè)備供應(yīng)商—華為中興西門子貝爾等向英國出售電信程控網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)貨量X需求量Y，利潤1000萬/件，如供貨不足須從法蘭西調(diào)劑，盈利500萬/件，求利潤的期望需要聯(lián)合分布，第三章連續(xù)型分布+期望的綜合應(yīng)用案例1：最佳進(jìn)貨量問題四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì)

性質(zhì)1對任意兩個(gè)隨機(jī)變量X

Y

如果其數(shù)學(xué)期望均存在

則E(XY)存在且

E(XY)EXEY

(353)

性質(zhì)2設(shè)X

Y為任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望均存在則EXY存在且

EXYEXEY(354)上述兩個(gè)性質(zhì)可以推廣到n個(gè)變量情形

四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì)性質(zhì)1對任意兩§33隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

四、數(shù)學(xué)期望的進(jìn)一步性質(zhì)

§33隨機(jī)向量的函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)向今日要點(diǎn)1.二元離散型隨機(jī)變量的計(jì)算3.二元連續(xù)型隨機(jī)變量的計(jì)算4.二元最大最小值的計(jì)算2.二元離散型隨機(jī)變量的導(dǎo)出5.二元隨機(jī)變量的期望性質(zhì)與計(jì)算EXYE(X+Y)今日要點(diǎn)1.二元離散型隨機(jī)變量的計(jì)算3.二元連續(xù)型隨機(jī)變量的33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件本節(jié)內(nèi)容簡介：Z=g(X,Y)分布函數(shù)密度函數(shù)求解復(fù)習(xí)部分：1.連續(xù)二元分布的聯(lián)合邊緣條件概率獨(dú)立性等正態(tài)分布舉例2.離散型Z=g(X),Z=g(X,Y)的分布求解方法eg3.13Z=g(X)的分布求解方法？2.5節(jié)方法P(Y≤y)新授1.Z=g(X,Y)分布的公式推理；公式體系；雅科比法;2.實(shí)踐應(yīng)用1)無界區(qū)間公式法2)有界區(qū)間傳統(tǒng)分布函數(shù)法3)Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)求解及應(yīng)用3.期望的性質(zhì)及其應(yīng)用舉例，最優(yōu)進(jìn)貨量模型本節(jié)內(nèi)容簡介：Z=g(X,Y)分布函數(shù)密度函數(shù)求解復(fù)習(xí)部分：一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

設(shè)(X

Y)是二維離散型隨機(jī)向量

g(x

y)是一個(gè)二元函數(shù)則g(X

Y)作為(X

Y)的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量

如果(X

Y)的概率分布為

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

記zk(k12

)為Zg(X

Y)的所有可能取值則Z概率分布為P{Zzk}P{g(X

Y)zk}一、離散型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布設(shè)(XY)Page90例312(1)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

1

0

1

2

3

4

的概率分布為

解

P{1}P{XY1}P{X0

Y1}01

P{0}P{XY0}P{X0

Y0}P{X1

Y1}05

P{1}P{XY1}02

P{X1

Y0}P{X2

Y1}P{2}P{XY2}P{X0

Y2}P{X2

Y0}0

P{3}P{XY3}P{X1

Y2}01

P{4}P{XY4}P{X2

Y2}01

Page90例312(1)已知(XY)的概率分布

例312(2)已知(X

Y)的概率分布

求XY的概率分布

XY的可能取值有

2

1

0

4

的概率分布為

解

P{2}P{X2

Y1}015

P{1}P{X1

Y1}03

P{0}P{X0

Y1}P{X0

Y0}P{X0

Y2}P{X1

Y0}P{X2

Y0}035

P{2}P{X1

Y2}01

P{4}P{X2

Y2}01

例312(2)已知(XY)的概率分

P{k}P{XYk}

例313設(shè)X

Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量分別服從參數(shù)為1和2的泊松分布求XY的分布

解

可見XY服從參數(shù)為12的泊松分布進(jìn)貨/原料/產(chǎn)品……實(shí)際應(yīng)用1:蘇寧/國美電器大賣場，根據(jù)每天/周的銷售狀況估計(jì)一個(gè)月的銷售X1,X2…～P(λ1),P(λ2)…→∑Xi～P(∑λi)實(shí)際應(yīng)用2:某類型產(chǎn)品的分布，eg電視21寸，25，29，33…P{k}P{XYk}離散型分布的公式法求解步驟+離散卷積公式1小結(jié)：聯(lián)合分布P(X=xi,Y=yj)=Pij,Z=g(X,Y)→Z的分布:P(Z=zk)=P{g(X,Y)=zk}=∑g(xi,yj)=zkP{X=xi,Y=yj}P(Z=zk)=∑g(xi,yj)=ZkPij例1:P(X=i)=ai,P(Y=j)=bj,其中i,j=0,1,…,若X,Y相互獨(dú)立，則Z=X+Y的分布為:P(Z=k)=P(X+Y=k)=∑i=0kP(X=i,Y=k-i)=∑i=0kP(X=i)P(Y=k-i)=a0bk+a1bk-1+…+akb0→P(Z=X+Y=k)=a0bk+a1bk-1+…+akb0例2:X～b(n,P),Y～b(m,P)→X+Y～b(n+m,P)理解:二項(xiàng)分布n次試驗(yàn)+m次試驗(yàn)=n+m次試驗(yàn)2小結(jié):二項(xiàng)分布+二項(xiàng)分布=二項(xiàng)分布泊松分布+泊松分布=泊松分布正態(tài)分布+正態(tài)分布=正態(tài)分布離散型分布的公式法求解步驟+離散卷積公式1小結(jié)：聯(lián)合分布P二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)fz(3)=P(X+Y=3)zZfz(1)=P(X+Y=1)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123fz(2)=P(X+Y=2)fz(z)=P(X+Y=z)fZ(z)=P(Z=z)

=P(X+Y=z)FZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZ二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=33多元隨機(jī)變量函數(shù)nnnn課件二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)01230123X+Y=z二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=FX+Y(z)=P(X+Y≤z);XYf

(x,y)FX+Y(z)=P(X+Y≤z)=∫∫X+Y≤z

f(X,Y)dXdYFZ(z)=P(Z≤z)

=∫-∞zfZ(Z)dZzZFX+Y(z)=P(X+Y≤z)fX+Y(z)=fZ(z)zfZ(z)二連續(xù)型Z=g(X,Y)的分布規(guī)律FZ(z)=P(Z≤z)=二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布

０、Zg(X

Y)的分布:設(shè)(X

Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量

其概率密度函數(shù)為f(x

y)令g(x

y)為一個(gè)二元函數(shù)則Zg(X

Y)的分布函數(shù)為FZ(z)∫?∞zfZ(z)dz

P{Zz}P{g(X

Y)z}P{(X

Y)Dz}其中Dz{(x

y)|g(x

y)

z}

繼而其密度函數(shù)fZ(z)對幾乎所有的z有Z(z)

(337)

fZ(z)F

GZ(z)

二、連續(xù)型隨機(jī)向量的函數(shù)的分布０、Zg(XY)１、X+Y分布：例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x

y)求XY的密度函數(shù)

對任意z令Dz{(x

y)|xyz}則

解1

FZ(z)P{Zz}P{XYz}解2

FZ(z)P{Zz}P{XYz}=∫?∞∞dy∫?∞z-yf(x,y)dx=G(z)

→fZ(z)=d[∫?∞∞∫?∞z-yf(x,y)dxdy]dz=∫?∞∞f(z-y,y)dy１、X+Y分布：例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(X

Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x

y)求XY的密度函數(shù)

對任意z令Dz{(x

y)|xyz}則

解

FZ(z)P{Zz}P{XYz}于是有易見交換積分次序我們亦可得到特別地如果X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量則例314(隨機(jī)變量的和)設(shè)(XY)

證明:可以只證明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即可，其余同理可得證明:可以只證明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即可，其余同理可

證明證明獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的分布則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分布且其中a

b不全為0

這一結(jié)論還可以推廣到n個(gè)隨機(jī)變量的情形

不變:泊松分布,正態(tài)分布,x2(1)分布;?應(yīng)用到進(jìn)貨生產(chǎn)領(lǐng)域變:指數(shù)分布,均勻分布練習(xí)：設(shè)某商品每周需求量X～f(x)=xe-x,x>0,如果各周需求量相互獨(dú)立，求2周需求量的概率密度函數(shù)。設(shè)Z=X+Y分析：fX(x)=xe-x,x>0;fY(y)=ye-y,y>0

→z≤0,fZ(z)=0

0,x≤00,y≤0→z>0,fZ(z)=z3?e-z/6fZ(z)=∫?∞∞f(z-y,y)dy=∫?∞∞f(x,z-x)dx=∫?∞zf(x,z-x)dx=∫?∞zfX(x)fY(z-x)dx=∫?∞zxe-x

(z-x)e-(z-x)dx=z3?e-z/6獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的分布則其任意非零線性組合仍服從正態(tài)分

例316設(shè)二維隨機(jī)向量(X

Y)的密度函數(shù)為f(x

y)求ZX/Y的密度函數(shù)

解于是Z的密度函數(shù)為２、Ｚ=X/Y隨機(jī)變量的商的分布例316設(shè)二維隨機(jī)向量(XY)的密

３、Ｚ＝XY的分布：例318

設(shè)二維隨機(jī)向量(X

Y)在矩形G{(x

y)|0x20y1}上服從均勻分布試求邊長為X和Y的矩形面積S的密度函數(shù)f(s)

解

令F(s)為S的分布函數(shù)則當(dāng)s0時(shí)

F(s)P{Ss}0

于是當(dāng)0s2時(shí)有當(dāng)s2時(shí)

F(s)P{Ss}1

３、Ｚ＝XY的分布：解

例317(1)設(shè)X

Y的分布函數(shù)分別為F(x)

G(x)密度函數(shù)分別為f(x)

g(x)且X與Y相互獨(dú)立求Mmax{X

Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)

FM(z)P{Mz}

解P{Xz

Yz}P{Xz}P{Yz}F(z)G(z)(346)于是M的密度函數(shù)為f(z)G(z)F(z)g(z)(347)fM(z)F

M(z)F

(z)G(z)F(z)G(z)4、隨機(jī)變量最大值與最小值的分布:Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

M的分布函數(shù)為例317(1)設(shè)XY的分布函數(shù)分別

N的分布函數(shù)為FN(z)P{Nz}P({Xz}∪{Yz})1P{Xz

Yz}1P{Xz}P{Yz}1[1F(z)][1G(z)](348)于是N的密度函數(shù)為4、隨機(jī)變量最大值與最小值的分布Z=min(X,Y),Z=max(X,Y)

例317(2)設(shè)X

Y的分布函數(shù)分別為F(x)

G(x)密度函數(shù)分別為f(x)

g(x)且X與Y相互獨(dú)立求Nmin{X

Y}的分布函數(shù)與密度函數(shù)

解f(z)[1G(z)]g(z)[1F(z)](349)fN(z)F

N(z)N的分布函數(shù)為FN(z)P{Nz}P({Xz}實(shí)踐舉例109吳贛昌人大理工版案例：設(shè)某電子設(shè)備系統(tǒng)征集設(shè)計(jì)方案，系統(tǒng)L是由兩個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)L1,L2連接而成，連接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用(開關(guān)控制L1損壞則運(yùn)行L2)，a,b>0且a≠b,求壽命Z?X～fX(x)=ae-ax,x>0;X～fY(y)=be-by,y>0;0x≤0;0y≤0;分析:Z1=min(X,Y);Z2=max(X,Y);Z3=X+YFmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-(a+b)z,z>0→fmin(z)=(a+b)e-(a+b)z,z>0Fmax(z)=FX(z)FY(z)=[1-e-az][1-e-bz],z>0→fmax(z)=ae-az?be-bz-(a+b)e-(a+b)z,z>0fX+Y(z)=∫?∞∞fX(z-y)fY(y)

dy=∫0zae-a(z-y)?be-bydy=ab[e-az-e-bz]/(b-a),z>0實(shí)踐舉例109吳贛昌人大理工版案例：設(shè)某電子補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy||J||的求解方法1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=g(X,Y)→X=WorZ=g(X,Y)→Y=WW=X→Y=g-1(w,z)W=Y→X=g-1(w,z)②積分變換:∫∫f(x,y)dXdY=∫∫f(z,w)||J||dzdw||J||=|Xw’Xz’|=Yz’同理||J||=Xz’

|Yw’Yz’|補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定-舉例

fZ(z)=∫-∞∞f(x,g-1(x,z))||J||dx

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy應(yīng)用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②積分變換:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy補(bǔ)充附錄1-雅克比行列式確定-舉例

fZ(z)=∫-∞∞f(補(bǔ)充附錄2-什么時(shí)候用什么方法

當(dāng)被積區(qū)間有限-

fZ(z)=∫-∞∞f(g-1(y,z),y)||J||dy應(yīng)用求解：Z=X+Y,Z=XY,Z=X/Y,Z=Y/X……1.求解步驟：①列坐標(biāo)變化組合(X,Y)→(Z,W)Z=X+Y→X=WZ=X/Y→Y=WW=X→Y=Z-WW=Y→X=ZW②積分變換:||J||=1||J||=|W|=|Y|fZ(z)=∫-∞∞f(x,z-w)dx

fZ(z)=∫-∞∞f(yz,y)|y|dy補(bǔ)充附錄2-什么時(shí)候用什么方法

當(dāng)被積區(qū)間有限-fZ(z)一、離散型分布：1，聯(lián)合概率分布/邊緣分布表隨機(jī)向量(XY)概率分布P{XxiYyj}pijij12

可用表格形式表示(如下表)并稱之為聯(lián)合概率分布表一、離散型分布：1，聯(lián)合概率分布/邊緣分布表三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)隨機(jī)向量(X

Y)的函數(shù)Zg(X

Y)的數(shù)學(xué)期望存在

(1)設(shè)(X

Y)是二維離散型隨機(jī)向量其概率分布為

P{Xxi

Yyj}pij

i

j12

(2)設(shè)(X

Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量

其密度函數(shù)為f(x

y)

三、隨機(jī)向量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)向量(X

例320已知隨機(jī)向量(X

Y)的概率分布求EXY

EXY

解

0

22012002(1)0151201100051(1)0302000020(1)01例320已知隨機(jī)向量(XY)的概率

例319設(shè)(X

Y)的密度函數(shù)為求EXY

解例319設(shè)(XY)的密度函數(shù)為求

例321一商店經(jīng)銷某種商品每周進(jìn)貨量X與