知識點整理(宋家寶)

第九章技術(shù)原理與概論，隨機變量與分布第一節(jié)分類加法技術(shù)原理與分步乘法記數(shù)原理必明2個易誤點1.分類加法計數(shù)原理在使用時易忽略每類做法中每一種方法都能完成事件，類與類之間是獨立的。2.分布乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的【必會2個方法】1.應(yīng)用兩種原理解題分清要完成的事件是什么；分清完成改事件是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；有無特殊條件的限制；檢驗是否有重漏。2．混合問題一般是先分類再分步，分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏?？键c一分類加法計數(shù)原理【類題通法】利用分類加法計數(shù)原理理解時應(yīng)注意（?。└鷵?jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏（2）分類時，要注意完成這件事的任何一種方法必須屬于哪一類，不能重復(fù)。考點二分步乘法計數(shù)原理利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時應(yīng)注意要按事件發(fā)生的過程合理分布，即分步是先有先后順序的各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事。對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定考點三兩個原理的綜合應(yīng)用【類題同法】在解決綜合問題時，可能同時應(yīng)用兩個計數(shù)原理，即分類的方法可能要運用分步完成，分步的方法可能會采取分類的思想求，分清完成該事情是分類還是分步，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系排列與組合必明3個易誤點1．易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順序有關(guān)。2.計算時易錯算為n（n-1）（n-2）…（n-m）。3.易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，而排列是所有排列的個數(shù)，是一個正整數(shù)必會2個方法排列問題與組合問題的識別方法；識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)組合若交換某兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān)2.組合數(shù)的性質(zhì)（2）的應(yīng)用主要是兩個方面，一個簡化運算，當(dāng)m時，通常將記算轉(zhuǎn)化為計算。二是列等式，由=可得x=y或x+y=n。性質(zhì)（3）主要用于恒等變形簡化運算?？键c一排列問題【類題同法】求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法符合條件的排列數(shù)值接列數(shù)計算優(yōu)先法有限安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的顳部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再講不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體“小集體”排列問題中先整體后布局后布局定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，除法處理再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等間轉(zhuǎn)化方法考點二組合問題【類題同法】組合兩類問題的解法（1）“含”與“不含”的問題，“含”，則先將這些元素取出，再有另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，在沖剩下的元素中去選?。?）“至少”，“最多”的問題，解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解。用直接法或間接法都可以求解。通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理?？键c三分組分配問題分組分配問題是排列，組合問題的綜合應(yīng)用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配，歸納起來常見的命題角度有：整體均分問題；部分均分問題；不等分問題；【類題同法】解決分組分配問題的策略對于整體均分，解決時要注意分組后，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以（n為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計數(shù)對于部分均分，解題是注意重復(fù)的次數(shù)是均分組合的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)。對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排數(shù)列。二次式定理必明3個易誤點1.二次式的通項易誤認(rèn)為是第k項實質(zhì)上是k+1項。2．（a+b與（b+a雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的。所以公式中的第一個量a易第二個量b的位置不能顛倒。3.易混淆二次項式中的“項”，“項系數(shù)”，“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指（k=0.1，…，n）。必會4個方法賦值法研究二項式的系數(shù)和問題“賦值法”普遍適用于恒定等式，是一種重要的方法，對于如（ax+bx+c（a，b∈R）的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，至需x=1即可；對于（ax+by（a，b∈R）的式子求各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可利用二項式定理解決整除問題的思路要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二次式定理展開后的各項式均能被另個一式子整除即可。因此，一般要將被除化為除式化為含相關(guān)除式化為含相關(guān)除式的二次項式，然后再展開二次式系數(shù)最大項的確定方法如果n是偶數(shù)則中間一項（第（+1）項）的二次項系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項（第項與第（+1）項）的二次式系數(shù)相等并最大；4．二次展開式系數(shù)最大項的求法：如求（a+bx（a，b∈R）的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為，，…，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用從而解出k來，即得。考點一二次式中的特定項或特定項的系數(shù)【類題同法】求二次展開式中的指定項，一般是利用通項公式進化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等），解出項數(shù)r+11，代會通項公式即可?？键c二二次式系數(shù)和或各項系數(shù)和問題【類題同法】對于幾個多項式和展開式中的特定項（系數(shù)）問題，只需依據(jù)展開式的通項，每一項中分別得到含有的項，再求和即可對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)則，結(jié)合組合細(xì)想求解，但要求注意適當(dāng)?shù)剡\用分類方法，以免重復(fù)或遺漏對于三項式問題一般先變化為二項式再解決隨機事件的概率必明2個易誤點1.易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗次數(shù)變化而變化，而概率是一個常數(shù)。2.互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要二者之一必須有一個發(fā)生因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件必會2個方法1.由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥2.事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集?？键c一事件關(guān)系的判斷利用集合觀點判斷事件關(guān)系可以寫出所有試驗結(jié)果，看所求事件包含那幾個試驗結(jié)果，從而判斷所求事件的關(guān)系?？键c二隨機事件的概率【典例】(2013廣州模擬)將一枚骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)。求點數(shù)之積是4的概率設(shè)a，b分別是將一枚骰子先后拋擲兩次向上的點數(shù)，求式子=1成立的概率?！绢愵}同法】求解隨機事件的概率關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算基本事件數(shù)，基算方法有：列舉法，（2）列表法（3）利用樹狀圖舉列考點三互斥事件與對立事件的概率【類題同法】求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件得求個公式計算。二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P（A）=1-P（），即運用逆向思想9(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便。古典概型必明2個易誤點1.在計算古典概率中基本事件數(shù)和事件發(fā)生數(shù)時，易忽視他們是否等可能的。2.概率的一般加法公式P（A+B）=P（A）=P（B）-P（AB）中，易忽視只有當(dāng)AB=，即A，B互斥時，P（A+B）=P（A）+P（B），此時P（AB）=0必會3個方法古典概率中基本事件的探索方法牧舉法;適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的。樹狀圖法：適合于較復(fù)雜的問題中基本事件的探求，注意在確定基本事件（x，y）可以看成是有序的，如（2,1）不同，有時也可以看成是無序的，如（1,2）（2,1）相同排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本的基本事件的個數(shù)時可利用排列或組合的知識?？键c一古典概率【類題通法】計算古典概型事件的概率三步法第一步：算出基本事件的總個數(shù)第二部：求出事件A所包含的基本事件個數(shù)m第三步：代入公式求出概率P考點二古典概型與平面向量相結(jié)合古典概型在高考中常與平面向量，集合，函數(shù)，解析幾何，統(tǒng)計等知識交匯命題，命題的角度新穎，考察知識面全，能力要求較高，歸納起來常見的交匯命題角度有（1）古典概型與平面向量相結(jié)合；（2）古典概型與直線，圓相結(jié)合；（3）古典概型與函數(shù)相結(jié)合?！绢愵}通法】解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出事件和隨機事件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算幾何概型必明1個易誤點易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是基本事件的發(fā)生時等可能的，不同之處是幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限的，古典概型中基本的個數(shù)是有限的必會3個方法幾何概型的常見類型的判斷方法與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可惜助平面區(qū)域解決問題；考點一與長度，角度有關(guān)的幾何概型【類題通法】求與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的方法是把題中所表達(dá)的幾何模型裝轉(zhuǎn)化長度（角度）。然后求解，要特別注意“長度型”不同。解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度，角度)?？键c二與體積有關(guān)幾何概型【類題通法】對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積（總空間）以及事件的體積（事件空間），對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求?？键c三與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點之一，歸納起來常見的命題角度有：與三角形，矩形，圓形平面圓形面積有關(guān)的問題與線性規(guī)劃知識交匯命題問題與定積分交匯命題的問題?！绢愵}通法】求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到全部實驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解。離散型隨機變量及其分布列必明2個易誤點對于分布列忽視其性質(zhì)++…+=1及0（i=1,2，…，n）其作用可與檢驗所求離散型隨機變量的分布列是否正確。確定離散型隨機變量的取值時，易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的。必會3個方法由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列有古典概型求出離散型隨機變量的分布列由互斥事件的概率，相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散隨機變量的分布列考點一|離散型隨機變量的分布列性質(zhì)【類題通法】利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)【類題通法】求離散型隨機變量分布列的步驟找出隨機變量X的所有可能取值（i=1,2,3，…，n）；求出各取值的概率P（X=）=；列成表格并分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確?？键c二|離散型隨機變量的分布列求法【類題通法】對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某個體的個數(shù)n次獨立重復(fù)試驗與二項分布必會1個方法牢記且理解事件中常見詞語的含義（1）A,B中至少有一個發(fā)生事件為AB；（2）A,B都發(fā)生的事件為AB；（3）A,B都不發(fā)生的事件為；（4）A,B恰有一個發(fā)生的事件為AB（5）A,B至多一個發(fā)生事件為AB考點一|條件概率【類題通法】條件概率的求法定義法：先求P（A）和P（AB），再有P（B|A）=?；臼录?；借古典概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)A包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）=?？键c二|相互度立事件的概率【類題通法】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件手計算【類題通法】二項分布滿足的條件每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的。沒次試驗中的事件是互相獨立的。每次試驗只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生。要么不發(fā)生。隨機變量是這n次獨立重復(fù)實試驗中事件發(fā)生的次數(shù)。離散型隨機變量的均值與方差，正態(tài)分布必明2個易誤點理解均值E（X）易失誤，均值E（X）是一個實數(shù)，由x的分布列唯一確定，即X作為隨機變量時可變的，而E（X）是不變的，它描述X值的取值平衡狀態(tài)。注意E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=D（X）易錯。必會3個方法求離散型隨機變量均值，方差的機泵方法的分布列求它的均值，方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義（公式）求解；已知隨機變量的均值，方差，求的線性函數(shù)=a+b的均值，方差和標(biāo)準(zhǔn)差可直接用的均值，方差的性質(zhì)求解（3）給隨機變量是服從常用的分布（如兩點分布，兩項分布等），可直接利用它們的均值，方差公式求解?？键c一|離散型隨機變量的均值【類題通法】求離散型隨機變量均值的步驟理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值求X的每一個值的概率寫出X的分布列有均值定義求出E（X），考點二|離散型隨機變量的方差【類題通法】D（X）表示隨機變量X對E（X）的平均值偏離程度，D（X）越大表明平均偏離程度越大,說明X的取值越分散；反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度。隨機變量的均值反映了隨機變量取值的水，放差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定?？键c三|正態(tài)分布【類題通法】關(guān)于正太總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記P(-X+)，，的值；充分利用正態(tài)曲線的對稱性和對稱和曲線與x軸之間面積為1正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對稱，從而在關(guān)于x=對稱的區(qū)間上概率相等。算法初步，統(tǒng)計，統(tǒng)計案列必記3個易誤點易混淆處理與輸入框，處理框主要是賦值，計算，而輸入框只是表示一個算法輸入的信息。易忽視循環(huán)結(jié)構(gòu)中必有條件結(jié)構(gòu)，其作用是控制循環(huán)進程，避免進入“死循環(huán)”，是循環(huán)結(jié)構(gòu)必不可少的一部分。易混淆當(dāng)型循環(huán)與直到性循環(huán)。直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時始終循環(huán)”；而當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán)，條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”；兩者的判斷