踐行“三個(gè)理解”的教學(xué)智慧

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曹海霞

[摘

要]文章以“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)〞為載體，以“三個(gè)理解〞為主線(xiàn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，并結(jié)合筆者自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中踐行“三個(gè)理解〞應(yīng)做到以下三點(diǎn)：認(rèn)真貫徹理解數(shù)學(xué)，確立適合的教學(xué)目標(biāo);努力做到理解學(xué)生，設(shè)計(jì)合理的探究途徑;真正執(zhí)行理解教學(xué)，設(shè)計(jì)真實(shí)、合情的情境，實(shí)現(xiàn)師生深層次對(duì)話(huà).

[關(guān)鍵詞]三個(gè)理解;理解數(shù)學(xué);理解學(xué)生;理解教學(xué);課堂教學(xué);無(wú)理數(shù)

章建躍教授所指的“三個(gè)理解〞，包含理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，是提高課堂教學(xué)有效性的根本保證，是將數(shù)學(xué)冰冷的漂亮演繹成炎熱的漂亮的前提條件，也是課改大潮中數(shù)學(xué)教師“以不變應(yīng)萬(wàn)變〞的真正法寶.因而，從“三個(gè)理解〞的角度設(shè)計(jì)課堂教學(xué)是十分必要的.在此思想的指導(dǎo)下，筆者近期設(shè)計(jì)并講授了“有理數(shù)與無(wú)理數(shù)〞一課，感想良多，現(xiàn)就無(wú)理數(shù)的概念探究部分與大家一起探討.

課堂實(shí)錄

1.提出問(wèn)題

問(wèn)題1：如圖1，如何將這兩個(gè)面積都是1的小正方形拼成一個(gè)面積較大的正方形？

教室里氣氛異?；钴S，學(xué)生在動(dòng)手操作后，有了以下成果展示.

生1：可拼成圖2.

生2：還可拼成圖3.

生3：還可拼成圖4.

師：那你們拼出的圖形是正方形嗎？

生4：根據(jù)正方形定義的描述，再結(jié)合全等三角形的知識(shí)，可以得出圖2、圖3、圖4都是正方形.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：此處將概念的背景呈現(xiàn)出來(lái)，自然產(chǎn)生新概念，有力推進(jìn)探究活動(dòng)，同時(shí)，通過(guò)操作探究，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和發(fā)散性思維，以及學(xué)生的探究意識(shí)，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這也是教學(xué)的一大亮點(diǎn).

2.深入探究

問(wèn)題2：那拼出來(lái)的大正方形的邊長(zhǎng)又是多少？為什么？

生5：由于大正方形的面積是2，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則a2=2.

問(wèn)題3：a畢竟有多大？

生6：比1大，比2小.

師：如何得出的？

生7：當(dāng)a=1時(shí)，S=1;當(dāng)a=2時(shí)，S=4.而S=2，所以a在1和2之間.

師：十分精彩的思路，那是否可以做出更加準(zhǔn)確的估計(jì)呢？（學(xué)生展開(kāi)探討，但依舊無(wú)果）

師：那我們一起來(lái)算一算，當(dāng)a=1.4和a=1.5時(shí)S的值，可以得出什么結(jié)論？

生8：由于1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4師：那是否可以準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后的兩位、三位、四位呢？（學(xué)生利用計(jì)算器展開(kāi)摸索，并得出如表1所示的探究過(guò)程）

問(wèn)題4：還可以繼續(xù)探究嗎？

生：可以.

師：a是有限小數(shù)嗎？（學(xué)生繼續(xù)思考）

生9：經(jīng)過(guò)觀測(cè)，我認(rèn)為a好像是有限小數(shù).（其他學(xué)生表示不一定）

師：那a畢竟是什么樣的小數(shù)？方才我們已經(jīng)知道了有理數(shù)的概念，知道了有理數(shù)都能表示成（m、n為整數(shù)，且n≠0）的形式，下面的數(shù)都是有理數(shù)，我們不妨把下面這些數(shù)表示成小數(shù)形式：3，，，，.（學(xué)生經(jīng)過(guò)計(jì)算，得出3=3.0，=0.8，=0.55555……，=0.177777……，=0.1818181818……）

師：判斷一下上面這些數(shù)是什么小數(shù)？

生10：3，是有限小數(shù)，，，是無(wú)限循環(huán)小數(shù).

問(wèn)題5：由此你認(rèn)為有理數(shù)是什么樣的小數(shù)？

生11：有理數(shù)可以用有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示，反之，任何有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

師：那a2=2中a是什么小數(shù)？（學(xué)生躊躇了一下，之后有學(xué)生很快給出答案“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)〞）

3.形成概念

師：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)即為無(wú)理數(shù).除了方才探究的a，如0.010010001……和圓周率π=3.14159265……同樣也是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，它們均為無(wú)理數(shù).

生12：為什么是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)呢？

師：目前我們所學(xué)的知識(shí)還沒(méi)有方法進(jìn)行證明，但是老師可以先給大家講個(gè)故事.畢達(dá)哥拉斯是古希臘宏偉的數(shù)學(xué)家，他證明白大量重要的定理.公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一位弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，假如正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度不是一個(gè)有理數(shù)，這與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆為數(shù)〞（有理數(shù)）的哲理大相徑庭.希帕索斯的發(fā)現(xiàn)首次透露了有理數(shù)系的缺陷，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，希帕索斯也因此被沉入大海.1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割〞來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而終止了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理〞的時(shí)代，也終止了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).（觀看視頻：無(wú)理數(shù)的由來(lái)）

設(shè)計(jì)說(shuō)明通過(guò)本環(huán)節(jié)的探究，以教師的引導(dǎo)為源泉，在師生合作和生生交流的過(guò)程中，依據(jù)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的比較，使得學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的理解逐步深入，從而真正意義上感知到數(shù)域的擴(kuò)展，為無(wú)理數(shù)概念的形成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，通過(guò)視頻讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，感受數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中所經(jīng)歷的艱難.

教學(xué)感悟

1.認(rèn)真貫徹理解數(shù)學(xué)，確立適合的教學(xué)目標(biāo)

理解數(shù)學(xué)，自然是從理解教材談起，正確理解編者的意圖，把握教材的編排體系，了解學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材的關(guān)聯(lián)等，從而確立適合的教學(xué)目標(biāo)[1].

本節(jié)課是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)域的擴(kuò)展，是研究有理數(shù)的運(yùn)算、二次根式、實(shí)數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ).本課的教學(xué)難點(diǎn)是“用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍〞，體驗(yàn)“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)〞的含義，對(duì)于“有多大〞這個(gè)問(wèn)題，是學(xué)生十分關(guān)注的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，需要教師引起足夠重視.對(duì)于無(wú)理數(shù)這一概念，我們不能期望通過(guò)一節(jié)課就使學(xué)生形成深刻的認(rèn)識(shí)，在后面相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的了解將會(huì)越來(lái)越深刻.本節(jié)課我們要立足于重難點(diǎn)進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生學(xué)有所得.

2.努力做到理解學(xué)生，設(shè)計(jì)合理的探究途徑

理解學(xué)生，就需要充分關(guān)注具體學(xué)情，了解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)方式等.只有明晰這些問(wèn)題，才能真正在教學(xué)的過(guò)程中做到有的放矢，進(jìn)而發(fā)揮學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位.教師需要理解新知與學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)間的聯(lián)系，需要理解新知與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的距離，從而設(shè)計(jì)出合理而有效的探究途徑.授課前，筆者自然對(duì)本班的學(xué)生做了充分的了解.為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師屢屢勉勵(lì)小組合作探究，激活學(xué)生的探究意識(shí)，以低起點(diǎn)、小跨度、高立意的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的深度思考和探究[2].

好多時(shí)候，一些教師追求教學(xué)內(nèi)容的完整性，卻忽略了學(xué)生的需求，這是不正確的.面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑和困惑時(shí)，教師更需要有所作為，牢牢把握教學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生的閃光點(diǎn)，適時(shí)引導(dǎo)，從而使課堂教學(xué)變得更靈動(dòng).本課中，針對(duì)“a是什么數(shù)〞，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出結(jié)果的方法進(jìn)行推導(dǎo)還是不夠小心，從而使得后面學(xué)生產(chǎn)生困惑“為什么a是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)〞.這里需要利用分式的性質(zhì)，用反證法來(lái)證明，但無(wú)論是分式還是反證法，學(xué)生都還沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)，所以無(wú)法從根本上解決這一問(wèn)題.筆者經(jīng)過(guò)思考，課前預(yù)設(shè)到了學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)a的認(rèn)知可能會(huì)出現(xiàn)困難，因此設(shè)計(jì)了教學(xué)視頻，將無(wú)理數(shù)的故事講給學(xué)生聽(tīng)，讓他們了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，初步感知無(wú)理數(shù)與有理數(shù)本質(zhì)上的區(qū)別，進(jìn)而解決認(rèn)知上的困惑.

因此，我們不僅需要理解教材中所浮現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還需把握學(xué)生在習(xí)得概念時(shí)出現(xiàn)的困惑，并及時(shí)引導(dǎo)，讓新知的學(xué)習(xí)留下思維的烙印，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展[3].

3.真正執(zhí)行理解教學(xué)，設(shè)計(jì)真實(shí)、合情的情境

理解教學(xué)，就是從教學(xué)規(guī)律出發(fā)，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)組織方式，及時(shí)調(diào)控教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中思維變得流暢，獲得較好的活動(dòng)體驗(yàn)，培養(yǎng)思維能力.當(dāng)然，數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)探究的過(guò)程，而設(shè)計(jì)真實(shí)、合情的問(wèn)題情境是探究和學(xué)習(xí)的前提.本節(jié)課的教學(xué)中，教師以“正方形的問(wèn)題〞導(dǎo)入，學(xué)生經(jīng)過(guò)操作和思考給出了圖2、圖3、圖4，浮現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的過(guò)程.而新的問(wèn)題又出現(xiàn)了：圖2、圖3、圖4是正方形嗎？教師在這里自然地拋出這個(gè)問(wèn)題，合理展示了無(wú)理數(shù)的探究背