絕對(duì)值三角不等式課件

絕對(duì)值三角不等式絕對(duì)值三角不等式1

1.絕對(duì)值的幾何意義：

如：|-3|或|3|表示數(shù)-3，3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A或點(diǎn)B到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.探究新知1.絕對(duì)值的幾何意義：

如：|-3|或|3|表示數(shù)-2即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3.探究新知絕對(duì)值的幾何意義：

即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3.探究新知絕對(duì)值的幾3

同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：

探究新知同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：探4

設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-b|的幾何意義是什么？x|a-b|abAB探究新知設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-b|的幾何意義是什么？5如果用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來?定理1

如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.探究新知如果用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+6

如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量，能得出(1)當(dāng)不共線時(shí)有(2)當(dāng)共線且同向時(shí)有探究新知如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量，能得出7探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

這個(gè)不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊絕對(duì)值三角不等式探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|這個(gè)8求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

定理的證明探究新知求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|定理的證9定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么探究新知定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么探究新知10典例講評(píng)典例講評(píng)11例2兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū),每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?典例講評(píng)例2兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)12解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)典例講評(píng)解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返13答:生活區(qū)建于兩路碑間的任意位置都滿足條件.典例講評(píng)2040601020300xy答:生活區(qū)建于兩路碑間的任意位置都滿足條件.典例講評(píng)20414求證.例3

已知，證明：典例講評(píng)求證.例3已知15典例講評(píng)典例講評(píng)16例5

求證.證明：在時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，左邊

典例講評(píng)例5求證.證明：在時(shí)，顯然17思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的幾何意義？提示：三角形任意兩邊之差小于第三邊，三角形任意兩邊之和大于第三邊．思考感悟18課堂互動(dòng)講練(1)設(shè)xy<0，x，y∈R，那么正確的是()A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的理解考點(diǎn)突破例1課堂互動(dòng)講練(1)設(shè)xy<0，x，y∈R，那么19【思路點(diǎn)撥】(1)由于xy<0，x，y異號(hào)，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)題易判定m，n與1的大小關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】(1)由于xy<0，x，y異號(hào)，利用|a|－|20【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足xy＝－2<0，這樣有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴選項(xiàng)C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y異號(hào)，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴選項(xiàng)C成立，A、B、D不成立．【解析】(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足x21【答案】(1)C(2)m≤n【答案】(1)C(2)m≤n22【名師點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式性質(zhì)的重要作用在于放縮，放縮的思路主要有兩種：分子不變，分母變小，則分?jǐn)?shù)值變大；分子變大，分母不變，則分?jǐn)?shù)值也變大，注意放縮后等號(hào)是否還能成立．【名師點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式性質(zhì)的重要作用在于放縮，放縮的思路23變式訓(xùn)練1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|變式訓(xùn)練10<a<1，下列不等式一定成立的是()24絕對(duì)值三角不等式課件25【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所證結(jié)論，對(duì)“xy－ab”進(jìn)行湊配，湊出已知的“x－a，y－b”來．考點(diǎn)二含絕對(duì)值不等式的證明例2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所證結(jié)論，對(duì)“xy－ab”進(jìn)行湊配，湊出已26絕對(duì)值三角不等式課件27【名師點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|證明不等式，常要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分析組合、添項(xiàng)減項(xiàng)，使待證式與已知之間聯(lián)系起來，最后通過絕對(duì)值的運(yùn)算完成證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值不等式，這時(shí)，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法來證明．【名師點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡(jiǎn)28絕對(duì)值三角不等式課件29已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1.(1)證明：|c|≤1；(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2.【思路點(diǎn)撥】對(duì)于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．對(duì)于(2)分a>0，a＝0，a<0根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論．例3已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax230【證明】

(1)由條件當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)當(dāng)a>0時(shí)，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函數(shù)，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，【證明】(1)由條件當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，31由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是減函數(shù)，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.由此得|g(x)|≤2；32∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.綜上，得|g(x)|≤2.【名師點(diǎn)評(píng)】本題利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值或值域，求絕對(duì)值的取值．∵－1≤x≤1，33變式訓(xùn)練3設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|<1.求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．證明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．變式訓(xùn)練3設(shè)f(x)＝x2－x＋13，實(shí)數(shù)a滿足|x－a|34例誤區(qū)警示例誤區(qū)警示35【錯(cuò)因】本題錯(cuò)誤在于不能保證1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．【錯(cuò)因】本題錯(cuò)誤在于不能保證1＋|a＋b|≥1＋|a|,136絕對(duì)值三角不等式課件37對(duì)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的詮釋方法感悟定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號(hào)成立的條件左端|a|－|b|可能是負(fù)的≤中間部分中間部分為|a＋b|時(shí)，ab≤0，且|a|≥|b|時(shí)，左邊的等號(hào)成立；中間部分為|a－b|時(shí)，ab≥0，且|a|≥|b|時(shí)，左邊等號(hào)成立對(duì)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的詮釋方法感悟定38定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號(hào)成立的條件中間部分|a±b|肯定是非負(fù)的≥左端≤右端用“＋”連結(jié)時(shí)，ab≥0，右端取等號(hào)，ab≤0，且|a|≥|b|時(shí)，左端取等號(hào)；用“－”連結(jié)時(shí)，ab≥0，且|a|≥|b|時(shí)，左端取等號(hào)，ab≤0，右端取等號(hào)定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號(hào)成立的條件中間部分|a±b|肯39定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號(hào)成立的條件右端|a|＋|b|兩個(gè)絕對(duì)值的和是非負(fù)的≥中間部分中間部分為|a＋b|時(shí)，ab≥0，等號(hào)成立；中間部分為|a－b|時(shí)，ab≤0，等號(hào)成立定理的構(gòu)成部分特征大小關(guān)系等號(hào)成立的條件右端|a|＋|b|兩40絕對(duì)值三角不等式絕對(duì)值三角不等式41

1.絕對(duì)值的幾何意義：

如：|-3|或|3|表示數(shù)-3，3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A或點(diǎn)B到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.探究新知1.絕對(duì)值的幾何意義：

如：|-3|或|3|表示數(shù)-42即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3.探究新知絕對(duì)值的幾何意義：

即實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于3.探究新知絕對(duì)值的幾43

同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：

探究新知同理，與原點(diǎn)距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)可表示為：探44

設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-b|的幾何意義是什么？x|a-b|abAB探究新知設(shè)a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么|a-b|的幾何意義是什么？45如果用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來?定理1

如果a,b是實(shí)數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.探究新知如果用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+46

如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量，能得出(1)當(dāng)不共線時(shí)有(2)當(dāng)共線且同向時(shí)有探究新知如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換為向量，能得出47探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

這個(gè)不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊絕對(duì)值三角不等式探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|這個(gè)48求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

定理的證明探究新知求證：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|定理的證49定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么探究新知定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么探究新知50典例講評(píng)典例講評(píng)51例2兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路碑的第10公里和第20公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū),每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?典例講評(píng)例2兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)52解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)典例講評(píng)解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返53答:生活區(qū)建于兩路碑間的任意位置都滿足條件.典例講評(píng)2040601020300xy答:生活區(qū)建于兩路碑間的任意位置都滿足條件.典例講評(píng)20454求證.例3

已知，證明：典例講評(píng)求證.例3已知55典例講評(píng)典例講評(píng)56例5

求證.證明：在時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，左邊

典例講評(píng)例5求證.證明：在時(shí)，顯然57思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的幾何意義？提示：三角形任意兩邊之差小于第三邊，三角形任意兩邊之和大于第三邊．思考感悟58課堂互動(dòng)講練(1)設(shè)xy<0，x，y∈R，那么正確的是()A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考點(diǎn)一含絕對(duì)值不等式的理解考點(diǎn)突破例1課堂互動(dòng)講練(1)設(shè)xy<0，x，y∈R，那么59【思路點(diǎn)撥】(1)由于xy<0，x，y異號(hào)，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)題易判定m，n與1的大小關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】(1)由于xy<0，x，y異號(hào)，利用|a|－|60【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足xy＝－2<0，這樣有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴選項(xiàng)C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y異號(hào)，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴選項(xiàng)C成立，A、B、D不成立．【解析】(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足x61【答案】(1)C(2)m≤n【答案】(1)C(2)m≤n62【名師點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式性質(zhì)的重要作用在于放縮，放縮的思路主要有兩種：分子不變，分母變小，則分?jǐn)?shù)值變大；分子變大，分母不變，則分?jǐn)?shù)值也變大，注意放縮后等號(hào)是否還能成立．【名師點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式性質(zhì)的重要作用在于放縮，放縮的思路63變式訓(xùn)練1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|變式訓(xùn)練10<a<1，下列不等式一定成立的是()64絕對(duì)值三角不等式課件65【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所證結(jié)論，對(duì)“xy－ab”進(jìn)行湊配，湊出已知的“x－a，y－b”來．考點(diǎn)二含絕對(duì)值不等式的證明例2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所證結(jié)論，對(duì)“xy－ab”進(jìn)行湊配，湊出已66絕對(duì)值三角不等式課件67【名師點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|證明不等式，常要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分析組合、添項(xiàng)減項(xiàng)，使待證式與已知之間聯(lián)系起來，最后通過絕對(duì)值的運(yùn)算完成證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值不等式，這時(shí)，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法來證明．【名師點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡(jiǎn)68絕對(duì)值三角不等式課件69已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1.(1)證明：|c|≤1；(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2.【思路點(diǎn)撥】對(duì)于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．對(duì)于(2)分a>0，a＝0，a<0根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論．例3已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax270【證明】

(1)由條件當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)當(dāng)a>0時(shí)，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函數(shù)，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，【證明】(1)由條件當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，71由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是減函數(shù)，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.由此得|g(x)|≤2；72∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.綜上，得|g(x)|≤2.【名師點(diǎn)評(píng)】本題利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值或值域，求絕對(duì)值的取值．∵－1≤x≤1，73變式訓(xùn)練3設(shè)f