湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第4章銳角三角函數(shù)課件

正弦和余弦4.1第4章銳角三角函數(shù)正弦和余弦4.1第4章銳角三角函數(shù)1【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值．2．通過(guò)具體實(shí)例，分析、比較后知道“當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值也固定”的事實(shí)．3．通過(guò)實(shí)際動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力和學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】理解正弦的概念與意義．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】正弦的概念?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】2情境導(dǎo)入揚(yáng)水站的圖片．修建一個(gè)揚(yáng)水站，在選擇揚(yáng)水泵時(shí)，必須知道揚(yáng)水站(點(diǎn)A)與水平面(BC)的高度(AC)．斜坡與水平面所成的角(∠B)可以用測(cè)角器測(cè)出來(lái)，水管的長(zhǎng)度(AB)也能直接量得．提問(wèn)：你能求出它的高度(AC)嗎？情境導(dǎo)入揚(yáng)水站的圖片．3知識(shí)模塊一正弦的概念如圖，（1）和（2）分別是小明、小亮畫的直角三角形，其中∠A=∠A’=65°，∠C=∠C’=90°.ACBB'C'A'65°65°知識(shí)模塊一正弦的概念如圖，（1）和（2）分別是小明、小亮4小明量出∠A的對(duì)邊BC=3cm，斜邊AB=3.3cm，算出：小亮量出∠A'的對(duì)邊B'C'=2cm，斜邊A'B'=2.2cm，算出：小明量出∠A的對(duì)邊BC=3cm，斜邊AB=3.3cm，算出：5這個(gè)猜測(cè)是真的嗎？若把65°角換成任意一個(gè)銳角α，則這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值是否也是一個(gè)常數(shù)呢？由此猜測(cè)：在有一個(gè)銳角為65°的所有直角三角形中，65°角的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，它等于這個(gè)猜測(cè)是真的嗎？若把65°角換成任意一個(gè)銳角α，則這個(gè)角的6如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=.∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？探究如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中探究7∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF.Rt∽△ABC∴Rt即∴∴∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF8

這說(shuō)明，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān).這說(shuō)明，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，9如圖，在直角三角形中，我們把銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫作角的正弦，記作sin，即結(jié)論根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，容易得到

sin30°=如圖，在直角三角形中，我們把銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫作角10(1)在有一個(gè)銳角為α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)．(2)在直角三角形中，銳角α的對(duì)邊與斜邊的比叫作角α的正弦，記作sinα，即sinα＝

．(3)sin30°＝

．(4)如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，sinB＝

．歸納(1)在有一個(gè)銳角為α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊歸納11知識(shí)模塊二正弦概念的應(yīng)用例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值（2）求sinB的值BCA解：（1）∠A的對(duì)邊BC=3，斜邊AB=5.于是（2）∠B的對(duì)邊AC，根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2-BC2=52-32=16于是AC=4因此知識(shí)模塊二正弦概念的應(yīng)用例1如圖，在Rt△ABC中，12如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角的正弦值.2.解：如圖，設(shè)點(diǎn)A（3，0），連接PA.A●在△APO中，由勾股定理得因此如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），2.解：如圖，設(shè)13如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.從而AC=BC．根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此如何求sin45°的值？動(dòng)腦筋如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°14如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC

，使∠B=60°，則∠A=30°，從而.根據(jù)勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此如何求sin60°的值？動(dòng)腦筋如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，使∠B=60°，則∠A=315例如求50°角的正弦值，可以在計(jì)算器上依次按鍵，顯示結(jié)果為0.7660…至此，我們已經(jīng)知道了三個(gè)特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而對(duì)于一般銳角的正弦值，我們可以利用計(jì)算器來(lái)求.例如求50°角的正弦值，可以在計(jì)算器上依次按鍵16如果已知正弦值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角.例如，已知sinα

=0.7071，依次按鍵，顯示結(jié)果為44.999…，表示角α約等于45°.如果已知正弦值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角.例如，17在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，則BC=ck，AC=ch.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，則AB=AC=歸納在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，s18做一做利用計(jì)算器計(jì)算：（1）sin40°≈________（精確到0.0001）；（2）sin15°30′≈________（精確到0.0001）；（3）若sinα=0.5225，則α≈____（精確到0.1°）；（4）若sinα=0.8090，則α≈_____（精確到0.1°）.0.64280.267231.554.0做一做利用計(jì)算器計(jì)算：0.64280.267231.554.191.用計(jì)算器求下列銳角的正弦值（精確到0.0001）：

（1）35°；（2）65°36′；（3）80°54′.解:（1）sin35°=0.5736；

（2）sin65°36′=0.9107；

（3）sin80°54′=0.9874；練習(xí)1.用計(jì)算器求下列銳角的正弦值（精確到0.0001）：解:202.已知下列正弦值，用計(jì)算器求對(duì)應(yīng)的銳角（精確到0.1°）：（1）sinα=0.8071；（2）sinα=0.8660.練習(xí)解：（1）α≈53.8°；

（2）α≈60.0°。2.已知下列正弦值，用計(jì)算器求對(duì)應(yīng)的銳角練習(xí)解：（1）α≈21在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．解：設(shè)BC=7x，則AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=22如下圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.從而sinB=sinE因此探究如下圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，∵∠A=231、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．隨堂練習(xí)1、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sin242、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，求AC.2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝625正弦函數(shù)正弦函數(shù)的概念正弦函數(shù)的應(yīng)用已知邊長(zhǎng)求正弦值已知正弦值求邊長(zhǎng)∠A的對(duì)邊斜邊sinA=課堂小結(jié)正弦函數(shù)正弦函數(shù)的概念正弦函數(shù)的應(yīng)用已知邊長(zhǎng)求正弦值已知正弦264.1.2余弦的概念和余弦值的求法4.1.2余弦的概念和余弦值的求法27【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解余弦的概念，能根據(jù)特殊角(30°、45°、60°角)的正、余弦值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù)及其應(yīng)用．2．掌握互余兩銳角的正弦值與余弦值的關(guān)系．3．會(huì)用計(jì)算器求任意銳角的余弦值．會(huì)由任意銳角的余弦值求對(duì)應(yīng)的銳角．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】余弦的概念和特殊角的余弦值．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】互余兩銳角的正弦值與余弦值的關(guān)系?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】28情境導(dǎo)入通過(guò)正弦概念的學(xué)習(xí)，我們知道：直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)．我們可以猜想它的鄰邊與斜邊的比值也是一個(gè)常數(shù)．那么，你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)證明我們的猜想是否正確嗎？情境導(dǎo)入通過(guò)正弦概念的學(xué)習(xí)，我們知道：直角三角形的銳角固定時(shí)29歸納(1)在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的鄰邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)；(2)在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作cosα，即cosα＝

；(3)對(duì)于任意銳角α，有cosα＝sin(90°－α)，sinα＝cos(90°－α)．(4)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)邊分別為a、b、c，則cosA＝

，cosB＝

．歸納(1)在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的鄰邊與30知識(shí)模塊一余弦的概念知識(shí)模塊一余弦的概念31通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了三個(gè)特殊角（30°，45°，60°）的余弦值，而對(duì)于一般銳角α的余弦值，仍可以利用計(jì)算器來(lái)求.如果已知余弦值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角.例如已知cosα=0.8661，依次按鍵顯示結(jié)果為29.9914…，表示角α約等于30°.例如求50°角的余弦值，可以在計(jì)算器上依次按鍵cos50

,顯示結(jié)果為0.64627…通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道了三個(gè)特殊角（30°，32知識(shí)模塊二特殊角（30°、45°、60°角）的余弦值的應(yīng)用知識(shí)模塊二特殊角（30°、45°、60°角）的余33歸納：(2)把cos30°、cos45°、cos60°按從大到小的順序排列．cos30°>cos45°>cos60°.(3)你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？解：對(duì)于任意銳角α，都有0<cosα<1；任意銳角α的余弦值隨角度的變大而相應(yīng)減?。畾w納：341、求下列式子的值．1、求下列式子的值．35知識(shí)模塊三用計(jì)算器求銳角的余弦值用計(jì)算器求cos70°的值(精確到0.0001)．解：依次輸入：“cos”、“70”，顯示結(jié)果為0.3420…變例：已知cosα＝0.3279，求銳角α(精確到1′)．解：依次輸入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“cos”、“0.3279”，顯示結(jié)果，70.8586…(約為70°52′)知識(shí)模塊三用計(jì)算器求銳角的余弦值用計(jì)算器求cos70°的3630°45°60°sinα221.什么是銳角α的正弦函數(shù)？2.下列特殊角的正弦值分別是什么？復(fù)習(xí)提問(wèn)30°45°60°sinα221.什么是銳角α的正弦函數(shù)？復(fù)37

在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，叫作角α的正弦.

想一想上一節(jié)課已學(xué)內(nèi)容，那角α的鄰邊與斜邊的比值也會(huì)是一個(gè)常數(shù)嗎？能用類比的方法證明嗎？

同學(xué)們以小組討論解決的方案，請(qǐng)典型代表展示.

新課導(dǎo)入在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊38如圖４－7，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.從而sinB=sinE.推理論證如圖４－7，△ABC和△DEF都是直角三角形，其39

在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，對(duì)于銳角α的每一個(gè)確定的值,角α的鄰邊與斜邊的比都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以可把角α的鄰邊與斜邊的比值看成角α的函數(shù).通過(guò)上面問(wèn)題的探討，談?wù)勈斋@是什么？歸納在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，對(duì)于銳角α的每40定義在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作

cosα，即

角的鄰邊斜邊結(jié)論定義在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦41如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c.∠A的正弦值是什么？∠B的余弦值呢？它們相等嗎？

探究如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的42從上述探究和證明過(guò)程看出，對(duì)于任意銳角α，有探究結(jié)論從上述探究和證明過(guò)程看出，對(duì)于任意銳角α，有探究結(jié)論4330°45°60°sinαcosα2222練習(xí)30°45°60°sinαcosα22441、利用計(jì)算器計(jì)算：（1）cos

15°≈

（精確到0.0001）；（2）cos

50°48′≈

（精確到0.0001）；（3）若cos

α=0.9659，則α≈

(精確到0.1°）；（4）若cos

α=0.2588，則α≈

（精確到0.1°）.1、利用計(jì)算器計(jì)算：452、如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=則AC和BC的長(zhǎng)是多少？并求sinA的值.2、如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=463.如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，∠A=35°，則直角邊BC的長(zhǎng)是()A.B.C.D.AABC3.如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為m，A473.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100倍,sinA的值（）A.擴(kuò)大100倍B.縮小100倍C.不變D.不能確定4.已知∠A,∠B為銳角(1)若∠A=∠B,則sinA

sinB;(2)若sinA=sinB,則∠A

∠B.ABC┌C==3.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大100485．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，BO=5，sin∠BOA＝(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求cos∠BAO的值．ABH解：(1)如圖所示，作BH⊥OA，垂足為H．在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝,∴BH=3，OH＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，49如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，BO=5，sin∠BOA＝

(2)求cos∠BAO的值．ABH

(2)∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6．∵在Rt△AHB中，BH=3，如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)50小結(jié)余弦余弦的概念：在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫做角α的余弦余弦的性質(zhì)：α確定的情況下，cosα為定值，與三角形的大小無(wú)關(guān)用計(jì)算器解決余弦問(wèn)題小結(jié)余弦余弦的概念：在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫514.1.2余弦的概念和與余弦值的求法4.1.2余弦的概念和與余弦值的求法52FEDαBCAα新課導(dǎo)入△ABC

和

△DEF都是直角三角形，它們都有一個(gè)銳角等于α，即∠D=∠A=α．在Rt△ABC

中，∠A的相鄰的直角邊（簡(jiǎn)稱鄰邊）為AC，斜邊為AB；在Rt△DEF中，∠D的鄰邊為DF，斜邊為DE．問(wèn)

，成立嗎∠B=90°－α＝∠E，AC是∠B的對(duì)邊，DF是∠E的對(duì)邊，依據(jù)正弦定理結(jié)論成立FEDαBCAα新課導(dǎo)入△ABC和△DEF都是直角三角形53在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作cosα，這證明了：在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的鄰邊與斜邊的比值等于角90°－α的對(duì)邊與斜邊的比值．根據(jù)上述證明過(guò)程看出：對(duì)于任意銳角α，有探究新知定義在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫作角α的余弦，記作c54BCABCA典例講解1、在Rt△ABC

中，∠C=90o，AC=5，AB=7．求cosA，cosB的值．答案：BCABCA典例講解1、在Rt△ABC中，∠C=90553．對(duì)于任意銳角α，0＜cosα＜1都有你能說(shuō)出道理嗎？AC＜AB∴

0＜cosα＜13．對(duì)于任意銳角α，0＜cosα＜1都有你能說(shuō)出道理嗎？A564．求下列各式的值（１）sin230°+cos230°；（３）sin260°+cos260°；（２）sin245°+cos245°；4．求下列各式的值（１）sin230°+cos230°；（３57解對(duì)于任意角α是不是總有Sin2α+cos2α=1思考解對(duì)于任意角α是不是總有思考581．在Rt△ABC

中，∠C=90o，BC=5，AB=6．求sinA，sinB的值．6BCA5BCA87答案：答案：隨堂練習(xí)2．在Rt△ABC

中，∠C=90o，BC=7，B=8．求cosA，cosB,sinA，sinB的值．1．在Rt△ABC中，∠C=90o，BC=5，AB593．求下列各式的值．（1）sin30°·cos30°；（3）sin45°·cos45°.（2）sin60°·cos60°；3．求下列各式的值．（1）sin30°·cos30°；（60解解61余弦余弦的概念：在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫做角α的余弦余弦的性質(zhì)：α確定的情況下，cosα為定值，與三角形的大小無(wú)關(guān)用計(jì)算器解決余弦問(wèn)題課堂小結(jié)余弦余弦的概念：在直角三角形中，銳角α的鄰邊與斜邊的比叫做角624.2正切4.2正切63【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握正切的概念，知道銳角三角函數(shù)的概念．2．熟記30°、45°、60°角的正切值，會(huì)解決與之有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．3．會(huì)用計(jì)算器計(jì)算任意銳角的正切值，會(huì)由任意銳角的正切值求對(duì)應(yīng)的銳角．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】正切的概念，30°、45°、60°角的正切值．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】會(huì)利用30°、45°、60°角的正切值解決有關(guān)的計(jì)算題?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】64提問(wèn)：在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，那么不管這個(gè)三角形的大小如何，這個(gè)銳角的對(duì)邊(或鄰邊)與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)．想一想：這個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比值是否也是一個(gè)常數(shù)呢？那么，你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)證明我們的猜想是否正確嗎？情景導(dǎo)入提問(wèn)：情景導(dǎo)入65知識(shí)模塊一正切的概念如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°∴Rt△ABC∽R(shí)t△DEF∴即BC·DF=AC·EF∴ABCEFDαα知識(shí)模塊一正切的概念如圖，△ABC和△DEF都是直角三角66由此可得，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)。如圖，在直角三角形中，我們把銳角α的對(duì)邊與鄰邊的比叫作角α的正切，記作tanα，即對(duì)邊鄰邊α由此可得，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與671.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，

∠A是一個(gè)銳角.

2.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示為:tan∠BAC.∠1的正切表示為:tan∠1.3.tanA﹥0

且沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中銳角∠A的對(duì)邊與鄰邊的比（注意順序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).歸納1.初中階段，正切是在直角三角形中定義的，∠A是一個(gè)銳角.68例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝12，b＝5，求∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值．典例精析例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的對(duì)69知識(shí)模塊二tan30°，tan60°，tan45°的值如圖，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，于是BC=AB，∠B=60°.從而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.由此得出因此BCA30°知識(shí)模塊二tan30°，tan60°，tan45°的70歸納：1.(1)(2)把tan30°、tan60°、tan45°按從大到小的順序排列：tan60°>tan45°>tan30°.(3)你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？對(duì)于任意銳角α，都有tanα>0；任意銳角α的正切值隨角度的變大而相應(yīng)變大．2．銳角α的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為角α的銳角三角函數(shù)．歸納：71例2計(jì)算：(1)sin30°＋cos30°·tan60°.(2)cos60°－3tan30°＋tan60°＋2sin245°.典例精析例2計(jì)算：典例精析72知識(shí)模塊三用計(jì)算器計(jì)算任意銳角的正切值說(shuō)一說(shuō)tan45°的值tan45°=1知識(shí)模塊三用計(jì)算器計(jì)算任意銳角的正切值說(shuō)一說(shuō)tan457330°、45°、60°的三角函數(shù)值：α30°45°60°sinαcosαtanα1歸納30°、45°、60°的三角函數(shù)值：α30°45°60°si74對(duì)于一般銳角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我們也可用計(jì)算器來(lái)求。歸納例如求25°角的正切值，可以在計(jì)算器上依次按鍵“tan”

“25”

，顯示結(jié)果為0.4663…例如已知tanα=0.8391，依次按鍵“2ndf”“tan”“0.8391”,顯示結(jié)果為40.000…，表示角α約等于40°。如果已知正切值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角。40°。對(duì)于一般銳角α（30°，45°，60°除外）的正切值751．用計(jì)算器求銳角的正切值（精確到0.0001）：

2．已知正切值，用計(jì)算器求相應(yīng)的銳角（精確到1′）．（１）tan21o15′≈（２）tan89o27′≈（３）tan5o49′≈0.3889104.17090.1019（1）tanα＝1.2868，則α=（2）tanα

=108.5729，則α=52o9′89o28′做一做1．用計(jì)算器求銳角的正切值（精確到0.0001）：2．已知76例3(1)用計(jì)算器求tan58°的值．(精確到0.0001)解：依次輸入：“tan”、“58”，顯示結(jié)果為1.6003….tan58°≈1.6003.(2)已知tanα＝1.2868，求α的值．(精確到分)解：依次輸入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“tan”、“1.2868”，顯示結(jié)果為52°9′.例377從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個(gè)銳角α，都有唯一確定的比值sinα（或cosα，tanα）與它對(duì)應(yīng)。并且我們還知道，當(dāng)銳角α變化時(shí)，它的比值sinα（cosα，tanα）也隨之變化。因此，我們把銳角α的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為角α的銳角三角函數(shù)。從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個(gè)銳角α，都有唯一確78湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第4章銳角三角函數(shù)課件79定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一個(gè)完整的符號(hào),分別表示∠A的正弦,余弦,正切(習(xí)慣省去“∠”號(hào)).3.sinA,cosA,tanA是一個(gè)比值.注意比的順序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,無(wú)單位.4.sinA,cosA,tanA的大小只與∠A的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān).5.角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個(gè)銳角相等.定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題:1.sinA,cosA,tanA是801．在Rt△ABC

中，∠C=90o，AC=7，BC=5．求tanA，tanB的值．2．在Rt△ABC

中，∠C=90o，AC=2，AB=3．求tanA，tanB

的值．

BCA75BCA32答案：答案：練一練1．在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=7，BC81已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，試判斷△ABC的形狀．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，

∴tanA＝1，sinB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，

∠C＝180°－45°－60°＝75°，

∴△ABC是銳角三角形．已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)82小結(jié)正切定義∠A越大，tanA越大,梯子越陡與梯子傾斜程度的關(guān)系小結(jié)正切定義∠A越大，tanA越大,與梯子傾斜程度的關(guān)系834.3解直角三角形ABC4.3解直角三角形ABC84【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五個(gè)元素之間的關(guān)系．2．會(huì)綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．3．滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】會(huì)綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】85直角三角形兩銳角關(guān)系三邊關(guān)系互余勾股定理邊角關(guān)系ＡＣabcB

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

銳角三角函數(shù)

議論一下直角三角形兩銳角關(guān)系三邊關(guān)系互余勾股定理邊角關(guān)系ＡＣabcB86情境導(dǎo)入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記作a，b，c.(1)Rt△ABC的三邊之間有什么關(guān)系？a2＋b2＝c2(勾股定理)(2)Rt△ABC的銳角之間有什么關(guān)系？∠A＋∠B＝90°(3)Rt△ABC的邊和銳角之間有什么關(guān)系？情境導(dǎo)入1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C872．根據(jù)下列每一組條件，畫直角三角形．你能畫出多少個(gè)不同的直角三角形？然后與同伴所畫圖形進(jìn)行交流比較：(1)斜邊長(zhǎng)為4cm，一條直角邊長(zhǎng)為3cm；(1)個(gè)(2)一個(gè)銳角40°，它的鄰邊長(zhǎng)為3cm；(1)個(gè)(3)一個(gè)銳角40°，它的對(duì)邊長(zhǎng)為3cm；(1)個(gè)(4)一個(gè)銳角40°，斜邊長(zhǎng)為3cm；(1)個(gè)(5)一個(gè)銳角為40°，另一個(gè)銳角為50°.(無(wú)數(shù))個(gè)2．根據(jù)下列每一組條件，畫直角三角形．你能畫出多少個(gè)不同的直88知識(shí)模塊一解直角三角形的概念、已知一邊及一銳角解直角三角形已知2個(gè)角不行.已知2個(gè)元素，且至少有1個(gè)是邊就可以了在一個(gè)直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的幾個(gè)元素就可以求出其余的元素？在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素。知識(shí)模塊一解直角三角形的概念、已知一邊及一銳角解直角三角89例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，cBABCcab還可以用勾股定理求c。像這樣，我們把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的過(guò)程叫作解直角三角形例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，902、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.25，解這個(gè)三角形(長(zhǎng)度精確到0.01)．解：∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.∵sinA＝

，∴BC＝AB·sinA＝5.25×sin40°≈3.37.∵cosA＝

，∴AC＝AB·cosA＝5.25×cos40°≈4.02.2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.91湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第4章銳角三角函數(shù)課件92(1)三邊之間的關(guān)系:a

2＋b2＝c2（勾股定理）;(2)銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B=

90o;(3)邊角之間的關(guān)系:sinA＝accosA＝tanA＝ＡＣＢabc有三條邊和三個(gè)角，其中有一個(gè)角為直角bcab銳角三角函數(shù)一個(gè)直角三角形有幾個(gè)元素？它們之間有何關(guān)系？回憶一下(1)三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）;(9330°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana對(duì)于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；對(duì)于cosα，角度越大，函數(shù)值越小.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：94

在直角三角形中，除直角外，還有哪些元素?這5個(gè)元素之間有什么關(guān)系?知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?思考探索在直角三角形中，除直角外，還有哪些元素?思考探索95在Rt△ABC中,（1）根據(jù)∠A=60°,斜邊AB=30,你能求出這三個(gè)角的其他元素嗎？A在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外,如果知道兩個(gè)元素,就可以求出其余三個(gè)元素.(其中至少有一個(gè)是邊),你發(fā)現(xiàn)了什么?BC∠B

AC

BC∠A∠B

AB一角一邊兩邊

（2）根據(jù)AC=，BC=,你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？?jī)山?/p>

（3）根∠A=60°,∠B=30°,你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎?不能在Rt△ABC中,（1）根據(jù)∠A=60°,斜邊AB=30,96ACBabc二）解直角三角形

解直角三角形一）直角三角形五元素直角三角形五個(gè)元素：三邊兩銳角

在直角三角形中已知兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）,求出其余未知元素的過(guò)程三）解直角三角形的依據(jù)感受新知ACBabc二）解直角三角形解直角三角形一）直角三97三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）

銳角之間的關(guān)系:∠A＋∠B＝90o

邊角之間的關(guān)系（銳角三角函數(shù)）:tanA＝absinA＝accosA＝bc

解直角三角形三）解直角三角形的依據(jù)ACBabc感受新知三邊之間的關(guān)系:a2＋b2＝c2（勾股定理）銳角之98例1：解直角三角形溫馨點(diǎn)悟：

利用“勾股定理”；“兩銳角余”；“銳角三角函數(shù)”關(guān)系是解題的關(guān)鍵闖關(guān)題：第一級(jí)

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,b=.解這個(gè)直角三角形.b=CBAac典例解析例1：解直角三角形溫馨點(diǎn)悟：闖關(guān)題：第一級(jí)例1.在Rt△99

例1：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,b=.解這個(gè)直角三角形.CBA解：在Rt△ABC中，

設(shè)a=x，c=2x由勾股定理得：∴c=8，a=4即：∴c=8∵方法一解：

∵∠B=60°,b=

∴∠A=30°,c=2a比較這兩種方法哪個(gè)方法更簡(jiǎn)單？方法二即:解：又∵∠A=30°

例題分析例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60100例2：構(gòu)造直角三角形闖關(guān)題：第二級(jí)例2：已知：△ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，求AC和AB的長(zhǎng).[評(píng)析]

在解斜三角形、等腰三角形、梯形等一些圖形的問(wèn)題時(shí)，可以適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形，使問(wèn)題得以解決.

設(shè)未知數(shù)得到相關(guān)的方程，是解本題的一個(gè)關(guān)鍵步驟.ABCD范例解析例2：構(gòu)造直角三角形闖關(guān)題：第二級(jí)例2：已知：△ABC中，101規(guī)范解題解：

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC.

例2：已知：△ABC中，∠C=105°，∠A=45°，BC=2，求AC的長(zhǎng).BCAD

在Rt△ABD中，∵∠A

=∠ABD=45°

在Rt△ABD中，∵

∠A=45°,則∠ABD=45°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD

∠CBD=60°

∴sin∠CBD

=即CDBC∴∴AC=AD+CD=∴例題分析規(guī)范解題解：例2：已知：△ABC中，∠102解直角三角形的思考方法是：

有斜（斜邊）用弦（正、余弦），

無(wú)斜用切（正切）；寧乘勿除，盡量采用原始數(shù)據(jù)，以圖輔助，啟迪思維.意思：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，就用正弦或余弦；無(wú)斜邊時(shí)，就用正切或余切；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時(shí)，則取原始數(shù)據(jù)，避免用中間數(shù)據(jù).解直角三角形的思考方法是：意思：103如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長(zhǎng).ACB解：設(shè)在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.隨堂練習(xí)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=104ACB∴AB的長(zhǎng)為ACB∴AB的長(zhǎng)為1051.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則

AB的值為()

A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長(zhǎng)是()

A．10B．20C．40D．28C1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=106圖①提示：題目中沒(méi)有給出圖形，注意分類討論.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長(zhǎng).解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；圖①提示：題目中沒(méi)有給出圖形，注意分類討論.在△ABC中，A107圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的長(zhǎng)為7或17.圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，∴BC的長(zhǎng)為7或17108方法與技巧：構(gòu)造直角三角形的兩種常見(jiàn)三角形:(1)直接過(guò)頂點(diǎn)作底邊上的高；(2)過(guò)頂點(diǎn)作底邊延長(zhǎng)線上的高.AABBCCDD方法與技巧：AABBCCDD109解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)關(guān)系式

歸納小結(jié)解直角三角形：由已知元素求未知元素的過(guò)程直角三角形中，AB∠A的對(duì)邊aC∠A的鄰邊b┌斜邊c解直角∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函數(shù)1104.3解直角三角形ABC4.3解直角三角形ABC111【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五個(gè)元素之間的關(guān)系．2．會(huì)綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．3．滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】會(huì)綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】112ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

如圖，在Rt△ABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中∠C=90°.c290°情境導(dǎo)入ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；113已知兩邊解直角三角形在圖中的Rt△ABC中，(1)根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABC675°已知兩邊解直角三角形在圖中的Rt△ABC中，ABC675°114(2)根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABC62.4(2)根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角115在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫作解直角三角形.在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳116ABC解：例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，，解這個(gè)直角三角形.典例精析ABC解：例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，117在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，根據(jù)條件解直角三角形.

解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c練習(xí)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=30，b=20，118已知一邊及一銳角解直角三角形例2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).ABCb20ca35°解：已知一邊及一銳角解直角三角形例2如圖，在Rt△ABC中，1191.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c=14.根據(jù)條件解直角三角形.ABCbac=14解：練習(xí)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝72°，c1202.如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng)．提示：作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長(zhǎng)，從而求解．2.如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng)．提121在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2.在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，D122已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形例3如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長(zhǎng).ACB解：設(shè)在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形例3如圖，在Rt△ABC123ACB∴AB的長(zhǎng)為ACB∴AB的長(zhǎng)為1241.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則

AB的值為()A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長(zhǎng)是()

A．10B．20C．40D．28C練習(xí)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=125圖①提示：題目中沒(méi)有給出圖形，注意分類討論.例4在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長(zhǎng).解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；圖①提示：題目中沒(méi)有給出圖形，注意分類討論.例4在△ABC126圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.∴BC的長(zhǎng)為7或17.圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，∴BC的長(zhǎng)為7或17127

C2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

AB=8，則BC的長(zhǎng)是()

D1.在RT△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，

∠B，∠C的對(duì)邊，則下列各式正確的是()A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosA當(dāng)堂練習(xí)C2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°1283.在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，則

AC=

(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

tan37°≈0.75).4.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長(zhǎng)為

.

243.753.在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=31295.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC

的平分線，解這個(gè)直角三角形.解：∵

AD平分∠BAC，DABC65.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B130解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，

求BC.DABC解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.6.如圖，在△ABC中，∠131解直角三角形依據(jù)解法：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)解直角三角形依據(jù)解法：只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一1324.4解直角三角形的應(yīng)用4.4解直角三角形的應(yīng)用133在Rt△ABC中，∠C為直角，除直角C外，其余的5個(gè)元素（兩角三邊）之間有以下關(guān)系：

⑴三邊之間的關(guān)系：

⑵銳角之間的關(guān)系：⑶邊角之間的關(guān)系：

ABCcba復(fù)習(xí)回顧在Rt△ABC中，∠C為直角，除直角C外，其余的5個(gè)元素（134解直角三角形的定義:在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素（3條邊和2個(gè)銳角），只要知道其中的兩個(gè)元素（至少一個(gè)是邊），利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的3個(gè)元素。

引入新課解直角三角形的定義:在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素（3條135ABCcab有斜用弦，無(wú)斜用切，多乘少除，取原避中，數(shù)形結(jié)合，切勿憑空。例題講解ABCcab有斜用弦，無(wú)斜用切，多乘少除，取原避中，數(shù)形結(jié)合136例2、

如圖，在離上海東方明珠塔底部1000米的A處，用儀器測(cè)得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°，儀器距地面高AE為1.7m，求上海明珠塔的高度BD(結(jié)果精確到1m).解：ABCED25°如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝BCAC＝BC1000從而B(niǎo)C＝1000xtan25°≈466.3（m）因此，上海東方明珠塔的高度BD=466.3＋1.7=468（m）答：上海東方明珠塔的高度BD為468m例2、如圖，在離上海東方明珠塔底部1000米的A處，用儀13730°10合作探究1、30°10合作探究1、138

2、熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.ABCDαβ仰角水平線俯角分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30°，β=60°.Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD的長(zhǎng)度；類似地可以求出CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)度，即求出這棟樓的高度.鞏固練習(xí)2、熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為3139解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120．答：1403、已知一直角三角形的兩邊為3和4，求第三邊的長(zhǎng)。43ABC34ABC鞏固練習(xí)3、已知一直角三角形的兩邊為3和4，求第三邊的長(zhǎng)。43ABC141解直角三角形直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形知一邊一銳角解直角三角形知兩邊解直角三角形添設(shè)輔助線解直角三角形歸納小結(jié)解直角三角形直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形知一邊一銳角知兩142由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A城的正南方向240km的B處，以每小時(shí)12km的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，距沙塵暴中心150km的范圍為受影響區(qū)域。A城是否受到這次沙塵暴的影響，為什么？解：過(guò)A作AC⊥BM,垂足為C,在Rt△ABC中，∠B=30°,

∴AC=AB=x240=120（km)1212∴A城會(huì)受到沙塵暴影響。BA●東北MC拓展延伸由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵暴侵襲。143A、必做題

1、已知中，∠C=90°,

,求∠A的其它銳角三角函數(shù)值。3、如圖，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，你能求出哪些結(jié)論。75°BC45°

6ＡＢ、選做題課后作業(yè)A、必做題3、如圖，在△ABC中，已知AC=6，∠C=751444.4解直角三角形及其應(yīng)用

4.4解直角三角形及其應(yīng)用1451.概念：

在直角三角形中，已知一些邊和角求未知的邊和角，叫做解直角三角形.

2.直角三角形的邊角關(guān)系：如圖:

在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,則

（1）角與角的關(guān)系：∠A+∠B=90°（2）邊與邊的關(guān)系：a2+b2=c2一、解直角三角形1.概念：在直角三角形中，已知一些邊和角求2146（3）邊與角的關(guān)系：sinA==cosA==tanA==（3）邊與角的關(guān)系：sinA==cosA==tanA==147例1如圖，在中，a=5，求∠B，b，c.Rt△ABC∴∵又∵

∴5解：在Rt△ABC中，∴∵∠A+∠B=900例1如圖，在中，148如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinB＝，AC=8，D為線段BC上一點(diǎn)，并且CD=2．那么BD=（）4做一做如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，4做一做1491、幾個(gè)常用概念：（1）仰角：

視線與水平線所成的角，且視線在水平線上方.

（2）俯角：

視線與水平線所成的角，且視線在水平線下方.

如圖：二、解直角三角形及其應(yīng)用1、幾個(gè)常用概念：（1）仰角：視線與水平線所成的角，且視線150（3）方位角（如圖）OA：北偏東30°OB：東南方（南偏東45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°（4）坡角（α）如圖:

坡面與水平面的夾角叫做坡角

（5）坡度（坡比,i）:

坡面的鉛直高度（h）和水平寬度（l）的比.i=h：l=tanα

（3）方位角（如圖）OA：北偏東30°（4）坡角（α）如圖151

例2

如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹(shù)AB的頂部A的仰角為45°，測(cè)得大樹(shù)AB的底部B的俯角為30°，已知平臺(tái)CD的高度為5m，則大樹(shù)的高度為多少？（結(jié)果保留根號(hào)）例2如圖，在建筑平臺(tái)CD的頂部C處，測(cè)得大樹(shù)AB的152解：作CE⊥AB于點(diǎn)E，則

BE=CD=5m，

在Rt△BCE中，

∵tan300=∴CE=

在Rt△ACE中，∵tan450=

∴AE=

∴AB=

5=5（m）CE·tan450=5（m），BE+AE=（5+5）（m）．解：作CE⊥AB于點(diǎn)E，則BE=CD=5m，

在Rt△153

在實(shí)際測(cè)量高度、寬度、距離等問(wèn)題中，常結(jié)合視角知識(shí)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來(lái)解決問(wèn)題．常見(jiàn)的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：①不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)圖1方法指導(dǎo)在實(shí)際測(cè)量高度、寬度、距離等問(wèn)題中，常結(jié)合視角知識(shí)構(gòu)154圖2

②同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)

③利用反射構(gòu)造相似

圖3圖2②同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)③利用反射構(gòu)造相似圖3155

一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時(shí)的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間．（（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）試一試一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出156建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2(m).ABCD40m54°45°建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部157請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勥@節(jié)課的收獲.課堂小結(jié)請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勥@節(jié)課的收獲.課堂小結(jié)1584.4解直角三角形應(yīng)用4.4解直角三角形應(yīng)用159在測(cè)量時(shí)，從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角；從上往下看，視線與水線的夾角叫俯角.知識(shí)點(diǎn)回顧在測(cè)量時(shí)，從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角；從上往下看，160學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解方向角、坡度的概念.(重點(diǎn))2.能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決方向角、坡度的問(wèn)題；能夠掌握綜合性較強(qiáng)的題型、融會(huì)貫通地運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步提高運(yùn)用解直角三角形知識(shí)分析解決問(wèn)題的綜合能力.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解方向角、坡度的概念.(重點(diǎn))161

如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BC，問(wèn)哪條路比較陡？如何用數(shù)量來(lái)刻畫哪條路陡呢？ABC導(dǎo)入新課觀察與思考如圖，從山腳到山頂有兩條路AB與BC，問(wèn)哪條路比較陡162如上圖所示，從山坡腳下點(diǎn)

A上坡走到點(diǎn)B時(shí)，升高的高度h（即線段BC的長(zhǎng)度）與水平前進(jìn)的距離l（即線段AC的長(zhǎng)度）的比叫作坡度，用字母i表示，即（坡度通常寫成1:m的形式）．坡度問(wèn)題如上圖所示，從山坡腳下點(diǎn)A上坡走到點(diǎn)B時(shí)，升高的高度163坡度越大，山坡越陡．在下圖中，∠BAC

叫作坡角（即山坡與地平面的夾角），記作α，顯然，坡度等于坡角的正切，即

坡度越大，山坡越陡．在下圖中，∠BAC叫作坡角（即山坡1641.斜坡的坡度是，則坡角α=___度.2.斜坡的坡角是45°

，則坡比是_____.3.斜坡長(zhǎng)是12米，坡高6米，則坡比是_______.αlh301:1練一練1.斜坡的坡度是，則坡角α=___度165例1如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了240m到達(dá)點(diǎn)C.這座山坡的坡角是多少度？小剛上升了多少米（角度精確到0.01°，長(zhǎng)度精確到0.1m）？i=1:2案例分析例1如圖，一山坡的坡度為i=1:2.小剛從山腳A出發(fā)，166在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由題意可得因此α