作用于剛體的力系等效簡化課件

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工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡化，揭示決定力系對剛體作用的本質性要素。迎面風力側面風力空間任意力系桌子(空間平行力系)1工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章12

工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡化，揭示決定力系對剛體作用的本質性要素。傳動軸(空間任意力系)2工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章23基本力系匯交力系力偶系空間匯交力系平面匯交力系空間力偶系平面力偶系

匯交力系和力偶系是力系中最簡單的力系。工程實際中物體的受力一般都比較復雜，我們可以通過某種方法將復雜力系簡化為這兩個基本力系。匯交力系是指力系中各力的作用線都匯交于一點的力系。力偶系一群力偶的集合。3基本力系匯交力系力偶系空間匯交力系平面匯交力系空間力偶系平34匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。例：起重機的吊鉤受F1、F2

和F3

的作用，這三個力的作用線交于O點，構成一平面匯交力系。4匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。例：起重機的吊鉤受F145例：如圖所示重物，用三桿支撐處于平衡，三桿自重不計。則O點所受力P,FAO,FBO,FCO

構成一“空間匯交力系”，匯交點為O點。匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。5例：如圖所示重物，用三桿支撐處于平衡，三桿自重不計。則O56——力矩力對物體可以產(chǎn)生轉動效應--取決于力矩的大小、轉向。移動效應--取決于力的大小、方向；

在生活和工程實際中，大量存在著力使物體繞某一固定點或某一軸轉動的現(xiàn)象，因此，引入力矩的概念。6——力矩力對物體可以產(chǎn)生轉動效應--取決于力矩的大小、轉向67

平面內力對點之矩

當作用于剛體上的力作用線與矩心O在同一平面內時，力對該平面內任一點的矩是一代數(shù)量。r規(guī)定：使剛體逆時針轉動為正，順時針轉動為負。1.大??；2.方向。兩個要素：力矩等于力與力臂的乘積,是影響轉動的獨立因素。xy——力矩7平面內力對點之矩r規(guī)定：使剛體逆時針轉動為正，順時針轉78

空間內力對點之矩:xzyOhFArd作用效應取決于：⒈力矩的大??；

⒊力的作用線與矩心所組成的平面的方位。⒉力矩的轉向；

空間內力對點之矩是一個矢量，力矩矢量是影響轉動的獨立因素。F——力矩Mo(F)=r×F8空間內力對點之矩:xzyOhFArd作用效應取決于：⒈力89矢量叉積物理含義兩個向量a

和b

的叉積寫作a×b

（有時也被寫成a∧b，避免和字母x

混淆）。叉積可以被定義為：

在這里θ

表示

a

和b

之間的角度（0°≤θ≤180°），它位于這兩個矢量所定義的平面上。而n

是一個與a和b均垂直的單位矢量。

空間內力對點之矩——力矩aba×b9矢量叉積物理含義兩個向量a和b的叉積寫作a×910右手螺旋定則：在剛體轉動平面內，以右手四指沿力方向，且掌心面向轉軸而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。F

空間內力對點之矩——力矩10右手螺旋定則：在剛體轉動平面內，以右手四指沿力方向，且掌1011力矩矢量MO（F）解析表示。

空間內力對點之矩——力矩11力矩矢量MO（F）解析表示?？臻g內力對點之矩——力矩1112

力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關，因此，MO(F)是定位矢量。

單位矢量i,j,k前面的系數(shù)為力矩矢量MO(F)在三個坐標軸上的投影，即

空間內力對點之矩——力矩12力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關1213

力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量——力矩13力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量——力1314

力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量

力對軸之矩等于該力在與軸垂直的平面上的投影對軸與平面交點O之矩。它是代數(shù)量，正負規(guī)定特殊情況：當力與軸在同一平面內時，力對該軸的矩等于0?！?4力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量14mz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd討論:(a)當力的作用線與軸平行或相交，

即力與軸位于同一平面時

力對該軸的矩等于零；(b)當力沿其作用線移動時,

它對軸的矩不變；oPABFzdabFxymz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd討論:(a)16力對點之矩與力對軸之矩的關系而ΔOA1B1恰為ΔOAB在平面I上的投影。xzyOBAFFxyFzFxyA1B1為轉動平面與平面I的夾角。當γ為銳角時，Mz(F)為正；當γ為鈍角時，Mz(F)為負——力矩16力對點之矩與力對軸之矩的關系而ΔOA1B1恰為ΔOAB在1617力對點之矩矢量在過該點之軸上的投影等于該力對該軸之矩。力矩關系定律力對點之矩的分析表達式又可寫為：——力矩17力對點之矩矢量在過該點之軸上的投影等于該力對該軸之矩。力17OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo(Fxy)=mo(Fy)+mo(Fx)–yFx=xFyyxzMx(F)=yFz-zFyMy(F)=zFx-xFzMz(F)=xFy-yFx同理：力對軸之矩的解析表達式OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo19例1:

手柄ABCE在平面Axy內，AB=BC=l，CD=a，F(xiàn)在垂直于y軸的平面內，夾角如圖，求力對x，y，z三軸之矩?！?9例1:手柄ABCE在平面Axy內，AB=BC=l，CD1920解：D點的坐標：xD=-l,yD=AB+CD=l+a,zD=0。——力矩還可以利用直接對軸取矩計算（驗算）20解：D點的坐標：xD=-l,yD=AB+CD=l+2021例2:

空間力F沿棱邊為a的正方體的對角線AB作用，如圖，求MO(F)?！?1例2:空間力F沿棱邊為a的正方體的對角線AB作用，如圖2122解：——力矩22解：——力矩2223

作用在物體上的一對大小相等、方向相反且作用線相互平行的兩個力稱為力偶，記作(F,F’)。

——力偶的概念和性質力偶作用效應：可使剛體轉動。23作用在物體上的一對大小相等、方向相反且2324

作用在物體上的一對大小相等、方向相反且作用線相互平行的兩個力稱為力偶，記作(F,F’)。

電機轉子所受的磁拉力——力偶的概念和性質24作用在物體上的一對大小相等、方向相反且2425

力偶兩個力所在的平面，稱為力偶作用面

兩力作用線之間的垂直距離，叫作力偶臂

力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向。規(guī)定：使物體逆時針轉動為正，順時針轉動為負!——力偶的概念和性質dF'FABC平面力偶矩的兩個要素：1.大??；2.轉向。

平面力偶矩M是一個代數(shù)量。25力偶兩個力所在的平面，稱為力偶作用面兩力作用2526

雖然有，但它既不平衡，也不能合成為一個合力，只能使剛體產(chǎn)生純轉動效應。因此，力偶是一個基本的力學量！其作用效果用力偶矩來度量?！ε嫉母拍詈托再|26雖然有，但它既不平2627在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個矢量M表示,矢量M的長度：表示力偶矩的大小；

M的方位：垂直于力偶的作用面；

指向：按右手螺旋規(guī)則，表示力偶的轉向。

空間力偶——力偶的概念和性質27在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個矢量M表示,2728空間力偶rBAMO力偶對空間任一點之矩的矢量和等于該力偶矩矢，而與矩心的選擇無關?！ε嫉母拍詈托再|28空間力偶rBAMO力偶對空間任一點之矩的矢量和等于該力偶2829

推論1

保持力偶矩不變，分別改變力和力偶臂的大小，其對剛體的作用效果不變。力偶的性質——力偶的概念和性質29推論1保持力偶矩不變，分別改變力和力偶臂的大小，其2930力偶的性質性質1.

力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡，力偶只能用力偶來平衡?！ε嫉母拍詈托再|

性質2.力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩，與矩心的位置無關。

性質3.作用在同一平面內的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉向相同，則這兩個力偶是等效的。30力偶的性質性質1.力偶不能用一個力來等效，也不能用一個3031

推論2

作用于剛體的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面內自由搬移。力偶的性質——力偶的概念和性質推論3在保持力偶矩大小不變的條件下,可以任意改變力偶的力的大小和力臂偶的長短,而不改變它對剛體的轉動效應。31推論2作用于剛體的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及3132力偶系：由兩個或兩個以上的力偶組成的特殊力系。

平面力偶系空間力偶系

若力偶系中各力偶均位于同一平面內則為平面力偶系，否則為空間力偶系。力偶系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡32力偶系：由兩個或兩個以上的力偶組成的特殊力系。平面力偶系32

設一空間力偶系由n個力偶組成,其力偶矩矢

分別為:m1,m2,…,mn(1)力偶系的合成A1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

設一空間力偶系由n個力偶組成,其力偶矩矢(1)力偶合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和?？臻g力偶系的合成---合力偶mx

=mixmy

=miymz

=mizM=miA1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

平面力偶系的合成---合力偶代數(shù)和矢量和合矢量投影定理：空間力偶系的合成---合力偶mx

(2)力偶系的平衡

力偶系中所有各力偶矩矢在三個直角坐標軸中每一軸

上的投影的代數(shù)和等于零。

mix=0

miy=0

miz=0平面力偶系的平衡:

平衡方程當作用在剛體上的主動荷載全是力偶時，

約束反力一定形成力偶?？臻g力偶系的平衡-----平衡的必要、充分條件是:mi=0(2)力偶系的平衡力偶系中所有各力偶矩矢在三個36

工件上作用有三個力偶如圖所示。已知：其力偶矩分別為M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱的距離l=200mm。求兩光滑螺柱所受的水平力。例四——基本力系的合成與平衡36工件上作用有三個力偶如圖所示。已知：其力偶矩分別為3637解：取工件為研究對象。FAFB由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)A和FB必組成力偶。

對于力偶系平衡問題，在分析約束反力方向時，不僅要根據(jù)約束特性，而且要正確利用力偶只能與力偶相平衡的概念去確定鉸鏈、固定端等約束反力的方向。——基本力系的合成與平衡37解：取工件為研究對象。FAFB由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)3738

圖示桿CD有一導槽，該導槽套于桿AB的銷釘E上。今在桿AB、CD上分別作用一力偶如圖，已知其中力偶矩M1的大小為1000N·m，不計桿重。試求力偶矩M2的大小。（選作）例五——基本力系的合成與平衡38圖示桿CD有一導槽，該導槽套于桿AB的銷釘E上。今3839解：以AB桿為研究對象，受力圖由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)E和FA組成力偶。FEFA以CD桿為研究對象，受力圖其中，F(xiàn)E′=FE。FE′FCFE′和FC組成力偶——基本力系的合成與平衡39解：以AB桿為研究對象，受力圖由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)3940圖示結構，已知a、m，桿重不計。求：鉸A、C的反力。（選作）例六——基本力系的合成與平衡40圖示結構，已知a、m，桿重不計。求：鉸A、C的反力。（選4041工件如圖所示，它的四個面上同時鉆四個孔，每個孔所受的切削力偶矩均為80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小。解：把每個力偶用力偶矩矢量表示，并平行移到點O：45°所以合力偶矩矢的大小xyzO例七——基本力系的合成與平衡41工件如圖所示，它的四個面上同時鉆四個孔，每個孔所受的切削4142圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側面各自作用著一個力偶。已知力偶的矩M1=20N·m；力偶的矩M2=20N·m；力偶的矩M3=20N·m。試求合力偶矩矢M。（選作）例八——基本力系的合成與平衡42圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側面各自作用著4243解：把每個力偶用力偶矩矢量表示出來，并平行搬移到O點，如圖所示。得到合力偶矩矢M

的大小和方向

——基本力系的合成與平衡43解：把每個力偶用力偶矩矢量表示出來，并平行搬移到O點，如4344——基本力系的合成與平衡匯交力系的合成與平衡（前面已有詳細分析）

匯交力系合力的作用線通過匯交點（作用線）；其大小和方向可用力系中各力矢所構成的力多邊形的封閉邊矢量來表示（大小和方向）。F1F2F3FnFRF12F123FR幾何法

在作力多邊形時，若任意變換各分力的先后順序，可得到形狀不同的力多邊形，但是這并不影響最后所得合力的大小和方向。44——基本力系的合成與平衡匯交力系的合成與平衡（前面已4445匯交力系各力Fi和合力FR在直角坐標系中的解析表達式由合力投影定理得到匯交力系合力的大小和方向余弦

匯交力系的合成與平衡解析法——基本力系的合成與平衡45匯交力系各力Fi和合力FR在直角坐標系中的解析表達式由4546匯交力系的合成與平衡從匯交力系合成結果顯然可得到，匯交力系平衡的充分必要條件是：力系的合力等于零，即FR=0。力多邊形自行封閉（或：各力矢量首尾相接，自行封閉）。用幾何法的語言描述就是：用解析法的語言描述就是：力系中所有各力在直角坐標系各個軸上投影的代數(shù)和都等于零。即下面舉例說明應用?！玖ο档暮铣膳c平衡46匯交力系的合成與平衡從匯交力系合成結果顯然可得到，匯交力4647例一重1kN的物體，用兩根鋼索AB、BC懸掛如圖所示。不計鋼索的重量，求鋼索的拉力。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡47例一重1kN的物體，用兩根鋼索AB、BC懸掛如圖所示。不4748解：1.取重物為研究對象2.受力分析：已知重力W，鋼索對重物的拉力FAB和FBC。其受力圖如圖所示。匯交力系的合成與平衡WFBCFAB——基本力系的合成與平衡48解：1.取重物為研究對象2.受力分析：已知重力W，鋼索對4849（1）幾何法

根據(jù)受力圖作封閉的力三角形，如圖所示。作圖時，應從已知力W作起，并根據(jù)各分力矢量首尾相接的矢序規(guī)則。根據(jù)正弦定理，有很容易解得FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡49（1）幾何法根據(jù)受力圖作封閉的力三角形，4950（2）解析法取如圖所示的直角坐標系。以x、y軸為投影軸列出平衡方程：聯(lián)立方程求解的FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡注意：平衡方程的規(guī)范形式?！玖ο档暮铣膳c平衡50（2）解析法取如圖所示的直角坐標系。以x、y軸為投影軸列5051

在用解析法求解時，為了避免解聯(lián)立方程，所選投影軸x、y的方位不一定是水平與鉛垂的，可以根據(jù)其中一根軸與未知力相垂直的原則選取，如圖所示。相應的平衡方程為：從方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡51在用解析法求解時，為了避免解聯(lián)立方程，所選投51例題二

三鉸支架由三桿AB，AC和AD用球鉸連接而成，分別用球鉸支座B、C和D固定在地面上，如圖所示。在鉸A上懸掛一重物E，重量為G=500N。已知a=2m,b=3m,c=1.5m,h=2.5m,

各桿自重均不計，求各桿所受的力。GABCDabhxyzccαβγαE例題二三鉸支架由三桿AB，AC和AD用球鉸連接而成，52GABCDabhxyzccαβγαEFAD解：選取鉸A連同重物為研究對象，受力分析：FACFAB空間匯交力系Fx=0Fy=0Fz=0GABCDabhxyzccαβγαEFAD解：選取鉸A連同53GABCDabhxyzccαβγαEFADFAD-FADcosα-FADsinαcosβ-FADsinαsinβFAC

FACcosα-FACsinαcosβ-FACsinαsinβFAB

0-FABcosγ-FABsinγ

G00-GxzyFACFABMNGABCDabhxyzccαβγαEFADFAD-FAD54FAD-FAD

cosα-FADsinαcosβ-FAD

sinαsinβFAC

FAC

cosα-FACsinαcosβ-FAC

sinαsinβFAB

0-FABcosγ-FABsinγ

G00-GxzyFx=0-FAD

cosα+FAC

cosα=0Fy=0-FAD

sinαcosβ-FACsinαcosβ-FABcosγ=0Fz=0-FADsinαsinβ-FAC

sinαsinβ-FABsinγ-G=0FAD=868.5N

FAC=868.5NFAB=-1953NFAD-FADcosα-FADsinαcosβ-F5556注意幾點:幾何法的關鍵是要做封閉力多邊形（所舉例題為三角形）。各力矢量一定要首尾相接。解析法的關鍵是要列平衡方程，特別注意力投影的正、負號不要搞錯。解題時一定要按照上述解題步驟，一步一步地做，切不可投機取巧。受力圖要完整畫出，平衡方程要規(guī)范。

匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡56注意幾點:幾何法的關鍵是要做封閉力多邊形（所舉例題為三角5657平移定理：——

力的平移定理須在該力與指定點B所決定的平面內附加一力偶，其力偶矩

等于原力F對指定點B之矩。到剛體內任一指定點B若不改變該力對于剛體的作用，則必作用在剛體上A點的力F可以平行移動57平移定理：——力的平移定理須在該力與指定點B所決定的5758①力的平移定理的逆定理同時存在,即力的平移定理揭示了力與力偶的關系：力力+力偶

②力的平移定理是力系簡化的理論基礎?！?/p>

力的平移定理58①力的平移定理的逆定理同時存在,即力的平移定理揭示了力與5859平面力系向一點的簡化與合成

——空間任意力系向一點的簡化與合成思路：

應用力的平移定理，將平面力系分解成兩個力系，即平面匯交力系和平面力偶系，然后，再將兩個力系分別合成。設有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在平面內任選一點O，稱為簡化中心。A1A2AnF1F2Fn59平面力系向一點的簡化與合成——空間任意力系向一點的594-3.平面任意力系向一點的簡化平面任意力系向一點簡化的實質是一個平面任意力系變換為平面匯交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn

設在剛體上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用點分別為A1,

A2,…

An

如圖所示.o在平面上任選一點o為簡化中心.4-3.平面任意力系向一點的簡化平面任意力系向一點簡化的實質60根據(jù)力線平移定理,將各力平移到簡化中心O.原力系轉化為作用于O點的一個平面匯交力系F1',F2',…Fn'以及相應的一個力偶矩分別為m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)根據(jù)力線平移定理,將各力平移到簡化中心O.原力系轉化為作用于61將這兩個力系分別進行合成.

一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合成為作用于O點的一個力,其力矢量R'稱為原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=

F1+F2+…+

Fn

R'

=Fi

一般情況下附加平面力偶可合成一個力偶,其力偶矩Mo稱為原力系對于簡化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)將這兩個力系分別進行合成.一般情況下平面匯交力系F16263

平面力系向作用面內任選一點O簡化，一般可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中心O；這個力偶的矩等于該力系對于O點的主矩。

平面力系向一點的簡化與合成

一般情況下，主矩和簡化中心的選擇有關。由于主矢只是力系中各力的矢量和，與簡化中心的選擇沒有關系。——空間任意力系向一點的簡化與合成簡化結果：63平面力系向作用面內任選一點O簡化，一般可得一個63(2)簡化結果的討論.(a)

R'0,Mo

=0原力系簡化為一個作用于簡化中心O的合力

R',且R'

=

Fi(b)

R'=0,Mo

0原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=mo(Fi)(c)

R'0,Mo

0力系可以簡化為一個合力R,其

大小和方向均與R'相同.而作用線位置與簡化中

心點O的距離為:(2)簡化結果的討論.(a)R'0,Mo=64(3)合力矩定理

mO(R)=ROA=R'd=MOMO=mO(Fi)mO(R)=mO(Fi)dAOR'RR''dAOR'OR

當平面任意力系簡化為一個合力時,合力對力系所在平面內任一點的矩,等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和.(3)合力矩定理mO(R)=ROA=R65(d)R'=0,Mo

=0原力系為平衡力系.其簡化結果與簡化中心的位置無關.主矢FR′主矩MO合成結果00平衡0非0力偶非00合力非0非0合力(d)R'=0,Mo=0原力系為平衡力系.66固定端支座:AXAmA既能限制物體移動又能限制物體轉動的約束.AYAABCF1F2F3例題.正三角形ABC的邊長為a,受力如圖.且

F1=F2=F3=F

求此力系的主矢;對A點的主矩及此力系合力作用線的位置.固定端支座:AXAmA既能限制物體移動又能限制物體轉動的約束67解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求對A點的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用線的位置解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos6068**平面平行力系的簡化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo

設在某一物體上作用有一個平面平行力系F1,F2,…Fn

取坐標原點O為簡化中心將力系簡化可得主矢R'和主矩MO,其中R'

=Fi=YiMO=mo(Fi)=F

x**平面平行力系的簡化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo69簡化結果的討論xyRAxo(1)R'0,Mo

=0原力系簡化為一個作用于簡化中心

O的合力R',且R'

=Fi=Yi(2)R'=0,Mo

0原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=mo(Fi)=F

x(3)R'0,Mo

0力系可以簡化為一個合力R

R

=R'

=Fi=Yi簡化結果的討論xyRAxo(1)R'0,Mo7071

例2:

如圖,求懸臂梁上均布載荷的合力。yxdxx在坐標

x處取長為dx

的微段，其集度為：（1）確定合力的大小解：在此微段上的荷載為：合力Q的大小為：（2）確定合力的作用點QxCC——空間任意力系向一點的簡化與合成71例2:如圖,求懸臂梁上均布載荷的合力。yxdxx在7172

例:

如圖,求簡支梁上線性分布載荷的合力。在坐標

x處取長為dx

的微段，其集度為：在此微段上的荷載為：（1）確定合力的大小解：因此，合力Q的大小為：——空間任意力系向一點的簡化與合成72例:如圖,求簡支梁上線性分布載荷的合力。在坐標x7273（2）確定合力的作用點

例1:

如圖,求簡支梁上線性分布載荷的合力?！臻g任意力系向一點的簡化與合成73（2）確定合力的作用點例1:如圖,求簡支梁上線性7374結論：1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷的方向相同。3、合力的作用線通過載荷圖的形心。qQxyxxCdx——空間任意力系向一點的簡化與合成74結論：qQxyxxCdx——空間任意力系向一點的簡化與7475

例：在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN，試求該力系對O點的簡化結果，以及該力系的最簡合成結果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°——空間任意力系向一點的簡化與合成75例：在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有四個7576解：1.求主矢。建立如圖坐標系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°主矢的大小主矢的方向——空間任意力系向一點的簡化與合成76解：1.求主矢。建立如圖坐標系Oxy。F1F2F3F4O7677由于主矢和主矩都不為零，故最簡合成結果是一個合力FR。如圖所示。且合力FR到O點的距離2.求主矩§2.作用于剛體的力系等效簡化空間任意力系向一點的簡化與合成

平面力系向一點的簡化與合成FRd77由于主矢和主矩都不為零，故最簡合成結果是一個合力FR。如77

空間力系的簡化與合成合力合力偶矩

設有一平面力系Fl

、F2

、…、Fn

。在空間內任選一點O，稱為簡化中心。利用力的平移定理，得到一個空間匯交力系和空間力偶系?！臻g任意力系向一點的簡化與合成§2.作用于剛體的力系等效簡化空間力系的簡化與合成合力合力偶矩設有一平面力78791.

主矢：指原空間一般力系各力的矢量和。

主矢的解析求法注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它與簡化中心的位置無關。大小:方向:

空間力系的簡化與合成——空間任意力系向一點的簡化與合成791.主矢：指原空間一般力系各力的矢量和7980⒉

主矩：指原空間一般力系對簡化中心之矩的矢量和。

大小：因主矩等于各力對簡化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向與簡化中心有關。注意：主矩的解析求法方向：

空間力系的簡化與合成——空間任意力系向一點的簡化與合成80⒉主矩：指原空間一般力系對簡化中心之矩的矢量和。8081

空間一般力系向任一點O簡化，一般可以得到一個力和一個力偶；該力作用于簡化中心，其大小及方向等于該力系的主矢，該力偶矩矢量等于該力系對于簡化中心的主矩?？臻g力系的簡化與合成結論：——空間任意力系向一點的簡化與合成81空間一般力系向任一點O簡化，一般可以得到一個8182—有效推力飛機向前飛行—有效升力飛機上升—側向力飛機側移—滾轉力矩飛機繞x軸滾轉—偏航力矩飛機轉彎—俯仰力矩飛機仰頭——空間任意力系向一點的簡化與合成82—有效推力飛機向前飛行—有效升力飛機上升—側向力飛機側移8283

1.空間力系平衡的情形

若主矢FR'=0，主矩MO=0，這時，該空間力系平衡。

空間力系向一點簡化，可能出現(xiàn)下列四種情況，即

(1)FR'=0，MO=0；(2)FR'=0，MO≠0；

(3)FR'≠0，MO=0；(4)FR'≠0，MO≠0。2.空間力系簡化為一合力偶的情形

若主矢FR'=0，主矩MO≠0，這時得一力偶。此時，主矩與簡化中心O的位置無關。——空間任意力系向一點的簡化與合成簡化結果的討論83

1.空間力系平衡的情形

若主矢FR'=083843.空間力系簡化為一合力的情形

（3.1）若主矢FR'≠0,而主矩MO=0，這時得一力。顯然，這力與原力系等效，即空間力系合成為一合力，合力的作用線通過簡化中心O，合力矢等于原力系的主矢?！臻g任意力系向一點的簡化與合成簡化結果的討論843.空間力系簡化為一合力的情形

（3.1）若主矢8485

（3.2）若主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'⊥MO，如圖a所示。這時，力FR'和力偶（FR",FR）在同一平面內，如圖b所示。故可將力FR'和力偶（FR",FR）進一步合成，得作用于O'的一個力FR

，如圖c所示。O’——空間任意力系向一點的簡化與合成3.空間力系簡化為一合力的情形85（3.2）若主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且F8586若主矢FR'≠0,主矩MO≠0，但FR'∥MO，如圖所示。右螺旋左螺旋這種結果稱為力螺旋。

所謂力螺旋，就是由一力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。

——空間任意力系向一點的簡化與合成

4.空間力系簡化為力螺旋的情形86若主矢FR'≠0,主矩MO≠0，但FR'∥MO，如8687

力螺旋是由靜力學的兩個基本要素（力和力偶）組成的最簡單的力系，不能進一步合成。力螺旋的力作用線稱為該力系的中心軸。擰螺絲時施加的力螺旋——空間任意力系向一點的簡化與合成受到的空氣阻力構成力螺旋87力螺旋是由靜力學的兩個基本要素（力和力偶）組成的8788

當FR‘≠0，Ｍ0≠0

且FR’與Ｍ0

成任意夾角（既不平行，又不垂直），此種情況仍然合成為力螺旋。但是力螺旋的中心軸位置改變！即：力螺旋中心軸過O'點。

一般情形下空間力系可簡化為力螺旋！——空間任意力系向一點的簡化與合成

4.空間力系簡化為力螺旋的情形88當FR‘≠0，Ｍ0≠0且FR’與Ｍ0成任意夾8889空間力系合成的可能結果為：合成為一個力偶

合成為一個力

合成為一個力螺旋平衡

——空間任意力系向一點的簡化與合成89空間力系合成的可能結果為：合成為一個力偶合成為一8990

例5：一空間力系如圖所示，已知F1=F2=100N，M=20N·m，b=300mm，l=h=400mm。求力系的主矢和主矩，并說明該力系的最簡合成結果是什么。解：把該空間力系向O點簡化，得到附加力偶矩得到主矢得到主矩——空間任意力系向一點的簡化與合成90例5：一空間力系如圖所示，已知F1=F2=100N，M9091——空間任意力系向一點的簡化與合成力螺旋91——空間任意力系向一點的簡化與合成力螺旋9192

例6：在邊長為a的立方體的A、B頂點上作用有大小均為F的力F1和F2,試討論此力系的最后合成結果。ABa——空間任意力系向一點的簡化與合成92例6：在邊長為a的立方體的A、B頂點上作用有大小9293

空間平行力系的中心

空間平行力系，當它有合力時，合力的作用點C就是該力系的中心。定義：平行力系的中心坐標公式1）矢量形式由合力矩定理：——空間任意力系向一點的簡化與合成93空間平行力系的中心空間平行力系，當它93942）直角坐標形式（投影式）

空間平行力系的中心

——空間任意力系向一點的簡化與合成942）直角坐標形式（投影式）空間平行力系的中心——空9495重心

物體各部分所受重力的合力就是物體的重力。由各部分所受重力組成的空間平行力系的中心，稱為此物體的重心。

不論物體如何放置，重心相對于物體其相對位置不會改變。這也是平行力系固有的特性。確定重心的物理意義：重心的高低與支撐面的大小直接和物體穩(wěn)定性密切相關——空間任意力系向一點的簡化與合成95重心物體各部分所受重力的合力就是物體的重力。由各9596設物體由若干部分組成，其第i部分重為Pi，重心為則該物體的重心為：

投影式：重心——空間任意力系向一點的簡化與合成96設物體由若干部分組成，其第i部分重為Pi，重心為則該物體9697若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得質心坐標公式

式中 ，上式稱為積分形式重心坐標公式。對于均質物體，=恒量，其重心即是其幾何中心——形心。重心——空間任意力系向一點的簡化與合成97若以△Pi=△mig,P=Mg代入上式可得9798對稱法：具有對稱點﹑對稱軸﹑對稱面的均質物體，其重心就在其對稱點﹑對稱軸﹑對稱面上。分割組合法

例：已知均質等厚Z形截面，尺寸如圖。求：該截面的重心位置。重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成98對稱法：具有對稱點﹑對稱軸﹑對稱面的均質物體，其重心就在9899解：將該截面分割為三部分，取Oxy直角坐標系，如圖。重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成99解：將該截面分割為三部分，重心的求法——空間任意力系向一99(2)計算物體形心的方法:負面積法例題7-8求圖示平面圖形的形心。5m5m15m15m20m(2)計算物體形心的方法:負面積法例題7-8解:分割法

取坐標如圖且把平面圖形分為A和B兩部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)x5m5m15m15m20myoC1AC2B解:分割法取坐標如圖且把平C1(2.5,7.5)C2(2)負面積法取坐標如圖。使平面圖形組合成矩形A。5m5m15m20mxyo以及負面積的矩形BC1(10,7.5)C2(12.5,10)C2AC1B(2)負面積法取坐標如圖。使平面5m5m15m20mxyo103積分法

例8：求半徑為R，頂角為2的均質圓弧的重心。解：由于對稱關系，該圓弧重心必在Ox軸上，即yC=0。取微段重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成103積分法例8：求半徑為R，頂角為2的均質圓弧的重心103104求：圖示偏心塊重心的位置。

例：已知解：應用分割組合法，將偏心塊看成是由三部分組成（A3為負面積），則（由于對稱性）其中：積分法重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成104求：圖示偏心塊重心的位置。例：已知解：應用分割組合法104105實驗法懸掛法稱重法由適用于非均質、形狀不規(guī)則等一般物體重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成105實驗法懸掛法稱重法由適用于非均質、形狀不規(guī)則等一般物體105106以上確定重心的方法根據(jù)實際情況具體選用，對于常見幾何形體（三角形、扇形等）重心位置可以直接查表，無需計算。重心的求法——空間任意力系向一點的簡化與合成106以上確定重心的方法根據(jù)實際情況具體選用，對于常見幾何形106107

（1）空間力系的簡化問題，是力系中最復雜的情況。研究方法與平面力系的研究方法相同，也采用將力系向一點簡化的方法?？稍谡莆掌矫媪ο档暮喕幕A上，結合空間力系的特點去加以領會。在學習時，既要注意空間力系與平面力系之間的相似之處，又必須注意它們之間的差別，達到前后聯(lián)系、融會貫通的效果。學習方法及注意問題

（2）平面力系力系向一點簡化后，合成結果便只有合力、合力偶或平衡三種可能。而在空間力系中，除合力、合力偶或平衡之外，還可能成為力螺旋?！臻g任意力系向一點的簡化與合成107（1）空間力系的簡化問題，是力系中最復雜的情況107108——固定端約束

固定端（插入端）約束的構造

該約束限制了被約束物體任何方向的移動和轉動。108——固定端約束固定端（插入端）約束的構造該約束限制108109

固定端（插入端）約束的約束力

約束給約束物體的約束力實際上是一個分布力。在平面問題中，它是一個平面任意力系；在空間問題中，它是一個空間任意力系。該約束限制了被約束物體任何方向的移動和轉動

無論它們是如何分布，根據(jù)力系簡化理論，可將它們向一點簡化得一力F及一力偶M。——固定端約束109固定端（插入端）約束的約束力約束給約束物體的約109110在空間問題中的表示：

固定端（插入端）約束的約束力6個未知量——固定端約束110在空間問題中的表示：固定端（插入端）約束的約束力6個110111本章小結1．力矩是度量力對物體轉動效應的物理量。力對軸之矩是代數(shù)量；力對點之矩是定位矢量。力對點之矩在通過該點某軸上的投影等于力對該軸之矩。2．基本力系的合成與平衡3．力的平移定理，力系的簡化與合成，主矢與主矩

111本章小結1．力矩是度量力對物體轉動效應的物理量。力對軸111112作業(yè)題

2-62-72-82-132-152-16§2.作用于剛體的力系等效簡化112作業(yè)題§2.作用于剛體的力系等效簡化112113

工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡化，揭示決定力系對剛體作用的本質性要素。迎面風力側面風力空間任意力系桌子(空間平行力系)1工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章113114

工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章研究作用于剛體的力系的等效簡化，揭示決定力系對剛體作用的本質性要素。傳動軸(空間任意力系)2工程實際問題中，研究對象的受力相當復雜。本章114115基本力系匯交力系力偶系空間匯交力系平面匯交力系空間力偶系平面力偶系

匯交力系和力偶系是力系中最簡單的力系。工程實際中物體的受力一般都比較復雜，我們可以通過某種方法將復雜力系簡化為這兩個基本力系。匯交力系是指力系中各力的作用線都匯交于一點的力系。力偶系一群力偶的集合。3基本力系匯交力系力偶系空間匯交力系平面匯交力系空間力偶系平115116匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。例：起重機的吊鉤受F1、F2

和F3

的作用，這三個力的作用線交于O點，構成一平面匯交力系。4匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。例：起重機的吊鉤受F1116117例：如圖所示重物，用三桿支撐處于平衡，三桿自重不計。則O點所受力P,FAO,FBO,FCO

構成一“空間匯交力系”，匯交點為O點。匯交力系是工程中常見的一種簡單力系。5例：如圖所示重物，用三桿支撐處于平衡，三桿自重不計。則O117118——力矩力對物體可以產(chǎn)生轉動效應--取決于力矩的大小、轉向。移動效應--取決于力的大小、方向；

在生活和工程實際中，大量存在著力使物體繞某一固定點或某一軸轉動的現(xiàn)象，因此，引入力矩的概念。6——力矩力對物體可以產(chǎn)生轉動效應--取決于力矩的大小、轉向118119

平面內力對點之矩

當作用于剛體上的力作用線與矩心O在同一平面內時，力對該平面內任一點的矩是一代數(shù)量。r規(guī)定：使剛體逆時針轉動為正，順時針轉動為負。1.大??；2.方向。兩個要素：力矩等于力與力臂的乘積,是影響轉動的獨立因素。xy——力矩7平面內力對點之矩r規(guī)定：使剛體逆時針轉動為正，順時針轉119120

空間內力對點之矩:xzyOhFArd作用效應取決于：⒈力矩的大??；

⒊力的作用線與矩心所組成的平面的方位。⒉力矩的轉向；

空間內力對點之矩是一個矢量，力矩矢量是影響轉動的獨立因素。F——力矩Mo(F)=r×F8空間內力對點之矩:xzyOhFArd作用效應取決于：⒈力120121矢量叉積物理含義兩個向量a

和b

的叉積寫作a×b

（有時也被寫成a∧b，避免和字母x

混淆）。叉積可以被定義為：

在這里θ

表示

a

和b

之間的角度（0°≤θ≤180°），它位于這兩個矢量所定義的平面上。而n

是一個與a和b均垂直的單位矢量。

空間內力對點之矩——力矩aba×b9矢量叉積物理含義兩個向量a和b的叉積寫作a×121122右手螺旋定則：在剛體轉動平面內，以右手四指沿力方向，且掌心面向轉軸而握拳，大拇指所指方向即是力矩矢量的方向。F

空間內力對點之矩——力矩10右手螺旋定則：在剛體轉動平面內，以右手四指沿力方向，且掌122123力矩矢量MO（F）解析表示。

空間內力對點之矩——力矩11力矩矢量MO（F）解析表示?？臻g內力對點之矩——力矩123124

力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關，因此，MO(F)是定位矢量。

單位矢量i,j,k前面的系數(shù)為力矩矢量MO(F)在三個坐標軸上的投影，即

空間內力對點之矩——力矩12力矩矢量MO(F)的大小和方向都與矩心O的位置有關124125

力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量——力矩13力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量——力125126

力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量

力對軸之矩等于該力在與軸垂直的平面上的投影對軸與平面交點O之矩。它是代數(shù)量，正負規(guī)定特殊情況：當力與軸在同一平面內時，力對該軸的矩等于0?！?4力對軸之矩：力使物體繞某一軸產(chǎn)生轉動效應的物理量126mz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd討論:(a)當力的作用線與軸平行或相交，

即力與軸位于同一平面時

力對該軸的矩等于零；(b)當力沿其作用線移動時,

它對軸的矩不變；oPABFzdabFxymz(F)=mo(Fxy)=±Fxyd討論:(a)128力對點之矩與力對軸之矩的關系而ΔOA1B1恰為ΔOAB在平面I上的投影。xzyOBAFFxyFzFxyA1B1為轉動平面與平面I的夾角。當γ為銳角時，Mz(F)為正；當γ為鈍角時，Mz(F)為負——力矩16力對點之矩與力對軸之矩的關系而ΔOA1B1恰為ΔOAB在128129力對點之矩矢量在過該點之軸上的投影等于該力對該軸之矩。力矩關系定律力對點之矩的分析表達式又可寫為：——力矩17力對點之矩矢量在過該點之軸上的投影等于該力對該軸之矩。力129OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo(Fxy)=mo(Fy)+mo(Fx)–yFx=xFyyxzMx(F)=yFz-zFyMy(F)=zFx-xFzMz(F)=xFy-yFx同理：力對軸之矩的解析表達式OxyzA（x,y,z)FFxyFxFyMz(F)=mo131例1:

手柄ABCE在平面Axy內，AB=BC=l，CD=a，F(xiàn)在垂直于y軸的平面內，夾角如圖，求力對x，y，z三軸之矩?！?9例1:手柄ABCE在平面Axy內，AB=BC=l，CD131132解：D點的坐標：xD=-l,yD=AB+CD=l+a,zD=0?！剡€可以利用直接對軸取矩計算（驗算）20解：D點的坐標：xD=-l,yD=AB+CD=l+132133例2:

空間力F沿棱邊為a的正方體的對角線AB作用，如圖，求MO(F)?！?1例2:空間力F沿棱邊為a的正方體的對角線AB作用，如圖133134解：——力矩22解：——力矩134135

作用在物體上的一對大小相等、方向相反且作用線相互平行的兩個力稱為力偶，記作(F,F’)。

——力偶的概念和性質力偶作用效應：可使剛體轉動。23作用在物體上的一對大小相等、方向相反且135136

作用在物體上的一對大小相等、方向相反且作用線相互平行的兩個力稱為力偶，記作(F,F’)。

電機轉子所受的磁拉力——力偶的概念和性質24作用在物體上的一對大小相等、方向相反且136137

力偶兩個力所在的平面，稱為力偶作用面

兩力作用線之間的垂直距離，叫作力偶臂

力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向。規(guī)定：使物體逆時針轉動為正，順時針轉動為負!——力偶的概念和性質dF'FABC平面力偶矩的兩個要素：1.大??；2.轉向。

平面力偶矩M是一個代數(shù)量。25力偶兩個力所在的平面，稱為力偶作用面兩力作用137138

雖然有，但它既不平衡，也不能合成為一個合力，只能使剛體產(chǎn)生純轉動效應。因此，力偶是一個基本的力學量！其作用效果用力偶矩來度量?！ε嫉母拍詈托再|26雖然有，但它既不平138139在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個矢量M表示,矢量M的長度：表示力偶矩的大小；

M的方位：垂直于力偶的作用面；

指向：按右手螺旋規(guī)則，表示力偶的轉向。

空間力偶——力偶的概念和性質27在空間力偶系的情況下，力偶矩需要用一個矢量M表示,139140空間力偶rBAMO力偶對空間任一點之矩的矢量和等于該力偶矩矢，而與矩心的選擇無關?！ε嫉母拍詈托再|28空間力偶rBAMO力偶對空間任一點之矩的矢量和等于該力偶140141

推論1

保持力偶矩不變，分別改變力和力偶臂的大小，其對剛體的作用效果不變。力偶的性質——力偶的概念和性質29推論1保持力偶矩不變，分別改變力和力偶臂的大小，其141142力偶的性質性質1.

力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡，力偶只能用力偶來平衡?！ε嫉母拍詈托再|

性質2.力偶對其作用平面內任一點的力矩，恒等于其力偶矩，與矩心的位置無關。

性質3.作用在同一平面內的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等、力偶的轉向相同，則這兩個力偶是等效的。30力偶的性質性質1.力偶不能用一個力來等效，也不能用一個142143

推論2

作用于剛體的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及平行平面內自由搬移。力偶的性質——力偶的概念和性質推論3在保持力偶矩大小不變的條件下,可以任意改變力偶的力的大小和力臂偶的長短,而不改變它對剛體的轉動效應。31推論2作用于剛體的力偶矩是自由矢量，可在其作用面及143144力偶系：由兩個或兩個以上的力偶組成的特殊力系。

平面力偶系空間力偶系

若力偶系中各力偶均位于同一平面內則為平面力偶系，否則為空間力偶系。力偶系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡32力偶系：由兩個或兩個以上的力偶組成的特殊力系。平面力偶系144

設一空間力偶系由n個力偶組成,其力偶矩矢

分別為:m1,m2,…,mn(1)力偶系的合成A1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

設一空間力偶系由n個力偶組成,其力偶矩矢(1)力偶合矢量投影定理：合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸上投影的代數(shù)和?？臻g力偶系的合成---合力偶mx

=mixmy

=miymz

=mizM=miA1A2Anm1m2mnOxyzm1

m2Oxyzmn

平面力偶系的合成---合力偶代數(shù)和矢量和合矢量投影定理：空間力偶系的合成---合力偶mx

(2)力偶系的平衡

力偶系中所有各力偶矩矢在三個直角坐標軸中每一軸

上的投影的代數(shù)和等于零。

mix=0

miy=0

miz=0平面力偶系的平衡:

平衡方程當作用在剛體上的主動荷載全是力偶時，

約束反力一定形成力偶?？臻g力偶系的平衡-----平衡的必要、充分條件是:mi=0(2)力偶系的平衡力偶系中所有各力偶矩矢在三個148

工件上作用有三個力偶如圖所示。已知：其力偶矩分別為M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱的距離l=200mm。求兩光滑螺柱所受的水平力。例四——基本力系的合成與平衡36工件上作用有三個力偶如圖所示。已知：其力偶矩分別為148149解：取工件為研究對象。FAFB由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)A和FB必組成力偶。

對于力偶系平衡問題，在分析約束反力方向時，不僅要根據(jù)約束特性，而且要正確利用力偶只能與力偶相平衡的概念去確定鉸鏈、固定端等約束反力的方向?！玖ο档暮铣膳c平衡37解：取工件為研究對象。FAFB由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)149150

圖示桿CD有一導槽，該導槽套于桿AB的銷釘E上。今在桿AB、CD上分別作用一力偶如圖，已知其中力偶矩M1的大小為1000N·m，不計桿重。試求力偶矩M2的大小。（選作）例五——基本力系的合成與平衡38圖示桿CD有一導槽，該導槽套于桿AB的銷釘E上。今150151解：以AB桿為研究對象，受力圖由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)E和FA組成力偶。FEFA以CD桿為研究對象，受力圖其中，F(xiàn)E′=FE。FE′FCFE′和FC組成力偶——基本力系的合成與平衡39解：以AB桿為研究對象，受力圖由于力偶只能與力偶平衡，F(xiàn)151152圖示結構，已知a、m，桿重不計。求：鉸A、C的反力。（選作）例六——基本力系的合成與平衡40圖示結構，已知a、m，桿重不計。求：鉸A、C的反力。（選152153工件如圖所示，它的四個面上同時鉆四個孔，每個孔所受的切削力偶矩均為80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小。解：把每個力偶用力偶矩矢量表示，并平行移到點O：45°所以合力偶矩矢的大小xyzO例七——基本力系的合成與平衡41工件如圖所示，它的四個面上同時鉆四個孔，每個孔所受的切削153154圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側面各自作用著一個力偶。已知力偶的矩M1=20N·m；力偶的矩M2=20N·m；力偶的矩M3=20N·m。試求合力偶矩矢M。（選作）例八——基本力系的合成與平衡42圖示的三角柱剛體是正方體的一半。在其中三個側面各自作用著154155解：把每個力偶用力偶矩矢量表示出來，并平行搬移到O點，如圖所示。得到合力偶矩矢M

的大小和方向

——基本力系的合成與平衡43解：把每個力偶用力偶矩矢量表示出來，并平行搬移到O點，如155156——基本力系的合成與平衡匯交力系的合成與平衡（前面已有詳細分析）

匯交力系合力的作用線通過匯交點（作用線）；其大小和方向可用力系中各力矢所構成的力多邊形的封閉邊矢量來表示（大小和方向）。F1F2F3FnFRF12F123FR幾何法

在作力多邊形時，若任意變換各分力的先后順序，可得到形狀不同的力多邊形，但是這并不影響最后所得合力的大小和方向。44——基本力系的合成與平衡匯交力系的合成與平衡（前面已156157匯交力系各力Fi和合力FR在直角坐標系中的解析表達式由合力投影定理得到匯交力系合力的大小和方向余弦

匯交力系的合成與平衡解析法——基本力系的合成與平衡45匯交力系各力Fi和合力FR在直角坐標系中的解析表達式由157158匯交力系的合成與平衡從匯交力系合成結果顯然可得到，匯交力系平衡的充分必要條件是：力系的合力等于零，即FR=0。力多邊形自行封閉（或：各力矢量首尾相接，自行封閉）。用幾何法的語言描述就是：用解析法的語言描述就是：力系中所有各力在直角坐標系各個軸上投影的代數(shù)和都等于零。即下面舉例說明應用?！玖ο档暮铣膳c平衡46匯交力系的合成與平衡從匯交力系合成結果顯然可得到，匯交力158159例一重1kN的物體，用兩根鋼索AB、BC懸掛如圖所示。不計鋼索的重量，求鋼索的拉力。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡47例一重1kN的物體，用兩根鋼索AB、BC懸掛如圖所示。不159160解：1.取重物為研究對象2.受力分析：已知重力W，鋼索對重物的拉力FAB和FBC。其受力圖如圖所示。匯交力系的合成與平衡WFBCFAB——基本力系的合成與平衡48解：1.取重物為研究對象2.受力分析：已知重力W，鋼索對160161（1）幾何法

根據(jù)受力圖作封閉的力三角形，如圖所示。作圖時，應從已知力W作起，并根據(jù)各分力矢量首尾相接的矢序規(guī)則。根據(jù)正弦定理，有很容易解得FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡49（1）幾何法根據(jù)受力圖作封閉的力三角形，161162（2）解析法取如圖所示的直角坐標系。以x、y軸為投影軸列出平衡方程：聯(lián)立方程求解的FAB和FBC。匯交力系的合成與平衡注意：平衡方程的規(guī)范形式?！玖ο档暮铣膳c平衡50（2）解析法取如圖所示的直角坐標系。以x、y軸為投影軸列162163

在用解析法求解時，為了避免解聯(lián)立方程，所選投影軸x、y的方位不一定是水平與鉛垂的，可以根據(jù)其中一根軸與未知力相垂直的原則選取，如圖所示。相應的平衡方程為：從方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。匯交力系的合成與平衡——基本力系的合成與平衡51在用解析法求解時，為了避免解聯(lián)立方程，所選投163例題二

三鉸支架由三桿AB，AC和AD用球鉸連接而成，分別用球鉸支座B、C和D固定在地面上，如圖所示。在鉸A上懸掛一重物E，重量為G=500N。已知a=2m,b=