2024版新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用一導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)初步體會一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用．(2)能將實際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，建立合適的數(shù)學(xué)模型解決簡單的實際問題．題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時間x(分)與通話費用y(元)的關(guān)系如圖所示．(1)分別求出通話費用y1，y2與通話時間x之間的函數(shù)解析式；(2)請幫助用戶計算在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜．學(xué)霸筆記：一次函數(shù)模型的解題策略(1)一次函數(shù)模型問題，常設(shè)函數(shù)模型為y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系數(shù)法求出k，b的值．(2)一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線．(3)用一次函數(shù)解決實際問題時，對于給出圖象的應(yīng)用題可先結(jié)合圖象利用待定系數(shù)法求出解析式．主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．對于一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)，當(dāng)a＞0時為增函數(shù)，當(dāng)a＜0時為減函數(shù)．另外，要結(jié)合題目理解(0，b)和(－ba，0)跟蹤訓(xùn)練1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km，之后以120km/h的速度勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s(km)與勻速行駛的時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求火車離開北京2h時火車行駛的路程．題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2某超市經(jīng)銷一種銷售成本為每件40元的商品．據(jù)市場調(diào)查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件．設(shè)銷售單價為x元(x≥50)，一周的銷售量為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)單價在什么范圍內(nèi)變化時，利潤隨著單價的增大而增大？(3)在超市對該種商品投入不超過10000元的情況下，使得一周銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？學(xué)霸筆記：二次函數(shù)模型的應(yīng)用根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)模型后，可利用配方法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．跟蹤訓(xùn)練2如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用院墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD，已知院墻MN長為25米，籬笆長50米(籬笆全部用完)，設(shè)籬笆的一面AB的長為x米．(1)當(dāng)AB的長為多少米時，矩形花園的面積為300平方米？(2)若圍成的矩形ABCD的面積為S平方米，當(dāng)x為何值時，S有最大值，最大值是多少？題型3分段函數(shù)模型的應(yīng)用例3某企業(yè)開發(fā)了一種大型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為2500萬元，每生產(chǎn)x百件，需另投入成本c(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足30百件時，c(x)＝10x2＋100x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于30百件時，c(x)＝501x＋10000x－4500.若每百件電子產(chǎn)品的售價為500(1)求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這一電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？題后師說應(yīng)用分段函數(shù)時的三個關(guān)注點跟蹤訓(xùn)練3某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為30元，出廠單價定為52元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于41元．(1)當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰好降為41元？(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？(工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本)隨堂練習(xí)1.在自然界中，某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表所示：x123…y135…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是()A．y＝2x－1B．y＝x2－1C．y＝2x＋1D．y＝1.5x2－2.5x＋22．國內(nèi)快遞1000g以內(nèi)的包裹的郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表：運送距離x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…郵資y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快遞800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他應(yīng)付的郵資是()A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元3．某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋4x＋10(萬元)，一萬件售價是30萬元，若商品能全部賣出，則該企業(yè)一個月生產(chǎn)該商品的最大利潤為()A．139萬元B．149萬元C．159萬元D．169萬元4．某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為y＝xα(α為常數(shù))，其中x不超過5萬元．已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為________萬元．課堂小結(jié)1.解決具體函數(shù)模型問題時，要有建模意識，求解函數(shù)解析式時要綜合應(yīng)用圖形、待定系數(shù)法等．2．解決函數(shù)模型應(yīng)用題時，一要注意自變量的取值范圍；二要檢驗所得結(jié)果是否符合實際問題的要求．3．4函數(shù)的應(yīng)用(一)例1解析：(1)由圖象可設(shè)y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把點B(30，35)，C(30，15)分別代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝16，k2＝1∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥(2)令y1＝y(tǒng)2，即16x＋30＝12x，則x當(dāng)x＝90時，y1＝y(tǒng)2，兩種卡收費一致；當(dāng)x＜90時，y1＞y2，使用便民卡便宜；當(dāng)x＞90時，y1＜y2，使用如意卡便宜．跟蹤訓(xùn)練1解析：因為火車勻速行駛的總時間為(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t≤11因為火車勻速行駛th所行駛的路程為120tkm，所以火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s＝13＋120t(0≤t≤115)．火車離開北京2h時火車勻速行駛的時間為2－16＝11此時火車行駛的路程s＝13＋120×116＝233(km)例2解析：(1)根據(jù)題意，按每件50元銷售，一周售出500件，若銷售單價每漲1元，每周銷售量就減少10件，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝500－10(x－50)＝1000－10x，x∈[50，100].(2)由題意，可得S＝(x－40)y＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40000＝－10(x－70)2＋9000，當(dāng)x∈[50，70]時，利潤隨著單價的增大而增大．(3)由題意，令S＝8000，可得－10x2＋1400x－40000＝8000，解得x＝60或x＝80.當(dāng)x＝60時，成本＝40×[500－10(60－50)]＝16000＞10000不符合要求，舍去；當(dāng)x＝80時，成本＝40×[500－10(80－50)]＝8000＜10000符合要求．所以銷售單價應(yīng)定為80元，才能使一周銷售利潤達(dá)到8000元的同時，投入不超過10000元．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)設(shè)籬笆的一面AB的長為x米，則BC＝(50－2x)m，由題意得，x(50－2x)＝300，解得x1＝15，x2＝10，∵50－2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15，∴AB的長為15米時，矩形花園的面積為300平方米．(2)由題意得，S＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－12.5)2＋312.5，12.5≤x<25，∴x＝12.5時，S取得最大值，此時，S＝312.5，∴當(dāng)x為12.5米時，S有最大值，最大值是312.5平方米．例3解析：(1)當(dāng)0<x<30時，y＝500x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500，當(dāng)x≥30時，y＝500x－501x－10000x＋4500－2500＝2000－(x＋10000x∴y＝-10(2)當(dāng)0<x<30時，y＝－10(x－20)2＋1500，∴當(dāng)x＝20時，ymax＝1500，當(dāng)x≥30時，y＝2000－(x＋10000x)≤2000－2x·10000x＝2000－當(dāng)且僅當(dāng)x＝10000x，即x＝100時，ymax＝1800>1500∴年產(chǎn)量為100百件時，該企業(yè)獲得利潤最大，最大利潤為1800萬元．跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)每個零件的實際出廠價恰好降為41元時，一次訂購量為x0個，則x0＝100＋52-41(2)當(dāng)0<x≤100時，P＝52；當(dāng)100<x<650時，P＝52－0.02(x－100)＝54－x50當(dāng)x≥650時，P＝41.∴P＝f(x)＝52(3)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，則L＝(54－50050－30)×500＝7000即銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是7000元．[隨堂練習(xí)]1．解析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷函數(shù)為一次函數(shù)，將各數(shù)據(jù)代入y＝2x－1中均成立，故選A.答案：