人大統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章-數(shù)據(jù)描述

統(tǒng)學(xué)第四章 數(shù)據(jù)的描述2——重要的統(tǒng)計(jì)量第四章數(shù)據(jù)的描述2---重要的統(tǒng)計(jì)量§1集中趨勢(shì)的描述§2離散趨勢(shì)的描述§3偏態(tài)與峰度的描述§4數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理1集中趨勢(shì)的描述集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向某中心值靠攏的傾向，是描述數(shù)據(jù)分布的一個(gè)重要特征。集中趨勢(shì)的測(cè)度實(shí)際是對(duì)一組數(shù)據(jù)的一般水平代表值或中心值的測(cè)度。1集中趨勢(shì)的描述§1.1均值§1.2中位數(shù)§1.3眾數(shù)§1.4均值、中位數(shù)、眾數(shù)之間的比較均值(Mean)又稱平均數(shù),是一組數(shù)據(jù)大小相互抵消的結(jié)果，可以看作是數(shù)據(jù)集的重心。是最主要的集中趨勢(shì)測(cè)度統(tǒng)計(jì)量。適用于定量變量的取值，一般用符號(hào)

x

表示。1．算術(shù)平均數(shù)分組整理的原始數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均（arithmeticmean)的計(jì)算就是直接將一組數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)值相加除以數(shù)值個(gè)數(shù)，稱為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。1設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)為

x

、x2、、xn

，則算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：nx

nnx1

x2

xn

i1

xi根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)，要以各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)或頻數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算

算術(shù)平均數(shù)。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)被分成組，樣本數(shù)據(jù)各組變量的代表值用m1、m2、…、mk

表示，各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)用f1、f2、…、fk

，則

算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：1

1

2

21kk2

km

f

m

f

m

f

k k

i1

x

f

f

fmi

fi

fii1如果是單變量分組，上式中的代表值就是各組的分組變量值；如果是組距分組，上式中的代表值就是各組的組中值。算術(shù)平均數(shù)其數(shù)值的大小，不僅受各組變量值大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)即權(quán)數(shù)大小的影響。kki1

i

kik

i1

f

fii1x

xi

fi

fii1x算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)：性質(zhì)1

各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零，即：性質(zhì)2

各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小，即：n(

xi

x

)

0i1或k(

xi

x

)

fi

0i1nii1(

x

x

)2

最小值

或2ki

i(

x

x

)

f

i1最小值【例4.1】根據(jù)表中給出的某項(xiàng)，計(jì)算其平均收入水平：中30名被訪者的月收入水平分組數(shù)據(jù)解：55x

i1

101000

3366.67

（元）30

xi

fi

fii1所以30名被訪者的平均月收入水平是3366.67元。2．調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（harmonic

mean）也稱倒數(shù)平均數(shù)或調(diào)和均值。有簡(jiǎn)單和兩種形式。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)是各個(gè)變量值倒數(shù)的簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。主要應(yīng)用于各變量值對(duì)應(yīng)的標(biāo)志總量相等的情況。當(dāng)變量值用xi表示時(shí)，其計(jì)算公式如下：Hnnx1

x2

x1

1

1M

1

1

1當(dāng)各變量值對(duì)應(yīng)的標(biāo)志總量不相等時(shí)，用Mi表示各單位或各組的變量值對(duì)應(yīng)的標(biāo)志總量，其計(jì)算公式如下：nMHMix1

x2xkxi

M

M

M

M

1

M

2 1

2n

i1

Mn

Mini1【例4.2】根據(jù)某

交易所信息，已知四只 某日的收盤價(jià)和成交額如表所示，計(jì)算這四只

的當(dāng)日平均收盤價(jià)格。解：44

i1

Mix1

x2

x3

x4i1864891MH

Mi4xiM

M

M

M

7460000 1

2

31

2

3M

M

M

M

4

8.63（元）所以4只的當(dāng)日平均收盤價(jià)是8.63元。3．幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（geometric

mean）也稱幾何均值，通常用來(lái)計(jì)算平均比率和平均速度。計(jì)算公式為：幾何平均數(shù)也可看作是算術(shù)平均數(shù)的一種變形nMG

n

x1

x2

xn

n

xii1【例4.3】某投資者長(zhǎng)期持有一只，2005-2008年每年的收益率分別是5.6%，7.2%，28.5%，-15.6%。計(jì)算該

投資者4年內(nèi)的平均收益率。解：根據(jù)四年的平均收益率可得到其四年的相對(duì)價(jià)格分別是105.6%，107.2%，128.5%，84.4%。計(jì)算四年平均相對(duì)價(jià)格四年的平均收益率是105.26%-1=5.26%。4nn

M

x

105.6%

107.2%

128.5%

84.4%

G

ii1105.26%4．均值的特點(diǎn)：均值一般用于尋找定量數(shù)據(jù)的中心代表值，并不適用于定性數(shù)據(jù)。均值的優(yōu)點(diǎn)在于它對(duì)變量的每一個(gè)取值都加以利用。均值的缺點(diǎn)在于其統(tǒng)計(jì)量的穩(wěn)健性較差，即容易受到值的干擾?！?.2中位數(shù)中位數(shù)（median）是將變量取值按大小順序排列后，處于中間位置的那個(gè)變量值。適用于定量變量，以及定性變量中的順序變量取值的集中趨勢(shì)測(cè)度。不適用于定性變量中的分類變量取值。一般用Me表示。1．中位數(shù)的確定單算術(shù)平均數(shù)即為中位數(shù)。22變量的取值數(shù)據(jù)規(guī)模較小時(shí)，將數(shù)據(jù)按大小排列。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N為奇數(shù)時(shí)，處在N

1

位置上的變量取值大小即為改2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)N為偶數(shù)時(shí)，處在

N

和N

1

位置上兩個(gè)變量取值的簡(jiǎn)22當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)

X

N

1

Me

1

X

N

X

N

2

12

如果是單變量分組，可以該組標(biāo)志值作為中位數(shù)。如果是組距分組，則采用如下公式近似計(jì)算得到計(jì)算公式下限公式：上限公式：2當(dāng)變量的取值數(shù)據(jù)規(guī)模較大時(shí)，將數(shù)據(jù)按單變量分組或組距分組，得到頻數(shù)分布。對(duì)頻數(shù)分布做向上累計(jì)或向下累計(jì)：當(dāng)

f

為偶數(shù)時(shí)，第

f

個(gè)變量值所在的組為中位數(shù)所在的組。2當(dāng)

f

為奇數(shù)時(shí)，第

f

1

個(gè)變量值所在的組為中位數(shù)所在的組。2emM

L

f

Sm1

i

f

f2emM

U

f

Sm1

i【例4.4】給出的某項(xiàng)

中30名被訪者的月收入水平分組數(shù)據(jù)，得到累積頻數(shù)分布表，計(jì)算其中位數(shù)。解：2

f

15L

3000fm

13U

4000i

1000Sm1

3

7

10

Sm1

2

5

7對(duì)應(yīng)的收入水平是，3000-4000元，因此該組就是中位數(shù)所在組，有2em

fM

L

f

Sm1

i

（元）2emfM

f

Sm1

i

（元）因此，30名被訪者的月收入水平的中位數(shù)是3384.6元。2．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖來(lái)尋找中位數(shù)對(duì)于處理成莖葉圖的數(shù)據(jù)：首先找到頻數(shù)一半所對(duì)應(yīng)的那段莖。然后在對(duì)應(yīng)的葉上找處在全部數(shù)據(jù)中間位置上的數(shù)即可。例：100名員有效問(wèn)卷數(shù)分布的莖葉圖如果圖形中沒(méi)有原始數(shù)據(jù)，例如直方圖。1090420100名員的有效問(wèn)卷數(shù)分布直方圖假設(shè)數(shù)據(jù)在中位數(shù)所在區(qū)間組均勻分布，全部100名員的中位數(shù)說(shuō)對(duì)應(yīng)的位置應(yīng)當(dāng)是50.5。通過(guò)圖中觀察在140-150組之前的累積頻數(shù)是42，只需要在140-150之間找到第8.5位置上所對(duì)應(yīng)的數(shù)。由于假設(shè)140-150間這18個(gè)數(shù)是均勻分布的，而這段區(qū)間的長(zhǎng)時(shí)10，因此區(qū)間上第8.5位置上的數(shù)應(yīng)當(dāng)是

。即中位數(shù)是144.718140

8.5

10

144.73．中位數(shù)的特點(diǎn)中位數(shù)很好的代表了一組數(shù)據(jù)的中間位置。當(dāng)直方圖顯示數(shù)據(jù)時(shí)一個(gè)有偏分布時(shí)。中位數(shù)具有較好的穩(wěn)健性，對(duì)

值并不敏感。中位數(shù)并沒(méi)有利用數(shù)據(jù)的所有信息，其對(duì)原始數(shù)據(jù)信息的代表性不如均值。§1

3眾數(shù)眾數(shù)（mode）是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，主要用于測(cè)度分類數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。一組數(shù)據(jù)分布的最

點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的變量值即為眾數(shù)。具有不唯一性，用M0表示。1．定性變量的眾數(shù)確定根據(jù)分類變量和順序變量的不同取值得到頻數(shù)分布，確定眾數(shù)時(shí)，只需找出頻數(shù)出現(xiàn)最多所對(duì)應(yīng)的變量取值即為眾數(shù)。例：通過(guò)觀察頻數(shù)分布表，可以直

到受教育水平為高中的頻數(shù)最大。因此對(duì)于3000名被

者受教育水平來(lái)說(shuō)，眾數(shù)就是高中學(xué)歷。2．定量變量的眾數(shù)確定對(duì)于離散型變量的取值，計(jì)算眾數(shù)時(shí)，只需找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量取值即為眾數(shù)?！纠?.5】根據(jù)表中35名

員的有效問(wèn)卷頻數(shù)分布資料，確定眾數(shù)。解：根據(jù)表中所示，問(wèn)卷數(shù)為145份所對(duì)應(yīng)的人數(shù)是4人，高于其他所有問(wèn)卷數(shù)對(duì)應(yīng)的人數(shù)。因此35名

員有效問(wèn)卷的眾數(shù)是145份。對(duì)于連續(xù)性變量的取值，首先根據(jù)組距分組得到頻數(shù)分布。對(duì)于等距分組，對(duì)應(yīng)頻數(shù)最大的組為眾數(shù)所在組；對(duì)于不等距分組，對(duì)應(yīng)頻數(shù)密度最大的組為眾數(shù)組。設(shè)眾數(shù)組的頻數(shù)為

fm

，眾數(shù)前一組的頻數(shù)為

f

1

，眾數(shù)后一組的頻數(shù)為

f

1。假定數(shù)據(jù)在眾數(shù)組均勻分布，眾數(shù)與其相鄰兩組的頻數(shù)分布有如下關(guān)系：下限公式：上限公式：1Mo

L

(

fm

f1

)

(

fmfm

f1om1M

U

(

fm

f1

)

(

f

f

)

i§1.3眾數(shù)34L

3000U

4000fm1

7fm1

5fm

13i

1000者月收入水平【例4.6】根據(jù)例4.4，確定表4.3中30名被的眾數(shù)。解：首先確定眾數(shù)組是3000-40000元組，因此Mo

L

(

f

fm

Mo

U

(

f

fm因此，30名被訪者的月收入水平的眾數(shù)是3428.6元。3．眾數(shù)的特點(diǎn)眾數(shù)根據(jù)眾數(shù)組及相鄰組的頻率分布信息來(lái)確定數(shù)據(jù)中心點(diǎn)位置的。眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，它不受數(shù)據(jù)中

值的影響。對(duì)原數(shù)據(jù)信息的代表性也不如均值。只有在數(shù)據(jù)量較多時(shí)才有意義?！?.4均值中位數(shù)、眾數(shù)之間的比較從分布的角度看：均值是一組數(shù)據(jù)全部數(shù)值的平均數(shù)。中位數(shù)是處于一組數(shù)據(jù)中間位置上的數(shù)值。眾數(shù)始終是一組數(shù)據(jù)分布的最

值。對(duì)于具有單峰分布的大多數(shù)數(shù)據(jù)而言，均值、中位數(shù)、眾數(shù)存在以下關(guān)系：（1）當(dāng)變量取值的頻數(shù)分布對(duì)稱時(shí)，則均值與眾數(shù)、中位數(shù)三者完全相等，即x

Mex

Me

Mo正態(tài)分布1.4均值、中位數(shù)、眾數(shù)之間的比較（2）當(dāng)變量取值的頻數(shù)分布呈現(xiàn)右偏時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在最大值，必然拉動(dòng)均值向極大值一方靠，而眾數(shù)和中位數(shù)由于不受 值的影響，因此，三者之間的關(guān)系為x

Me

MoM0

Me

x右偏分布1.4均值、中位數(shù)、眾數(shù)之間的比較（3）當(dāng)變量取值的頻數(shù)分布呈現(xiàn)左偏時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)存在最小值，必然拉動(dòng)均值向極小值一方靠，而眾數(shù)和中位數(shù)由于不受 值的影響，因此，三者之間的關(guān)系為x

Me

Mo

。x

Me

M0左偏分布1.4均值、中位數(shù)、眾數(shù)之間的比較當(dāng)頻數(shù)分布呈對(duì)稱分布或近似對(duì)稱分布時(shí)，以均值、中位數(shù)或眾數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)都比較理想；當(dāng)頻數(shù)分布呈偏態(tài)時(shí)，

值會(huì)對(duì)均值產(chǎn)生較大影響，而對(duì)眾數(shù)、中位數(shù)沒(méi)有影響，此時(shí)，用眾數(shù)、中位數(shù)來(lái)描述集中趨勢(shì)比較好。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，頻數(shù)分布無(wú)論是左偏還是右偏，眾數(shù)與中位數(shù)的距離約為算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)的距離的兩倍，即：Me

Mo

x

MeMo

x

3(x

Me

)

3Me

2x2離散趨勢(shì)的描述§2.1異眾比率§2.2極差和四分位差§2.3平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差§2.4離散系數(shù)2

1異眾比率異眾比率（variation

ratio）是指一組數(shù)據(jù)中非眾數(shù)（組）的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例。既適用于定性數(shù)據(jù)，也適用于定量數(shù)據(jù)，但主要用于測(cè)度分類數(shù)據(jù)的離散趨勢(shì)。用Vr表示。計(jì)算公式是：異眾比率的作用是衡量眾數(shù)對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表性程度的指標(biāo)。異眾比率越大，說(shuō)明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的就越大，眾數(shù)的代表性就越差；反之，異眾比率越小，眾數(shù)的代表性就越好。i

mmri

i

f

1

f

fV

f

f1．極差級(jí)差（range）是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，也稱全距。級(jí)差主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)的離散趨勢(shì)。用R表示。級(jí)差是最容易計(jì)算的離散趨勢(shì)的測(cè)度統(tǒng)計(jì)量。但它容易受值的影響。計(jì)算公式是：R

max(xi【例4.8】根據(jù)表4.5中35名

員的有效問(wèn)卷數(shù)分組表計(jì)算極差。R

max(

xi

)

min(

xi

)

148

131

172．四分位差四分位數(shù)是指一組數(shù)據(jù)按大小排序后處于25％和75％位置上的值，也稱四分位點(diǎn)。通常所說(shuō)的四分位數(shù)是指：處在25％位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)）處在75％位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)）。記下四分位數(shù)為QL

，上四分位數(shù)為QU其計(jì)算公式是當(dāng)四分位數(shù)的位置不是整數(shù)時(shí)，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)兩側(cè)的差值。QL

Xn14

X

3(n1)4QU【例4.8】在某城市隨機(jī)抽取9個(gè)家庭，

得到每個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)（單位：元）分別是1450，950，820，860，1060，900，1280，1040，1700。要求計(jì)算這九個(gè)家庭人均月收入水平的四分位數(shù)。解：將數(shù)據(jù)由小到大按順序排列：820，860，900，950，1040，1060，1280，1450，1700。QL

Xn1

X2.54

X

3(n1)

X7.54QU由于2.5處于順序?yàn)?和3的兩個(gè)數(shù)中間，因此按比例分?jǐn)們啥说牟钪?，即：QL

860

(900

860)*0.5

880

X2.5

X7.5同理，

1280

(1450

1280)*

0.5

1365QU內(nèi)距或四分間距（inter-quartile

range）：四分位差是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，用Qd表示計(jì)算公式為：克服了級(jí)差容易受數(shù)據(jù)中兩端極值的影響這一缺陷。

QU

QL1．平均差平均差（mean

deviation）是一組數(shù)據(jù)與其均值離差絕對(duì)值的平均數(shù)。用Md表示。據(jù)掌握資料的不同，有兩種計(jì)算方法。對(duì)于未分組數(shù)據(jù)，采用簡(jiǎn)單平均法，其計(jì)算公式是：對(duì)于分組數(shù)據(jù)，采用nn平均法，其計(jì)算公式是：Md

x

i1

xikMdk

x

fi

i1

xi

fii1【例4.9】根據(jù)表中給出的某項(xiàng)，計(jì)算其平均差。中30名被訪者的月收入水平分組數(shù)據(jù)解：平均差能夠準(zhǔn)確地、全面地反映一組數(shù)值的離散趨勢(shì)。平均差用絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算，不適宜于代數(shù)形式處理，在實(shí)際應(yīng)用上受到很大的限制。22333.3

777.78（元）30kMdk

x

fi

i1

xi

fii12．方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差(variance)是一組數(shù)據(jù)與其均值離差平方的算術(shù)平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差（standard

deviation)是方差的平方根。方差、標(biāo)準(zhǔn)差是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的離散趨勢(shì)度量值。設(shè)總體的方差為

2

，標(biāo)準(zhǔn)差為

。對(duì)于分組數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別是：對(duì)于未分組的數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別是：N

iN

2

i1

(

X

X

)2NN(

X

X

)2

ii1

K

2K

2

i1

(

Xi

X

)

Fi

Fii1Ki

iKi1(

X

X

)2

F

Fii1

總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在對(duì)各個(gè)離差平方平均時(shí)是除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)。樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在對(duì)各個(gè)離差平方平均時(shí)是用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)度）去除總離差平方和。設(shè)樣本的方差為s2，或總頻數(shù)減1（稱為標(biāo)準(zhǔn)差為

s

。對(duì)于未分組的數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：對(duì)于分組數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：22n

i1

n

1(

xi

x

)s

2n(x

x

)n

1

ii1s

2

1kk(

x

x

)

fs2

i1

i

i

fii12kik(

x

x

)

f

1

ii1

fii1s【例4.10】根據(jù)表中給出的某項(xiàng)據(jù)，計(jì)算其方差和標(biāo)準(zhǔn)差。中30名被訪者的月收入水平分組數(shù)解：方差222770000730

1

955172.65

1ki

ik(

x

x

)

f

i1

s

fii1標(biāo)準(zhǔn)差s

955172.65

977.33（元）§2.4離散系數(shù)離散系數(shù)（coefficient

of

variation）是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其均值之比，又稱變異系數(shù)。用Vs表示。主要用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度。s計(jì)算公式是：

Vs

x2

4離散系數(shù)【例4.11】甲乙兩地的個(gè)人收入

中，甲地的人均月收入是6520元，標(biāo)準(zhǔn)差是1640元；乙地的人均月收入是5800歲，標(biāo)準(zhǔn)差是1300元。比較甲乙兩地人均月收入的差異程度。解：由得到由于Vs甲

Vs乙，因此甲地的人均月收入差異程度大于乙地。由

x

6520

得到甲甲s

1640

Vx

6520

1640

0.254s甲

s甲甲x

6520乙s

1640乙x

5800

1300

0.224

s乙Vs乙乙3偏態(tài)與峰度的描述§3.1矩的概念§3.2偏態(tài)§3.3峰度3.1矩的概念階矩。其公式表示是：時(shí)，上式一階原點(diǎn)矩是kin(

xi

a)

f變量X

的樣本觀測(cè)值與a

之差k

次方的平均數(shù)稱為變量X

關(guān)于a

的kn

i1

fii1當(dāng)a

0時(shí)，上式稱為

k

階原點(diǎn)矩，用字母M表示。當(dāng)

a

稱為k

階中心矩，用字母m表示。1nnx

f

i1

i

i

fii1M22即均值，二階中心矩是

m

n

i1

n(x

x

)

f

i

i

fii1§3

2偏態(tài)偏態(tài)(skewness)是對(duì)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱性的側(cè)度。偏態(tài)系數(shù)用SK表示。偏態(tài)系數(shù)采用矩進(jìn)行計(jì)算。3ni

i(

x

x

)

f

i1

im

3計(jì)算公式是：

SK

3fn

3

i13.2偏態(tài)當(dāng)分布對(duì)稱時(shí)