數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問題在講這個(gè)問題之前，我們先來看一道行程問題?！绢}1】甲乙兩地相距200米，小明從甲地步行到乙地，用時(shí)3分鐘，小明的平均速度為多少米每秒【分析】這個(gè)問題的本質(zhì)，就是把實(shí)際生活中的問題剝離出來，抽象成了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，很多學(xué)生都會(huì)解；初學(xué)時(shí)，老師會(huì)畫線段圖，用線段的長(zhǎng)度來將兩點(diǎn)間的距離具象化，如下：小明甲地 乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷時(shí)間解決。20018010（米/秒）9【解法二】x米/秒200180xx10。9如果在線段圖上，用一個(gè)具體的數(shù)來表示甲地和乙地，從甲往乙的方向規(guī)定為正方向建立數(shù)軸，這個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問題了。2】A、BA表示的數(shù)為0B200PA出發(fā)，以1ABBt。tP運(yùn)動(dòng)的距離；tP表示的數(shù)；tPB的距離。PAB的三等分點(diǎn)【分析】引入數(shù)軸后，其本質(zhì)是把線段圖換成了帶方向帶單位長(zhǎng)度的直線，將有限的實(shí)際距離推廣到了無根據(jù)路程=速度×?xí)r間，有：APt；APt，故點(diǎn)P表示的數(shù)為t；點(diǎn)B表示的數(shù)為200，點(diǎn)P表示的數(shù)為t，且PBPB200t。若P為AB的三等分點(diǎn)，有兩種情況：①AP=2PBt2200t，解得t400秒；3②2AP=PB2t200t，解得t200秒；3現(xiàn)在，我們將【題2】一般化，線段AB一般化為在數(shù)軸上的一條定長(zhǎng)線段，便得到如下的題：3AAaB表示的數(shù)為bAB200PA出發(fā)，以1ABBt。aB；atP表示的數(shù)；tPB的距離。【分析】一般化后，增加了字母參數(shù)，更加抽象化，難度也上升了，但若嚴(yán)格按照邏輯推理進(jìn)行解題，難度也會(huì)有所下降。ba200b200a；由路程=速度×?xí)r間得，APt，即A、P兩點(diǎn)間的距離為t；同（1）Pat。BPBPbata200at200t。AB的長(zhǎng)度固定，點(diǎn)P到B的距離跟A、B表示的數(shù)無關(guān)。接下來，我們將問題復(fù)雜化，變?yōu)殡p動(dòng)點(diǎn)問題，請(qǐng)看4。4】A、BA表示的數(shù)為0B200PA出發(fā)，以1ABBQB2BAAt。P、Q40t；t的代數(shù)式表示兩只電子螞蟻的距離?！痉治觥勘绢}的實(shí)質(zhì)，就是行程問題中的相向運(yùn)動(dòng)問題，若用數(shù)軸不好理解，可以借助熟悉的行程問題來輔助理解。在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置有三種情況：P在Q的右邊，P和Q重合，P在Q的左邊，故運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式時(shí)，需要加個(gè)絕對(duì)值號(hào)，可以有效避免漏掉情況。另外，Q到A后，Q停止，但P繼續(xù)往B①P、Q都在運(yùn)動(dòng)時(shí)，0秒t100秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為2002t，故P、Q兩點(diǎn)間的距離為2002tt。根據(jù)題意有：2002tt40。很自然地需要分類討論，考慮了兩種情況。②Q停止運(yùn)動(dòng)，P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)PQ距離＞100，故不符合題意。①PQPQ的左邊，此時(shí)有數(shù)Q＞數(shù)P0秒t200秒，此時(shí)：3PQ2002tt2003t②PQQPPQ200秒t100秒3PQt2002t3t200③Q停止運(yùn)動(dòng)，P繼續(xù)向B運(yùn)動(dòng)直至停止，數(shù)Q為0，數(shù)P＞數(shù)Q，100秒＜t200秒，此時(shí)：PQt0t【提煉】第（1）問題，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，能有效解決漏掉情況的問題。下面，我們把線段等分點(diǎn)加進(jìn)來，提升難度，請(qǐng)看5】和6。其處理的核心，依然是表示出相關(guān)的數(shù)。5】A、BA表示的數(shù)為0B200PA出發(fā)，以1ABBQB2BAAt。PAQt；QBPt?！痉治觥看钌狭司€段中點(diǎn)，處理方式依然不變，用含t的代數(shù)式表示出數(shù)Q、數(shù)P，利用兩點(diǎn)間距離公式解題。P表示的數(shù)為t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為2002t，若PAQAP=PQt2002tt，解得：t50秒；P表示的數(shù)為tQ2002tQBP2002tt2t，t40秒。6】A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-24，PA、B、P1個(gè)單位每秒、4個(gè)單位每秒、2A、B、P三點(diǎn)有其中一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?！痉治觥堪蠢碚f有三種情況，A為P、B中點(diǎn)，B為A、P中點(diǎn)，P為A、B中點(diǎn)，但結(jié)合條件，發(fā)現(xiàn)A不可能為P、B中點(diǎn)，故此種情況可以舍去。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A表示的數(shù)為t-2，點(diǎn)P表示的數(shù)為4t，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+2t。①B為A、P中點(diǎn)，有AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10秒；②P為A、B中點(diǎn)，有AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=秒；接著，我們進(jìn)一步加深難度，將動(dòng)線段的等分點(diǎn)放進(jìn)來，主動(dòng)點(diǎn)帶從動(dòng)點(diǎn)，看處理是否發(fā)生變化呢請(qǐng)看7。7A表示的數(shù)是BQB右側(cè)一點(diǎn)，QAM，QB的四（N靠近點(diǎn)QQ在B①1M3BN②M2BN2 4 3的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你判斷正確的結(jié)論，并求出其值。QBQ=m即可。則點(diǎn)Q表示的數(shù)就可以用含m設(shè)BQ=m，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為m+1，AQ=m+1+3=m+4,QM1AQm2；BN3BQ3m，2 2 4 4將QM、BN代入上面兩個(gè)式子即可：①1QM3BN1m2m1，值與m有關(guān)； 2 4 22 4②QM2BNm223m2，值與m無關(guān)；3 2 3 4【解后反思】QM2BNm223m2的值與BQ的長(zhǎng)度沒有關(guān)系，只與AB的長(zhǎng)度有關(guān)系，故3 2 3 4可以將數(shù)A、數(shù)B推廣到任意數(shù)，便得到了一般化的情況。【思考】線段（直線、射線）上的運(yùn)動(dòng)問題，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問題來處理嗎最后，放幾個(gè)題結(jié)束本文。1】A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為-812PO1個(gè)單位長(zhǎng)度QO2時(shí)間為t秒。P、Q分別表示的數(shù)；當(dāng)t3PQ的值；tAP=BQt值；若不存在，說明理由。2】A、BCDA、C、D、B起始位置所表示的數(shù)分別為-2,0,3,12；線CD1個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t0秒時(shí)，AC的長(zhǎng)度為 ；當(dāng)t2秒時(shí)，AC的長(zhǎng)度為 ；用含有t的代數(shù)式表示AC的長(zhǎng)為 ．當(dāng)t秒時(shí)，AC－BD=5，當(dāng)t秒時(shí)AC+BD=15．若點(diǎn)ACDA2AC=2BDt的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題3】如圖，E為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，B、D為線段EC上的兩點(diǎn)，且滿足CD=2BD。DE=6cmAB的長(zhǎng)；ACDC14倍，求DC