專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件

專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展教育碩士林清峰專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展教育碩士林清峰1

19世紀(jì),由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合論是關(guān)于無(wú)窮集合與超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，是人類思想史上最偉大的創(chuàng)造之一。

19世紀(jì),由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，182一、無(wú)窮是什么？神秘莫測(cè)的，無(wú)邊無(wú)際的，蒼穹一樣的迷人的，……詩(shī)人，作家，藝術(shù)家，神學(xué)家，科學(xué)家數(shù)學(xué)家

一、無(wú)窮是什么？神秘莫測(cè)的，無(wú)邊無(wú)際的，蒼穹一樣的3從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無(wú)窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉?布萊克（WilliamBlake）英國(guó)著名詩(shī)人詩(shī)作《天真的預(yù)言》（節(jié)選）無(wú)窮是什么？從一粒沙子看世界，無(wú)窮是什么？4

5數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：區(qū)別一與多區(qū)別少數(shù)與大數(shù)區(qū)別有窮數(shù)與無(wú)窮數(shù)區(qū)別無(wú)窮數(shù)的不同層次每一次飛躍代表對(duì)數(shù)、對(duì)無(wú)窮的新認(rèn)識(shí)。

無(wú)窮是什么？數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：無(wú)窮是什么？6阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《數(shù)沙者》（TheSandReckoner）中定出一種計(jì)算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的方法，從而糾正了認(rèn)為海灘上的沙粒數(shù)目是無(wú)窮的想法。

無(wú)窮是什么？阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在7二、關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人通常認(rèn)為無(wú)窮是不能接受的概念，它是一個(gè)不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384～322B.C.）

潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮地球的年齡正整數(shù)整數(shù)二、關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人8兩種無(wú)窮觀亞里士多德在他的《物理學(xué)》中得出的結(jié)論是：“可選擇的是無(wú)限具有潛性的存在……不會(huì)存在實(shí)無(wú)限。”他堅(jiān)持認(rèn)為數(shù)學(xué)中不需要后者。

關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)兩種無(wú)窮觀關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)9

無(wú)限——悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和經(jīng)院哲學(xué)家們使用的一個(gè)典型論據(jù)是，如果承認(rèn)無(wú)窮，就會(huì)導(dǎo)致有窮數(shù)的“湮滅”。

普洛克魯（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）

《兩門新科學(xué)》(1638）“所有無(wú)窮大量都一樣，不能比較大小?！标P(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)

無(wú)限——悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和10

許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o(wú)窮，卻并沒(méi)有弄清它的概念或確定它的性質(zhì)。歐拉《代數(shù)學(xué)》(1770年)1/0是無(wú)窮大（而他并沒(méi)有定義無(wú)窮，只是用符號(hào)表示它）2/0關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o(wú)窮，卻并沒(méi)有弄清它的概念或確定11

笛卡爾說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！备咚乖?831年寫給舒馬赫的信中說(shuō)：“我反對(duì)把無(wú)窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體來(lái)用，在數(shù)學(xué)中這是永遠(yuǎn)不能允許的，無(wú)限只不過(guò)是一種說(shuō)話方式，我們所說(shuō)的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無(wú)界地增加?！标P(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)笛卡爾說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！标P(guān)于無(wú)窮集合12

柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒絕承認(rèn)完成的無(wú)限集合的存在，其根據(jù)就是有這類悖論：一個(gè)完成的無(wú)限集合能與其本身的真正部分建立一一對(duì)應(yīng)。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis178913

有限集合大小的比較“整體大于部分”《歐幾里得》十條公設(shè)最后一條計(jì)數(shù)的根據(jù)波呂斐摩斯的故事利用一一對(duì)應(yīng)概念作為計(jì)數(shù)根據(jù)的最早的文字記載之一?！逗神R史詩(shī)》記載荷馬（Homeros)約9-8B.C.古希臘詩(shī)人有限集合的早期認(rèn)識(shí)有限集合有限集合的早期認(rèn)識(shí)14當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開(kāi)庫(kù)克羅普斯國(guó)以后，那個(gè)不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來(lái)一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就確信所有的母羊全返回了山洞。

當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開(kāi)庫(kù)克羅普斯國(guó)以后，那個(gè)15結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖：日本琉球群島的結(jié)繩結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法16三、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.Bolzano，1781～1848，捷克）

《無(wú)窮的悖論》（1851）三、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.Bolzano，178117實(shí)無(wú)窮集合兩個(gè)集合等價(jià)的概念，即后來(lái)叫做兩個(gè)集合元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，適用于有限集合，也適用于無(wú)限集合無(wú)窮集合中部分或子集可以等價(jià)于整體對(duì)于無(wú)窮集合同樣可以指定一個(gè)數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無(wú)窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對(duì)于超限數(shù)無(wú)需計(jì)算，所以不用深入研究它們。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立實(shí)無(wú)窮集合無(wú)窮集合論的創(chuàng)立18為了說(shuō)明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例.例如，在實(shí)數(shù)集[0，5]與實(shí)數(shù)集[0,12]之間可以建立1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)窮集合論的創(chuàng)立為了說(shuō)明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例.無(wú)窮集合19直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無(wú)窮集合，例如無(wú)窮級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)、自然數(shù)，等等；但是，他們一般都避開(kāi)存在完成的集合的假定后面的麻煩問(wèn)題。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無(wú)窮集合，例如無(wú)窮級(jí)數(shù)、20康托集合論的起源19世紀(jì),分析的嚴(yán)密化使人們必須考慮，收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)（有一個(gè)有限和）和那些發(fā)散級(jí)數(shù)的區(qū)別。在這些級(jí)數(shù)中，三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即以傅立葉命名的傅立葉級(jí)數(shù)，起了極其重要的作用。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托集合論的起源無(wú)窮集合論的創(chuàng)立21傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法國(guó)）

1807年“對(duì)任意給定的函數(shù)都可以用一具有特殊類型的系數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示”被稱為傅立葉級(jí)數(shù)成為數(shù)學(xué)分析與數(shù)學(xué)物理中強(qiáng)有力的工具,但在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)格性的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法22“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三角級(jí)數(shù)豐富的研究以及對(duì)不連續(xù)函數(shù)的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對(duì)探索三角級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)引進(jìn)例外點(diǎn)集，但主要是因?yàn)樗麄兇篌w上是在三角級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)考慮問(wèn)題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對(duì)函數(shù)分析時(shí)充當(dāng)輔助性手段”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三23柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）1823年，試圖建立更嚴(yán)格的傅立葉級(jí)數(shù)理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）1829年，發(fā)表了一篇關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的論文，其中證明，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，只要它是連續(xù)的，就完全可以由它的傅立葉級(jí)數(shù)表示，端點(diǎn)可能除外，而在不連續(xù)點(diǎn)和端點(diǎn)（－π和π）處，函數(shù)僅當(dāng)滿足某些附加條件時(shí)才可由傅立葉級(jí)數(shù)表示?？挛鳎ˋ.L.Cauchy，1789～1857）24康托（G.Cantor，1845～1918）1870年-1872年“函數(shù)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的唯一性”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托（G.Cantor，1845～1918）無(wú)窮集合論的創(chuàng)立25數(shù)學(xué)分析里間斷函數(shù)求積分問(wèn)題和三角級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題的研究都要求對(duì)于產(chǎn)生各種不連續(xù)情形的函數(shù)定義域之上的點(diǎn)集進(jìn)行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區(qū)間的所有點(diǎn)中分離出另一無(wú)窮點(diǎn)集。這個(gè)分離出的無(wú)窮集的性質(zhì)在很大程度上影響著對(duì)有關(guān)問(wèn)題的討論?！盁o(wú)窮的各種關(guān)系弄得完全明朗”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立26

“在建立三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性定理時(shí)，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現(xiàn)出一種獨(dú)創(chuàng)精神?？低性谡麄€(gè)研究中將無(wú)窮集合作為一個(gè)獨(dú)立于函數(shù)理論的對(duì)象進(jìn)行考察，并在這一過(guò)程中大膽開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新領(lǐng)域——超窮集合論.”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立27《論所有實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》（1874)

1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來(lái)導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問(wèn)題：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否建立一一對(duì)應(yīng)？無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立28“取所有正整數(shù)n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù)x的集體，表示為(x）；簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，問(wèn)題就是（n)和（x)是否能夠?qū)?yīng)起來(lái)，使得一個(gè)集體中的每一個(gè)個(gè)體只對(duì)應(yīng)另一個(gè)集體中一個(gè)且唯一一個(gè)個(gè)體？乍一看，我們可以說(shuō)答案是否定的，這種對(duì)應(yīng)不可能，因?yàn)椋╪)由離散的部分構(gòu)成，而（x)構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)；但是從這種說(shuō)法我們什么結(jié)果也得不到.雖然我非常傾向于認(rèn)為（n)和（x)不能有這樣一個(gè)一意對(duì)應(yīng)，但是我找不出理由，我對(duì)這事極為關(guān)注，也許這理由非常簡(jiǎn)單?！?/p>

“取所有正整數(shù)n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù)29歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！戴德金在《連續(xù)性和無(wú)理數(shù)》（1872年出版）

稠密性與連續(xù)性康托在1895年給出的第二個(gè)證明是現(xiàn)在普遍采用的。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！無(wú)窮集合30證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）

證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）31“上面把有理數(shù)域比作直線，結(jié)果認(rèn)識(shí)到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續(xù)的，而我們則把直線看成是沒(méi)有間隙的、完備的和連續(xù)的?！睂ｎ}10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件32“連續(xù)性公理”實(shí)數(shù)就其數(shù)目和特性而言，要比有理數(shù)更豐富，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)竟然能不可思議地填滿了有理數(shù)以外的所有空隙，從而在連續(xù)性和完備性上完全超過(guò)了有理數(shù)。

專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件331873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，全體實(shí)數(shù)可以排成一個(gè)序

列。但他很快發(fā)現(xiàn)所給出的證明太繁，兩天后當(dāng)他企圖修改它時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)對(duì)任意包含在（0，1）中的區(qū)間（a，b）,他能夠證明存在一個(gè)數(shù)m\in(a，b)，沒(méi)有列在上面的序列中。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，34由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現(xiàn)在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補(bǔ)上了兩個(gè)證明：代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全35康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無(wú)窮劃出一首線，在無(wú)窮當(dāng)中區(qū)分開(kāi)來(lái)可數(shù)的與不可數(shù)的兩類，這成為研究無(wú)窮的出發(fā)點(diǎn)?？低械谝淮伟芽蓴?shù)性概念這詞引進(jìn)數(shù)學(xué)，并且給出明確的含義，判定的方法對(duì)于凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合（可數(shù)集合）。這是最小的無(wú)窮集合。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無(wú)窮劃出一首線，在無(wú)窮36“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把這一性質(zhì)應(yīng)用于一個(gè)長(zhǎng)期困擾數(shù)學(xué)家的難題——超越數(shù)的存在?！@是一個(gè)真正引起爭(zhēng)論的定理，因?yàn)槿藗儺吘怪恢罉O少數(shù)幾個(gè)非代數(shù)數(shù)的存在。而康托卻十分自信地說(shuō)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)，但他在作出這種推斷的時(shí)候卻沒(méi)有展示出任何一個(gè)具體的超越數(shù)實(shí)例！”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把37

“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成?！薄獢?shù)學(xué)史作家埃里克·坦普爾·貝爾專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件38

1877年6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對(duì)應(yīng)，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對(duì)應(yīng)。

“我看到了，但我簡(jiǎn)直不能相信它！”----G.Cantor無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立39

康托《集合論》(1878)(直譯應(yīng)為《對(duì)流形學(xué)說(shuō)的一個(gè)貢獻(xiàn)》)：兩個(gè)集合稱為等勢(shì)的，如果它們之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立

康托《集合論》(1878)(直譯應(yīng)為《對(duì)流形學(xué)說(shuō)的一個(gè)貢獻(xiàn)40

康托的兩個(gè)基本前提：①可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)確定相同基數(shù)；②實(shí)無(wú)窮是一個(gè)確實(shí)的概念。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托的兩個(gè)基本前提：①可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)確定相同基數(shù)411879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成《關(guān)于無(wú)窮的線性點(diǎn)集》1879年這篇，康托闡明了點(diǎn)集的另一個(gè)重要問(wèn)題：按照集合的勢(shì)對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行分類

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立1879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成42《集合論基礎(chǔ)》的出版（1883年）康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進(jìn)了作為自然數(shù)系的獨(dú)立和系統(tǒng)擴(kuò)充的超窮數(shù)?？低型ㄟ^(guò)對(duì)無(wú)窮集的研究，創(chuàng)造了一種新的數(shù)字和一種新的數(shù)字類型。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《集合論基礎(chǔ)》的出版（1883年）無(wú)窮集合論的創(chuàng)立43康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)?！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無(wú)窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對(duì)立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認(rèn)是對(duì)數(shù)概念最簡(jiǎn)單、最適當(dāng)和最自然的擴(kuò)充?！睙o(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立44《基礎(chǔ)》中康托關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一大多數(shù)神學(xué)家，哲學(xué)家和神學(xué)家長(zhǎng)期反對(duì)的概念提供了辯護(hù)。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《基礎(chǔ)》中康托關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一大多數(shù)神45康托認(rèn)為，無(wú)論數(shù)學(xué)家們過(guò)去曾經(jīng)作過(guò)什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有窮的性質(zhì)可以適用于無(wú)窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導(dǎo)致了種種矛盾和誤解。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托認(rèn)為，無(wú)論數(shù)學(xué)家們過(guò)去曾經(jīng)作過(guò)什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有46波爾查諾是實(shí)無(wú)窮的堅(jiān)定擁護(hù)者實(shí)無(wú)窮可以無(wú)矛盾地引進(jìn)數(shù)學(xué)的思想?！稛o(wú)窮的悖論》（1821年）是對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的重要貢獻(xiàn)。著作的特色之一是關(guān)于實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的區(qū)分。

數(shù)學(xué)上“實(shí)無(wú)窮”的概念；勢(shì)及序數(shù)的概念；無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾是實(shí)無(wú)窮的堅(jiān)定擁護(hù)者無(wú)窮集合論的創(chuàng)立47第一，肯定實(shí)無(wú)窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。第二，無(wú)窮有其固有的本質(zhì)，不能把有窮所具有的一切性質(zhì)都強(qiáng)加于無(wú)窮。第三，有窮的認(rèn)識(shí)能力可以認(rèn)識(shí)無(wú)窮。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第一，肯定實(shí)無(wú)窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立48“正象每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對(duì)實(shí)無(wú)窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開(kāi)始就期望無(wú)窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無(wú)窮數(shù)上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無(wú)窮數(shù)的話，倒是由于它們（就其與有窮數(shù)的對(duì)立而言）構(gòu)成了全新的一個(gè)數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身的性質(zhì)，這是研究的對(duì)象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見(jiàn)。”“正象每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣49《超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)》，于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對(duì)超限基數(shù)理論具有決定意義的論文?！靶蛐汀钡母拍?，相應(yīng)的序數(shù)。集合超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，符號(hào)；排成一個(gè)“序列”；加法，乘法和乘方。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)》，于1895年和1897年先后發(fā)表50《貢獻(xiàn)》的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義定義：集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對(duì)象m（稱為M的元素）的總體。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《貢獻(xiàn)》的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義無(wú)窮集合論的創(chuàng)立51四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）2．布拉里-弗蒂悖論（1897）3．羅素悖論（1902）4．理查德悖論（1905）5．佩利悖論（1906）6．格里靈悖論（1908)

四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）52羅素悖論（1902）集合分成兩類：集合是它本身的元素，稱為“非正常集合”；集合不是它本身的元素，稱為“正常集合”。設(shè)“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合?！眴?wèn)：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”

集合論悖論羅素悖論（1902）集合論悖論53理發(fā)師悖論（1918）“在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。”有人問(wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對(duì)。集合論悖論理發(fā)師悖論（1918）集合論悖論54五、有關(guān)集合論的爭(zhēng)論克羅內(nèi)克（Kronecker）他在許多場(chǎng)合大罵康托是“敗類、臭蟲”，“我們科學(xué)的敵人”。他對(duì)外爾斯特拉斯的學(xué)生柯瓦列夫斯卡婭（1850～1891）說(shuō)，康托的集合論同任何一門數(shù)學(xué)毫無(wú)共同之處，同另外一些人說(shuō)康托的集合論空洞無(wú)物。五、有關(guān)集合論的爭(zhēng)論55龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學(xué)引入了考慮數(shù)學(xué)無(wú)窮的新方法……但是發(fā)生了這樣的事，我們遇到了會(huì)使愛(ài)利亞學(xué)派的Zeno和麥加拉哲學(xué)學(xué)派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個(gè)人都必須尋找補(bǔ)救的方法。就我來(lái)說(shuō)—而我并不是單獨(dú)一人—我認(rèn)為重要的是永遠(yuǎn)不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，我們一定可以請(qǐng)來(lái)一位治療一個(gè)極好的病理學(xué)病例的醫(yī)生，并為此而感到喜悅。”1908年他又說(shuō)：“今后的幾代人將把集合論當(dāng)做一種人們已經(jīng)從中恢復(fù)過(guò)來(lái)了的疾病.”龐加萊（Poincare，1905）：56數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于人的直覺(jué)，而數(shù)學(xué)的確定性僅限于有限論證的嚴(yán)格界限內(nèi)，要證明什么東西存在，那就要具體造出來(lái).反對(duì)把無(wú)窮當(dāng)作確實(shí)的概念數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于人的直覺(jué)，而數(shù)學(xué)的確定性僅限于有限論證的嚴(yán)格界57“我的理論堅(jiān)如磐石；射向它的每一支箭都會(huì)迅速反彈.我何以得知呢？因?yàn)槲矣昧嗽S多年時(shí)間，研究了它的各個(gè)方面；我還研究了針對(duì)無(wú)窮數(shù)的所有反對(duì)意見(jiàn)；最重要的是，因?yàn)槲以F究它的根源，可以說(shuō)，我探索了一切造物的第一推動(dòng)力?！薄狦.Cantor“我的理論堅(jiān)如磐石；射向它的每一支箭都會(huì)迅速反彈.我何以得58六、集合論的歷史地位康托創(chuàng)立的超窮集合論賦予實(shí)無(wú)窮的觀念以數(shù)學(xué)內(nèi)容，為抽象集合論奠定了基礎(chǔ)，并為微積分的基本原理和實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的分析作出了重大貢獻(xiàn)?？低械淖钜俗⒛康某删褪菑臄?shù)學(xué)上嚴(yán)密地證明了“無(wú)窮”并不是鐵板一塊的不可分的概念。并非所有的無(wú)窮集合都具有相同的大小，因而它們之間是可以互相比較的。

六、集合論的歷史地位康托創(chuàng)立的超窮集合論賦予實(shí)無(wú)窮的觀念以數(shù)59如今，“集合”這個(gè)詞已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中最重要和最基本的術(shù)語(yǔ)之一，大部分?jǐn)?shù)學(xué)的相容性已經(jīng)被奠基于集合論的相容性之上，集合論在某種意義上已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

如今，“集合”這個(gè)詞已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中最重要和最基本的術(shù)語(yǔ)之一60

七、悖論的解決和集合論的發(fā)展所有的人都渴望能解決悖論的問(wèn)題以重建先前對(duì)數(shù)學(xué)相容性、嚴(yán)格性和確定性的信念，但他們?yōu)檫_(dá)到這一目標(biāo)所選擇的道路則是很不相同的。20世紀(jì)初數(shù)理邏輯：羅素的類型論；《數(shù)學(xué)原理》形式公理化：公理集合論

七、悖論的解決和集合論的發(fā)展所有的人都渴望能解決悖論的問(wèn)61策梅羅（德國(guó)數(shù)學(xué)家，1908年）采取希爾伯特的公理化方法回避悖論，把集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理論。在這樣一個(gè)公理化理論中，集合這個(gè)概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理反映出來(lái)。引進(jìn)了七條公理：決定性公理（外延公理），初等集合公理，分離公理組，冪集合公理，并集合公理，選擇公理，無(wú)窮公理。悖論的解決和集合論的發(fā)展策梅羅（德國(guó)數(shù)學(xué)家，1908年）悖論的解決和集合論的發(fā)展62實(shí)際上策梅羅德公理系統(tǒng)是把集合限制得使之不要太大，即不只簡(jiǎn)單地將集合看成一些集團(tuán)或集體。它是滿足7條公理?xiàng)l件的對(duì)象。這樣就排除了一些不適當(dāng)?shù)募希瑥亩艘阎Ｕ摦a(chǎn)生的條件。

現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的“策梅羅——弗蘭克爾公理系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱ZF系統(tǒng)）”。悖論的解決和集合論的發(fā)展實(shí)際上策梅羅德公理系統(tǒng)是把集合限制得使之不要太大，即不只簡(jiǎn)單63

在20世紀(jì)初，集合論的基本概念和方法不僅滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)部門（如分析、代數(shù)和拓?fù)涞龋?，而且滲透到一些自然科學(xué)（如物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等等）領(lǐng)域，為這些學(xué)科的奠基提供了基礎(chǔ)，改變了這些學(xué)科的面貌。幾乎可以說(shuō)，如果沒(méi)有集合論的觀點(diǎn)，很難對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)獲得一個(gè)深刻的理解。悖論的解決和集合論的發(fā)展悖論的解決和集合論的發(fā)展64參考及推薦書目[美]周·道本《康托的無(wú)窮的數(shù)學(xué)和哲學(xué)》鄭毓信、劉曉力譯江蘇教育出版社1989[美]M·克萊因《古今數(shù)學(xué)思想》上?？茖W(xué)技術(shù)出版社2002年

胡作玄《引起紛爭(zhēng)的金蘋果》福建教育出版社1993

W·Dunhan（鄧納姆）《天才引導(dǎo)的歷程》苗鋒譯中國(guó)對(duì)外翻譯出版社1994

[美]M·克萊因《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》李宏魁譯湖南科學(xué)技術(shù)出版社1997

胡作玄第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

參考及推薦書目[美]周·道本《康托的無(wú)窮的數(shù)學(xué)和哲學(xué)》鄭65（德）格奧格爾·康托，《超窮數(shù)理論基礎(chǔ)文稿》，陳杰、劉曉力譯，內(nèi)蒙古大學(xué)出版社，1995年9月吳文俊主編《世界著名數(shù)學(xué)家傳記》（上下集），科學(xué)出版社，1995年10月

王憲鈞，《數(shù)理邏輯引論》，北京大學(xué)出版社，1982黃耀樞，《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引論》，北京大學(xué)出版社，1987張錦文，王雪生著《連續(xù)統(tǒng)假設(shè)》遼寧教育出版社1989年4月

《科學(xué)美國(guó)人》編輯部編著《從驚訝到思考——數(shù)學(xué)悖論奇景》李思一、白葆林譯科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社1986年10月

（德）格奧格爾·康托，《超窮數(shù)理論基礎(chǔ)文稿》，陳杰、劉曉66專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展教育碩士林清峰專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展教育碩士林清峰67

19世紀(jì),由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合論是關(guān)于無(wú)窮集合與超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論，是人類思想史上最偉大的創(chuàng)造之一。

19世紀(jì),由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（G.Cantor，1868一、無(wú)窮是什么？神秘莫測(cè)的，無(wú)邊無(wú)際的，蒼穹一樣的迷人的，……詩(shī)人，作家，藝術(shù)家，神學(xué)家，科學(xué)家數(shù)學(xué)家

一、無(wú)窮是什么？神秘莫測(cè)的，無(wú)邊無(wú)際的，蒼穹一樣的69從一粒沙子看世界，從一朵野花看蒼穹，把無(wú)窮掌握在你的手中，把永恒掌握在頃刻之中。威廉?布萊克（WilliamBlake）英國(guó)著名詩(shī)人詩(shī)作《天真的預(yù)言》（節(jié)選）無(wú)窮是什么？從一粒沙子看世界，無(wú)窮是什么？70

71數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：區(qū)別一與多區(qū)別少數(shù)與大數(shù)區(qū)別有窮數(shù)與無(wú)窮數(shù)區(qū)別無(wú)窮數(shù)的不同層次每一次飛躍代表對(duì)數(shù)、對(duì)無(wú)窮的新認(rèn)識(shí)。

無(wú)窮是什么？數(shù)的概念演進(jìn)經(jīng)歷四次飛躍：無(wú)窮是什么？72阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《數(shù)沙者》（TheSandReckoner）中定出一種計(jì)算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的方法，從而糾正了認(rèn)為海灘上的沙粒數(shù)目是無(wú)窮的想法。

無(wú)窮是什么？阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在73二、關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人通常認(rèn)為無(wú)窮是不能接受的概念，它是一個(gè)不著邊際且不確定的東西。亞里士多德（Aristotle，384～322B.C.）

潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮地球的年齡正整數(shù)整數(shù)二、關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)希臘人74兩種無(wú)窮觀亞里士多德在他的《物理學(xué)》中得出的結(jié)論是：“可選擇的是無(wú)限具有潛性的存在……不會(huì)存在實(shí)無(wú)限。”他堅(jiān)持認(rèn)為數(shù)學(xué)中不需要后者。

關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)兩種無(wú)窮觀關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)75

無(wú)限——悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和經(jīng)院哲學(xué)家們使用的一個(gè)典型論據(jù)是，如果承認(rèn)無(wú)窮，就會(huì)導(dǎo)致有窮數(shù)的“湮滅”。

普洛克魯（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）

《兩門新科學(xué)》(1638）“所有無(wú)窮大量都一樣，不能比較大小?！标P(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)

無(wú)限——悖論棲身之處亞里士多德只承認(rèn)有窮數(shù)的存在。他和76

許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o(wú)窮，卻并沒(méi)有弄清它的概念或確定它的性質(zhì)。歐拉《代數(shù)學(xué)》(1770年)1/0是無(wú)窮大（而他并沒(méi)有定義無(wú)窮，只是用符號(hào)表示它）2/0關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)許多數(shù)學(xué)家像談?wù)摂?shù)一樣談?wù)摕o(wú)窮，卻并沒(méi)有弄清它的概念或確定77

笛卡爾說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！备咚乖?831年寫給舒馬赫的信中說(shuō)：“我反對(duì)把無(wú)窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體來(lái)用，在數(shù)學(xué)中這是永遠(yuǎn)不能允許的，無(wú)限只不過(guò)是一種說(shuō)話方式，我們所說(shuō)的極限是指，某些比可以隨意地接近它，而其他的則被允許無(wú)界地增加。”關(guān)于無(wú)窮集合的早期認(rèn)識(shí)笛卡爾說(shuō)過(guò)：“無(wú)窮可以被認(rèn)知，但不能被理解?！标P(guān)于無(wú)窮集合78

柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒絕承認(rèn)完成的無(wú)限集合的存在，其根據(jù)就是有這類悖論：一個(gè)完成的無(wú)限集合能與其本身的真正部分建立一一對(duì)應(yīng)。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis178979

有限集合大小的比較“整體大于部分”《歐幾里得》十條公設(shè)最后一條計(jì)數(shù)的根據(jù)波呂斐摩斯的故事利用一一對(duì)應(yīng)概念作為計(jì)數(shù)根據(jù)的最早的文字記載之一。《荷馬史詩(shī)》記載荷馬（Homeros)約9-8B.C.古希臘詩(shī)人有限集合的早期認(rèn)識(shí)有限集合有限集合的早期認(rèn)識(shí)80當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開(kāi)庫(kù)克羅普斯國(guó)以后，那個(gè)不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出來(lái)一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子。晚上母羊返回山洞，每進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子。當(dāng)他把早晨撿起的石子都扔光時(shí)，他就確信所有的母羊全返回了山洞。

當(dāng)俄底修斯刺瞎獨(dú)眼巨人波呂斐摩斯并離開(kāi)庫(kù)克羅普斯國(guó)以后，那個(gè)81結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法圖：日本琉球群島的結(jié)繩結(jié)繩記數(shù)成為人類早期表示記數(shù)的方法82三、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.Bolzano，1781～1848，捷克）

《無(wú)窮的悖論》（1851）三、無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾（B.Bolzano，178183實(shí)無(wú)窮集合兩個(gè)集合等價(jià)的概念，即后來(lái)叫做兩個(gè)集合元素之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，適用于有限集合，也適用于無(wú)限集合無(wú)窮集合中部分或子集可以等價(jià)于整體對(duì)于無(wú)窮集合同樣可以指定一個(gè)數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無(wú)窮集合有不同的超限數(shù)，但他認(rèn)為對(duì)于超限數(shù)無(wú)需計(jì)算，所以不用深入研究它們。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立實(shí)無(wú)窮集合無(wú)窮集合論的創(chuàng)立84為了說(shuō)明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例.例如，在實(shí)數(shù)集[0，5]與實(shí)數(shù)集[0,12]之間可以建立1—1對(duì)應(yīng)關(guān)系無(wú)窮集合論的創(chuàng)立為了說(shuō)明這種等價(jià)關(guān)系的真實(shí)存在，他舉出了大量實(shí)例.無(wú)窮集合85直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無(wú)窮集合，例如無(wú)窮級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)、自然數(shù)，等等；但是，他們一般都避開(kāi)存在完成的集合的假定后面的麻煩問(wèn)題。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立直到19世紀(jì)上半葉，雖然數(shù)學(xué)家要處理無(wú)窮集合，例如無(wú)窮級(jí)數(shù)、86康托集合論的起源19世紀(jì),分析的嚴(yán)密化使人們必須考慮，收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)（有一個(gè)有限和）和那些發(fā)散級(jí)數(shù)的區(qū)別。在這些級(jí)數(shù)中，三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即以傅立葉命名的傅立葉級(jí)數(shù)，起了極其重要的作用。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托集合論的起源無(wú)窮集合論的創(chuàng)立87傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法國(guó)）

1807年“對(duì)任意給定的函數(shù)都可以用一具有特殊類型的系數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示”被稱為傅立葉級(jí)數(shù)成為數(shù)學(xué)分析與數(shù)學(xué)物理中強(qiáng)有力的工具,但在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)格性的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立傅立葉（J.B.J.Fourier，1768～1830，法88“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三角級(jí)數(shù)豐富的研究以及對(duì)不連續(xù)函數(shù)的分析。狄里克萊（Dirichlet）,李普希茲（Lipschitz），漢凱爾（Hankel）等人都對(duì)探索三角級(jí)數(shù)問(wèn)題時(shí)引進(jìn)例外點(diǎn)集，但主要是因?yàn)樗麄兇篌w上是在三角級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)考慮問(wèn)題，雖然所作的大量工作包含了集合論的思想，只是在對(duì)函數(shù)分析時(shí)充當(dāng)輔助性手段”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立“集合論，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人對(duì)于三89柯西（A.L.Cauchy，1789～1857）1823年，試圖建立更嚴(yán)格的傅立葉級(jí)數(shù)理論，但他的許多論證是不充分的。狄里希雷（P.G.L.Dirichlet，1805～1859）1829年，發(fā)表了一篇關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的論文，其中證明，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，只要它是連續(xù)的，就完全可以由它的傅立葉級(jí)數(shù)表示，端點(diǎn)可能除外，而在不連續(xù)點(diǎn)和端點(diǎn)（－π和π）處，函數(shù)僅當(dāng)滿足某些附加條件時(shí)才可由傅立葉級(jí)數(shù)表示?？挛鳎ˋ.L.Cauchy，1789～1857）90康托（G.Cantor，1845～1918）1870年-1872年“函數(shù)展開(kāi)為三角級(jí)數(shù)的唯一性”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托（G.Cantor，1845～1918）無(wú)窮集合論的創(chuàng)立91數(shù)學(xué)分析里間斷函數(shù)求積分問(wèn)題和三角級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題的研究都要求對(duì)于產(chǎn)生各種不連續(xù)情形的函數(shù)定義域之上的點(diǎn)集進(jìn)行特殊的考察，一般是要求能夠從某一區(qū)間的所有點(diǎn)中分離出另一無(wú)窮點(diǎn)集。這個(gè)分離出的無(wú)窮集的性質(zhì)在很大程度上影響著對(duì)有關(guān)問(wèn)題的討論?！盁o(wú)窮的各種關(guān)系弄得完全明朗”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立92

“在建立三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性定理時(shí)，他改造了他的前輩和同事的舊思想，表現(xiàn)出一種獨(dú)創(chuàng)精神?？低性谡麄€(gè)研究中將無(wú)窮集合作為一個(gè)獨(dú)立于函數(shù)理論的對(duì)象進(jìn)行考察，并在這一過(guò)程中大膽開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)全新領(lǐng)域——超窮集合論.”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立93《論所有實(shí)代數(shù)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》（1874)

1873年11月29日，康托在給戴德金的一封信中明確提出了后來(lái)導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的問(wèn)題：正整數(shù)的集合（n）與實(shí)數(shù)的集合（x）之間能否建立一一對(duì)應(yīng)？無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立94“取所有正整數(shù)n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù)x的集體，表示為(x）；簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，問(wèn)題就是（n)和（x)是否能夠?qū)?yīng)起來(lái)，使得一個(gè)集體中的每一個(gè)個(gè)體只對(duì)應(yīng)另一個(gè)集體中一個(gè)且唯一一個(gè)個(gè)體？乍一看，我們可以說(shuō)答案是否定的，這種對(duì)應(yīng)不可能，因?yàn)椋╪)由離散的部分構(gòu)成，而（x)構(gòu)成一個(gè)連續(xù)統(tǒng)；但是從這種說(shuō)法我們什么結(jié)果也得不到.雖然我非常傾向于認(rèn)為（n)和（x)不能有這樣一個(gè)一意對(duì)應(yīng)，但是我找不出理由，我對(duì)這事極為關(guān)注，也許這理由非常簡(jiǎn)單?！?/p>

“取所有正整數(shù)n的集體，表示為（n)，然后考慮所有實(shí)數(shù)95歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！戴德金在《連續(xù)性和無(wú)理數(shù)》（1872年出版）

稠密性與連續(xù)性康托在1895年給出的第二個(gè)證明是現(xiàn)在普遍采用的。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立歷史性發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但是它們是可數(shù)的！無(wú)窮集合96證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）

證明有理數(shù)集Q是可列集（采用對(duì)角線的對(duì)應(yīng)方法）97“上面把有理數(shù)域比作直線，結(jié)果認(rèn)識(shí)到前者充滿了間隙，它是不完備的、不連續(xù)的，而我們則把直線看成是沒(méi)有間隙的、完備的和連續(xù)的?！睂ｎ}10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件98“連續(xù)性公理”實(shí)數(shù)就其數(shù)目和特性而言，要比有理數(shù)更豐富，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)竟然能不可思議地填滿了有理數(shù)以外的所有空隙，從而在連續(xù)性和完備性上完全超過(guò)了有理數(shù)。

專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件991873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，全體實(shí)數(shù)可以排成一個(gè)序

列。但他很快發(fā)現(xiàn)所給出的證明太繁，兩天后當(dāng)他企圖修改它時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)對(duì)任意包含在（0，1）中的區(qū)間（a，b）,他能夠證明存在一個(gè)數(shù)m\in(a，b)，沒(méi)有列在上面的序列中。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立1873年12月7日，康托在給戴德金的信中斷言實(shí)數(shù)是可數(shù)的，100由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全新的、先前幾乎不太令人注意的方法突然涌現(xiàn)在他頭腦中，康托得到了意外的收獲，他立即補(bǔ)上了兩個(gè)證明：代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立由此，康托在一個(gè)星期之內(nèi)戲劇性地改變了自己的主張，獲得一個(gè)全101康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無(wú)窮劃出一首線，在無(wú)窮當(dāng)中區(qū)分開(kāi)來(lái)可數(shù)的與不可數(shù)的兩類，這成為研究無(wú)窮的出發(fā)點(diǎn)。康托第一次把可數(shù)性概念這詞引進(jìn)數(shù)學(xué)，并且給出明確的含義，判定的方法對(duì)于凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合（可數(shù)集合）。這是最小的無(wú)窮集合。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托這第一步的主要成就在于在混沌一片的無(wú)窮劃出一首線，在無(wú)窮102“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把這一性質(zhì)應(yīng)用于一個(gè)長(zhǎng)期困擾數(shù)學(xué)家的難題——超越數(shù)的存在。……這是一個(gè)真正引起爭(zhēng)論的定理，因?yàn)槿藗儺吘怪恢罉O少數(shù)幾個(gè)非代數(shù)數(shù)的存在。而康托卻十分自信地說(shuō)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)，但他在作出這種推斷的時(shí)候卻沒(méi)有展示出任何一個(gè)具體的超越數(shù)實(shí)例！”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立“康托1874年的論文中，不但證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性，而且還把103

“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成?！薄獢?shù)學(xué)史作家埃里克·坦普爾·貝爾專題10集合論的創(chuàng)立與發(fā)展課件104

1877年6月20日，康托證明了：不僅由平面到直線可以建立一一對(duì)應(yīng)，而且由任意維空間到直線都可以建立一一對(duì)應(yīng)。

“我看到了，但我簡(jiǎn)直不能相信它！”----G.Cantor無(wú)窮集合論的創(chuàng)立無(wú)窮集合論的創(chuàng)立105

康托《集合論》(1878)(直譯應(yīng)為《對(duì)流形學(xué)說(shuō)的一個(gè)貢獻(xiàn)》)：兩個(gè)集合稱為等勢(shì)的，如果它們之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立

康托《集合論》(1878)(直譯應(yīng)為《對(duì)流形學(xué)說(shuō)的一個(gè)貢獻(xiàn)106

康托的兩個(gè)基本前提：①可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)確定相同基數(shù)；②實(shí)無(wú)窮是一個(gè)確實(shí)的概念。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托的兩個(gè)基本前提：①可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的方法來(lái)確定相同基數(shù)1071879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成《關(guān)于無(wú)窮的線性點(diǎn)集》1879年這篇，康托闡明了點(diǎn)集的另一個(gè)重要問(wèn)題：按照集合的勢(shì)對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行分類

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立1879年-1884年間，康托相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成108《集合論基礎(chǔ)》的出版（1883年）康托數(shù)學(xué)研究的里程碑。其主要成果是引進(jìn)了作為自然數(shù)系的獨(dú)立和系統(tǒng)擴(kuò)充的超窮數(shù)?？低型ㄟ^(guò)對(duì)無(wú)窮集的研究，創(chuàng)造了一種新的數(shù)字和一種新的數(shù)字類型。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《集合論基礎(chǔ)》的出版（1883年）無(wú)窮集合論的創(chuàng)立109康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)?！拔液芰私膺@樣做將使我自己處于某種與數(shù)學(xué)中關(guān)于無(wú)窮和自然數(shù)性質(zhì)的傳統(tǒng)觀念相對(duì)立的地位，但我深信，超窮數(shù)終將被承認(rèn)是對(duì)數(shù)概念最簡(jiǎn)單、最適當(dāng)和最自然的擴(kuò)充。”無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托清醒地認(rèn)識(shí)到，他這樣做是一種大膽的冒進(jìn)。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立110《基礎(chǔ)》中康托關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一大多數(shù)神學(xué)家，哲學(xué)家和神學(xué)家長(zhǎng)期反對(duì)的概念提供了辯護(hù)。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《基礎(chǔ)》中康托關(guān)于無(wú)窮的哲學(xué)第一次公開(kāi)地為實(shí)無(wú)窮這一大多數(shù)神111康托認(rèn)為，無(wú)論數(shù)學(xué)家們過(guò)去曾經(jīng)作過(guò)什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有窮的性質(zhì)可以適用于無(wú)窮的各種情況，而又正是這種不加限制的推廣導(dǎo)致了種種矛盾和誤解。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立康托認(rèn)為，無(wú)論數(shù)學(xué)家們過(guò)去曾經(jīng)作過(guò)什么假定，我們都不應(yīng)認(rèn)為有112波爾查諾是實(shí)無(wú)窮的堅(jiān)定擁護(hù)者實(shí)無(wú)窮可以無(wú)矛盾地引進(jìn)數(shù)學(xué)的思想?！稛o(wú)窮的悖論》（1821年）是對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的重要貢獻(xiàn)。著作的特色之一是關(guān)于實(shí)無(wú)窮和潛無(wú)窮的區(qū)分。

數(shù)學(xué)上“實(shí)無(wú)窮”的概念；勢(shì)及序數(shù)的概念；無(wú)窮集合論的創(chuàng)立波爾查諾是實(shí)無(wú)窮的堅(jiān)定擁護(hù)者無(wú)窮集合論的創(chuàng)立113第一，肯定實(shí)無(wú)窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。第二，無(wú)窮有其固有的本質(zhì)，不能把有窮所具有的一切性質(zhì)都強(qiáng)加于無(wú)窮。第三，有窮的認(rèn)識(shí)能力可以認(rèn)識(shí)無(wú)窮。

無(wú)窮集合論的創(chuàng)立第一，肯定實(shí)無(wú)窮是數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立114“正象每個(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結(jié)論：所有反對(duì)實(shí)無(wú)窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開(kāi)始就期望無(wú)窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，甚至把有窮數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)加到無(wú)窮數(shù)上；與此相反，如果我們能以任何方式理解無(wú)窮數(shù)的話，倒是由于它們（就其與有窮數(shù)的對(duì)立而言）構(gòu)成了全新的一個(gè)數(shù)類，它們的性質(zhì)完全依賴于事物本身的性質(zhì)，這是研究的對(duì)象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見(jiàn)?！薄罢竺總€(gè)特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣115《超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)》，于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對(duì)超限基數(shù)理論具有決定意義的論文?！靶蛐汀钡母拍?，相應(yīng)的序數(shù)。集合超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，符號(hào)；排成一個(gè)“序列”；加法，乘法和乘方。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《超窮數(shù)理論的奠基性貢獻(xiàn)》，于1895年和1897年先后發(fā)表116《貢獻(xiàn)》的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義定義：集合M是能夠明確區(qū)分的思維或感知的對(duì)象m（稱為M的元素）的總體。無(wú)窮集合論的創(chuàng)立《貢獻(xiàn)》的第一段話是那個(gè)關(guān)于集合的經(jīng)典定義無(wú)窮集合論的創(chuàng)立117四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）2．布拉里-弗蒂悖論（1897）3．羅素悖論（1902）4．理查德悖論（1905）5．佩利悖論（1906）6．格里靈悖論（1908)

四、集合論悖論1．康托悖論（1895年發(fā)現(xiàn)，1899年公布）118羅素悖論（1902）集合分成兩類：集合是它本身的元素，稱為“非正常集合”；集合不是它本身的元素，稱為“正常集合”。設(shè)“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合?！眴?wèn)：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”

集合論悖論羅素悖論（1902）集合論悖論119理發(fā)師悖論（1918）“在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)?！庇腥藛?wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對(duì)。集合論悖論理發(fā)師悖論（1918）集合論悖論120五、有關(guān)集合論的爭(zhēng)論克羅內(nèi)克（Kronecker）他在許多場(chǎng)合大罵康托是“敗類、臭蟲”，“我們科學(xué)的敵人”。他對(duì)外爾斯特拉斯的學(xué)生柯瓦列夫斯卡婭（1850～1891）說(shuō)，康托的集合論同任何一門數(shù)學(xué)毫無(wú)共同之處，同另外一些人說(shuō)康托的集合論空洞無(wú)物。五、有關(guān)集合論的爭(zhēng)論121龐加萊（Poincare，1905）：“Cantor給科學(xué)引入了考慮數(shù)學(xué)無(wú)窮的新方法……但是發(fā)生了這樣的事，我們遇到了會(huì)使愛(ài)利亞學(xué)派的Zeno和麥加拉哲學(xué)學(xué)派高興的一些悖論，一些明顯的矛盾。所以每一個(gè)人都必須尋找補(bǔ)救的方法。就我來(lái)說(shuō)—而我并不是單獨(dú)一人—我認(rèn)為重要的是永遠(yuǎn)不要采用一些不能用有限的文字完全定義的東西。不論采用什么樣的療法，