()第七章解析幾何與微分幾何SECTION7

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔§7 平面曲線[曲線方程與正方向]曲線方程的形式直角坐標(biāo)系隱 式 F(x,y)=0顯 式 y=f(x)參數(shù)式 或(t為任意參數(shù),s為曲線的弧長)極坐標(biāo)系=()

曲線的正向x增加時,曲線上一點的運動方向t或s增加時,曲線上一點的運動方向增加(即逆時針方向)時,曲線上一點運動方向[曲線的切線與法線]QM時,MQM的切線,M并垂直于切線的直線稱為法線.切線的正向就是曲線在切點處的正向,90°而得到的方向.[曲線的切矩、法矩、次切矩、次法矩與切線傾斜度公式]直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系圖 形切距直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系圖 形切距法距切線傾斜度tantan0/0

f(x0

),

0

).對于參數(shù)表達(dá)的曲線,表中ddy dxdt dttt0

y0.0[曲線的切線方程與法線方程]曲線方程F(x,y)=0y=f(x)=()

切線方程(MT) 法線方程(MN)表中分別表示

F,F

在點Mx,y的值,y0

,,0

y同前0 0

x y 0 0 [曲線的夾角] 兩條相交于點

xy 的曲0 0線yf1

(x)和yf2

(x)在交點的切線斜率分別為kf(x1 1

和k2

f(x2

),其夾角稱為兩條曲線的夾角(圖7.14),且ta

k k2 1 圖[弧的微分]

1kk12

7.14曲線方程與圖形曲線方程與圖形dsy=f(x)=1y2dx22dt22d[曲率曲率半徑曲率圓(或密切圓)與曲率中心的定義] 曲線上兩點M和Q的切線正向MQ的夾角與弧長MQ

之比,當(dāng)Q趨于M時的極限,即klim

daQMQ dsM的曲率,轉(zhuǎn)動率.k>0時,表明曲線凹向朝法線的正向;k<0時表明曲線凹向朝法線的負(fù)向(7.15).R1dsF da稱為曲線在點M的曲率半徑.在曲線凹向的法線上截

圖7.15MCR,則稱C為曲線在點M的曲率中心,以C為圓,R為半徑的圓稱為曲線在點M的曲圓,又稱為密切圓.C點的坐標(biāo)為x xRsinxRdyC dsy yRcosyRdxC ds[曲率半徑與曲率中心坐標(biāo)的計算公式]設(shè)R為曲率半徑,(x,yC C

)為曲率中心的坐標(biāo),則有1°F(x,y0時

3F'2F'22F''xxFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y F' F'2F'2 F' F'2 F''xxF''F''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx yC

x x

y yFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y

y x y2°曲線方程為y=f(x)時

3x xC

Ry'1y'2y''

1y'22 y yC

y1y'2y''y y R

2

2233 x xC

2

y yC

224°曲線方程為時 3R

2'2222'2''cos

2'2

cos'siC 22'2'' si

2'2

si'cosC 22'2''定義與圖形方程與說明(定義與圖形方程與說明(:y=f(x))等距線曲線上的每點沿在該點法線的一定方向(正負(fù)兩個方向)移動等距離a得到新的點,這些點的軌跡XxΓ1,2Γ1(和Γ )稱為曲線的等距線2yay'1y'2a1y'20式中正負(fù)號上邊對應(yīng)于Γx為參數(shù)的參數(shù)方程.如果為參數(shù)式方程xxt1,下邊對應(yīng)于Γ .2yytt為參數(shù)的方程漸屈線曲線上的每點的曲率中心

Γ1,2

Xxy

a2

0 C稱為曲線曲線的法包線

2 y''線) Xxy'1 y''CCYy1y'2 y''x為參數(shù)的參數(shù)方程.形式表達(dá)的曲線的漸屈線的方程參見曲率中心的公式漸開線曲線對它的漸屈線C言,就是漸開線(或稱漸伸線)設(shè)C的方程為y=f(x),則 Y=Y或XXxY

(x為參數(shù))它是微分方程組 XY'1Y'2 x Y''定義與圖形

1Y

f(x) Y''的解,式中Y'dYdx方程與說明(:y=f(x))精品文檔精品文檔其他形式表達(dá)的曲線的漸開線方程可由表示曲率中心的坐標(biāo)的微分方程組而解出隱式Fy,0隱式漸開線的性質(zhì)1°漸開線上任一點的法線與曲線

F

y,

(為參數(shù))yfx,C相切 顯式

(為參數(shù))fx

f02°MM1 2

的曲率半徑

x 的改變量等于相對應(yīng)的曲線弧長,即 xMC MMC M2 2 1 1

參數(shù)式

) (為參數(shù))1 2 y yt3°漸開線的等距線是和它一樣的漸開線,它們僅僅是起點不同.

y

yx0t t消去得到不同形式的方程,它們所表示包絡(luò)線與曲線族所有曲線都相切的的曲線稱為判別曲線,包含包絡(luò)線與由奇點曲線稱為該曲線族的包絡(luò)線 組成的曲線(例如,曲線族F(x,y,)=0上的F/x0,F/y0的軌跡為由奇點組成的曲線).F0都無奇點則判別曲線即是包絡(luò)線例在圓盤周圍繞上一根不會伸縮的細(xì)線,線端栓一支鉛筆,拉緊線端A逐漸拉開,鉛筆尖在紙上畫出來的曲線就是圓的漸開線.這個圓稱為漸開線的基圓.細(xì)線稱為漸開線的發(fā)生線(圖7.16(a)).現(xiàn)在來尋求漸開線的方程.O,a.開始畫時,A點,取OAx軸(極軸),7.16(b).P的坐標(biāo)為(x,y)或因為發(fā)生線原來對著圓心角精品文檔 (a) （b）精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔NA為+(=PON,在齒輪設(shè)計中,通稱為壓力角)的一段弧NA

,NP,NP的長是a(+),從直角三角形ONP得:OP= a

,又因tan

NP=+,由此得到圓的漸開線方程

cos ax a cos cosy

acos

sin式中是依賴于極角的,這個關(guān)系決定于tan.,把上式寫為極坐標(biāo)方程

acos

(單位為弧度)tan設(shè)t=+,可得直角坐標(biāo)參數(shù)方程xtsintyttcost

(a為基圓半徑)[雪列-弗萊納公式]

dtn,

dntds R ds R式中t和n分別為曲線的切線和法線的單位矢量，s為弧長，R為曲率半徑.[基本定理與自然方程在閉區(qū)間[a,b]（s，則除了在平面上的位s.kk（s）方程.[兩條平面曲線構(gòu)成n階接觸的概念與條件]設(shè)兩條曲線C1和

有一共同點C2

上取一點M，從MC1

hdMO的距離（圖7.17

h 0(MO)dn則稱兩條曲線C1

COn階接觸.2n階接觸的準(zhǔn)則：

圖 7.171

F（x,y）=0C2

的方程為x=x(t)，y=y(t)，并設(shè)在點t=t0（即O（x0

,y0

）Fx

Fy

0,x2(t0

)y2(t0

)0

COn階接2觸的充分必要條件是：

(t0

)(t0

) (n)(t0

)0式中(t)F[x