《計算機數(shù)學基礎》配套教學課件

計算機數(shù)學基礎第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)后頁首頁前頁基本要求、重點難點1.1函數(shù)及其圖形1.2函數(shù)運算1.3初等數(shù)學模型1.4函數(shù)極限1.5無窮大量與無窮小量1.6極限運算1.7函數(shù)的連續(xù)性1.8生活中的極限問題1.9演示與實驗一基本要求掌握極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質。了解如何使用數(shù)學軟件研究函數(shù)性質和求函數(shù)極限。掌握并能熟練運用函數(shù)的幾種特性。熟知函數(shù)的四則運算、復合運算并加以運用。掌握函數(shù)極限的概念、運算、無窮大量與無窮小量的定義與性質。掌握函數(shù)的連續(xù)性概念及運算方法。熟練掌握函數(shù)的基本概念及其定義域、值域、函數(shù)值的求法，了解函數(shù)的幾何性質及反函數(shù)、復合函數(shù)、分段函數(shù)等概念。重點難點重點：極限的概念、運算法則、連續(xù)函數(shù)的概念與性質。如何使用數(shù)學軟件研究函數(shù)性質和求函數(shù)極限。難點：極限的運算、連續(xù)函數(shù)的概念與性質。1.1函數(shù)及其圖形1.1.1函數(shù)概念習慣上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函數(shù)。一般來說，用不同的字母來表示函數(shù)和變量。在特殊情況下，也可以用相同的符號來表示函數(shù)和因變量。下面再看幾個關于函數(shù)的例子。例1平方函數(shù)為每個實數(shù)x指派了它的平方x2，它用下列等式來定義：f(x)＝x2

。與自變量x相對應的函數(shù)值是用x代入這個等式獲得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函數(shù)f的定義域Df是全體實數(shù)組成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所組成的，即形如x2的全部的實數(shù)，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2試求由下列公式定義的函數(shù)的自然定義域：f(x)f(x-1)。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１1.1.2函數(shù)的圖形定義1.2

設f是定義在Df上的函數(shù)，它的圖形是滿足條件y＝f(x)的有序數(shù)對

(x，y)(即平面點)的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函數(shù)f的圖形G(f)給出了直觀的函數(shù)形態(tài)。當f(x)＞0時，在x處圖形的高就是函數(shù)值f(x)(如下圖)。從f的圖形G(f)上，可以在x軸上獲得f的定義域，在y軸上獲得f的值域。即圖形G(f)在x軸上的投影點集就是定義域Df，在y軸上的投影點集就是值域Rf(如圖)。1.1.3分段函數(shù)有的函數(shù)在其定義域的不同范圍中，對應的法則用不同的公式來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。舉例如下。例1取整函數(shù)

y＝［x］＝n，當x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…時。顯然，［x］的定義域是全體實數(shù)集R，值域是全體整數(shù)集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函數(shù)圖形如下圖。具有類似圖形的函數(shù)通常稱為階梯函數(shù)?！蹋?.1.4函數(shù)的幾種特性當函數(shù)的自變量在定義域中取不同的值時，通常會得到不同的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值的不同性態(tài)可以對函數(shù)進行分類。下面是函數(shù)常見的4種性態(tài)。1.2函數(shù)運算1.2.1函數(shù)的四則運算兩個函數(shù)f

和g之間可經(jīng)過類似于實數(shù)間的四則運算，構成新的函數(shù)。下面來定義這些運算。定義1.7

設函數(shù)f

和g的定義域分別為Df和Dg，則和函數(shù)f+g、差函數(shù)f－g、積函數(shù)fg和商函數(shù)f/g分別定義如下：例設f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函數(shù)f和g的和、差、積、商。解易見Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定義(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）?！蘝_√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________1.2.2函數(shù)的復合運算設函數(shù)y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求變量x和y之間的對應規(guī)則，即函數(shù)，可用代入法來實現(xiàn)：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。這樣處理過程就是函數(shù)的復合過程。一般地有：例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，試求復合函數(shù)f

g和g

f，并求其定義域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。從上例可以看出，一般來說f

g≠g

f，即復合運算不同于乘積運算，它與函數(shù)的前后次序有關。例2試把函數(shù)y＝分解成幾個簡單函數(shù)的復合。解從函數(shù)的表達式可以看出，求x的函數(shù)值的運算過程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再進行平方運算。因此，可以分解出3個簡單函數(shù)：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它們進行復合即為原來的函數(shù)：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__1.2.3反函數(shù)由定義可以看出：(1)單調函數(shù)一定存在反函數(shù)；(2)f－1的定義域就是f的值域，f－1的值域就是f的定義域。求已知函數(shù)的反函數(shù)的步驟可以歸納為以下兩步：(1)從等式y(tǒng)＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中將x和y互換，得反函數(shù)表達式y(tǒng)＝f－1(x)。繼續(xù)點擊1.2.4初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)下面六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)：a.常數(shù)函數(shù)y＝C(C為常數(shù))；b.冪函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))；c.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；d.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a為常數(shù)，且a＞0，a≠1)；e.三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函數(shù)y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函數(shù)定義1.10由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次函數(shù)復合運算構成的，并在定義域內可以用一個表達式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。繼續(xù)點擊1.3初等數(shù)學模型1.3.1數(shù)學模型的概念構造數(shù)學模型過程主要包括下列三個步驟：

(1)建立模型：從實際問題中抽象、簡化、提煉出數(shù)學問題；

(2)數(shù)學解答：對所提出的數(shù)學問題求解；

(3)模型檢驗：將所求得的答案返回到實際問題中去，檢驗其合理性，并進一步對現(xiàn)實問題總結出所滿足的數(shù)學規(guī)律。1.3.2微積分與數(shù)學模型的關系

歷史上，微積分中的主要原理，就來源于幾個極為輝煌的數(shù)學模型：

微積分的基礎——極限概念來源于“無窮小”模型。我國春秋時期的《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，可以說是無窮小認識的萌芽。公元3世紀時，我國數(shù)學家劉徽把莊子中的無窮小概念應用于計算“圓田”和“弧田”的面積。他先在圓內作內接正六邊形，計算其面積，再繼續(xù)算出正十二邊形、正二十四邊形面積等等。劉徽認為，隨著圓內接正多邊形邊數(shù)的增加，其面積將不斷擴大，但不會大于圓面積。同時劉徽指出“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。這是無窮小思想的早期應用。所以，微積分根本上起源于人類用數(shù)學手段解決實際問題的需要。反過來，一切可以用連續(xù)變量的函數(shù)描述的數(shù)學模型，無不以微積分理論為基礎。這也說明了微積分的重要性。1.3.3初等數(shù)學模型的例子1.4函數(shù)極限1.4.1數(shù)列的極限

(1)數(shù)列及其變化趨勢數(shù)列：

以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)an＝f(n)，我們稱為整變量函數(shù)，把它的函數(shù)值按自變量n從小到大的順序寫出來：a1，a2，…，an，…這就是數(shù)列，記為｛an｝。數(shù)列極限：我們先從一個例子來分析數(shù)列的變化趨勢，并由此引出數(shù)列極限的概念。

《莊子》中所說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中蘊含著深刻的極限思想。如果令天數(shù)為n，則第n天后余下部分長為

an＝尺(n＝1，2，…)，這樣就得到了一個數(shù)列。當正整數(shù)n無限增大時，數(shù)列an＝無限趨近于數(shù)0。n2n｛｝n2nn2n繼續(xù)點擊(2)數(shù)列極限的定義定義1.11

設有數(shù)列｛an｝和常數(shù)A。若當n無限增大時，an無限趨近于A，則稱數(shù)列｛an｝以A為極限，或稱數(shù)列｛an｝收斂于A，記作：

或an→A(n→∞時)。

否則，稱數(shù)列｛an｝的極限不存在，或者說數(shù)列｛an｝是發(fā)散的。liman＝An→∞數(shù)列極限的幾何解釋：將數(shù)A和數(shù)列各項a1，a2，a3，…在數(shù)軸上的對應點標出來，容易看出，若A是｛an｝的極限，則當n無限變大時，點an與點A的距離|an－A|無限變小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在數(shù)軸上的A點附近聚集了數(shù)列｛an｝的無窮多個點，而且離A點越近越密集，因此我們也稱數(shù)列｛an｝的極限值(極限點)為其聚點(如下圖)。繼續(xù)點擊1.4.2函數(shù)的極限１２３４后頁后頁

(1)x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限當|x|無限增大時，f(x)＝對應的函數(shù)值f(x)無限地趨近于0（如下圖），這時稱x趨于無窮大時，f(x)以0為極限。定義1.12

設函數(shù)f(x)對于絕對值無論怎樣大的x值是有定義的。若當|x|無限增大時，對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當x趨向于無窮大時的極限。記作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A從幾何意義上看，極限表示：隨著|x|無限增大，曲線y＝f(x)上對應的點與直線y＝A的距離無限變小，即曲線y＝f(x)以直線y＝A為漸近線(如圖)。limf(x)＝An→∞由以上定義，我們不難證明：定理1.1存在且為A的充分必要條件是與都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回

(2)x趨于某確定有限數(shù)時函數(shù)f(x)的極限以下我們均假設函數(shù)f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義，如果在變量x→x0(x≠x0)的過程中，對應的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的常數(shù)A，就說當x→x0時函數(shù)f(x)的極限為A。這種類型的極限稱為函數(shù)在有限點x0處的極限。例如，由于x≠1時f(x)＝g(x)，所以由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在有限點x0處的極限的精確定義。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定義1.13設函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內有定義(x0可以除外)，若當x無限趨近于x0(但不等于x0)時，對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于某一常數(shù)A，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當x趨于x0時的極限，記作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)從幾何意義上看，極限表示：當x無限靠近x0(但x≠x0)時，曲線y＝f(x)上的點(x，f(x))將無限地靠近點

(x0，A)(如下圖)。例極限不存在的例子：當x→0時，函數(shù)f(x)＝sin沒有極限。1x從正弦函數(shù)的圖象易見該極限是不存在的，它沒有任何漸近線。當x越來越接近于零時，對應的函數(shù)值越來越頻繁地在－1與1之間擺動。返回

(3)單側極限

由于在x→x0的過程中，x既可以是x0左側的點，也可以是x0右側的點。但有的函數(shù)僅在x0的左鄰域有定義，或者我們只需要研究函數(shù)在x0的左鄰域的變化情況，為了明確起見，我們引進函數(shù)的“左極限”概念。函數(shù)f(x)在x0處存在左極限，就是指x

從x0的左側趨向于x0時，對應的函數(shù)f(x)值趨向于一個定數(shù)A。類似地有“右極限”概念。它們的定義是：定義1.14如果當x從x0的左側趨近于x0時，函數(shù)f(x)的對應值趨近于常數(shù)A，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當x從左側趨向于x0時的左極限。記作：類似地，可定義右極限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。左極限與右極限通稱為單側極限。容易證明：定理1.2的充要條件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回

(4)極限的簡單性質

＞0，同時在x1的附近的點的函數(shù)值也是正的。B＜0，同時在x2附近的點的函數(shù)值也是負的。（如圖）limf(x)＝Ax→x0由上面的說明就可得出函數(shù)f(x)在x0處的極限值的符號與x0點附近(即某去心鄰域)的點的函數(shù)值的符號的關系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么總存在點x0的某去心鄰域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使對該鄰域內的任意點x總有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0定理1.4如果，而且在x0的某鄰域內(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回1.5無窮大量與無窮小量1.5.1無窮大量定義1.15

在某一自變量的變化過程中，如果相應的函數(shù)值的絕對值無限增大，那么稱此函數(shù)為無窮大量(簡稱無窮大)?！敖^對值無限增大”包含以下兩種特殊情形：

(1)函數(shù)值大于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為正無窮大量(簡稱正無窮大)；

(2)函數(shù)值小于零，且絕對值無限增大。此時稱函數(shù)為負無窮大量(簡稱負無窮大)。繼續(xù)點擊前頁前頁1.5.2無窮小量定義1.16

在某一自變量的變化過程中，極限為零的函數(shù)稱為無窮小量(簡稱無窮小)。性質1

有限個無窮小的代數(shù)和還是無窮小。性質2有界變量與無窮小量的乘積是無窮小。由性質2可得下面推論：推論1常數(shù)與無窮小量的乘積仍然是無窮小量。推論2

有限個無窮小的乘積仍是無窮小。有極限的變量與無窮小量之間有著密切的關系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要條件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是無窮小量(x→x0時)。limf(x)＝Ax→x0注意：所謂某一函數(shù)或某一變量是無窮大量或無窮小量都是相對于某一自變量的變化過程來說的，離開了這一點，單純講某變量是無窮大量或無窮小量是無意義的，除非根據(jù)上下文可以不言自明。1.5.3無窮小量與無窮大量的關系關于無窮小量與無窮大量的關系有如下定理：定理1.6在自變量x的某一變化過程中：

(1)如果f(x)是無窮大量，那么是無窮小量；

(2)如果f(x)是非零無窮小量，那么是無窮大量。１f(x)１f(x)在求極限時，經(jīng)常要用到無窮小量與無窮大量的這種倒數(shù)關系。1.5.4無窮小量的比較無窮小量雖然都是極限為零的變量，但它們趨于零的速度有快有慢。例如，有一個正方形的金屬薄片，它的邊長為1。因為受熱，邊長增加了η，從而面積的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是無窮小量，那么2η、η2也是無窮小量，但它們趨于零的速度是不一樣的。列表比較如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…定義1.17設α、β是同一極限過程中的兩個無窮小量。如果＝0，那么稱α是比β高階的無窮小，記作

α＝o(β)；如果＝∞，那么稱α是比β低階的無窮??；如果＝C(C為非零常數(shù))，那么稱α與β是同階無窮小。在同階無窮小中，如果＝1，那么稱α與β是等價無窮小，記作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ1.6.1極限運算性質假設C是常數(shù)，并且極限f(x)和g(x)都存在，則有：例試證明極限運算的和性質：。證設，，則由定理1.5得：f(x)＝L+α(x)，g(x)＝M+β(x)，

其中α(x)、β(x)是當x→a時的無窮小量。于是f(x)+g(x)＝(L+M)+［α(x)+β(x)］。由無窮小的性質知，x→a時α(x)+β(x)也是無窮小，所以由定理1.5知：。證畢。1.6極限運算1.6.2利用性質求極限直觀地觀察下面幾個極限公式：

(1)limC＝C(C為常數(shù))；

(2)limx＝a；

(3)limxn＝an(由乘方性質得到)(n為正整數(shù))；

(4)limnx

＝na(n為正整數(shù)，且當n為偶數(shù)時，假設a＞0)。利用以上基本公式和極限性質，可以計算多項式、多項式之商(有理函數(shù))及一些無理函數(shù)的極限。x→ax→ax→a√__√__定理1.7對于多項式和有理函數(shù)(多項式之商)，當x→a時，將a代入函數(shù)式得到的函數(shù)值等于函數(shù)的極限值。即：

limP(x)＝P(a)(其中P(x)為多項式函數(shù))；

lim

(其中P(x)、Q(x)都是多項式函數(shù)，并且Q(a)≠0)。x→aP(x)

P(a)Q(x)

Q(a)＝x→a1.6.3利用兩個重要極限公式求極限從下面兩個函數(shù)值表中初步觀察極限函數(shù)lim和lim的變化趨勢。sinxxx→0１１x(

)＋x由以上表格，可以發(fā)現(xiàn)常數(shù)的確存在，它就是著名的無理數(shù)

e＝2.7182818…。這樣我們就有下面兩個已經(jīng)被數(shù)學家嚴格證明了的極限公式：。無理數(shù)e和無理數(shù)π一樣，是數(shù)學中最重要的常數(shù)之一。這個無理數(shù)精確到20位小數(shù)的值是e≈2.71828182845904523536。個極限公式可寫成如下形式：，（或者）。1.7函數(shù)的連續(xù)性1.7.1連續(xù)與間斷的概念連續(xù)與間斷(不連續(xù))是對自然界變化過程漸變與突變現(xiàn)象的描述。為了從數(shù)量上刻畫函數(shù)的連續(xù)和間斷，先引進增量(改變量)的概念，再分析連續(xù)和間斷的數(shù)量特征。設變量u從它的一個初值u1變化到終值u2，終值與初值的差u2－u1稱為變量u的增量，記為Δu，即Δu＝u2－u1。增量Δu可以是正的，也可以是負的。若Δu為正，則變量u從u1變到

u2＝u1+Δu是增大的；若Δu為負，則變量u從u1變到u2是減小的。假設函數(shù)y＝f(x)的圖形如下圖所示。在［a，b］中除在x＝x1點處間斷外，其余點都連續(xù)。從圖中易見，在間斷點x1處，函數(shù)值有一個跳躍(突變的表現(xiàn))，自變量從x1向左側作一任意小的變動時，對應的函數(shù)值發(fā)生顯著的變化，用極限來刻畫就是：。在連續(xù)點x0，情況恰恰相反。當自變量從x0向左、右側作微小改變時，對應的函數(shù)值改變也很小。用極限來刻畫，則為。由此分析，可引入下面的定義：定義1.18設函數(shù)y＝f(x)在包含x0在內的某開區(qū)間內有定義，若當自變量的增量Δx＝x－x0趨近于零時，對應的函數(shù)值的增量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)也趨于零，即Δy＝0，則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0處是連續(xù)的(此時稱x0是函數(shù)y＝f(x)的連續(xù)點)。否則，稱y＝f(x)在x0處間斷(此時稱x0是y＝f(x)的間斷點)。定義1.19設函數(shù)y＝f(x)在x0的某一鄰域內有定義，若函數(shù)y＝f(x)當x→x0時極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即limf(x)＝f(x0)，則稱函數(shù)y＝f(x)在點x0連續(xù)。△x→x0由左、右極限的概念，可給出左、右連續(xù)的概念：定義1.20設函數(shù)y＝f(x)在x0的某左半鄰域(或右半鄰域)內有定義(含x0在內)。若limf(x)＝f(x0－0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0左連續(xù)；

若limf(x)＝f(x0+0)＝f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0右連續(xù)。顯然，函數(shù)y＝f(x)在點x0連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x0既左連續(xù)又右連續(xù)。若函數(shù)在區(qū)間

I

內每一點都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間

I

連續(xù)?！鱴→x0－△x→x0＋1.7.2函數(shù)的間斷點函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)是指limf(x)＝f(x0)，這里包含了三個條件：

(1)函數(shù)y＝f(x)在點x0處有定義；

(2)極限limf(x0)存在；

(3)極限limf(x)恰好等于f(x0)。這三個條件中任何一條不滿足，函數(shù)f(x)在點x0處都是間斷的。根據(jù)極限limf(x)是否存在，以及不存在時的各種情形，常把間斷點分成如下幾種類型：△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.3連續(xù)函數(shù)的運算根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義，利用極限的四則運算法則，可得下面的定理：定理1.8如果函數(shù)f(x)與g(x)都在點x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商，即f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(在商的情形下要求g(x0)≠0)，也在x處連續(xù)。f(x)g(x)證這里只證f(x)+g(x)在x0點的連續(xù)性，其余留給讀者證明。因為f(x)與g(x)在x0處連續(xù)，由定義1.19得limf(x)＝f(x0)，limg(x)＝g(x0)。由極限運算性質得lim［f(x)+g(x))］＝limf(x)+limg(x)＝f(x0)+g(x0)。故由連續(xù)函數(shù)的定義1.19可知，f(x)+g(x)在x0處連續(xù)。證畢?！鱴→x0△x→x0△x→x0△x→x0△x→x0定理1.9(反函數(shù)的連續(xù)性)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間Ix上單調增加(或單調減少)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x＝f－1(y)也在對應區(qū)間Iy＝｛y|y＝f(x)，x∈Ix｝上單調增加(或單調減少)且連續(xù)(證明從略)。定理1.10(復合函數(shù)的連續(xù)性)設函數(shù)u＝φ(x)在點x＝x0連續(xù)，y＝f(u)在點u＝u0＝φ(x0)處連續(xù)，則復合函數(shù)y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在點x＝x0處連續(xù)。。證要證y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)，只要證明

lim(f

g)(x)＝(f

g)(x0)，即limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。由于u＝φ(x)在x0處連續(xù)，所以limφ(x)＝φ(x0)。因為y＝y(tǒng)(u)在u0＝φ(x0)處連續(xù)，所以limy(u)＝y(tǒng)(u0)，即

limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。

y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0處連續(xù)。?！鱴→x0。?！鱴→x0△x→x0△x→x0△x→x0。1.7.4初等函數(shù)的連續(xù)性首先，由基本初等函數(shù)的圖形可以直觀地看出，基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內都是連續(xù)函數(shù)。當然，這個結論是可以利用連續(xù)性定義、極限運算性質得到證明的，這里從略。進一步地，由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合構成的，所以由定理1.8和定理1.10易知，一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。根據(jù)上述結論，若f(u)是初等函數(shù)，u0在其定義域內，則有l(wèi)imf(u)＝f(u0)。這里不管u是自變量還是中間變量都成立。若u是中間變量，u＝φ(x)，且limφ(x)在f(u)的定義域內，則有△x→x0△x→x01.7.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定義1.21設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內連續(xù)，且f(a+0)＝f(a)，f(b－0)＝f(b)，

則稱f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)。定理1.11(最大值和最小值定理)閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定有最大值和最小值。這就是說，［a，b］上一定存在這樣兩個點x1和x2，使得對于［a，b］上的一切點x都有f(x)≥f(x1)，f(x)≤f(x2)。

從物理上看：例如某地一晝夜的溫度變化，總有兩個時刻分別達到最高溫度和最低溫度；又如，拋射一個物體總可以達到最高點也可以達到最低點。

從幾何上看：一段連續(xù)曲線對應閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，曲線上必有一點，它的縱坐標最大，對應函數(shù)最大值；也總有一點，它的縱坐標最小，對應函數(shù)最小值。在下圖中，x1對應的函數(shù)值最小，x2對應的函數(shù)值最大，函數(shù)在x2達到最小值，在x2達到最大值。若f(x)不是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，結論就不一定正確。定理1.12(介值定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則對于f(a)與f(b)之間的任何數(shù)c，總存在點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝c。

該定理也可以敘述為：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)，當x從a變化到b時，要經(jīng)過f(a)與f(b)之間的一切數(shù)值。

從物理上看：例如氣溫的變化，從0℃變到5℃，它必然經(jīng)過0℃與5℃之間的一切溫度，因為氣溫是隨時間連續(xù)變化的，即它是時間t的連續(xù)函數(shù)。

從幾何上看：閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)的圖形如圖(a)所示，是一條從點(a，f(a))到點(b，f(b))不間斷的曲線，因此介于y＝f(a)與y＝f(b)之間的任意一條直線y＝c都必然與該曲線相交。若f(x)在［a，b］上有一間斷點，如圖(b)所示，則直線y＝c就不與f(x)的圖形相交了。由定理1.12可得如下推論：1.8生活中的極限問題1.8.1豬肉產(chǎn)銷問題的蛛網(wǎng)模型

在市場經(jīng)濟中存在這樣的循環(huán)現(xiàn)象：若去年的豬肉生產(chǎn)量供過于求，豬肉價格就會降低；價格降低會使今年養(yǎng)豬量減少，造成今年豬肉生產(chǎn)量供不應求，于是肉價上揚；價格上揚又使明年豬肉產(chǎn)量增加，又造成新的供過于求……1.8.2細菌繁殖問題1.9演示與實驗一1.9.1實驗目的1.學習在Windows下Mathematica4.0軟件的啟動，并熟悉其界面；2.學習用繪圖語句作函數(shù)圖形；3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列極限與函數(shù)極限；4.學習用求極限語句求數(shù)列或函數(shù)極限。1.9.2原理與方法

1.函數(shù)作圖的基本原理

2.數(shù)列極限與函數(shù)極限1.9.3內容與步驟1.Mathematica4.0的進入

2.利用Mathematica作圖

(1)基本作圖命令格式

(a)只規(guī)定自變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝］

(b)不僅規(guī)定自變量范圍，還規(guī)定因變量范圍的作圖命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝,PlotRange->｛y1,y2｝］

(2)觀察函數(shù)圖形疊加情況

(3)分段函數(shù)的作圖自定義分段函數(shù)常用以下兩種方法：方法1當只分兩段時可用if語句定義，格式如下：

f［x］:＝If［條件1,表達式1，表達式2］方法2當分段函數(shù)的定義域多于兩段時可以用Which語句定義，格式如下：

f［x］：＝Which［條件1，表達式1，條件2，表達式2，True,表達式3］

3.用圖形和數(shù)值觀察數(shù)列或函數(shù)極限

(a)生成數(shù)值型點列

(b)畫散點圖

4.用Mathematica求極限

用Mathematica求極限的命令格式如下：

Limit［f(x),x->a］

Limit［f(x),x->Infinity］(其中Infinity表示∞)1.9.4注意事項

1.利用Mathematica系統(tǒng)作圖時，每個語句及其中的函數(shù)的第一個字母必須大寫；

2.如果函數(shù)的圖形在某一點處回轉的次數(shù)特別多時圖形中會有一些模糊，這是由于在回轉多的地方盡量取多的樣點，但樣點又不會無窮多而造成的；例如，執(zhí)行Plot［Ｓin［1/x］,｛x,-1,1｝］大家可以看到這種情況。

3.利用Limit［］語句求極限時，必須指明自變量的趨向方向，否則，對于某些極限求不出正確結果；

4.在無窮振蕩點處雖然函數(shù)極限不存在，但Limit［］語句仍能夠給出函數(shù)無窮振蕩時的可能取值范圍。ThankYou!后頁首頁前頁第二章導數(shù)與微分后頁首頁前頁基本要求、重點難點2.1導數(shù)概念2.2導數(shù)的基本公式與運算法則2.3殊函數(shù)求導法及高階導數(shù)2.4變化率問題實例2.5微分2.6演示與實驗二基本要求掌握導數(shù)的概念、基本公式與運算法則，并會用定義求一些簡單函數(shù)的導數(shù)。了解導數(shù)在各種領域的應用并觀察其自變量有微小改變時，函數(shù)大體上的變化。掌握特殊函數(shù)求導法和高階導數(shù)。重點難點重點：微分概念的理論和實際應用。導數(shù)在各種領域的應用。導數(shù)的概念、導數(shù)公式和求導法則。難點：導數(shù)的概念、導數(shù)公式和求導法則。2.1導數(shù)概念2.1.1引例當M沿曲線C趨向于M0時，割線M0M的極限位置是直線M0T，這正是曲線C在點M0處的切線。因此，切線的斜率為：若這個極限不存在(且不是無窮大)，則曲線在M0處無切線。2.1.2導數(shù)的定義定義2.1

設函數(shù)y＝f(x)在點x0的某個鄰域內有定義。當自變量x在x0處有增量Δx(Δx≠0)時，相應的函數(shù)值有增量Δy＝f(x0+Δx)—f(x0)。如果當Δx→0時，ΔyΔx的極限存在，即存在，那么稱此極限值為f(x)在x0處的導數(shù)，并稱函數(shù)f(x)在x0處可導。

f(x)在x0處的導數(shù)記作

Δy/Δx稱為f(x)在區(qū)間［x0，x0+Δx］上的平均變化率。導數(shù)f′(x0)也稱為f(x)在x0處的瞬時變化率(簡稱變化率)。定義2.2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上可導。這時函數(shù)f(x)對于(a，b)內每一個確定的值，都對應一個確定的導數(shù)值，因此構成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作f′(x)或dy/dx。2.1.3導數(shù)的幾何意義從引例可以看出，函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率。如f(x)＝x3，f′(1)＝3，說明曲線y＝x3在點(1，1)處的切線斜率為3。由直線的點斜式方程可知，曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)。2.1.4函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理2.1如果函數(shù)y＝f(x)在點x0處可導，則y＝f(x)在x0處連續(xù)。

注意：定理2.1的逆命題并不成立，即函數(shù)y＝f(x)在x0處連續(xù)，但不一定在該點可導。2.2導數(shù)的基本公式與運算法則2.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)2.2.2函數(shù)的和、差、積、商的求導法則2.2.3初等函數(shù)的導數(shù)至此，我們已經(jīng)推導出所有基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，為查閱方便，把這些公式匯總如下：2.3殊函數(shù)求導法及高階導數(shù)2.3.1隱函數(shù)的導數(shù)函數(shù)總是用自變量的一個表達式來表示因變量，即形如

y＝f(x)的形式。變量間的函數(shù)關系隱含在一個方程F(x，y)＝0之中，如3x－2y+5＝0，

ex+y＝x·y等這種形式表示的函數(shù)。顯函數(shù)：隱函數(shù)：繼續(xù)點擊2.3.2由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導法圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為一般地，設t為參數(shù)，則參數(shù)方程

由參數(shù)方程確定的函數(shù)：表示平面上一條曲線，當給定一個t值時，由參數(shù)方程確定了x和y的相應值。當φ(t)滿足一定條件時，以參數(shù)t為橋梁，參數(shù)方程可以確定y和x之間的函數(shù)關系的這種函數(shù)。若要求曲線上一點的切線斜率，也就是要求這個函數(shù)的導數(shù)。由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)：將x＝φ(t)的反函數(shù)

t＝h(x)代入y＝ψ(t)中得復合函數(shù)y＝ψ［h(x)］，再用復合函數(shù)求導法求。dydxdydx由反函數(shù)求導法知因此，不必求出x＝φ(t)的反函數(shù)即可得

導數(shù)公式：2.3.3高階導數(shù)函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)y′＝f′(x)仍是x的函數(shù)，稱為函數(shù)y＝f(x)的一階導數(shù)。如果一階導數(shù)f′(x)仍是可導的，則稱f′(x)的導數(shù)為y＝f(x)的二階導數(shù)，記為即二階導數(shù)的導數(shù)為三階導數(shù)，…，一般地，(n－1)階導數(shù)的導數(shù)為n階導數(shù)。三階以上的導數(shù)依次記為：即

y(n－1)與y(n)的關系正如y與y′的關系一樣。二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。2.4變化率問題實例2.4.1物理學方面的變化率問題(導數(shù)問題)在引入導數(shù)概念時我們曾用變速直線運動的瞬時速度作為例子，就是物理學中的導數(shù)問題(變化率問題)。2.4.2化學方面在引入導數(shù)概念時我們曾用變速直線運動的瞬時速度作為例子，就是物理學中的導數(shù)問題(變化率問題)。2.4.3生物學方面2.4.4經(jīng)濟學方面2.4.5其他科學領域幾乎所有的科學領域都有變化率的問題。地質學家希望知道浸入的融巖通過向周圍的巖石進行熱量傳導而冷卻的速度。都市地理學家要了解城市人口密度關于到市中心距離的變化率。氣象學家則關心大氣壓力關于高度的變化率。

心理學中對學習理論感興趣的人會研究反映某種技藝學習過程中的學習成績p與培訓時間t之間關系的所謂學習曲線，特別想知道成績隨時間的提高率，即導數(shù)。在社會學方面，導數(shù)可用于分析信息的傳播、新方法的推廣、服飾新款的流行等等問題。如果p(t)表示t時刻知道某信息的人口比例，那么導數(shù)表示信息的傳播速度。以上我們列舉了物理學、化學、生物學、經(jīng)濟學等眾多領域中變化率的例子，它們都是導數(shù)概念的各種具體表現(xiàn)形式，因此，對導數(shù)的進一步研究不僅是數(shù)學本身的需要，也是各門學科的共同要求。下一章將專門學習導數(shù)的應用。dpdtdpdt2.5微分2.5.1函數(shù)的線性逼近和微分定義2.3

設函數(shù)y＝f(x)在點x有導數(shù)f′(x)，則稱f′(x)Δx為函數(shù)y＝f(x)在點x處的微分，記作dy，即dy＝f(x0)Δx。這時也稱函數(shù)y＝f(x)在x處是可微分的，或簡稱函數(shù)y＝f(x)在點x處可微。

這個定義也可簡述為：函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量增量的乘積。微分具有如下特點：

(1)當f′(x)≠0，|Δx|

1時，微分是函數(shù)增量的主要部分，因此可用微分dy來近似代替函數(shù)的增量Δy，即dy≈Δy；

(2)dy是Δx的線性函數(shù)，用微分近似表示函數(shù)增量簡便易求。

微商：dy＝f′(x)dx改寫為dy/dx＝f′(x)，則左邊是函數(shù)微分與自變量微分之商，所以導數(shù)也稱為微商。＜＜2.5.2微分的求法

由微分的定義可知：一個函數(shù)的微分就是它的導數(shù)與自變量微分的乘積.所以，只要會求導數(shù)，微分立即可得。例求y＝sinx的微分。解因為y′＝(sinx)′＝cosx，所以dy＝dsinx＝y(tǒng)′dx＝cosxdx。由復合函數(shù)的求導法則可知，復合函數(shù)y＝f［φ(x)］的微分是

dy＝f′［φ(x)］·φ′(x)dx。由于u＝φ(x)的微分是du＝φ′(x)dx，所以上式可寫成：dy＝f′(u)du。

微分形式的不變性：盡管u是中間變量，不是自變量，仍然與u是自變量時函數(shù)的微分形式是一樣的。2.5.3微分在近似計算中的應用當函數(shù)y＝f(x)在x0處可導，f′(x0)≠0，且|Δx|

1時，可用微分近似代替其增量，即Δy≈dy＝f′(x0)Δx。也可以用切線方程y＝f(x0)+f′(x0)(x－x0)來近似代替函數(shù)y＝f(x)，即f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)。＜＜2.6.1實驗目的

1.學習用Mathematica輔助理解導數(shù)概念；

2.學習用Mathematica求函數(shù)的導數(shù)。2.6演示與實驗二2.6.2原理與方法由導數(shù)的定義知，其幾何意義是切線斜率，即割線斜率的極限。我們利用Mathematica可以通過數(shù)值演示、圖形演示和動畫演示等方式觀察割線斜率的變化過程，或割線的運動過程。2.6.3內容與步驟

1.用Mathematica輔助理解導數(shù)概念

(1)數(shù)值演示

(2)圖形演示

(3)動畫演示

2.用Mathematica求函數(shù)的導數(shù)和微分

(1)用D［f［x］,x］語句求函數(shù)f的一階導數(shù)

(2)用D［f［x］,{x,n}］語句求函數(shù)f的n階導

(3)若已經(jīng)自定義了函數(shù)f(x)，則用f［x］也可以求其導數(shù)，其中的求導符號“′”用單引號鍵輸入，這也符合我們的手寫習慣。

(4)利用Dt命令求函數(shù)的微分

(5)求隱函數(shù)的導數(shù)

(6)求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)ThankYou!后頁首頁前頁第三章導數(shù)應用后頁首頁前頁基本要求、重點難點3.1函數(shù)的單調性3.2函數(shù)的極值3.3函數(shù)曲線的凹向與漸近線3.4簡單最優(yōu)化數(shù)學模型3.5演示與實驗三基本要求掌握函數(shù)的單調性并理解期意義。

了解簡章最優(yōu)化數(shù)學模型。

掌握如何利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、曲線的凹向、拐點問題。

了解邊際與彈性的概念，并會解答相關的經(jīng)濟應用問題。

掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理，并能熟練運用兩定理證明有關命題。重點難點重點：函數(shù)的單調性、極值、曲線的凹向、拐點問題。簡單的最優(yōu)化問題的解法。難點：導數(shù)的概念、導數(shù)公式和求導法則。三個中值定理的應用、函數(shù)的極值、導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用。3.1函數(shù)的單調性3.1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理：設y＝f(x)為區(qū)間I上的可導函數(shù)，P(a，f(a))與Q(b，f(b))是曲線y＝f(x)上任意兩點，將直線段PQ平行移動，在區(qū)間(a，b)內總能找到一個位置，使之與曲線恰好相切(如圖)。定理3.1

設函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，則在

(a，b)內至少存在一點ξ，使得推論若在區(qū)間I上f′(x)≡0，則f(x)≡C。證在區(qū)間I上任取兩點x1，x2，不妨設x1＜x2，則容易看出f(x)在以x1，x2為端點的區(qū)間上滿足定理3.1的條件，所以必有ξ∈(x1，x2)，使

f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)，而由條件f′(x)≡0知f′(ξ)＝0，從而有

f(x1)＝f(x2)。由x1，x2的任意性可知，在區(qū)間I上一切不同點的函數(shù)值均相等，所以存在常數(shù)C使f(x)≡C。證畢。3.1.2函數(shù)單調性的判定定理3.2

設函數(shù)f(x)在(a，b)內可導。

(1)若對任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)內單調增加；

(2)若對任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＜0，則f(x)在(a，b)內單調減小。證在區(qū)間(a，b)內任取兩點x1，x2且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)。

(1)若對任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，從而f(x2)＞f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內單調增；

(2)若對任意x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則f′(ξ)＜0，從而f(x2)＜f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內單調減。證畢。3.2函數(shù)的極值3.2.1函數(shù)極值的定義定義3.1設函數(shù)y＝f(x)在點x0的某鄰域內有定義。若對該鄰域內任意的x，總有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值(或極小值)，稱x0為f(x)的極大值點(或極小值點)。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。3.2.2函數(shù)極值的判定與求法定理3.3(極值存在的必要條件)如果函數(shù)f(x)在點x0處有極值f(x0)，且f(x)在x0處可導，則f′(x0)＝0。定理3.4(第一充分條件)

設函數(shù)f(x)在x0的某鄰域(x0－δ，x0+δ)內連續(xù)、可導(但f′(x0)可以不存在)。

(1)若當x∈(x0－δ，x0)時，f′(x)＞0，而當x∈(x0，x0+δ)時，

f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(x0)；

(2)若當x∈(x0－δ，x0)時，f′(x)＜0，而當x∈(x0，x0+δ)時，

f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極小值f(x0)；

(3)若當x∈(x0－δ，x0+δ)(x≠x0)時，恒有f′(x0)＞0或恒有

f′(x0)＜0，則f(x)在x0處無極值。定理3.5(第二充分條件)設函數(shù)f(x)在x0存在二階導數(shù)，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0。

(1)若f″(x0)＞0，則f(x)有極小值f(x0)；

(2)若f″(x0)＜0，則f(x)有極大值f(x0)。3.3函數(shù)曲線的凹向與漸近線3.3.1曲線的凹向與拐點

凹向：如圖，曲線y＝f(x)在［a，b］內一直是上升的，但其彎曲方向是變化的，在A點的左側曲線向下凹，而在A點的右側曲線向上凹。曲線的這種向上凹或向下凹的性質。定義3.2如果在某區(qū)間內的一段連續(xù)且處處有切線的曲線弧總位于其上任意一點(除端點外)的切線的上方(或下方)，那么稱該曲線段是上凹(或下凹)的。

切線斜率與凹向的關系：如圖(a)，曲線上的點從左向右移動時，曲線在該點的切線的斜率單調增加，此時的曲線總位于切線的上方，即曲線是上凹的。反之，當切線斜率單調減小時，曲線總位于切線的下方，即曲線是下凹的。如圖(b)。定理3.6(曲線凹向判定定理)

函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有二階導數(shù)。

(1)若對任意的x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內是上凹的；

(2)若對任意的x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則曲線y＝f(x)在(a，b)內是下凹的。定義3.3曲線的上凹與下凹部分的分界點稱為曲線的拐點。3.3.2曲線的漸近線定義3.4

如果曲線上的動點沿著曲線趨于無窮遠時，動點與某直線的距離趨于零，那么稱此直線為曲線的漸近線。曲線有漸近線條件：

(1)水平漸近線

(2)鉛直漸近線

(3)斜漸近線3.4簡單最優(yōu)化數(shù)學模型區(qū)間［a,b］上的函數(shù)f(x)的極值點xi(i＝1,2,…，n)，則f(x)在［a,b］的最大值M和最小值m分別是：M＝max{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，m＝min{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}。若f(x)在［a,b］內只有一個極值點x0(如圖)，則容易看出f(x0)就是f(x)在［a,b］上的最小值(圖(a))或最大值(圖(b))。3.5演示與實驗三3.5.1實驗目的

1.學習用Mathematica分析函數(shù)的單調性、極值、凹向、拐點；

2.學習用Mathematica直接求函數(shù)的極值，解簡單最優(yōu)化問題。3.5.1實驗目的大家知道，只要畫出了函數(shù)圖形，函數(shù)的幾何形態(tài)就一目了然，但僅憑觀察幾何圖形不能準確地找出極值點、拐點等，況且計算機繪圖有時也會有一些偏差，因此，只有將數(shù)值計算與幾何圖形結合起來綜合分析才能準確地求出函數(shù)的單調區(qū)間、極值點、凹向區(qū)間和拐點。在Mathematica系統(tǒng)中，有求函數(shù)極小值的命令FindMinimum，應用它可以直接求函數(shù)在某點附近的極小值。若求極大值，只需將目標函數(shù)乘以－1，再求極小值即可。3.5.3內容與步驟ThankYou!后頁首頁前頁第四章積分后頁首頁前頁基本要求、重點難點4.1定積分的概念與性質4.2微積分基本定理4.3基本積分法4.4無窮區(qū)間上的反常積分4.5演示與實驗四基本要求掌握切線、變速直線運動的速度抽象出的導數(shù)概念。

了解變量的“變化率”問題。

了解一元微積分的一元函數(shù)積分學。

掌握積分學在物理、天文、工程、地質、化學，以及生物學中的應用。

掌握微分與積分之間聯(lián)系的重要結果——微積分基本定理，以及常用的積分方法和無窮積分的概念。。重點難點重點：一元函數(shù)積分的法則。微積分基本定理的使用。難點：定積分概念與性質、基本積分與無窮區(qū)間上的反常積分。定積分的定義、定積分的計算和應用。4.1定積分的概念與性質4.1.1引例1.曲邊梯形的面積１２３后頁返回設y＝f(x)是定義在［a，b］上的非負連續(xù)函數(shù)。我們稱曲線y＝f(x)與直線

y＝0、x＝a、x＝b圍成的平面區(qū)域為曲邊梯形，其中曲線y＝f(x)為曲邊(如圖所示)。

(1)分割區(qū)間在區(qū)間［a，b］內插入n－1個分點x1，x2，…，xn－1使x0＝a＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b。這些分點將區(qū)間［a，b］分成n個子區(qū)間［xi－1，xi］(i＝1，2，…，n)，記它們的長度為Δxi(i＝1，2，…，n)，用λ表示這些子區(qū)間的最大長度。顯然，

λ的大小反映了對區(qū)間分割的粗細程度.通過此分割我們得到了n個“窄曲邊梯形”ΔSi(i＝1，2，…，n)，因此有S＝ΔSi(如圖(a))?！苙i＝1

(2)近似代替(以直代曲)，求和在［xi－1，xi］上任取一點ξi，用高為f(ξi)，寬為Δxi的矩形面積近似代替“窄曲邊梯形”面積ΔSi(i＝1，2，…，n)。于是得曲邊梯形的面積的近似值：f(ξi)Δxi＝Sn如圖(b)所示返回

(3)取極限，求得面積精確值可以看出，隨著分割的越來越細，即λ→0，Sn對S的逼近程度越來越好，于是有返回2.變速直線運動的路程１２３前頁后頁

(1)分割區(qū)間在時間區(qū)間［a，b］內插入n－1個分點t1，t2，…，tn－1使t0＝a＜t1＜t2＜…＜tn－1＜tn＝b。這些點將［a，b］分成了n個子區(qū)間［ti－1，ti］(i＝1，2，…，n)。若記物體在［ti－1，ti］上運動的路程為Δsi，則物體在整個時間區(qū)間［a，b］上運動的路

程為s＝ΔSi

?！苙i＝1返回

(2)近似代替、求和由于速度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以時間區(qū)間很小時速度的變化也很小。在

［ti－1，ti］內任取一點ξi，可近似看作物體在［ti－1，ti］內作速度為v(ξi)的勻速運動，走過的路程為v(ξi)Δti。這樣，得到物體在［a，b］上運動的路程的近似值s≈

v(ξi)Δti，并且分割越細越接近精確值。∑ni＝1

(3)取極限，得路程之精確值令λ＝｛Δti｝，則就是物體在時間區(qū)間［a，b］內走過的路程的精確值。max1≤i≤n返回4.1.2定積分的定義定義4.1

設f(x)是定義在閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，在

［a，b］內插入n－1個分點x1，x2，…，xn－1，使得a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，記Δxi＝xi－xi－1(i＝1，2，…，n)，λ＝max1≤i≤n｛Δxi｝。如果不論對［a，b］怎么分，對任意選取的ξi∈［xi－1，xi］

(i＝1，2，…，n)，當λ→0時，和式ni＝1f(ξi)Δxi總趨于確定的常數(shù)A，即則稱f(x)在［a，b］上可積，并稱極限A為f(x)在［a，b］上的定積分，記作

f(x)dx，同時稱f(x)為被積函數(shù)，x為積分變量，數(shù)a和b為積分下限和上限，區(qū)間［a，b］為積分區(qū)間，為積分號。ba∫ba∫前頁對定積分的定義作幾點說明：4.1.3定積分的基本性質4.2微積分基本定理4.2.1微積分第一基本定理由定積分的定義知道，定積分是一個僅與被積函數(shù)和積分限有關的確定的數(shù)。當我們固定被積函數(shù)與積分下限時，定積分隨著積分上限的變化而變化，它是積分上限的函數(shù)，我們把它記作S(x)，即從幾何意義上看，S(x)表示區(qū)間［a，x］所對應的曲邊梯形的面積，它隨x的變化而變化(如圖)。定理4.1(微積分第一基本定理)

若函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)g(x)＝

f(t)dt在［a，b］上可導，且有

g′(x)＝f(x)。其中x∈［a，b］，x0為［a，b］內任意取定的一點?！襵x04.2.2原函數(shù)和不定積分定義4.2如果在某區(qū)間上可導函數(shù)F(x)的導數(shù)是f(x)，即對該區(qū)間上的每一點x，都有F′(x)＝f(x)，或dF(x)＝f(x)dx，那么稱F(x)為f(x)在該區(qū)間上的原函數(shù)。

1.原函數(shù)和不定積分概念定義4.3在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的不定積分。記作：f(x)dx，其中記號“I”稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量。∫2.基本積分表4.2.3微積分第二基本定理(牛頓－萊布尼茨公式)

1.原函數(shù)和不定積分概念定理4.