概率密度和分布函數(shù)課件

觀測數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)

[例]設(shè)某工廠產(chǎn)品中成分A的含量受不可控的隨機因素影響而有波動。工廠每2小時測量一次A的百分含量，記為x。下表是一個時間段的數(shù)據(jù)。日期產(chǎn)品中成分A的百分含量數(shù)據(jù)11.401.281.361.381.441.401.341.541.441.461.801.4421.461.501.581.541.501.481.521.581.521.461.421.5831.701.621.581.621.761.681.681.661.621.721.601.6241.461.381.421.381.601.441.461.281.341.381.241.3651.581.381.341.281.181.081.361.501.461.281.181.28重點：介紹有關(guān)隨機變量和概率分布的基本概念，討論各種常見的有實用價值的分布函數(shù)。

觀測數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)1級寬或段寬（將隨機變量x的整個取值范圍分成有限個區(qū)段，每個級段的取值范圍即為級寬或段寬）級頻數(shù)（每個級段中數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù)）相對頻數(shù)或頻率（將級頻數(shù)被樣本中數(shù)據(jù)總個數(shù)相除，相當(dāng)于x取值在該級段的概率。）隨機變量及其分布：

概率密度和分布函數(shù)

級寬或段寬隨機變量及其分布：

概2將上表數(shù)據(jù)從到取級寬0.1分為9級將上表數(shù)據(jù)從到取級寬0.1分為9級3分級頻數(shù)分布圖

分級頻數(shù)分布圖4概率密度

為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對頻數(shù)除以級寬，得到概率密度：級寬取微量：概率密度p對x的曲線稱為概率密度分布曲線，簡稱概率分布曲線、分布曲線等。概率密度為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對頻數(shù)除以級寬5隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征不同性質(zhì)事物對象具有各種不同形狀的分布，為了定量地區(qū)別各種分布的特征，通常采用的一組判別指標(biāo)，稱為分布的數(shù)字特征。[1]算術(shù)平均值總體：樣本：一階原點矩（隨機變量取值可能性最大的位置）一階原點矩的樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布6隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[2]方差總體：樣本：二階中心矩（隨機變量的變異程度）二階中心矩的樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布7隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[3]偏斜度總體：樣本：三階中心矩和二階中心矩的3/2次冪的商

（曲線偏離對稱的程度）樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布8概率密度和分布函數(shù)課件9隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[4]峭度或峰態(tài)總體：樣本：四階中心矩和二階中心矩平方的商

（一階原點矩附近的斜率，和偏離后斜率的變化率）樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布10概率密度和分布函數(shù)課件11隨機變量及其分布：

離散型隨機變量的概率分布客觀世界很多隨機過程經(jīng)分析后可以用某種數(shù)學(xué)模型表示。不同的物質(zhì)現(xiàn)象有可能用類似的模型描述。重點：介紹若干重要的隨機分布模型。 離散均勻分布 二項分布 多項分布 負二項分布 幾何分布 超幾何分布 擴充幾何分布 泊桑分布隨機變量及其分布：

離散型隨機變量的概率12離散均勻分布分布模型條件：（1）每次試驗可以有k種結(jié)果：（2）每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均相等。

數(shù)學(xué)模型：

均勻分布的數(shù)字特征：離散均勻分布分布模型條件：13二項分布

分布模型條件：（1）設(shè)試驗系由n次觀測組成。（2）每次觀測只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）觀測結(jié)果中出現(xiàn)“是”的概率為常數(shù)p，而出現(xiàn)“非”的概率為q=1-p。（4）每一次觀測均為獨立的，即每次觀測的結(jié)果不受其它任何一次觀測的影響。

二項分布分布模型條件：14二項分布

在n次觀測中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項分布，模型：C(n|x)表示組合數(shù)，即從n個事物中拿出x個的方法數(shù).

二項分布在n次觀測中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項分布，模型：15二項分布

二項分布的數(shù)字特征：總體平均值對的方差總體的方差為其中可以是0或1，表示“非”或“是”。二項分布二項分布的數(shù)字特征：其中可以是0或1，16二項分布

[例]

已知某廠生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進行一試驗，隨機地檢查3個產(chǎn)品，看它是否合格。定義不合格產(chǎn)品為“是”，則試驗結(jié)果為“是”的次數(shù)x作為隨機變量，可?。?，1，2，3中一個值。

二項分布[例]已知某廠生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進行17多項分布

分布模型條件（二項分布的一種擴充模型）：（1）每次觀測可以有k種可能的結(jié)果出現(xiàn)：，而各種結(jié)果都相互排斥。（2）各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為常數(shù)：。（3）每一次觀測均為獨立，即每次觀測的結(jié)果不受其他任何一次觀測的影響。多項分布分布模型條件（二項分布的一種擴充模型）：18多項分布

則n次試驗的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次，…，次的概率系多項分布，表示為：多項分布則n次試驗的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次19負二項分布

分布模型條件：（條件與二項試驗相仿，考慮問題的角度相反）（1）由多次獨立觀測構(gòu)成的試驗。（2）每次觀測只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）結(jié)果為“是”的概率為常數(shù)p。得到k次“是”所需的觀測次數(shù)x的概率系負二項分布：負二項分布分布模型條件：20負二項分布

[例]由統(tǒng)計知道某藥劑的有效率為60%，將該藥劑用于一組病人。當(dāng)用到第7名病人時，累計有效的病人數(shù)增加到5名的概率為多少？解：除了最后一次按題意必須成功之外，其余（7-1）次中有（5-1）次成功的方式共有種，因此，滿足要求的概率為：

負二項分布[例]由統(tǒng)計知道某藥劑的有效率為60%，將該藥21負二項分布

負二項分布的數(shù)字特征為：負二項分布負二項分布的數(shù)字特征為：22幾何分布

這是負二項分布當(dāng)時的一個特例，即：得到第一次“是”所需要的試驗次數(shù)為x時的概率。設(shè)，出現(xiàn)“是”的概率為p，幾何分布的模型描述為：幾何分布的數(shù)字特征為：

幾何分布這是負二項分布當(dāng)時的一個特例，23幾何分布

[例]由統(tǒng)計結(jié)果已知某生產(chǎn)過程平均每100件產(chǎn)品中有1件廢品。隨機檢查到第5件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)廢品的概率為多少？解：這是幾何分布，，則幾何分布[例]由統(tǒng)計結(jié)果已知某生產(chǎn)過程平均每100件產(chǎn)品24超幾何分布

是二項分布的一種變型，其條件為：（1）對象為有限的N個物體，其中k件為“是”，N-k為“非”。（2）從N個物件中，隨機地逐個取出n件，且每次取出后沒有替換。則在n件中出現(xiàn)“是”的次數(shù)x系超幾何分布，其模型描述為：超幾何分布是二項分布的一種變型，其條件為：25超幾何分布

[例]

某車間生產(chǎn)的元件按40個裝箱后進行質(zhì)量檢驗，其步驟為：從每箱隨機檢查5個元件，若出現(xiàn)二等品，則把該箱退回車間返裝?，F(xiàn)若車間采取每40個元件中允許有3個二等品的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)，則返裝的概率p為多少？解：用超幾何分布模型計算：超幾何分布[例]某車間生產(chǎn)的元件按40個裝箱后進行質(zhì)量檢26超幾何分布

超幾何分布的數(shù)字特征：

超幾何分布超幾何分布的數(shù)字特征：27擴充幾何分布

將超幾何分布擴充到以下條件：（1）全體為有限的N個物體，可分為m類：，它們在N中分別含件。（2）從N物件中，隨機地逐個取出n件，且每次取出后不再替換，則得到個類，個類，…，個類物件的概率為擴充超幾何分布，其模型為：

擴充幾何分布將超幾何分布擴充到以下條件：28泊桑分布這是一種常見的重要離散分布，其條件是：（1）已知某種事件在一定時間區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)的平均次數(shù)為。（2）這種事件可能出現(xiàn)的次數(shù)遠大于。（3）該事件每次出現(xiàn)均為獨立。（4）該事件出現(xiàn)的次數(shù)僅與時間區(qū)段長度有關(guān)，而與區(qū)段外這種事件出現(xiàn)的次數(shù)無關(guān)。

則在某個給定的時間區(qū)段內(nèi)，該事件出現(xiàn)x次的概率為泊桑分布，其模型描述為：

泊桑分布這是一種常見的重要離散分布，其條件是：29[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。每分鐘撞擊次數(shù)觀測到的頻數(shù)撞擊次數(shù)按泊桑分布計算的頻數(shù)057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666總計2608100922608[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射30[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。解：考慮到不太長的時期內(nèi)，粒子放出的平均次數(shù)為常數(shù)，每個粒子的放出可認為獨立，且放出次數(shù)只與時間有關(guān)，故可假設(shè)符合泊桑分布。首先計算粒子放出的平均次數(shù)：則泊桑分布模型：計算不同值時的頻數(shù)列于表，可見與實際觀測值非常接近。[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射31泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：32泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系由二項分布的數(shù)字特征得：由二項分布模型得：

泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系由二項分布的數(shù)字特征得：33泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系當(dāng)時，上式有又因為：所以得：但是只有當(dāng)時，才為有限值，所以應(yīng)寫為：泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系當(dāng)34幾種離散分布模型之間的關(guān)系幾種離散分布模型之間的關(guān)系35隨機變量及其分布：

連續(xù)型隨機變量的概率分布當(dāng)隨機變量可以在數(shù)軸的一個連續(xù)區(qū)段內(nèi)取任意值，則需要用連續(xù)型概率分布模型。重點：介紹連續(xù)型隨機變量若干重要的分布模型。 連續(xù)均勻分布 指數(shù)分布 Gamma分布 Beta分布 Weibull分布 Chi平方分布隨機變量及其分布：

連續(xù)型隨機變量的概率36連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b），事件出現(xiàn)的概率密度q為常數(shù)，而在該范圍之外為0。概率密度的數(shù)學(xué)模型：連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b37連續(xù)均勻分布(矩形分布)對x積分后得到分布函數(shù)Q：連續(xù)均勻分布(矩形分布)對x積分后得到分布函數(shù)Q：38連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：39指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時間的概率分布。（例如設(shè)備從開始運行到出現(xiàn)故障的延續(xù)時間。）數(shù)學(xué)形式可在以下假設(shè)條件下引出：（1）在任一時間段內(nèi)，事件發(fā)生的概率僅與時間段的長度有關(guān)，而與時間的起點或終點無關(guān)。（2）在一小段時間內(nèi)，事件發(fā)生的概率近似地正比于時間段長，即。（3）在不相重疊的各時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是獨立的。

指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時間的概率分布。40指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時間段（0，x）分成n等份：各時間段內(nèi)事件系獨立發(fā)生，又令p為不發(fā)生事件的概率：t為發(fā)生事件的時刻根據(jù)條件（1）和（2）：為發(fā)生事件的概率指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時間段（0，x）分成n等份：各時間段41指數(shù)分布因此，在時發(fā)生事件的概率為：這是分布函數(shù)，相應(yīng)的密度函數(shù)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：其中為壽命參數(shù)。（這是和離散型的幾何分布相對應(yīng)的一種連續(xù)分布模型。它在設(shè)備和元件的壽命問題中有廣泛的應(yīng)用，實際上是可靠性研究領(lǐng)域中的一種標(biāo)準(zhǔn)分布。）指數(shù)分布因此，在時發(fā)生事件的概率為：42指數(shù)分布當(dāng)時，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)時，指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布當(dāng)時，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)43指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：44指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時間T遵循指數(shù)分布，并已測得參數(shù)為。現(xiàn)將該種元件分別用于5臺設(shè)備中，試問：8年以后，至少還有2個該種元件仍在工作著的概率為多少？解：根據(jù)指數(shù)分布，8年后該元件仍在工作著的概率為：令x表示8年后仍在工作著的元件數(shù)，由于這是離散性問題，所以采用二項分布：指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時間T遵循指數(shù)分布45Gamma分布（第三類Pearson分布）設(shè)在時間區(qū)段內(nèi)，事件的平均出現(xiàn)率為每單位時間次。Gamma分布系用來描述出現(xiàn)r次事件所需要的時間長度x的概率分布。數(shù)學(xué)模型：[1]將時間區(qū)段離散化，把它等分為n個子區(qū)段，長度均為T/n。取n足夠大，使每個區(qū)段出現(xiàn)1次以上事件的概率可以忽略不計。又設(shè)各子區(qū)段中事件的出現(xiàn)均為獨立。因此，在任一子區(qū)段出現(xiàn)一個事件的概率為：[2]出現(xiàn)r次事件所需要的時間區(qū)段個數(shù)k的概率可以用負二項分布描述為：Gamma分布（第三類Pearson分布）設(shè)在時間區(qū)段46數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：47Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：當(dāng)r為非負整數(shù)時出現(xiàn)每次事件平均所需時間單參數(shù)Gamma分布Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：出現(xiàn)每次事件平均所需時間48Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：49單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時，單參數(shù)Gamma分布就是的指數(shù)分布。

設(shè)有r個獨立的隨機變量都符合的指數(shù)分布，定義另一隨機變量：則y將符合單參數(shù)Gamma分布。單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時，單參數(shù)Gamma分布就是50Beta分布（第一類Pearson分布）最簡單的二參數(shù)形式的密度函數(shù)為（r和s是二參數(shù)）：二參數(shù)Beta分布的數(shù)字特征：Beta分布（第一類Pearson分布）最簡單的二參數(shù)形式51Weibull分布最常用的是它最簡單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：k為標(biāo)度參數(shù)，s為形狀參數(shù)。二參數(shù)Weibull分布的數(shù)字特征為：廣泛應(yīng)用于壽命檢驗，可靠性研究等方面的模型。Weibull分布最常用的是它最簡單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：廣52單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)53Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：時稱為Chi平方分布。它是假設(shè)檢驗的重要工具，其密度函數(shù)為：稱為自由度（它的含義將在以后章節(jié)中介紹）。Chi平方分布的數(shù)字特征為：Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：54幾種分布之間的關(guān)系幾種分布之間的關(guān)系55幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對象連續(xù)對象單次事件幾何分布出現(xiàn)一次事件需要測試的次數(shù)指數(shù)分布出現(xiàn)一次事件需要延續(xù)的時間長度多次事件負二項分布出現(xiàn)k次事件需要測試的次數(shù)xGamma分布出現(xiàn)r次事件需要延續(xù)的時間長度x幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對象連續(xù)對象單次事件幾何分56隨機變量及其分布：

正態(tài)分布這是連續(xù)型隨機變量的一種最常見分布模型。在很多實際情況下可以用它描述或近似地描述隨機變量的分布。當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中包含的誤差純屬隨機性，則這種隨機變量的概率密度函數(shù)一般可用正態(tài)分布模型描述。隨機誤差的特點：（1）大小相等而符號相反的誤差出現(xiàn)的概率密度相同。（2）概率密度隨誤差的絕對值增大而單調(diào)下降。（3）絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率密度趨于零。隨機變量及其分布：

57正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：（精確度指數(shù)）

和分別表示觀測數(shù)據(jù)總體平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的位置和形狀決定于和兩個參數(shù)，可以簡單地表示為：正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：58正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線59正態(tài)分布根據(jù)誤差定義只包含隨機因素影響的觀測數(shù)據(jù)，為隨機誤差。得：這就是隨機誤差的概率密度函數(shù)，或稱隨機誤差的正態(tài)分布。因為它們的形狀只決定于單個參數(shù)，所以表示為：又稱其為Gauss誤差分布概率方程。正態(tài)分布根據(jù)誤差定義60隨機誤差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布61標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個新的隨機變量：得：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個新的隨機變量：62（1）時，，為概率密度最大位置。（2）從正負兩方面離開0后，概率密度的值都下降。（3）密度曲線對垂直線對稱，。（4）在和處各有一個變凹點。（5）在和之間，密度曲線下的面積表示取值在區(qū)間的概率，即：（6）從到，曲線下的面積為1.0。（7）正態(tài)分布的數(shù)字特征為：（8）規(guī)則：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有下列性質(zhì)（1）時，63設(shè)為n個具有正態(tài)分布的隨機變量，它們的總體平均值和方差分別為：和則由線性組合而構(gòu)成的隨機變量也將具有正態(tài)分布。且它的總體平均值為：方差為：正態(tài)分布的重現(xiàn)性?？梢宰C明：泊桑分布和Chi平方分布也具有重現(xiàn)性。重要特性設(shè)為n個具有正態(tài)64正態(tài)分布和其他分布的關(guān)系對于具有二項分布的隨機變量x，當(dāng)時，它經(jīng)變換后的變量：將遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即。對于Gamma分布，在r值逐漸增大后，將趨于正態(tài)分布。例如，設(shè)，則Gamma分布的數(shù)字特征：和正態(tài)分布的數(shù)字特征已非常接近。正態(tài)分布和其他分布的關(guān)系對于具有65正態(tài)分布判斷過程測量變量：（1）平均值附近出現(xiàn)的概率最大。（2）離平均值正負兩方面偏差出現(xiàn)的概率差不多。（3）很大的偏差出現(xiàn)的概率很小。如果：則可以滿意地用正態(tài)分布。正態(tài)分布判斷過程測量變量：66對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布是描述不對稱分布最重要的一種模型:對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)字特征：若x為具有對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，則將是一個具有正態(tài)分布的隨機變量。對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布是描述不對稱分布最重要的一種模型:對67對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)68隨機變量的函數(shù)設(shè)x和y是兩個隨機變量，它們同時取某兩個值時的概率稱為x和y的聯(lián)合概率分布函數(shù)。若x和y為離散型隨機變量，在二維空間x-y中任一區(qū)域A上取值，如果：（1）對所有的，函數(shù)值。（2）。（3）x和y在區(qū)域A上概率為：則是x和y的聯(lián)合概率密度。隨機變量的函數(shù)設(shè)x和y是兩個隨機變量，它們同時取某兩個值時的69隨機變量的函數(shù)若x和y為連續(xù)型隨機變量，在二維空間x-y中任一區(qū)間A取值，如果：（1）對所有的，函數(shù)值。（2）。（3）x和y在區(qū)域A上概率為：則是x和y的聯(lián)合概率密度。隨機變量的函數(shù)若x和y為連續(xù)型隨機變量，在二維空間x-y中任70隨機變量的函數(shù)一個或多個隨機變量的函數(shù)的概率分布:有離散型隨機變量x的概率分布為，而表示x和y之間“一對一”的函數(shù)變換關(guān)系，且為用y表示的x值。則y的概率分布為：隨機變量的函數(shù)一個或多個隨機變量的函數(shù)的概率分布:有離散型71隨機變量的函數(shù)一個或多個隨機變量的函數(shù)的概率分布:連續(xù)型隨機變量x的概率密度分布為，而表示x和y之間“一對一”的函數(shù)變換關(guān)系，且為用y表示的x值。則y取值在區(qū)間內(nèi)的概率分布為：由此可知y的概率密度函數(shù)為：隨機變量的函數(shù)一個或多個隨機變量的函數(shù)的概率分布:連續(xù)型隨72

觀測數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)

[例]設(shè)某工廠產(chǎn)品中成分A的含量受不可控的隨機因素影響而有波動。工廠每2小時測量一次A的百分含量，記為x。下表是一個時間段的數(shù)據(jù)。日期產(chǎn)品中成分A的百分含量數(shù)據(jù)11.401.281.361.381.441.401.341.541.441.461.801.4421.461.501.581.541.501.481.521.581.521.461.421.5831.701.621.581.621.761.681.681.661.621.721.601.6241.461.381.421.381.601.441.461.281.341.381.241.3651.581.381.341.281.181.081.361.501.461.281.181.28重點：介紹有關(guān)隨機變量和概率分布的基本概念，討論各種常見的有實用價值的分布函數(shù)。

觀測數(shù)據(jù)的分析與處理

隨機變量及其分布：概率密度和分布函數(shù)73級寬或段寬（將隨機變量x的整個取值范圍分成有限個區(qū)段，每個級段的取值范圍即為級寬或段寬）級頻數(shù)（每個級段中數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的次數(shù)）相對頻數(shù)或頻率（將級頻數(shù)被樣本中數(shù)據(jù)總個數(shù)相除，相當(dāng)于x取值在該級段的概率。）隨機變量及其分布：

概率密度和分布函數(shù)

級寬或段寬隨機變量及其分布：

概74將上表數(shù)據(jù)從到取級寬0.1分為9級將上表數(shù)據(jù)從到取級寬0.1分為9級75分級頻數(shù)分布圖

分級頻數(shù)分布圖76概率密度

為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對頻數(shù)除以級寬，得到概率密度：級寬取微量：概率密度p對x的曲線稱為概率密度分布曲線，簡稱概率分布曲線、分布曲線等。概率密度為了使分布圖有更好的泛化可以性，將相對頻數(shù)除以級寬77隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征不同性質(zhì)事物對象具有各種不同形狀的分布，為了定量地區(qū)別各種分布的特征，通常采用的一組判別指標(biāo)，稱為分布的數(shù)字特征。[1]算術(shù)平均值總體：樣本：一階原點矩（隨機變量取值可能性最大的位置）一階原點矩的樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布78隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[2]方差總體：樣本：二階中心矩（隨機變量的變異程度）二階中心矩的樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布79隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[3]偏斜度總體：樣本：三階中心矩和二階中心矩的3/2次冪的商

（曲線偏離對稱的程度）樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布80概率密度和分布函數(shù)課件81隨機變量及其分布：

概率分布的數(shù)字特征[4]峭度或峰態(tài)總體：樣本：四階中心矩和二階中心矩平方的商

（一階原點矩附近的斜率，和偏離后斜率的變化率）樣本估計值隨機變量及其分布：

概率分布82概率密度和分布函數(shù)課件83隨機變量及其分布：

離散型隨機變量的概率分布客觀世界很多隨機過程經(jīng)分析后可以用某種數(shù)學(xué)模型表示。不同的物質(zhì)現(xiàn)象有可能用類似的模型描述。重點：介紹若干重要的隨機分布模型。 離散均勻分布 二項分布 多項分布 負二項分布 幾何分布 超幾何分布 擴充幾何分布 泊桑分布隨機變量及其分布：

離散型隨機變量的概率84離散均勻分布分布模型條件：（1）每次試驗可以有k種結(jié)果：（2）每種結(jié)果出現(xiàn)的概率均相等。

數(shù)學(xué)模型：

均勻分布的數(shù)字特征：離散均勻分布分布模型條件：85二項分布

分布模型條件：（1）設(shè)試驗系由n次觀測組成。（2）每次觀測只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）觀測結(jié)果中出現(xiàn)“是”的概率為常數(shù)p，而出現(xiàn)“非”的概率為q=1-p。（4）每一次觀測均為獨立的，即每次觀測的結(jié)果不受其它任何一次觀測的影響。

二項分布分布模型條件：86二項分布

在n次觀測中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項分布，模型：C(n|x)表示組合數(shù)，即從n個事物中拿出x個的方法數(shù).

二項分布在n次觀測中“是”出現(xiàn)x次的概率呈二項分布，模型：87二項分布

二項分布的數(shù)字特征：總體平均值對的方差總體的方差為其中可以是0或1，表示“非”或“是”。二項分布二項分布的數(shù)字特征：其中可以是0或1，88二項分布

[例]

已知某廠生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進行一試驗，隨機地檢查3個產(chǎn)品，看它是否合格。定義不合格產(chǎn)品為“是”，則試驗結(jié)果為“是”的次數(shù)x作為隨機變量，可?。?，1，2，3中一個值。

二項分布[例]已知某廠生產(chǎn)某A產(chǎn)品的合格率75%，現(xiàn)進行89多項分布

分布模型條件（二項分布的一種擴充模型）：（1）每次觀測可以有k種可能的結(jié)果出現(xiàn)：，而各種結(jié)果都相互排斥。（2）各種結(jié)果出現(xiàn)的概率分別為常數(shù)：。（3）每一次觀測均為獨立，即每次觀測的結(jié)果不受其他任何一次觀測的影響。多項分布分布模型條件（二項分布的一種擴充模型）：90多項分布

則n次試驗的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次，…，次的概率系多項分布，表示為：多項分布則n次試驗的結(jié)果，出現(xiàn)：次，次91負二項分布

分布模型條件：（條件與二項試驗相仿，考慮問題的角度相反）（1）由多次獨立觀測構(gòu)成的試驗。（2）每次觀測只有“是”和“非”兩種可能的結(jié)果出現(xiàn)。（3）結(jié)果為“是”的概率為常數(shù)p。得到k次“是”所需的觀測次數(shù)x的概率系負二項分布：負二項分布分布模型條件：92負二項分布

[例]由統(tǒng)計知道某藥劑的有效率為60%，將該藥劑用于一組病人。當(dāng)用到第7名病人時，累計有效的病人數(shù)增加到5名的概率為多少？解：除了最后一次按題意必須成功之外，其余（7-1）次中有（5-1）次成功的方式共有種，因此，滿足要求的概率為：

負二項分布[例]由統(tǒng)計知道某藥劑的有效率為60%，將該藥93負二項分布

負二項分布的數(shù)字特征為：負二項分布負二項分布的數(shù)字特征為：94幾何分布

這是負二項分布當(dāng)時的一個特例，即：得到第一次“是”所需要的試驗次數(shù)為x時的概率。設(shè)，出現(xiàn)“是”的概率為p，幾何分布的模型描述為：幾何分布的數(shù)字特征為：

幾何分布這是負二項分布當(dāng)時的一個特例，95幾何分布

[例]由統(tǒng)計結(jié)果已知某生產(chǎn)過程平均每100件產(chǎn)品中有1件廢品。隨機檢查到第5件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)廢品的概率為多少？解：這是幾何分布，，則幾何分布[例]由統(tǒng)計結(jié)果已知某生產(chǎn)過程平均每100件產(chǎn)品96超幾何分布

是二項分布的一種變型，其條件為：（1）對象為有限的N個物體，其中k件為“是”，N-k為“非”。（2）從N個物件中，隨機地逐個取出n件，且每次取出后沒有替換。則在n件中出現(xiàn)“是”的次數(shù)x系超幾何分布，其模型描述為：超幾何分布是二項分布的一種變型，其條件為：97超幾何分布

[例]

某車間生產(chǎn)的元件按40個裝箱后進行質(zhì)量檢驗，其步驟為：從每箱隨機檢查5個元件，若出現(xiàn)二等品，則把該箱退回車間返裝?，F(xiàn)若車間采取每40個元件中允許有3個二等品的質(zhì)量控制標(biāo)準(zhǔn)，則返裝的概率p為多少？解：用超幾何分布模型計算：超幾何分布[例]某車間生產(chǎn)的元件按40個裝箱后進行質(zhì)量檢98超幾何分布

超幾何分布的數(shù)字特征：

超幾何分布超幾何分布的數(shù)字特征：99擴充幾何分布

將超幾何分布擴充到以下條件：（1）全體為有限的N個物體，可分為m類：，它們在N中分別含件。（2）從N物件中，隨機地逐個取出n件，且每次取出后不再替換，則得到個類，個類，…，個類物件的概率為擴充超幾何分布，其模型為：

擴充幾何分布將超幾何分布擴充到以下條件：100泊桑分布這是一種常見的重要離散分布，其條件是：（1）已知某種事件在一定時間區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)的平均次數(shù)為。（2）這種事件可能出現(xiàn)的次數(shù)遠大于。（3）該事件每次出現(xiàn)均為獨立。（4）該事件出現(xiàn)的次數(shù)僅與時間區(qū)段長度有關(guān)，而與區(qū)段外這種事件出現(xiàn)的次數(shù)無關(guān)。

則在某個給定的時間區(qū)段內(nèi)，該事件出現(xiàn)x次的概率為泊桑分布，其模型描述為：

泊桑分布這是一種常見的重要離散分布，其條件是：101[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。每分鐘撞擊次數(shù)觀測到的頻數(shù)撞擊次數(shù)按泊桑分布計算的頻數(shù)057054120320321123837664073525157552645352128508540820403946273163825471399731408453606892724329101010011116666總計2608100922608[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射102[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射源前的小屏幕上記錄粒子每分鐘撞擊次數(shù)x的頻數(shù)列于下表。解：考慮到不太長的時期內(nèi)，粒子放出的平均次數(shù)為常數(shù)，每個粒子的放出可認為獨立，且放出次數(shù)只與時間有關(guān)，故可假設(shè)符合泊桑分布。首先計算粒子放出的平均次數(shù)：則泊桑分布模型：計算不同值時的頻數(shù)列于表，可見與實際觀測值非常接近。[例]1910年Rutherford和Geiger在鏷放射103泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：泊桑分布泊桑分布的數(shù)字特征：104泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系由二項分布的數(shù)字特征得：由二項分布模型得：

泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系由二項分布的數(shù)字特征得：105泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系當(dāng)時，上式有又因為：所以得：但是只有當(dāng)時，才為有限值，所以應(yīng)寫為：泊桑分布與二項分布之間的關(guān)系當(dāng)106幾種離散分布模型之間的關(guān)系幾種離散分布模型之間的關(guān)系107隨機變量及其分布：

連續(xù)型隨機變量的概率分布當(dāng)隨機變量可以在數(shù)軸的一個連續(xù)區(qū)段內(nèi)取任意值，則需要用連續(xù)型概率分布模型。重點：介紹連續(xù)型隨機變量若干重要的分布模型。 連續(xù)均勻分布 指數(shù)分布 Gamma分布 Beta分布 Weibull分布 Chi平方分布隨機變量及其分布：

連續(xù)型隨機變量的概率108連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b），事件出現(xiàn)的概率密度q為常數(shù)，而在該范圍之外為0。概率密度的數(shù)學(xué)模型：連續(xù)均勻分布(矩形分布)特點：在一定范圍內(nèi)（從上限a到下限b109連續(xù)均勻分布(矩形分布)對x積分后得到分布函數(shù)Q：連續(xù)均勻分布(矩形分布)對x積分后得到分布函數(shù)Q：110連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：連續(xù)均勻分布(矩形分布)矩形分布的數(shù)字特征：111指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時間的概率分布。（例如設(shè)備從開始運行到出現(xiàn)故障的延續(xù)時間。）數(shù)學(xué)形式可在以下假設(shè)條件下引出：（1）在任一時間段內(nèi)，事件發(fā)生的概率僅與時間段的長度有關(guān)，而與時間的起點或終點無關(guān)。（2）在一小段時間內(nèi)，事件發(fā)生的概率近似地正比于時間段長，即。（3）在不相重疊的各時間段內(nèi)，事件的發(fā)生是獨立的。

指數(shù)分布適用于描述出現(xiàn)某事件所需等待時間的概率分布。112指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時間段（0，x）分成n等份：各時間段內(nèi)事件系獨立發(fā)生，又令p為不發(fā)生事件的概率：t為發(fā)生事件的時刻根據(jù)條件（1）和（2）：為發(fā)生事件的概率指數(shù)分布將不發(fā)生事件的時間段（0，x）分成n等份：各時間段113指數(shù)分布因此，在時發(fā)生事件的概率為：這是分布函數(shù)，相應(yīng)的密度函數(shù)為分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：其中為壽命參數(shù)。（這是和離散型的幾何分布相對應(yīng)的一種連續(xù)分布模型。它在設(shè)備和元件的壽命問題中有廣泛的應(yīng)用，實際上是可靠性研究領(lǐng)域中的一種標(biāo)準(zhǔn)分布。）指數(shù)分布因此，在時發(fā)生事件的概率為：114指數(shù)分布當(dāng)時，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)時，指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布當(dāng)時，指數(shù)分布的密度函數(shù)當(dāng)115指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：指數(shù)分布指數(shù)分布的數(shù)字特征為：116指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時間T遵循指數(shù)分布，并已測得參數(shù)為?，F(xiàn)將該種元件分別用于5臺設(shè)備中，試問：8年以后，至少還有2個該種元件仍在工作著的概率為多少？解：根據(jù)指數(shù)分布，8年后該元件仍在工作著的概率為：令x表示8年后仍在工作著的元件數(shù)，由于這是離散性問題，所以采用二項分布：指數(shù)分布[例]某設(shè)備采用一元件，它的故障時間T遵循指數(shù)分布117Gamma分布（第三類Pearson分布）設(shè)在時間區(qū)段內(nèi)，事件的平均出現(xiàn)率為每單位時間次。Gamma分布系用來描述出現(xiàn)r次事件所需要的時間長度x的概率分布。數(shù)學(xué)模型：[1]將時間區(qū)段離散化，把它等分為n個子區(qū)段，長度均為T/n。取n足夠大，使每個區(qū)段出現(xiàn)1次以上事件的概率可以忽略不計。又設(shè)各子區(qū)段中事件的出現(xiàn)均為獨立。因此，在任一子區(qū)段出現(xiàn)一個事件的概率為：[2]出現(xiàn)r次事件所需要的時間區(qū)段個數(shù)k的概率可以用負二項分布描述為：Gamma分布（第三類Pearson分布）設(shè)在時間區(qū)段118數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：數(shù)學(xué)模型：[3]得到x的密度函數(shù)為：119Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：當(dāng)r為非負整數(shù)時出現(xiàn)每次事件平均所需時間單參數(shù)Gamma分布Gamma分布考慮Gamma函數(shù)：出現(xiàn)每次事件平均所需時間120Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：Gamma分布二參數(shù)Gamma分布的數(shù)字特征為：121單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時，單參數(shù)Gamma分布就是的指數(shù)分布。

設(shè)有r個獨立的隨機變量都符合的指數(shù)分布，定義另一隨機變量：則y將符合單參數(shù)Gamma分布。單參數(shù)Gamma分布當(dāng)r=1時，單參數(shù)Gamma分布就是122Beta分布（第一類Pearson分布）最簡單的二參數(shù)形式的密度函數(shù)為（r和s是二參數(shù)）：二參數(shù)Beta分布的數(shù)字特征：Beta分布（第一類Pearson分布）最簡單的二參數(shù)形式123Weibull分布最常用的是它最簡單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：k為標(biāo)度參數(shù)，s為形狀參數(shù)。二參數(shù)Weibull分布的數(shù)字特征為：廣泛應(yīng)用于壽命檢驗，可靠性研究等方面的模型。Weibull分布最常用的是它最簡單的二參數(shù)形式密度函數(shù)：廣124單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)單參數(shù)Weibull分布的密度函數(shù)125Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：時稱為Chi平方分布。它是假設(shè)檢驗的重要工具，其密度函數(shù)為：稱為自由度（它的含義將在以后章節(jié)中介紹）。Chi平方分布的數(shù)字特征為：Chi分布Gamma分布的另一種特殊情況是當(dāng)：126幾種分布之間的關(guān)系幾種分布之間的關(guān)系127幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對象連續(xù)對象單次事件幾何分布出現(xiàn)一次事件需要測試的次數(shù)指數(shù)分布出現(xiàn)一次事件需要延續(xù)的時間長度多次事件負二項分布出現(xiàn)k次事件需要測試的次數(shù)xGamma分布出現(xiàn)r次事件需要延續(xù)的時間長度x幾種連續(xù)和離散分布之間的關(guān)系

離散對象連續(xù)對象單次事件幾何分128隨機變量及其分布：

正態(tài)分布這是連續(xù)型隨機變量的一種最常見分布模型。在很多實際情況下可以用它描述或近似地描述隨機變量的分布。當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中包含的誤差純屬隨機性，則這種隨機變量的概率密度函數(shù)一般可用正態(tài)分布模型描述。隨機誤差的特點：（1）大小相等而符號相反的誤差出現(xiàn)的概率密度相同。（2）概率密度隨誤差的絕對值增大而單調(diào)下降。（3）絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率密度趨于零。隨機變量及其分布：

129正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：（精確度指數(shù)）

和分別表示觀測數(shù)據(jù)總體平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的位置和形狀決定于和兩個參數(shù)，可以簡單地表示為：正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)為：130正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線131正態(tài)分布根據(jù)誤差定義只包含隨機因素影響的觀測數(shù)據(jù)，為隨機誤差。得：這就是隨機誤差的概率密度函數(shù)，或稱隨機誤差的正態(tài)分布。因為它們的形狀只決定于單個參數(shù)，所以表示為：又稱其為Gauss誤差分布概率方程。正態(tài)分布根據(jù)誤差定義132隨機誤差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布133標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個新的隨機變量：得：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引入一個新的隨