【知識點解析】《同角三角函數(shù)的基本關系》知識卡片大全

《三角恒等變換》知識結構圖證明三角恒等式的幾種方法證明三角恒等式就是通過轉化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：（1）直接法：直接從不等式的一邊開始化為等式的另一邊，一般從比較復雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關系的傳遞性；（2）綜合法：由一個已知成立的等式（如公式等）恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價轉化的思想，即“a=b等價于c=d，所以a=b成立的充要條件是c=d”；（3）中間量法，證明等式左右兩邊都等于同一個式子，其依據(jù)是等于同一個量的兩個量相等，即“a=c，b=c，則a=b”，它可由關系的傳遞性及對稱性推出；（4）分析法：即從結論出發(fā)，逐步證向已知條件，其證明過程的書寫格式為“要證明……，只需……”，只要所需的條件都已經(jīng)具備，則結論就成立．求齊次式之值的注意事項已知tanα=m求關于sinα，cosα的齊次式之值的問題時，需注意以下幾點：①先化簡再求值（用tanα來表示）．②一定是關于sinα，cosα的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式．③因為cosα≠0，可用cosnα（n∈N*）去除原式分子、分母的各項，這樣可以將原式化為關于tanα的表達式，再整體代入tanα=m的值，從而完成求值任務．

利用同角三角函數(shù)關系求值的方法利用同角三角函數(shù)關系求值的步驟、方法：（1）一看：由題設的條件能否確定角的范圍，角的范圍直接決定三角函數(shù)值解的個數(shù)．（2）二變：在求值時，往往要在原有關系的基礎上先變形，再列方程（組），具體如下：①若已知sinθ（或cosθ）求tanθ常用以下變形：②若已知tanθ求sinθ（或cosθ）常用以下變形：（3）三算：利用步驟（2）建立方程（組），并結合步驟（1）確定角的范圍，寫出該角的三角函數(shù)值．三個常見式子的關系sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα

三個式子中，已知其中一個，可以求出其他兩個，即“知一求二”．它們的關系是：（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα，（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα．利用基本關系式化簡的常用方法利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡的常用的方法有：（1）化切為弦，即把非正、余弦的函數(shù)都化成正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的．（2）對于含有根號的，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號，達到化簡的目的．（3）對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．基本關系式及其變形化簡或證明三角函數(shù)式時常用的技巧計算、化簡或證明三角函數(shù)式時常用的技巧：(1)“1”的代換．為了解題的需要，有時可以將1用“sin2α＋cos2α”代替．(2)切化弦．利用商數(shù)關系把切函數(shù)化為弦函數(shù)．(3)整體代換．將計算式適當變形使條件可以整體代入，或將條件適當變形找出與算式之間的關系.如何理解“同角”的含義如何理解同角三角函數(shù)關系中“同角”的含義？基本關系式的含義及應用1．同角三角函數(shù)基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，其最基本的應用是“知一求二”．2．知弦求值時，一般需用到平方關系，這時涉及開方運算，應注意角的取值范圍．當角所在的象限不確定時，要注意就角所在的象限分類討論．化簡三角函數(shù)式時應注意把握的事項利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡三角函數(shù)式時應注意把握以下幾點：(1)化簡結果要求：①項數(shù)盡量少；②次數(shù)盡量低；③分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；④能求值的求出值．(2)化簡策略：①弦切互化，即若同一式子中既含“弦”(正弦、余弦)，又含“切”(正切)，則運用商數(shù)關系及其變形，要么把“弦”化為“切”，要么把“切”化為“弦”進行求解．②對于含有根號的，常把根號下的式子化為完全平方式，然后開方．注意開方時應先加絕對值，再考慮去絕對值符號，這樣可以減少失誤．③對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或實施“1”的代換(即1＝sin2α＋cos2α)，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的．

常見的兩類知切求弦知切求弦常見的有兩類：1．求關于sinα、cosα的齊次式值的問題，如果cosα≠0，則可將被求式化為關于tanα的表達式，然后整體代入tanα的值，從而完成被求式的求值問題．2．若不是sinα，cosα的齊次式，可利用方程組的消元思想求解．如果已知tanα的值，求形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的值，注意將分母的1化為sin2α＋cos2α，將其代入，再轉化為關于tanα的表達式后求值．常見的求值類型常見的求值類型如下：(1)給角求值：解決的關鍵是正確地分析角(已知角與未知角)之間的關系，準確地選用公式，注意轉化為特殊值；(2)給值求值：解決的關鍵是分析已知式與待求式之間角、名稱、結構的差異，有目的地將已知式、待求式的一方或兩方加以變換，找出它們之間的聯(lián)系，最后求待求式的值；(3)給值求角：解題的關鍵是求出該角的某一三角函數(shù)值，討論角的范圍，求出該角．求值問題中要特別注意考慮角的范圍，解題過程中往往忽視角的范圍而出現(xiàn)增根.向量運算與三角恒等變形以向量運算為載體，考查三角恒等變形利用向量的知識和公式，通過向量的運算，將向量條件轉化為三角條件，然后通過三角變換解決問題；有時還從三角與向量的關聯(lián)點處設置問題，把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一為一類問題考查.向量的綜合問題中要熟悉向量的有關運算