【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 平面幾何中的向量方法

環(huán)節(jié)一平面幾何中的向量方法平面向量的應(yīng)用引入新課問題1：你能從整體上敘述一下我們是如何研究向量的嗎？答：前面我們先學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運算，并通過平面向量基本定理，把向量的運算化歸為實數(shù)的運算.平面向量的概念平面向量的運算平面向量基本定理及坐標(biāo)表示引入新課追問：我們在解決向量問題時，有哪些常用方法？答：可以考慮任意選取適合的基底來表示相關(guān)向量，通過向量運算求解；也可以通過建立坐標(biāo)系，把向量的運算歸為向量坐標(biāo)的運算，使向量運算完全數(shù)量化.課堂探究問題2以前我們是如何研究平面幾何的？答：研究平面幾何常用的方法是綜合法，它依據(jù)基本的邏輯原理，從公理、定理、性質(zhì)等出發(fā)，通過演繹推理解決幾何問題，綜合法所給出的幾何論證嚴謹且優(yōu)雅.追問：以前的方法在研究平面幾何中最大的缺點是什么？答：綜合法不同的問題通常缺乏統(tǒng)一的解法步驟，沒有一般規(guī)律可循，具有較大的思維難度.課堂探究答：向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.問題3

能否用向量來解決平面幾何問題呢？為什么？課堂探究

問題4

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問題4

追問1：我們要證明的結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為怎樣的向量問題？解決這一向量問題的思路是怎樣的？課堂探究

問題4

追問1：我們要證明的結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為怎樣的向量問題？解決這一向量問題的思路是怎樣的？

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問題4

追問2：如何利用上述思路來完成證明？證明：如圖2，因為DE是△ABC的中位線，所以

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問題4

追問3：你能利用向量坐標(biāo)的方法進行證明嗎？證明：建立以B為原點，BC為x軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A（x1，y1）C（x2，0）.因為DE是△ABC的中位線，所以

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問題4

追問4：你能梳理一下我們上面解決問題的思路嗎？答：在用向量方法解決幾何問題時，我們先用向量表示相應(yīng)的點，線段等幾何元素，然后通過向量的運算來研究這些元素之間的關(guān)系，最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.課堂探究

問題4

追問5：據(jù)此，能歸納出解決此類問題的一般步驟嗎？用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平畫幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.知識應(yīng)用問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問1：我們?nèi)绾瓮ㄟ^向量來發(fā)現(xiàn)和解決這一問題？答：平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們的模之間的關(guān)系.問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問2：如何利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”來表示和發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系？答：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：

知識應(yīng)用問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問2：如何利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”來表示和發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系？知識應(yīng)用答：第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？追問2：如何利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”來表示和發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系？知識應(yīng)用答：第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AC2+BD2=2(AB2+AD2)追問3：你能用自然語言敘述這個關(guān)系式的意義嗎？答：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？知識應(yīng)用追問4：如何用向量坐標(biāo)的方法進行證明？解：建立以A為原點，AB為x軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B(a,0)D(b,c)則C（a+b，c）

問題5例2已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？知識應(yīng)用追問4：如何用向量坐標(biāo)的方法進行證明？

所以

AC2+BD2=2(AB2+AD2)歸納總結(jié)問題5（1）用向量運算的方法解決平面幾何問題有什么優(yōu)點？你能總結(jié)出用向量運算解決平面幾何的框圖嗎？答（1）用向量運算的方法可以形成統(tǒng)一的解法步驟，更有效的解決問題.用向量法研究平面幾何問題的過程可以簡單地表述為：幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\算向量到幾何關(guān)系（2）回顧上節(jié)課和本節(jié)課的內(nèi)容，你能用思維導(dǎo)圖梳理本單元前兩小節(jié)的研究內(nèi)容和方法嗎？歸納總結(jié)問題5（1）用向量運算的方法解決平面幾何問題有什么優(yōu)點？你能總結(jié)出用向量運算解決平面幾何的框圖嗎？（2）回顧上節(jié)課和本節(jié)課的內(nèi)容，你能用思維導(dǎo)圖梳理本單元前兩小節(jié)的研究內(nèi)容和方法嗎？答（2）我們在解決平面幾何問題時，可以任意選取適合的基底來表示相關(guān)向量，用向量運算求解；也可以通過建立坐標(biāo)系，把向量的運算化為向量坐標(biāo)的運算.歸納總結(jié)問題5（1）用向量運算的方