對數(shù)及其運(yùn)算講義

授課內(nèi)容（一）對數(shù)1.對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N（a>0,a豐1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=logaN（a-底數(shù)，N-真數(shù)，logaN-對數(shù)式）說明:注意底數(shù)的限制說明:注意底數(shù)的限制1>0ax=N0logN=x注意對數(shù)的書寫格式.logN（二）（四）兩個(gè)重要對數(shù):①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)1gN；①自然對數(shù)：以無理數(shù)°=2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)1nN.指數(shù)式與對數(shù)式的互化ab=N^logaN=b對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a。1,M>0,N>0，那么:log(M.N)=logM+logN；logaN=logM_logN.aalogMn=nlogM(neR)注意：換底公式logb=4alogca(a>0，且a。1；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1)logbn=蘭logb.()logc>0，且c豐1；b>0).b=—loga例題例1、設(shè)a,bC都是正數(shù)，且3a=4b=6c那么C、*+'cabD、尸上解：由a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c=M，則a=log3M,b二log.C=log6M例2、若a>1,b>1,p=則ap等于(A、1B、bC、logbaD、aloga解：由對數(shù)的換底公式可以得出=log(loga)

b因此，ap等于logba.例3、設(shè)x=則x屬于區(qū)間(那么x2+1的值為()例4、若32x+9=103x,A、1B、2C、5D、1或5分析：由題意可令3x=t(t>0)，原方程轉(zhuǎn)化為二次方程，解出在代入X2+1中求值即可.選例5、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,則，的值為A、1B、4C、解：?.?2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg(xy),D、.，或4.?.X2+4y2-4xy=xy???x=y(舍)或x=4y.=4例6、方程log2(x+4)=2x的根的情況是()A、僅有一根專題：數(shù)形結(jié)合。B、有兩個(gè)正根C、有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根例7、如果方程lg2x+(Ig7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為a、B，則a?J3的值是()A、lg7?lg5B、lg35C、35D、mi分析：由題意知，lga,lgB是一元二次方程X2+(lg7+lg5)x+lg7?lg5=0的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=-(lg7+lg5),再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a?B的值.a?B的值是…，心例8、立溶：(3+2很)=-2；log89?log2732二—號_；(lg5)2+lg2?lg50二1.解：二"/廠二『門」，所以■=-2；log(舊-i)3+2^2-log-港t)(^2-1)lOg89lOg2732■--5/(lg5)2+lg2?lg50=(lg5)2+lg"_?lg5X10=(lg5)2+(1-lg5)?(1+lg5)=1故答案為：-2；；；1?-例9、方程(4x+4-x)-2(2x+2-x)+2=0的解集是{0}解：令t=2x+2-x>0,則4x+4-x=t2-2原方程可以變?yōu)閠2-2t=0,故t=2,或者t=0(舍)故有2x+2-x=2即(2x)2-2X2x+1=0...(2x-1)2=0.?.2x=1即x=0例10、若a、B是方程lg2x-lgx2-2=0的兩根，求logB+log/的值.■=-2；分析：利用對數(shù)的原式法則化簡方程；將方程看成關(guān)于lgx的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=2,lga?lgB=-2；利用換底公式將待求的式子用以10為底的對數(shù)表示，將得到的等式代入求出值.解：原方程等價(jià)于lg2x-2lgx-2=0?「a,B是方程的兩個(gè)根所以lga+lgB=2,lga?lgB=—2所以==—-，:.-4一尸"即logB+log/=-3例11、解關(guān)于x的方程.log()2x=2.log4(3-x)+(3+x)=log4(1-x)+(2x+1)；乎l”，+乎-Mn''=6；lg(ax-1)-lg(x-3)=1.要注意對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系；利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形；注意到兩項(xiàng)的聯(lián)系，利用整體思想先求出整體，進(jìn)一步求出方程的根；利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形是解決本題的關(guān)鍵.注意對字母的討論.解：(1)該方程可變形為2x=(x+a)2,即x=1-a土，一：(當(dāng)aW：時(shí))，當(dāng)x=1-a*M-.'-*時(shí)，x+a=1-/一V0，故舍去.因此該方程的根為x=1-a+.-劣(當(dāng)aW時(shí))，當(dāng)a＞時(shí)，原方程無根.--?—V17—F7—T"該方程可變形為log：[=log4%一+,,，即-立-J，整理得x2-7x=0，解出x=0或者x=7(不滿足真數(shù)大于0，舍去).故該方程的根為x=0.該方程變形為：；「"、'"、「3M『，'=6，即t+,占，解得t=3±2.、：二「里『.-，因此x二±2.該方程的根為±2.（4）原方程等價(jià)于'心-1>6.v-3>G二―hJ-tJ由-/(得出ax-1=10x-30，該方程當(dāng)a=10X—<7時(shí)沒有根，當(dāng)a尹10時(shí)，x=-：，0.解出ae（'\10）.因此當(dāng)ae,■']u[10，+-）時(shí)，原方程無根.例12、若方程log2（x+3）-log4x2=a的根在（3，4）內(nèi)要使得是原方程的根，需滿足ax-1>0,且x-3>（，10）時(shí)’原方程的根為"當(dāng)a￡（-°，求a的取值范圍.分析：應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，岫*2=?'，將方程變形，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域，通過"的取值范圍，確定a的取值范圍.解：/VxVq,方程即：log(x+3)-log2x=a，log',A-rJhJ=1-，YV.?.°<1-<；°°<a<-2<.<1，例13、已知a>0，a尹1，試求使方程「.廠-）有解的k的取值范圍.解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，原方程的解x應(yīng)滿足I(x-ak)2-x~a,x-ak>Of>0.(1)(2)(3)當(dāng)（1）,（2）同時(shí)成立時(shí)，（3）顯然成立，因此只需解I(x-ak)2-x~a,(1)x-ak>Of(2)由(1)得2kx=a(1+k2)(4)當(dāng)k=0時(shí)，由a>0知（4）無解，因而原方程無解.當(dāng)k尹0時(shí)，（4）的解是；":.,/j；'把（5）代入（2）,得_＞力"p解得：-8VkV-1或0VkV1.綜合得，當(dāng)k在集合（-8,—i）u（0,1）內(nèi)取值時(shí)，原方程有解.三、學(xué)生對于本次課的評價(jià)：O特別滿意。滿意。一般。差學(xué)生簽字：四、教師評定：1、學(xué)生上次作業(yè)評價(jià)：O好O較好O一般O差2、學(xué)生本次上課情況評價(jià)：O好O較好O一般O差教師簽字:教研組簽字:教務(wù)處簽字:教研組簽字:教務(wù)處蓋章

C、：D、2A、，B、12、設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，那么()//i11i/111/1A、.=.?B、?=,+,，C、=+』?D、=+,.3、若32x+9=10*3x,那么x2+1的值為()A、1B、2C、5D、1或5F-的值是(1、4、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,則的值為()A、1B、4C、..1、5、方程log2(x+4)=2x的根的情況是(A、僅有一根B、有兩個(gè)正根C、/D、「或4)有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根2/f；iog().4^=6/D、「或4)有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根2/f；iog().4^=8、方程(4x+4-x)-2(2x+2-x)+2=0的解集是.9、方程xlgx=10的所有實(shí)數(shù)根之積10、解下列方程log+2(4x+5)-log4+5(x2+4x+4)-1=0；32x+5=5*3x+2+2；7、"(3+2、，！)=.；log89*log2732=；(lg5)2+lg2?lg50=

11、若方程log2（x+3）-log4x2=a的根在（3,4）內(nèi)，求a的取值范圍.2、設(shè)a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，那么（）///:；//2!■>/!■A、，=,..+?B、，=,..+.C、，=上D、，=上.解：由a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c=M，則a=log3M,b=log4M,c=log6M解：3、若a>1,Eg.E'Wb>1,P=不則ap等于（(loga),?b解答：解：由對數(shù)的換底公式可以得出(loga),?b因此，ap等于logba.?2<x<3.故選D.5、若32x+9=103x，那么x2+1的值為（）A、1B、2C、5D、1或5分析：由題意可令3x=t,（t>0），原方程轉(zhuǎn)化為二次方程，解出在代入x2+1中求值即可?選D6、已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,7-4、、B1、A則,的值為（）/D、，或4解答：解：?.?2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg(xy),.?.x2+4y2-4xy=xy.?.(x-y)(x-4y)=0.?.x=y(舍)或x=4y.i1?-?.'；選C.7、方程log(x+4)=2x的根的情況是()A、僅有一根B、有兩個(gè)正根C、有一正根和一個(gè)負(fù)根D、有兩個(gè)負(fù)根專題：數(shù)形結(jié)合。選C.8、如果方程lg2x+（Ig7+lg5）lgx+lg7*lg5=0的兩根為a、B，則□?B的值是（）A、lg7^lg5B、lg35C、35D、分析：由題意知，lga,lgB是一元二次方程x2+(lg7+lg5)x+lg7^lg5=0的兩根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=-(lg7+lg5),再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a?B的值.分析：利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(2瑚)2^2辦-1：奪，用對數(shù)性質(zhì)化簡后兩個(gè)代數(shù)式.解答：解：(2n+1)2^2-2n-1^4n=22n+2-2n-1-2n=21-2n"業(yè)相&=10g2~2=故答案為：i"一‘‘,--J110、（3+2二）=-2；log?log2732=_弋_；（lg5）2+lg2^lg50=.解答：解：j,?土=（二?’!.）"所以-二：E：w,.■「=-2；log89?log2732=.“.H，-；「m,=*(lg5)2+lg2?lg50=(lg5)2+lg-^?lg5X10=(lg5)2+(1-lg5)?(1+lg5)=1故答案為：-2；“；112、方程(4x+4-x)-2(2x+2-x)+2=0的解集是{0}.解答：解：令t=2x+2-x>0,則4x+4-x=t2-2原方程可以變?yōu)閠2-2t=0，故t=2,或者t=0(舍)故有2x+2-x=2即(2x)2-2X2x+1=0.?.(2x-1)2=0.?.2x=1即x=0故方程的解集為{0}13、方程xlgx=10的所有實(shí)數(shù)根之積是1.1解答：解：方程x】gx=10的兩邊取常用對數(shù)，可得lg2x=1,.?.lgx=±1,所以x=10或x=7j.實(shí)數(shù)根之積為1.故答案為：114、不查表，求值：lg5-lg、，+lg2,J-3log32-1=-3.分析：根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則且lg5=1-lg2,可直接得到答案.解答：解：?..lg5-lg、jZ+lg2.、，-3log32-113=1-lg2-.lg2+.lg2-2-2=0￡&故答案為：0.15、不查表求值：「七；:‘‘一「-102+皿=-190-2-200=-193故答案為-193.16、(1)已知log310=a,log625=b，試用a,b表示log445.已知log627=a，試用a表示log1g16.

分析(1)先用換底公式用a表示lg3，再用換底公式化簡log25=b，把lg3代入求出lg2，再化簡6log445,把lg3、lg2的表達(dá)式代入即可用a，b表示log445.(2)先用換底公式化簡logi8(2)先用換底公式化簡logi816，由條件求出lg3,再把它代入化簡后的logi816的式子./2:解答：解：~1+￥-W18、若a、B是方程lg2x-lgx2-2=0的兩根，求logaB+log^a的值.分析：利用對數(shù)的原式法則化簡方程；將方程看成關(guān)于lgx的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得lga+lgB=2,lga?lgB=-2;利用換底公式將待求的式子用以10為底的對數(shù)表示，將得到的等式代入求出值.解答：解：原方程等價(jià)于lg2x-2lgx-2=0?.?a，B是方程的兩個(gè)根所以lga+lgB=2，lga?lgB=-2TOC\o"1-5"\h\z所以打；,,-二，二，=<；.：注，?W■/匚即logaB+log^a=-319、解下列方程log+2(4x+5)-log4+5(x2+4x+4)-1=0；32x+5=5*3x+2+2；考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。分析(1)應(yīng)用對數(shù)換底公式，換元法，解一元二次方程，然后還原對數(shù)解答即可.直接換元，解一元二次方程，然后再解指數(shù)方程即可.解答：解：(1)log+2(4x+5)-log4+5(x2+4x+4)-1=0化為log+2(4x+5)-2[log+2(4x+5)]-1~1=0令t=log+2(4x+5)上式化為：-/-?”廣-/—；-礦;M—-h〔--當(dāng)logx+2(4x+5)=-1時(shí)解得x=-1或x=-都不符合題意，舍去.當(dāng)logx+2(4x+5)=2時(shí)有x2=1，解得x=-1(舍去)，x=1(2)32x+5=5*3x+2+21令t=3x+2上式化為3t2-5t-2=0解得t=-(舍去)，t=2即3x+2=2x+2=log3220、解關(guān)于x的方程.⑴WXWlog4(3-x)+(3+x)=log4(1-x)+(2x+1)；’?二n、''=6；lg(ax-1)-lg(x-3)=1.要注意對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系；利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形；注意到兩項(xiàng)的聯(lián)系，利用整體思想先求出整體，進(jìn)一步求出方程的根；利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與變形是解決本題的關(guān)鍵.注意對字母的討論.解答：解：(1)該方程可變形為2x=(x+a)2,即x=1-a±.'-=((當(dāng)aW：時(shí))，當(dāng)x=1-a--*時(shí)，x+a=1-」—*<0,故舍去.因此該方程的根為x=1-a+..、，一*（當(dāng)aW.時(shí)）,當(dāng)a>.時(shí)，原方程無根.3—x1x3—xy—jp（2）該方程可變形為log^,=log4..,即,：.L一?，，?.?，整理得X2-7x=0，解出x=0或者x=7（不滿足真數(shù)大于0,舍去）.故該方程的根為x=0.（3）該方程變形為二，「.J..」/.2’-■，：.,「.,；'一/）=6,即解得t=3±2,.，2二壬，因此x=±2.該方程的根為±2.（4）原方程等價(jià)