從博弈論角度看古諾模型

博弈論的觀點看古諾模型羅思蘊(yùn)(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，武漢430079)摘要：運用博弈論的研究方法，對古諾模型的幾種變式進(jìn)行分析，給出模型解法的代數(shù)表達(dá)式，并對結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶Ρ确治?，最后總結(jié)出不同模型對結(jié)論的改變情況。關(guān)鍵詞：古諾模型納什均衡完全信息不完全信息靜態(tài)博弈動態(tài)博弈古諾模型(Cournotmodel)是博弈論中最具有代表性的模型之一，也是是納什均衡最早的版本。它是法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家古諾(AugustinCournot)在1938年出版的《財富理論的數(shù)學(xué)原理研究》一書中最先提出的。而古諾的定義比納什的定義早了一百多年，足以體現(xiàn)博弈論這樣一個學(xué)科是深深扎根于經(jīng)濟(jì)學(xué)的土壤中的。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度，它的研究價值在于古諾模型是介于兩種極端狀況完全競爭和壟斷之間。在古諾生活的時代，大多數(shù)市場都只有少數(shù)的廠商經(jīng)營，所以這個模型在當(dāng)時是極具現(xiàn)實意義的。隨著時間的推移，古諾模型也演變出了各種不同的版本。如果從博弈論的角度分析，有四種情況極具代表性：完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型、不完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型、完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型、無限次重復(fù)博弈的古諾模型。經(jīng)典古諾模型古諾模型最初的形態(tài)是來自于經(jīng)濟(jì)學(xué)的。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，寡頭的概念是指那種在某一產(chǎn)業(yè)只有少數(shù)幾個賣者的市場組織形式。古諾模型對寡頭具有如下的基本假設(shè)。一，假定一個產(chǎn)業(yè)只有兩個寡頭，每個寡頭生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品，并追求利潤最大化。二，兩個寡頭之間進(jìn)行的是產(chǎn)量的競爭而不是價格競爭，且產(chǎn)品的價格依賴于兩者生產(chǎn)的產(chǎn)品總量。三，寡頭之間無勾結(jié)行為。四，每個生產(chǎn)者都把對方的產(chǎn)出水平視為定值。五，邊際成本為常數(shù)。在經(jīng)典的古諾模型中，每個企業(yè)具有相同的不變單位成本：C(q)=cq,i=1,2ii i

需求函數(shù)為：第i個企業(yè)的利潤為:需求函數(shù)為：第i個企業(yè)的利潤為:P=a-(q1(q,q)=q[a-(q+q)LC(q),i1 2 i 1 2 ii二1,2最優(yōu)化的一階條件為：i=a—(q+q)—q—c=0dq 1 2 112二a—(q+q丿一q—c二0dq 1 2 22反應(yīng)函數(shù)為：解得納什均衡為：每個公司的利潤為q反應(yīng)函數(shù)為：解得納什均衡為：每個公司的利潤為q*=R(q)= (a一q一c)1 2 2 2=R(q)= (a-q-c)2 1 2 1*1

q*2q*=q*= (a-c)123兀(q*)=k(q*)=_L(a—c)z11229古諾模型是在假定寡頭具有完全信息的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的。在這一均衡中，每個寡頭都可以準(zhǔn)確猜測對手的產(chǎn)量，從而選擇自己的最大產(chǎn)出。最重要的是，古諾均衡解在寡頭無勾結(jié)的假定下求出的。如果考慮寡頭之間相互勾結(jié)而達(dá)到均衡的情況，那么經(jīng)過計算可以得到實際產(chǎn)出水平與實際價格上等于完全壟斷條件下達(dá)到的產(chǎn)量與價格。更廣泛的，考慮無勾結(jié)寡頭市場、壟斷市場、自由市場，可以得到：無論是產(chǎn)量還是價格，無勾結(jié)寡頭市場都是處于中間的位置。也就是說，如果寡頭市場不存在勾結(jié)的行為，其效率高于完全壟斷低于完全競爭。博弈分類下的兩種古諾模型2.1不完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型即經(jīng)濟(jì)學(xué)中最經(jīng)典的形式，它假設(shè)了廠商相互完全了解對方的產(chǎn)量和成本,而市場價格又是統(tǒng)一的,因此,博弈雙方的得益情況是共同知識,沒有任何秘密。然而，在現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)中無論是相互競爭的廠商亦或是相互信任的廠商之間，為了各自的利益往往都會將自己生產(chǎn)銷售的有關(guān)情況作為商業(yè)秘密加以保密(這樣做是否能達(dá)到最大利益還有待商榷)，其他廠商很難了解真實情況。因此，完全信息靜態(tài)博弈的古諾模型的假設(shè)可能與現(xiàn)實情況并不完全一致，現(xiàn)實的寡頭市場產(chǎn)量博弈模型中各博弈方的得益根本不可能是共同知識。例如在兩廠商模型中,只要一個廠商對另一個廠商的生產(chǎn)成本不清楚，則前一個廠商就不可能完全清楚另一個廠商在各種雙方產(chǎn)量組合下的得益，前一個廠商就不可能是完全信息。所以，有必要討論不完全信息靜態(tài)博弈古諾模型。先假定廠商1的平均成本C］是共同知識，而廠商2的平均成本有兩種類型:高成本C2H或低成本C2L；廠商2高成本C2H或低成本C2L；的概率為0，C2=C2l的概率為(1-0)。由已知條件可求得:卩2=q2(a-q「q2)-C2Hq2或卩2=q2(a-q1-q2)-C2Lq2為了利潤最大化,對上述兩式求導(dǎo)且令導(dǎo)數(shù)等于0。得:q2=(a-C2H-q1)/2或q2=(a-C2L-q1)/2也就是說，當(dāng)C2為高成本時，廠商2的最優(yōu)產(chǎn)量為q2=(a-C2H-q1)/2;當(dāng)C2為低成本時，廠商2的最優(yōu)產(chǎn)量為q2=(a-C2L-q1)/2即廠商2的產(chǎn)量不僅依賴廠商1的產(chǎn)量，還依賴于自己的成本類型。由于廠商1不知道廠商2的真實類型，從而不知道廠商2的最優(yōu)產(chǎn)量，因此，廠商1的期望利潤為:E卩1=q1(1-q1-q2H)0+[q1(1-q1-q2L)](1-0)令：得：q1=［1-q2L(q2L-q2H)0"2。這里值得質(zhì)疑的是：是不是公司所有的信息都是不公布為好？答案是否定的。在不完全信息靜態(tài)博弈下的古諾模型中，就有最好的證明。經(jīng)過簡單的計算可以發(fā)現(xiàn)，如果本公司的成本更低是應(yīng)該告訴對方的，這樣根據(jù)兩個公司產(chǎn)量的函數(shù)表達(dá)，對方公司的產(chǎn)量應(yīng)該下降，而本公司增加產(chǎn)量，這樣就可以達(dá)到利潤最大化。但是實際生活中還有這樣一種情況不能忽視，即一旦低成本的公司公布了自己的成本，那么沒有公布成本的公司為自動被認(rèn)為是高成本的，那么為了避免被誤認(rèn)為是高成本的公司，那么一些高成本的公司也不得不公布自己的成本，這樣一來，市面上的公司成本都得到了公布，那么古諾模型又會回到原來最經(jīng)典的樣子。所以事實證明，缺少信息也是一種信息，當(dāng)然前提是信息需要被核實。2.2完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型經(jīng)典古諾模型中討論的寡頭還需要有較強(qiáng)的均衡性，也就是說寡頭之間有能力相互抗衡。這樣，即使自己公司由于某種原因偏離最佳方向，依然可以承擔(dān)一切后果。不過，現(xiàn)實生活中還有這樣一種情況，那就是兩個寡頭之間有一方較強(qiáng)。那么他們的產(chǎn)量決策是由較強(qiáng)的一方先進(jìn)行選擇，而較弱的一方則根據(jù)較強(qiáng)的一方的產(chǎn)量決定自己的產(chǎn)量。由于這兩個廠商的選擇不僅有先后之分，而且后選擇的廠商在選擇時知道前一個廠商的選擇，因而是一個動態(tài)博弈的問題。設(shè)模型中的兩個寡頭，分別為廠商1和廠商2，他們的策略空間都是［0，Qmax］中的所有實數(shù)，其中Qmax可看作不至于使價格降到虧本的最大限度的產(chǎn)max max量；廠商1是領(lǐng)頭廠商，因此他先選擇，廠商2追隨其后；設(shè)價格函數(shù)為P=P(Q)=a-Q,(其中Q=ql+q2),兩廠商的邊際生產(chǎn)成本為勺，c2,且沒有固定成本。由以上假設(shè)，得出兩廠商的得益函數(shù)為：兀=qP(Q)-cq=(a-c)q-qq-q2111111121兀=qP(Q)-cq=(a-c)q-qq-q2222222212根據(jù)逆推歸納法,先分析第二階段廠商2的決策。令：i=a—c—q—2q=0dq 2121得：q=(a一c一q)/2221兀二(aq-2cq+cq-q2)/22111211再令：2=(a—2c+c—2q)/2=0Qq 12X2q=(a—2c+c)/2112廠商1在第一階段選擇(a-2c1c2)/2單位產(chǎn)量，廠商2在第二階段選擇(a-3c2+2cl)/4單位產(chǎn)量，這是運用逆推歸納法分析的策略組合，也是這個動態(tài)博弈的唯一子博弈納什均衡。與經(jīng)典的古諾模型相比完全且完美信息動態(tài)博弈的古諾模型計算出來的產(chǎn)量要大，價格要低，而且總收益也小于經(jīng)典的古諾模型。不過值得一提的是，廠商1的收益是大于古諾模型中兩個廠商的收益。古諾模型的應(yīng)用至于古諾模型的現(xiàn)實意義，對于處于經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展但經(jīng)濟(jì)環(huán)境并不健康的中國來說，具有很高的借鑒價值。雖然自改革開放以來，中國的經(jīng)濟(jì)注入了很多民間的新鮮血液，但是某些市場依然由國家全面把持，或者市場的準(zhǔn)入門檻過高，造成一些國有企業(yè)充當(dāng)寡頭，甚至壟斷整個市場,這樣還是在無形當(dāng)中降低了市場的效率。如何在這種不利的條件下，得到最大的收益，還是需要仔細(xì)對古諾模型進(jìn)行分析。例如，隨著中國電力市場改革的深入發(fā)展，電力工業(yè)出現(xiàn)了產(chǎn)權(quán)多元化的局面，有國家、集資、股份、合資、外資等多種辦電方式。各發(fā)電商都希望利用自己擁有的信息，合理安排自己的發(fā)電計劃，合理申報電力價格，以獲得最大的利潤。電力市場不是自由競爭的市場，而是具有寡頭壟斷性質(zhì)的市場，競爭主要在于少數(shù)寡頭之間。因此利用古諾模型分析發(fā)電廠商的定價行為，找出其最優(yōu)的均衡價格，具有合理性。4結(jié)語古諾模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個相當(dāng)重要的模型，在博弈論中根據(jù)博弈情況的不同有也很多變式。這樣一個例子足以體現(xiàn)出博弈論與經(jīng)濟(jì)學(xué)密不可分的關(guān)系。但是博弈論作為一名獨立出來的學(xué)科，給筆者一個特別的感覺：思想大于計算。書本中在介紹博弈問題時，往往花大量的精力計算納什均衡，卻忽略了博弈方的社會性。這也就導(dǎo)致計算出了的納什均衡與實