第2部分 專題6 審題與答題示范6　函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題巧在“轉(zhuǎn)”、難在“分”

3/3閱卷案例(12分)(2021·新高考卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝xeq(\a\vs4\al\co1(1－lnx)).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna－alnb＝a－b，證明：2<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<e.思維導(dǎo)圖四字解題讀討論f(x)的單調(diào)性第(2)問題設(shè)想導(dǎo)數(shù)的運算法則，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.①變形得eq\f(lna＋1,a)＝eq\f(lnb＋1,b)；②設(shè)eq\f(1,a)＝x1，eq\f(1,b)＝x2.算計算f′(x)，解f′(x)>(<)0先證：x1＋x2>2，再證：x1＋x2<e.悟分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸轉(zhuǎn)化化歸，換元，構(gòu)造法思維拆解規(guī)范答題第1步：求導(dǎo)，判斷單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)運算法則求導(dǎo)，依據(jù)f′(x)的符號同f(x)的關(guān)系判斷單調(diào)性，必要時可二次求導(dǎo).第2步：轉(zhuǎn)化化歸對于函數(shù)值相等問題，轉(zhuǎn)化為方程的根問題.第3步：分解設(shè)eq\f(1,a)＝x1，eq\f(1,b)＝x2，原不等式等價于2<x1＋x2<e.第4步：構(gòu)建函數(shù)結(jié)合極值點偏移問題的特點，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2－x)證明不等式x1＋x2＞2；利用函數(shù)結(jié)構(gòu)相同構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)＋x證明不等式x1＋x2＜e.第5步：得結(jié)論結(jié)合第3步及第4步得結(jié)論.[解](1)因為f(x)＝x(1－lnx)，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnx＋x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝－lnx.當x∈(0,1)時，f′(x)＞0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0.所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.……3分(2)由題意，a，b是兩個不相等的正數(shù)，且blna－alnb＝a－b，兩邊同時除以ab，得eq\f(lna,a)－eq\f(lnb,b)＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a)，即eq\f(lna＋1,a)＝eq\f(lnb＋1,b)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b))).……………4分令x1＝eq\f(1,a)，x2＝eq\f(1,b)，由(1)知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且當0＜x＜e時，f(x)＞0，當x＞e時，f(x)＜0，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜1＜x2＜e.要證2＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜e，即證2＜x1＋x2＜e.……………6分先證x1＋x2＞2：要證x1＋x2＞2，即證x2＞2－x1，因為0＜x1＜1＜x2＜e，所以x2＞2－x1＞1，又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以即證f(x2)＜f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以即證f(x1)＜f(2－x1)，即證當x∈(0,1)時，f(x)－f(2－x)＜0.構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(2－x)，則F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]，當0＜x＜1時，x(2－x)＜1，則－ln[x(2－x)]＞0，即當0＜x＜1時，F(xiàn)′(x)＞0，所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以當0＜x＜1時，F(xiàn)(x)＜F(1)＝0，所以當0＜x＜1時，f(x)－f(2－x)＜0成立，所以x1＋x2＞2成立.……8分再證x1＋x2＜e.由(1)知，f(x)的極大值點為x＝1，f(x)的極大值為f(1)＝1，過點(0,0)，(1,1)的直線方程為y＝x，設(shè)f(x1)＝f(x2)＝m，當x∈(0,1)時，f(x)＝x(1－lnx)＞x，直線y＝x與直線y＝m的交點坐標為(m，m)，則x1＜m.欲證x1＋x2＜e，即證x1＋x2＜m＋x2＜f(x2)＋x2＜e，即證當1＜x＜e時，f(x)＋x＜e.……………10分構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)＋x，則h′(x)＝1－lnx，當1＜x＜e時，h′(x)＞0，所以函數(shù)h(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，